Calculo III

Prévia do material em texto

CAPÍTULO 14 REVISÃO
Teste Verdadeiro-Falso
1. Verdadeiro 3. Falso 5. Falso 7. Verdadeiro 9. Falso
11. Verdadeiro
Exercícios
1. {(x, y)Խ y Ͼ Ϫx Ϫ 1} 3.
5. 7.
9.
11. (a) Ϸ 3,5ºC/m, Ϫ3,0ºC/m (b) Ϸ 0,35ºC/m pela
Equação 14.6.9 (A Definição 14.6.2 dá Ϸ1,1ºC/m.)
(c) Ϫ0,25
13. fx ϭ 32xy(5y3 ϩ 2x2y)7, fy ϭ (16x2 ϩ 120y2)(5y3 ϩ 2x2y)7
15. Fa ϭ ϩ 2a ln(a2 ϩ b2), Fb ϭ 
17. Su ϭ arctg(v√
––
w), Sv ϭ , Sw ϭ 
19. fxx ϭ 24x, fxy ϭ Ϫ2y ϭ fyx, fyy ϭ Ϫ2x
21. fxx ϭ k(k Ϫ 1)xkϪ2ylzm, fxy ϭ klxkϪ1y lϪ1zm ϭ fyx, 
fxz ϭ kmxkϪ1ylzmϪ1 ϭ fzx, fyy ϭ l(l Ϫ 1)xky lϪ2zm, 
fyz ϭ lmxkylϪ1zmϪ1 ϭ fzy, fzz ϭ m(m Ϫ 1)xkylzmϪ2
25. (a) z ϭ 8x ϩ 4y ϩ 1 (b) ϭ ϭ 
27. (a) 2x Ϫ 2y Ϫ 3z ϭ 3 (b) ϭ ϭ
29. (a) x ϩ 2y ϩ 5z ϭ 0
(b) x ϭ 2 ϩ t, y ϭ Ϫ1 ϩ 2t, z ϭ 5t 
31. (2, , Ϫ1), (Ϫ2, Ϫ , 1)
33. 60x ϩ y ϩ z Ϫ 120; 38,656
35. 2xy3(1 ϩ 6p) ϩ 3x2y2(pep ϩ ep) ϩ 4z3( p cos p ϩ sen p)
37. Ϫ47, 108
43. k2xeyz2, x2z2eyz2, 2x2yzeyz2l 45. Ϫ
47. √
–––
145/2, k4, l 49. Ϸ nós/mi
51. Mínimo f (Ϫ4, 1) ϭ Ϫ11
53. Máximo f (1, 1) ϭ 1; pontos de sela (0, 0), (0, 3), (3, 0)
55. Máximo f (1, 2) ϭ 4, mínimo f (2, 4) ϭ Ϫ64
57. Máximo f (Ϫ1, 0) ϭ 2, mínimos f (1, Ϯ1) ϭ Ϫ3, 
pontos de sela (Ϫ1, Ϯ1), (1, 0)
59. Máximo f (Ϯ√
––
2/3, 1/√
–
3) ϭ 2/(3√
–
3), 
mínimo f (Ϯ√
––
2/3, Ϫ1/√
–
3) ϭ Ϫ2/(3√
–
3)
61. Máximo 1, mínimo Ϫ1
63. (Ϯ3Ϫ1/4, 3Ϫ1/4√
–
2, Ϯ31/4), (Ϯ3Ϫ1/4, Ϫ3Ϫ1/4√
–
2, Ϯ31/4)
65. P(2 Ϫ √
–
3), P(3 Ϫ √
–
3)/6, P(2√
–
3 Ϫ 3)/3
PROBLEMAS QUENTES 
1. L2W 2, L2W 2 3. (a) x ϭ w/3, base ϭ w/3 (b) Sim
7. √
––
3/2, 3√
–
2
CAPÍTULO 15
EXERCÍCIOS 15.1 
1. (a) 288 (b) 144 3. (a) 0,990 (b) 1,151
5. (a) 4 (b) Ϫ8 7. U Ͻ V Ͻ L
9. (a) Ϸ 248 (b) Ϸ 15,5 11. 60 13. 3
15. 1,141606, 1,143191, 1,143535, 1,143617, 1,143637, 1,143642
EXERCÍCIOS 15.2 
1. 500y3, 3x2 3. 222 5. 2 7. 18
9. ln 2 11. 13. p 15. 0
17. 9 ln 2 19. (√
–
3 Ϫ 1) Ϫ p 21. eϪ6 ϩ )
23.
25. 51 27. 29. 2 31.
33. 21e Ϫ 57
35. 37. 0
39. O Teorema de Fubini não se aplica. O integrando tem uma des-
continuidade infinita na origem.
EXERCÍCIOS 15.3 
1. 32 3. 5. sen 1 7. 9. p
11. (a) (b)
13. Tipo I: D ϭ {(x, y) Խ 0 р x р 1, 0 р y р x},
tipo II: D ϭ {(x, y) Խ 0 р y р 1, y р x р 1}; 
15. h
0
1h√–x
Ϫ√
–x y dy dx ϩ h14h√
–x
xϪ2 y dy dx ϭh2Ϫ1hy2yϩ2 y dx dy ϭ 
17. (1 Ϫ cos 1) 19. 21. 0 23. 25.
z Ϫ 1
ᎏ
Ϫ1
1
2
11
3
17
60
31
8
9
4
1
3
0 x
y
D
0 x
y
D
3
10
1
3
4
3
5
6
2
0
y
1
0
x1
0
z
166
27
64
3
z
y
x
0
1
1
4
1
2
1
12
1
2
5
2
21
2
31
30
1
4
9
2
5
8
4
5
24
5
32
5
1
2
1
2
x Ϫ 2
ᎏ
4
y ϩ 1
ᎏ
Ϫ4
z Ϫ 1
ᎏ
Ϫ6
x Ϫ 1
ᎏ
8
y ϩ 2
ᎏ
4
v√
––
w
ᎏ
1 ϩ v2w
uv
ϪϪϪ
2√
––
w (1ϩ v2w)
2a3
ᎏ
a2 ϩ b2
2a2b
ᎏ
a2 ϩ b2
2
3
y
x
1
23
4 5
0
x210
y
2
1
y
x_1
_1
y=_x-1
x y
z
1
1
APÊNDICES A81
apendices�res2:calculo7 5/25/13 11:55 AM Page A81
27. 6 29. 31. 33. 0, 1,213; 0,713 35.
37.
39. 13 984 735 616/14 549 535
41. p/2
43. h
0
1h1x f (x, y) dy dx
45. h
0
1h
0
cosϪ1y
f (x, y) dx dy
47. h0ln 2 h2ey f (x, y) dx dy 
49. (e9 Ϫ 1) 51. ln 9 53. (2√
–
2 Ϫ 1) 55. 1
57. (p/16)eϪ1/16 р hhQ eϪ(x2ϩy2)2 dA р p/16 59. 63. 9p
65. a2b ϩ ab2 67. pa2b
EXERCÍCIOS 15.4 
1. h03p/2 h04 f (r cos u, r sen u)r dr du 3. h1Ϫ1h0(xϩ1)/2 f (x, y) dy dx 
5. 3p/4
7. 9. (p/4) (cos 1 Ϫ cos 9)
11. (p/2)(1 Ϫ eϪ4) 13. p2 15. p/12
17. ϩ 19. p 21. p 23. pa3
25. (2p/3)[1 Ϫ (1/√
–
2)] 27. (8p/3)(64 Ϫ 24√
–
3)
29. p (1 Ϫ cos 9) 31. 2√
–
2/3 33. 4,5951
35. 37,5p m3 37. 2/(aϩb) 39.
41. (a)√
–
p/4MMM(b)√
–
p/2
EXERCÍCIOS 15.5 
1. 285 C 3. 42k, (2, ) 5. 6, ( , ) 7. k, (0, )
9. L/4, (L/2, 16/(9p)) 11. ( , 3p/16) 13. (0, 45/14p))
15. (2a/5, 2a/5) se o vértice é (0, 0) e os lados estão ao longo dos
eixos positivos
17. k, k, k
19. 7ka6/180, 7ka6/180, 7ka6/90 se o vértice é (0, 0) e os lados estão
ao longo dos eixos positivos
21. rbh3/3, rb3h/3; b/√
–
3, h/√
–
3
23. ra4p/16, ra4p/16; a/2, a/2
25. m ϭ 3p/64, (x–, y–) ϭ ( , 0),
Ix ϭ Ϫ , Iy ϭ ϩ , I0 ϭ
27. (a) (b) 0,375 (c) Ϸ 0,1042
29. (b) (i) eϪ0,2 Ϸ 0,8187
(ii) 1 ϩ eϪ1,8 Ϫ eϪ0,8 Ϫ eϪ1 Ϸ 0,3481 (c) 2, 5
31. (a) Ϸ 0,500 (b) Ϸ 0,632
33. (a) hhD (k/20)[20 Ϫ √–––––(x Ϫ x0)2–––––ϩ (y Ϫ––––––y0)2–] dA, onde D é o
disco com raio de 10 km centralizado no centro da cidade
(b) 200pk/3 Ϸ 209k, 200(p/2 Ϫ )k Ϸ 136k, na borda
EXERCÍCIOS 15.6
1. 15√
––
26 3. 3√
––
14 5. 12 senϪ1( )
7. (p/6)(17√
––
17 Ϫ 5√
–
5) 9. (2p/3)(2√
–
2 Ϫ 1)
11. a2(pϪ 2) 13. 13,9783 15. (a) Ϸ 1,83 (b) Ϸ 1,8616
17. √
––
14 ϩ ln[(11√
–
5 ϩ 3√
––
70)/(3√
–
5 ϩ √
––
70)]
19. 3,3213 23. (p/6)(101√
––
101
–
Ϫ 1)
EXERCÍCIOS 15.7
1. 3. 5. 7. Ϫ 9. 4 11. 9p/8
13. 15. 17. 16p/3 19. 21.
23. (a) h01 h0xh0√––––1Ϫy2 dz dy dx (b) p Ϫ
25. 0,985
27.
29. h2Ϫ2h04Ϫx2h√–––––––4Ϫx2Ϫy/2 f (x, y, z) dz dy dxϪ√–––––––4Ϫx2Ϫy/2
ϭ h04 h √––––4ϪyϪ√––––4Ϫy h√–––––––4Ϫx2Ϫy/2 f (x, y, z) dz dx dy Ϫ√–––––––4Ϫx2Ϫy/2
ϭ h1Ϫ1h04Ϫ4z2h√––––––––4ϪyϪ4z2 f (x, y, z) dx dy dz Ϫ√––––––––4ϪyϪ4z2
ϭ h04 h√––––4Ϫy/2Ϫ√––––4Ϫy/2 h√––––––––4ϪyϪ4z2 f (x, y, z) dx dz dy Ϫ√––––––––4ϪyϪ4z2
ϭ h2Ϫ2h√––––4Ϫx2/2Ϫ√––––4Ϫx2/2 h04Ϫx2Ϫ4z2 f (x, y, z) dy dz dx 
ϭ h1Ϫ1h√–––––4Ϫ4z2Ϫ√–––––4Ϫ4z2 h04Ϫx2Ϫ4z2 f (x, y, z) dy dx dz 
31. h2Ϫ2hx24 h02Ϫy/2 f (x, y, z) dz dy dx 
ϭ h04 h√–yϪ√–y h02Ϫy/2 f (x, y, z) dz dx dy 
ϭ h02 h04Ϫ2zh√–yϪ√–y f (x, y, z) dx dy dz 
ϭ h04 h02Ϫy/2 h√–yϪ√–y f (x, y, z) dx dz dy 
ϭ h2Ϫ2h02Ϫx2/2hx24Ϫ2z f (x, y, z) dy dz dx 
ϭ h02 h√––––4Ϫ2zϪ√–––––4Ϫ2z hx24Ϫ2z f (x, y, z) dy dx dz
z
y
x
0
1
2
1
1
4
1
3
65
28
1
60
16
3
8
15
27
4
16
15
5
3
1
3
45
8
15
16
2
3
8
9
1
2
5
48
5p
ᎏ
384
4
ᎏ
105
5p
ᎏ
384
4
ᎏ
105
5p
ᎏ
192
16384√
–
2
ᎏ
10395p
64
315
8
105
88
315
3
8
85
28
3
4
3
2
8
15
4
7
15
16
1
2
p
ᎏ
3
√
–
3
ᎏ
2
16
3
4
3
4
3
3
64
1250
3
x
y
0 1 2_2 _1
¨=3π4 ¨=
π
4
R
3
2
3
4
1
6
1
3
1
3
y
x0
x=2
y=ln x  or x=e†
ln 2
1 2
y=0
x
y
y=cos x
x=cos_1y
or
π
2
1
0
x
y
0
y=x
(0, 1)
(1, 1)
0
z
y
x
(0, 0, 1)
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
128
15
1
3
64
3
A82 CÁLCULO
apendices�res2:calculo7 5/25/13 11:55 AM Page A82
33. h01 h1√–x h01Ϫy f (x, y, z) dz dy dx 
ϭ h01 h0y2h01Ϫy f (x, y, z) dz dx dy 
ϭ h01 h01Ϫzh0y2 f (x, y, z) dx dy dz 
ϭ h01 h01Ϫyh0y2 f (x, y, z) dx dz dy 
ϭ h01 h01Ϫ√–x h√–x1Ϫz f (x, y, z) dy dz dx 
ϭ h01 h0(1Ϫz)2 h√–x1Ϫz f (x, y, z) dy dx dz
35. h01 hy1 h0y f (x, y, z) dz dx dy ϭ h01 h0xh0y f (x, y, z) dz dy dx 
ϭ h01 hz1 hy1 f (x, y, z) dx dy dz ϭ h01 h0yhy1 f (x, y, z) dx dz dy 
ϭ h01 h0x hzx f (x, y, z) dy dz dx ϭ h01 hz1 hzx f (x, y, z) dy dx dz 
37. 64p 39. , ( , , )
41. a5, (7a/12, 7a/12, 7a/12)
43. Ix ϭ Iy ϭ Iz ϭ kL5 45. pkha4
47. (a) m ϭ h1
Ϫ1
h1x2h01Ϫy√–––––x2 ϩ y2– dz dy dx 
(b) (x–, y–, z–), onde 
x– ϭ (1/m) h1
Ϫ1
h1
x2
h
0
1Ϫy
x √
–––––
x2 ϩ y2
–
dz dy dx 
y– ϭ (1/m) h1
Ϫ1
h1
x2
h
0
1Ϫy
y √
–––––
x2 ϩ y2
–
dz dy dx 
z– ϭ (1/m)h1
Ϫ1
h1
x2
h
0
1Ϫy
z √
–––––
x2 ϩ y2
–
dz dy dx
(c) h1
Ϫ1
h1
x2
h
0
1Ϫy
(x2 ϩ y2)3/2 dz dy dx
49. (a) p ϩ
(b) ( , , )
(c) (68 ϩ 15p)
51. (a) (b) (c) 53. L3/8
55. (a) A região ligada pelo elipsoide x2 ϩ 2y2 ϩ 3z2 ϭ 1
(b) 4√
–
6p/45
EXERCÍCIOS 15.8 
1. (a) (b)
(2, 2√
–
3, Ϫ2) (0, Ϫ2, 1)
3. (a) (√
–
2, 3p/4, 1) (b) (4, 2p/3, 3)
5. Meio-plano vertical pelo eixo z
7. Paraboloide circular
9. (a) z2 ϭ 1 ϩ r cos u Ϫ r2 (b) z ϭ r2 cos 2u
11.
13. Coordenadas cilíndricas: 6 р r р 7, 0 р u р 2p, 0 р z р 20
15. 4p
17 384p 19. p ϩ 21. 2p/5 23. p(√
–
2 Ϫ 1)
25. (a) 162p (b) (0, 0, 15)
27. pKa2/8, (0, 0, 2a/3) 29. 0
31. (a) hhhch(P)t(P) dV, onde C é o cone
(b) Ϸ4,4 ϫ 1018 J
EXERCÍCIOS 15.9 
1. (a) (b)
( , , 3√–3 ) (0, , )
3. (a) (2, 3p/2, p/2) (b) (2, 3p/4, 3p/4)
5. Meio-cone 7. Esfera, raio , centro (0, , 0)
9. (a) cos2f ϭ sen2f (b) r2(sen2f cos2u ϩ cos2f) ϭ 9
11.
13.
15. 0 р f р p/4, 0 р ␳ р cos f
17. (9p/4) (2 Ϫ √
–
3)
19. h0p/2 h03 h02 f (r cos u, r sen u, z) r dz dr du
x y
z
p
6
3
x
z
y
˙=3π4
∏=1
y
x
z
∏=4
∏=2
˙=π3
1
2
1
2
3
ᎏ
2
3√
–
3
ᎏᎏ
2
3√
–
2
ᎏᎏ
2
3√
–
2
ᎏᎏ
2
x
z
y
”6, , ’π3
π
6
6
π
6
π
3
0
x
z
y
”3, , ’π2
3π
4
3
π
2
0
3π
4
8
3
128
15
4
3
y
z
x
x
z
y2
2
z=11
x
z
y
”4, , _2’π3
_2
4π
3
0
x
z
y
”2, _ , 1’π2
2
1
π
2 0_
1
8
1
64
1
5760
1
240
28
ᎏ
9p ϩ 44
30p ϩ 128
ᎏ
45pϩ 220
45p ϩ 208
ᎏ
135p ϩ 660
3
32
11
24
2
3
1
2
79
30
358
553
33
79
571
553
APÊNDICES A83
apendices�res2:calculo7 5/25/13 11:55 AM Page A83
A84 CÁLCULO
21. 312.500p/7 23. 1.688p/15 25. p/8
27. (√
–
3 Ϫ 1)pa3/3 29. (a) 10p (b) (0, 0, 2,1)
31. (a) (0, 0, ) (b) 11Kp/960
33. (a) (0, 0, a) (b) 4Kpa5/15
35. p (2 Ϫ √
–
2), (0, 0, 3/[8(2 Ϫ √
–
2)])
37. 5p/6 39. (4√
–
2 Ϫ 5)/15 41. 4096p/21
43. 45. 136p/99
EXERCÍCIOS 15.10 
1. 16 3. sen2u Ϫ cos2u 5. 0
7. O paralelogramo com vértices (0, 0), (6, 3), (12, 1), (6, Ϫ2)
9. A região ligada pela reta y ϭ 1, o eixo y e por y ϭ √
–
x 
11. x ϭ (v Ϫu), y ϭ (u ϩ 2v) é uma transformação possível, onde
S ϭ {(u, v) Խ Ϫ 1 р u р 1, 1 р v р 3}
13. x ϭ u cos v, y ϭ u sen v é uma transformação possível, onde 
S ϭ {(u, v) Խ 1 р u р √
–
2, 0 р v р p/2}
15. Ϫ3 17. 6p 19. 2 ln 3
21. (a) pabc (b) 1 083 ϫ 1012 km3 (c) p(a2 ϩ b2)abck
23. ln 8 25. sen 1 27. e Ϫ eϪ1
CAPÍTULO 15 REVISÃO 
Teste Verdadeiro-Falso
1. Verdadeiro 3. Verdadeiro 5. Verdadeiro 7 . Verdadeiro 9. Falso
Exercícios
1. Ϸ 64,0 3. 4e2 Ϫ 4e ϩ 3 5. sen 1 7.
9. h0ph24 f (r cos u, r sen u) r dr du
11. A região dentro do circuito da rosa de quatro folhas r ϭ sen 2u
no primeiro quadrante
13. sen 1 15. e6 Ϫ 17. ln 2 19. 8
21. 81p/5 23. 25. p/96 27.
29. 176 31. 33. 2ma3/9
35. (a) (b) ( , )
(c) Ix ϭ , Iy ϭ ; y
=
ϭ 1/√
–
3, x= ϭ 1/√
–
6 
37. (a) (0, 0, h/4) (b) pa4h/10
39. ln(√
–
2 ϩ √
–
3) ϩ √
–
2/3 41. 43. 0,0512
45. (a) (b) (c) 
47. h01 h01Ϫzh√–yϪ√–y f (x, y, z) dx dy dz 49. Ϫln 2 51. 0
PROBLEMAS QUENTES
1. 30 3. sen 1 7. (b) 0,90
13. abcp ( Ϫ )
CAPÍTULO 16
EXERCÍCIOS 16.1
1.
3.
5.
7. 9.
11. IV 13. I 15. IV 17. III
19. A reta y ϭ 2x 
21. ٌf (x, y) ϭ (xy ϩ 1) exy i ϩ x2exy j 
23. ٌf (x, y, z) ϭ i ϩ j 
ϩ k 
25. ٌf (x, y) ϭ 2x i Ϫ j 
27.
29. III 31. II 33. (2,04, 1,03)
4
_4
4_4
0_2_4_6 4 6 x
y
_2
2
z
ᎏᎏᎏᎏ
√
–––––
x2 ϩ y2
––––
ϩ z2
–
x
ᎏᎏᎏᎏ
√
–––––
x2 ϩ y2
––––
ϩ z2
–
y
ᎏᎏᎏᎏ
√
–––––
x2 ϩ y2
––––
ϩ z2
–
4,5
Ϫ4,5
Ϫ4,5 4,5
z
yx
z
y
x
y
x0
x
y
2
_2
_2 2
1
2
1_1_2
y
0 x
_1
2
ᎏ
3
8
ᎏᎏ
9√
–
3
1
2
1
15
1
3
1
45
486
5
1
12
1
24
1
4
1
3
8
15
2
3
81
2
64
15
1
2
1
2
7
2
1
4
1
2
2
3
8
5
3
2
4
3
4
15
1
3
1
3
1
3
3
8
7
12
apendices�res2:calculo7 5/25/13 11:55 AM Page A84