Aula 8 - Regras de probabilidade

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Propriedades
Probabilidade Condicional
Exerćıcios
Regras de probabilidades
Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha
email: lscunha@uel.br
http://www.uel.br/pessoal/lscunha/
16 de maio de 2018
Londrina
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Propriedades
As probabilidades sempre se referem a ocorrência de eventos e,
independentemente do conceito utilizado, clássico ou frequen-
tista, o modelo de probabilidade terá sempre uma coerência
interna que resulta dos axiomas de probabilidade:
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(Ω) = 1
P(∅) = 0
Ou seja, a probabilidade é uma função que associa a cada
evento um valor entre 0 e 1.
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Regras de cálculo
Regra 1-a
Probabilidade da união de eventos.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
Exemplo 1
Considere o experimento lançamento de um dado e os seguintes
eventos: A : sair o número 2, 3 e 4; B : sair número par;
C : sair número ı́mpar. Determinar P(A ∪ B) e P(A ∪ C ).
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Regra 1-b
Probabilidade da união de eventos disjuntos.
Se A e B são disjuntos então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Se A1, A2, A3, . . . , formam uma sequência de eventos disjuntos,
então:
P
(
n⋃
i=1
Ai
)
=
n∑
i=1
P(Ai )
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Exemplo 2
No lançamento de duas moedas temos: A : pelo menos uma cara,
B : duas coroas. Qual a probabilidade de sair duas coroas ou pelo
menos uma cara?
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Exemplo 3
Em uma pesquisa realizada no Hospital Veterinário da Universidade
Estadual de Londrina, no ano de 2010, foram coletadas diversas
informações e, entre elas, a quantidade de animais segundo o Porte:
Porte
Pequeno Médio Grande
1144 68 142
Qual a probabilidade de um animal selecionado aleatoriamente nesse
ano:
a) ser do porte médio;
b) ser do porte pequeno ou grande?
c) ser do porte grande ou médio?
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Regra 2
Probabilidade do complemento.
P(Ac) = 1− P(A)
Exemplo 4
Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade de sair
A : pelo menos um 6?
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Probabilidade Condicional
Algumas vezes a probabilidade de um particular evento acon-
tecer depende do resultado de algum outro evento.
Por exemplo, o crescimento do páıs no próximo ano depende,
naturalmente, da poĺıtica econômica adotada no presente peŕıodo.
A probabilidade do evento A, quando se sabe que o evento B
ocorreu, é chamada probabilidade condicional de A dado B,
denota-se por P(A|B).
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Definição
Pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de
ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento B, como se
mostra a seguir:
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
, se P(B) > 0
Na probabilidade condicional, a ocorrência de um evento altera
a probabilidade de ocorrência do outro.
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Exemplo 5
Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2, . . . , 15. Se o
número sorteado for ı́mpar, qual a probabilidade de que seja o
número 9?
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Regra 3-a
Probabilidade da intersecção de dois eventos.
A probabilidade condicional permite-nos calcular diretamente a
probabilidade da intersecção de dois eventos. Assim,
P(A ∩ B) = P(B)P(A|B)
Exemplo 6
Considere os seguintes eventos: A: retirar uma carta de copas do
baralho e B: retirar um às do baralho. Determine a probabilidade
desses eventos ocorrerem simultaneamente.
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Independência de Eventos
Regra 3-b
Probabilidade da intersecção de dois eventos independentes.
Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência
de um deles não depende da ocorrência do outro, isto é,
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B). Logo, o teorema do produto
para dois eventos independentes é dado por:
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
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Exemplo 7
Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sangúıneo
O é 40%, ser A é 30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabi-
lidade de Rh+ é de 90% e que o fator independe do tipo sangúıneo.
Nestas condições, qual a probabilidade de uma pessoa tomada ao
acaso da população ser:
a) O e Rh+ ?
b) AB ou Rh-?
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Exerćıcio 1
Sabendo-se que 2% dos exames cĺınicos feitos por um laboratório
apresentam falha humana, 1% falha técnica e 2,5% as duas falhas,
qual a probabilidade de um exame ter pelo menos uma das falhas?
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Exerćıcio 2
Num cruzamento de galos de pescoço pelado com galinhas do
mesmo tipo, temos a probabilidade de 1/4 para obter um filhote
de pescoço coberto. Numa ninhada de seis pintos, qual a probabili-
dade de que pelo menos um tenha pescoço coberto?
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Exerćıcio 3
Em uma ninhada de 12 filhotes, 8 são sadios. Foram escolhidos dois
filhotes ao acaso. Qual a probabilidade de que pelo menos um seja
sadio?
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Exerćıcio 4
Uma fazenda contém quatro bezerros Nelore, cinco Gir e seis Guzerá.
Outra fazenda contém cinco bezerros Nelore, seis Gir e dois Guzerá.
Sorteia-se um bezerro de cada fazenda. Qual a probabilidade de que
ambos sejam da mesma raça?
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