Artigo - Matematica Financeira e suas Aplicacoes na Empresa

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Pós-Graduação em Gestão
Gestão em Finanças Empresariais
Matemática Financeira e 
suas Aplicações na Empresa
Luiz Carlos dos Santos Filho
FAEL
Diretor Executivo Marcelo Antônio Aguilar
Diretor Acadêmico Francisco Carlos Sardo
Coordenador Pedagógico Osnir Jugler
EDitorA FAEL
Autoria Luiz Carlos dos Santos Filho
Gerente Editorial William Marlos da Costa
Projeto Gráfico e Capa Patrícia Librelato Rodrigues
revisão Juliana Melendres
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Ilker
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Todos os direitos reservados.
2012
Matemática Financeira e 
suas Aplicações na Empresa
 1 . Conceitos 
iniciais e Regime 
de Capitalização 
Simples: Juros 
e Descontos
 1.1 Recordando 
porcentagens
O símbolo porcentagem “%” pode ser entendido 
como uma representação em forma de fração com 
denominador 100, ou seja, 30%= 30
100
.
Definição do dicionário:
Percentagem:
[Do lat. per centum, ‘por cento’, + -agem2; ingl. 
percentage.]
Substantivo feminino.
1. Parte proporcional calculada sobre uma quanti-
dade de 100 unidades: Aumentou a percentagem de 
alunos dos cursos de inglês.
As duas formas: “percentagem” ou “porcentagem” 
podem ser utilizadas, a última está aportuguesada.
Seu significado é a quantidade do fenômeno estudado 
ou identificado, que ocorre num grupo de 100 elementos. 
Por exemplo, 30 % significam que ocorrem 30 em cada 
100 elementos do fenômeno em questão ou, ainda, foram 
identificadas 30 ocorrências em cada grupo de 100.
A porcentagem é apenas uma forma de represen-
tação dos números, veja o quadro comparativo abaixo 
onde há algumas das representações possíveis de um 
número qualquer.
rEPrESEntAçõES numériCAS
Forma decimal Forma fracionária Forma percentual
0,30 30
100
30%
0,05 5
100
5%
2,00 200
100
200%
A utilização do formato percentual se deve ao fato 
deste dar mais clareza a ideia do que está acontecendo 
com o fenômeno. Em outras palavras, ao se lidar com valo-
res muito grandes, é muito mais fácil compreender o que 
está ocorrendo expressando-se em termos de percentual.
Exemplo: no segundo turno de uma determinada 
eleição, a distribuição dos votos ficou conforme a tabela 
abaixo:
DiStribuição DE VotoS: SEGunDo turno 
CAnDiDAtoS A E b
Candidatos Votos: valores absolutos Votos (%)
A 1.245.322 54,02%
B 1.025.324 44,48%
Nulos, brancos e inválidos 34.567 1,50%
Totais 2.305.213 100 %
Note que utilizando somente os valores absolutos 
(coluna central), não se tem uma ideia clara de como foi 
a margem de vitória do candidato A sobre o candidato 
B. Já, ao se utilizar a representação percentual (última 
coluna), essa informação se torna evidente.
O cálculo é realizado simplesmente com a multipli-
cação do valor pela porcentagem, exemplo:
30 % de 200 = 200 × 30% = 200 × 30
100
 =200 × 
0,30 = 60
 1.2 Cálculos de acréscimos 
e descontos
Existem algumas maneiras de se abordar proble-
mas envolvendo acréscimos e descontos, será utilizado 
o uso de fórmulas e delas serão derivadas algumas 
regras práticas.
Primeiramente, será apresentada a nomenclatura 
utilizada:
Acréscimos ou descontos sucessivos: um percen-
tual é aplicado após o outro.
Acréscimos ou descontos simultâneos: ao mesmo 
tempo, somam-se os percentuais e se aplica esse resul-
tado no cálculo.
Variáveis:
GESTãO EM FINANçAS EMPRESARIAIS
| 2 |
i = % de acréscimo em notação decimal (30% = 
0,30).
P
0
 = Preço original sem acréscimo ou desconto.
P
A
 = Preço com aumento.
P
D
 = Preço com desconto.
Nos cálculos de acréscimos, pode-se usar a fór-
mula abaixo:
P
A
 = P
O 
(1 + i) 
Nos cálculos de descontos pode-se usar a fórmula 
abaixo:
P
D
 = P
O
 (1 – i)
Nesses problemas é importante identificar se está 
se lidando com acréscimos ou descontos para, dessa 
forma, se utilizar corretamente as fórmulas. Um erro 
comum, por exemplo, é confundir a retirada de um 
acréscimo em um determinado preço, com a aplicação 
de um desconto.
Exemplo 1: Problemas de acréscimo
Um atacadista quando vende a varejo cobra 25% a 
mais sobre os preços marcados em suas mercadorias.
Quanto cobra para vender no varejo uma mercado-
ria cujo preço marcado é de R$ 45,00?
Qual o preço marcado em uma mercadoria que é 
vendida no varejo por R$ 18,45?
Solução do item a:
Esse item é bastante trivial, após uma correta inter-
pretação sabe-se que o preço no varejo é 25% mais 
caro, ou seja, trata-se de um problema de acréscimo.
Deve-se utilizar a fórmula: P
A
 = P
O
 (1 + i), em que:
P
A
 = é o preço que se está procurando, ou seja, o 
preço acrescido de 25%.
P
O
 = é o preço original, no caso, sem acréscimo, 
que foi fornecido R$ 45,00 (preço marcado).
i = é a taxa de acréscimo, também fornecida (25%), 
lembrando que nas fórmulas deve-se utilizar a notação 
decimal 25% = 
25
100 = 0,25.
Tem-se assim:
P
A
 = P
O 
(1 + i)
P
A
 = 45 (1 + 0,25)
P
A
 = 45 (1,25)
P
A
 = 56,25
resposta: R$ 56,25 é o preço no varejo com 
25% de acréscimo.
Observe que independente de qual seja o P
O
, em 
todos os casos como este, o P
O
 seria multiplicado por 
(1 + i). Mais à frente será vista uma regra prática prove-
niente dessa propriedade.
Solução do item b:
Agora sim tem-se uma situação não trivial. Com a 
correta interpretação do enunciado, verifica-se que o preço 
R$ 18,45 já possui o acréscimo de 25%, e o que é pergun-
tado trata-se do P
O
. Assim tem-se novamente um problema 
de acréscimo. não é um problema de desconto.
PA = PO (1 + i)
18,45 = PO (1 + 0,25)
PO = 
18,45
1,25 
PO = 14,76
resposta: R$ 14,76 é o preço original (preço 
marcado) sem 25% de acréscimo.
Observe que independente de qual seja o P
A
, em 
todos os casos como este o P
A
 será dividido por (1 + i). 
Novamente se encontrará uma regra prática proveniente 
dessa propriedade.
um erro comum no cálculo de porcenta-
gens:
Repare no procedimento abaixo:
Será aplicado 30% de acréscimo a um preço de 
R$ 100,00 
MATEMáTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAçõES NA EMPRESA
| 3 |
R$ 100,00 130 = 100 (1 + 0,30) R$ 130,00
Para fazer o cálculo inverso utiliza-se:
R$ 100,00 100 = 100 
130
(1 + 0,30) 
 R$ 130,00
O erro comum é calcular 30% de R$ 130,00, o 
que resulta R$ 39,00 e depois subtrair de R$ 130,00 
obtendo R$ 91,00 e não R$ 100,00.
A conta feita acima, que está incorreta, é equiva-
lente à aplicação da fórmula de desconto:
P
D 
= P
O 
(1 – i)
91 = 130 (1 – 0,30)
O erro reside em confundir “retirar acréscimo”, 
que é o caso em questão, com “aplicar desconto”, 
conforme foi mencionado.
Com base no que foi visto, pode-se utilizar o quadro 
resumo abaixo, com algumas regras práticas:
tEnho QuEro FAço
oPErAção 
DE:
P
O PA
Multiplico P
O
 por (1 + i) Acréscimo
P
A
P
O Divido PA por (1 + i)
Acréscimo
P
O
 e P
A
I (P
A
/P
O
) -1 Acréscimo
P
O
P
D
Multiplico P
O
 por (1 – i) Desconto
P
D
P
O
Divido P
D
 por (1 – i) Desconto
P
O
 e P
D
I 1 – (P
D
/P
O
) Desconto
observações: “i” em notação decimal (i = 
30% uso 0,30)
Solução do item “a” pela regra prática:
Multiplica-se P
O
 por (1 + i), R$ 45,00 vezes 1,25 
= R$ 56,25
resposta: R$ 56,25.
Solução do item “b” pela regra prática:
Divido P
Apor (1 + i), R$ 18,45 dividido por 1,25 
= R$ 14,76
resposta: R$ 14,76.
Nesse mesmo item b, supõe-se que P
A
 = R$ 18,45 
e P
O
 = R$ 14,76 e é perguntada a taxa de acréscimo. 
Pode-se utilizar:
(P
A
/P
O
) –1 = 
 
  
18,45
14,76
 – 1 = 0,25 que em per-
centual é 25%.
resposta: Taxa de 25%.
Para finalizar, será resolvido um problema de des-
conto:
Exemplo 2: problema de desconto
Uma loja está oferecendo 5% de desconto no 
pagamento à vista.
Se o preço de determinado modelo de gela-a | 
deira é R$ 700 reais sem desconto, qual o 
valor se pago à vista?
Nessa loja, uma geladeira à vista custa b | 
R$ 680,00, qual será o valor sem o des-
conto?
Solução do item a:
A correta interpretação do enunciado mostra que 
se trata de um problema de desconto, e para resolvê-lo 
serão utilizadas as regras práticas:
tEnho QuEro FAço
oPErAção 
DE:
P
O
P
D
Multiplica-se Po por (1 – i) Desconto
P
O
 = R$ 700,00
i = 5% = 5/100 = 0,05
700 x (1 – 0,05) = 700 x 0,95 = R$ 665,00
resposta: o valor à vista é de R$ 665,00.
Solução do item b:
tEnho QuEro FAço
oPErAção 
DE:
P
D
P
O
Divide-se P
D
 por (1 – i) Desconto
P
D
 = R$ 680,00
i = 5% = 
5
100 = 0,05
680 dividido por (1 – 0,05) = 
680
0,95 = 
R$ 715,79
reposta: o valor sem desconto é de R$ 715,79.
GESTãO EM FINANçAS EMPRESARIAIS
| 4 |
 2 . Fluxo de caixa
Fluxo de caixa consiste no conjunto de entradas e saídas de dinheiro, que é chamado de caixa, ao longo de 
determinados períodos de tempo. Dessa forma, os fluxos de caixa podem representar as operações realizadas 
com o dinheiro, como:
controle do caixa das empresas; x
controle de investimentos; x
desenvolvimento de projetos; x
operações financeiras; x
controle de gastos pessoais. x
 2.1 Representação gráfica
A representação de um fluxo de caixa pode ser feita por meios de tabelas, quadros ou gráficos, o que visual-
mente dá uma ideia clara do processo.
Existem algumas convenções para representação do fluxo de caixa, será adotada a convenção abaixo:
Todas as entradas de caixa são representa-
das com setas para cima, com sinal positi-
vo, na data t.
tempo (n)
(–) saídas
(+) entradas
Todas as saídas de caixa são representadas 
com setas para baixo, com sinal negativo, 
na data t.
No eixo horizontal é representado o tempo subdividindo-o em intervalos unitários e iguais (dia, mês, x
trimestre, ano, etc.).
Obviamente, se houver pagamentos e recebimentos (entradas e saídas) num mesmo ponto, poder-se-á x
representar somente a diferença entre os dois.
Exemplos:
Um banco concede um empréstimo de R$ 900,00 a um cliente para pagamento em 5 prestações mensais 
iguais de R$ 200,00. O primeiro pagamento se dá após o primeiro mês. Represente graficamente o fluxo de caixa.
Do ponto de vista do banco tem-se:
R$200,00
R$900,00
Meses
R$200,00 R$200,00 R$200,00 R$200,00
1
0
2 3 4 5
Do ponto de vista do cliente tem-se:
MATEMáTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAçõES NA EMPRESA
| 5 |
R$200,00
R$900,00
Meses
R$200,00 R$200,00 R$200,00 R$200,00
1
0
2 3 4 5
 3 . Alguns conceitos da 
matemática financeira
Um dos principais objetivos da matemática finan-
ceira é a análise de fluxos de caixa, levando em conta 
as taxas de juros e descontos aplicadas, considerando, 
dessa forma, o valor do dinheiro no tempo.
Abaixo alguns conceitos que devem ser observa-
dos dentro da matemática financeira:
Para a matemática financeira, uma quantia na x
data de hoje é diferente dessa mesma quantia 
em qualquer outra data, exemplo: R$ 100,00 
hoje não são iguais a R$ 100,00 na semana 
passada. Isto é devido ao fato do dinheiro 
crescer ou decrescer ao longo do tempo em 
função das taxas de juros e descontos.
Na matemática financeira, somente se pode x
operar (somar, subtrair, etc.) e comparar 
valores que estão numa mesma data.
Se os valores estão em datas diferentes, para x
poder compará-los e operar com os mes-
mos, estes devem ser movimentados para 
uma mesma data, com a aplicação das taxas 
de juros ou descontos em questão.
A matemática financeira tem uma nomenclatura 
própria, esta pode variar um pouco de autor para 
autor. Nestes estudos serão adotados:
Capital: qualquer valor expresso em moeda e 
disponível em determinada data.
Capital inicial, principal ou valor pre-
sente: quantidade de valor expresso em moeda, 
disponível para se iniciar uma aplicação ou transação 
financeira qualquer. 
montante ou valor futuro (nominal): soma 
do capital inicial mais os juros referentes ao período.
Juros: valor em moeda referente à remuneração 
do capital. Também pode ser entendido como custo 
do capital no tempo ou, ainda, o aluguel pago pelo 
empréstimo de um capital.
taxa de juros: são os juros expressos em 
percentual que sempre se refere a uma unidade de 
tempo (ano a.a., semestre a.s., trimestre a.t., mês 
a.m., dia a.d.). Exemplos:
2% a.a. = dois por cento ao ano.
0,6% a.m. = zero vírgula seis por cento ao mês.
1% a.s. = um por cento ao semestre.
 3.1 Regime de Capitalização 
Simples
 3.1.1 Juros Simples
Conceitos:
Regime de Capitalização Simples: a taxa de juros 
de um determinado período incide somente sobre o 
capital inicial e não sobre os juros acumulados até o 
período em questão.
Observações: essa taxa de juros simples varia line-
armente em função do tempo, ou seja, para se transfor-
mar a taxa diária em mensal, basta multiplicar por 30, e 
esta última em anual, basta multiplicar por 12.
Fórmulas: 
FV = valor futuro (FV em inglês) ou montante.
PV = valor presente (PV em inglês) ou capital inicial.
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| 6 |
J = juros.
i = taxa de juros expressa em notação decimal (em 
inglês interest).
n = prazo ou período que o capital ficou aplicado.
Observação: i e n devem estar compatíveis, ou 
seja, se n é o período em meses a taxa i deve estar 
ao mês a.m.
J = PV×i×n = FV – PV
FV = PV + J
FV = PV (1 + in)
Observação: taxa “i” em representação decimal: 
30% = 0,30, 0,5% = 0,005.
Exemplo:
Considera-se a seguinte aplicação:
PV R$ 1.000,00 
I 0,6% = 0,006
N 12 meses
Pode-se construir a seguinte tabela para acompa-
nhar a evolução da aplicação:
mêS VALor no iníCio Do mêS JuroS Ao mêS VALor APóS PAGAmEnto
1 R$ 1.000,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.006,00 
2 R$ 1.006,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.012,00 
3 R$ 1.012,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.018,00 
4 R$ 1.018,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.024,00 
5 R$ 1.024,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.030,00 
6 R$ 1.030,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.036,00 
7 R$ 1.036,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.042,00 
8 R$ 1.042,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.048,00 
9 R$ 1.048,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.054,00 
10 R$ 1.054,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.060,00 
11 R$ 1.060,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.066,00 
12 R$ 1.066,00 R$ 1000,00 × 0,6% = R$ 6,00 R$ 1.072,00 
Os juros, no caso de R$ 6,00 ao mês, foi calculado 
em cima do capital inicial e é mantido durante todo o 
período da aplicação, o que causa um comportamento 
linear na evolução da aplicação. Os juros totais são, 
portanto, de J = FV – PV = 1072,00 – 1000,00 = 
R$ 72,00 ou, ainda:
J = PV × i × n = 1000 × 0,006 × 12 = 
R$ 72,00.
Graficamente esse comportamento linear se torna 
mais evidente:
MATEMáTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAçõES NA EMPRESA
| 7 |
Figura 1. Valor no início do mês.
R$1.080,00
R$1.060,00
R$1.040,00
R$1.020,00
R$1.000,00
R$980,00
R$960,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
No mercado financeiro tem-se a preferência de 
uso do regime de capitalização composto que será visto 
mais adiante.
Exemplo 1:
Qual o montante da aplicação da quantiade R$ 
600,00, a juros simples com taxa de 2,5% ao mês no 
final de 1 ano e 3 meses?
Solução:
O primeiro cuidado é de fato identificar que se trata de 
um regime de capitalização simples. Essa informação deve 
estar clara no enunciado ou no contexto em questão.
Tem-se, portanto:
FV = PV (1 + in)
PV = R$ 600,00
i = 2,5 % ao mês
n = 1 ano e 3 meses
Deve-se transformar 2,5% em decimal: 
2,5
100 = 
0,025.
A taxa ‘i’ e o período ‘n’ devem estar compatíveis, 
aqui o mais indicado é transformar ‘n’ em meses: 1 ano 
e 3 meses = 12 + 3 = 15 meses.
Agora aplica-se a fórmula:
FV = 600 (1 + 0,025 × 15) 
FV = 600 (1 + 0,3750)
FV = 600 (1,3750)
FV = R$ 825,00 
Outra maneira de resolver seria calcular os juros 
do período e somá-lo ao capital inicial (valor presente), 
pois o valor futuro ou montante também é dado pela 
expressão: FV = PV + J
J = PV × i × n = 600 × 0,025 × 15 = 
R$ 225,00
FV = 600 + 225 = R$ 825,00
resposta: o montante no final dessa aplicação é 
de R$ 825,00.
Exemplo 2:
Um empréstimo de R$ 750,00 foi pago em 8 meses 
depois de contraído. Os juros pagos pelo empréstimo 
foram de R$ 60,00. Sabendo-se que os cálculos foram 
feitos usando juros simples, qual foi a taxa de juros?
Solução:
Regime de capitalização simples:
GESTãO EM FINANçAS EMPRESARIAIS
| 8 |
FV = PV + J = 750 + 60 = R$ 810,00
PV = 750
i = ?
n = 8 meses
FV = PV (1 + in)
810 = 750 (1 + i × 8)
810
750 = 1 + 8 × i
1,080 = 1+8 × i
1,080 – 1 = 8 × i
0,080 = 8 × i
0,080
8 = i
i = 0,010 colocando em forma de % temos: 0,010 
x 100 = 1%
resposta: a taxa de juros dessa transação foi de 
1%.
 3.2 Descontos simples
Conceito
Desconto deve ser entendido como a diferença 
entre o valor futuro de um título e o seu valor atual na 
data de operação.
D = FV – PV 
Enquanto a taxa de juros incide no valor presente 
de uma transação financeira a taxa de desconto pode 
incidir tanto sobre o valor futuro, como também sobre o 
valor presente da referida transação. O que define em 
qual valor ele é aplicado depende do tipo de desconto, 
que pode ser racional ou bancário.
O desconto é utilizado quando um determinado título 
ou dívida precisa ser liquidado antes do prazo final pre-
viamente acordado. Numa transação financeira, a taxa de 
juros e a taxa de desconto podem ser diferentes, por isso 
deve-se ficar atento ao que está estabelecido no contrato.
Não se deve confundir “desconto” valor monetário 
com a “taxa de desconto” em percentual.
Desconto por dentro ou racional (Dd)
A taxa utilizada para esse tipo de desconto é a pró-
pria taxa de juros. Esse tipo de desconto rara-
mente tem sido utilizado no mercado brasileiro.
importante:
A taxa incide sobre o valor presente, nesse caso 
valor de resgate.
Para o cálculo do desconto racional, pode-se utili-
zar as seguintes fórmulas:
FV = valor futuro ou valor nominal do título.
PV = valor presente, no caso, valor de resgate (valor 
do título no dia do resgate).
i = taxa de juros, taxa de desconto por dentro ou, 
ainda, taxa de rentabilidade.
n = prazo ou período que falta para o vencimento 
do título.
D
d
 = PV
 
×
 
i
 
×
 
n
Repare que a fórmula é a mesma para o cálculo 
dos juros simples.
Na prática, o PV é a incógnita, pois tem-se um 
título com Valor Futuro e gostar-se-ia de saber quanto 
se pagaria por ele se fosse quitado hoje. Usa-se, então, 
a seguinte relação para obtê-lo:
Dd = FV 
in
1 + in
As seguintes fórmulas também podem ser usadas 
quando forem mais adequadas ou facilitem os cálculos.
D
d
 = FV – PV 
PV= 
FV
1 + in
 = ×  
FV 1
i – 1 
PV n
Observação: taxa i em representação decimal (30% 
= 0,30), nesse caso o PV é o valor do título no dia do 
resgate.
MATEMáTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAçõES NA EMPRESA
| 9 |
Exemplo 1:
Determinar o valor da taxa mensal de des-1 | 
conto “por dentro” usada numa operação de 
desconto de 60 dias de um título cujo valor 
nominal é R$ 10.000,00 e cujo valor pago no 
dia do resgate foi de R$ 9.750,00.
Solução:
O primeiro passo é identificar no enunciado ou 
no contexto do problema qual o tipo de desconto está 
sendo praticado. Nesse problema está claro que o des-
conto é por dentro ou racional.
tem-se:
FV = R$ 10.000,00
PV = R$ 9.750,00
n = 60 dias, mês comercial 30 dias, portanto, 
tem-se 2 meses. 
i = é o que está sendo pedido.
Pode-se calcular o desconto: Dd = FV – PV, e 
depois usar a fórmula:
Dd = PV
 
×
 
i
 
×
 
n de onde se obtém “i”.
Dd = 10.000 – 9.750 = 250
250 = 9750
 
×
 
i
 
×
 
2
i = 250 / (9750
 
×
 
2)
i = 
250
19.500 
i = 0,0128 em percentual 0,0128 × 100 = 
1,28 % ao mês
resposta: A taxa mensal de desconto é de 
1,28% a.m.
observações:
Não se deve esquecer que todas as taxas x
devem ser expressas com o período, nesse 
exemplo a.m.
O critério de arredondamento utilizado é traba- x
lhar com todas as casas decimais da HP 12c 
e somente no resultado final apresentá-lo com 
duas casas decimais, desprezando a partir da 
terceira casa.
Desconto por fora ou comercial (Dc)
Desconto “comercial” ou “por fora” é a modalidade 
de desconto frequentemente usada no mercado. 
No desconto comercial há uma taxa, denominada taxa 
de desconto, que incide sobre o valor futuro ou nominal 
do título trazendo-o para o valor presente que é a data 
na qual se deseja liquidar o título.
importante:
Para essa modalidade, a instituição normalmente 
pratica uma taxa de desconto (d) diferente da taxa de 
juros (i) para a transação financeira em questão.
Essa taxa de desconto “d” incide sobre o valor 
futuro ou nominal do título.
Pode-se utilizar a seguinte fórmula para o cálculo:
FV = valor futuro.
PV = valor presente, no caso, valor de resgate 
(valor do título no dia do resgate).
d = taxa de desconto comercial.
n = prazo ou período que falta para o venci-
mento do título.
D
c
 = FV
 
×
 
d
 
×
 
n
No cálculo dos descontos comerciais, as seguin-
tes fórmulas também podem ser usadas quando forem 
mais adequadas.
PV = FV(1 – dn)
 = − ×  
FV 1
d 1 
PV n
Dc = FV – PV
Exemplo 1: 
Qual é o valor do desconto “por fora” de um 1 | 
título com valor nominal de R$ 2.000,00, com 
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao 
mês?
GESTãO EM FINANçAS EMPRESARIAIS
| 10 |
Solução:
Primeiramente, deve-se identificar o tipo de des-
conto, no caso está claro que se trata de desconto “por 
fora” ou comercial.
tem-se:
FV = R$ 2.000,00
n = 90 dias, considerando mês comercial de 30 
dias tem-se 3 meses.
d = 2,5 % a.m., em notação decimal 
2,5
100
 = 0,025
Dc = é o que se está procurando.
Utiliza-se:
Dc = FV × d × n
Dc = 2000 × 0,025 × 3 = R$ 150,00
resposta: O valor do desconto é de R$ 150,00.
Exemplo 2:
Qual a taxa mensal de desconto “por fora” utili-2 | 
zada numa operação a 120 dias, cujo valor de 
resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é 
de R$ 800,00?
Solução:
É necessário acostumar-se com a nomenclatura e as 
expressões utilizadas nos problemas de matemática finan-
ceira. Nesse contexto, o valor de resgate é o Valor Futuro 
e o valor atual é o Valor Presente. Note que, apesar de não 
estar explícito, estas são as únicas opções possíveis.
Pode-se efetuar o cálculo de duas formas:
tem-se:
FV = R$ 1.000,00
PV = R$ 800,00
N = 120 dias, mês comercial de 30 dias, 
tem-se 4 meses
d = é o que está sendo solicitado.
1ª forma:
Dc = FV – PV e Dc=FV × d × n
Dc = 1.000 – 800 = R$ 200,00
200 = 1.000 × d × 4
d = 
200
4000
d = 0,05, em percentual temos 5% a.m. 
(0,05 × 100).
resposta: a taxa mensal de desconto é de 5% a.m.
2ª forma:
Pode-se usar diretamente a fórmula:
 = − ×  
FV 1d 1 
PV n
   = − ×      
800 1
d 1 
1000 4
d = 0,05, em percentual temos 5% a.m. 
(0,05 × 100).
 4 . Relação ente as taxas 
de descontos simples 
“racional” e “comercial”
Como já foi observado existem diferenças ente os 
descontos por dentro e por fora. Abaixo será mostrado 
como esses descontos podem ser relacionados:
d
1 – d . n
1 = e
i
1 – d . n
d = 
Em que:
i = é a taxa de desconto racional.
d = é taxa de desconto comercial. 
Exemplo comparativo:
Um título, com valor nominal de R$ 7.000,00, foi 
descontado 3 meses antes do seu vencimento.
Calcula-se o Valor Presente do título considerando 
desconto “racional” e “comercial” utilizando a mesma 
taxa de mercado de 7% a.m.
MATEMáTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAçõES NA EMPRESA
| 11 |
PV = 
FV
1 + in
 PV = 
7000
1 + 0,07 × 3
 = 
R$ 5.785,12com desconto “racional”.
PV = FV (1 – dn) = 7000 (1 – 0,07 × 3) = 
R$ 5.530,00 com desconto “comercial”.
Para a mesma taxa, a metodologia de cálculo racio-
nal dá um desconto simples maior. Deve-se ficar atento 
aos contratos.
Será calculado agora quanto deveria ser a taxa de 
desconto racional ‘i’ para produzir um Valor Presente de 
R$ 5.530,00.
   = − × − ×      
FV 1 7000 1
d 1 = 1
PV n 5530,90 3
0,0886 = 8,86%
Repare, portanto, como ficam as taxas para se 
obter o mesmo valor de PV e FV:
d = 7%
i = 8,86%
7000
5530
Confirmando as fórmulas:
   = =   + + ×   
d 0,07
i = 0,0886
1 in 1 0,07 3
   = =   + + ×   
i 0,0886
d = 0,07
1 in 1 0,0886 3
Exemplo 1:
Um título com 39 dias a decorrer está sendo 1 | 
negociado com uma rentabilidade (racional) de 
1,20% ao mês. Assumindo o ano comercial 
com 360 dias, determinar a taxa anual de des-
conto comercial que corresponda a essa taxa 
de rentabilidade.
Solução:
Aplicando a fórmula:
n = 
39
360
 período proporcional ao ano (39 dias em 
360).
i = 1,20% a.m., como se está trabalhando com 
capitalização simples pode-se utilizar 1,20% a.m. vezes 
12 meses produz 14,40 % a.a.
 
  = =  +   + ×  
i 0,1440
d = 0,0886
391 in 1 0,1440
360
d = 0,14178 em percentual 14,17% ao ano.
resposta: a taxa anual de desconto comercial é 
de 14,17% a.a.
 5 . Regime de Capitalização 
Composto: Juros, 
Descontos e Taxas
 5.1 Juros Compostos
Os juros compostos são a mais poderosa 
invenção humana.
(EINSTEIN apud HALFELD, 2007, p.111)
GESTãO EM FINANçAS EMPRESARIAIS
| 12 |
Conceito
Capitalização composta: a taxa de juros de um determinado período incide sobre o capital inicial mais os 
juros acumulados até o período em questão.
No exemplo abaixo, o capital inicial de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos de 17% em três períodos. 
17%R$2.000,00 17%R$2.340,00 17%R$2.737,80 R$3.203,22
 6 . Ferramentas para a realização dos cálculos
A partir de agora, os cálculos começam a ficar um pouco mais sofisticados. É recomendado o uso de 
calculadoras financeiras ou mesmo uma planilha eletrônica, essas ferramentas facilitam em muito as operações 
matemáticas. Quando se utiliza uma calculadora convencional, deve-se usar o recurso de logaritmos e de expo-
nenciação para a solução dos problemas, isto torna os cálculos um pouco mais trabalhosos.
Neste curso serão dados exemplos utilizando a calculadora HP 12c e a planilha eletrônica Excel. Quem não 
possuir a calculadora HP12c pode fazer o download de um emulador que pode ser usado no PC. Existem vários 
emuladores de uso livre e também versões de demonstração, basta fazer uma pesquisa em qualquer site de 
busca usando a palavra-chave: emulador HP 12c, e escolher o mais apropriado.
Na sala de aula está disponível a planilha “Funções Financeiras”, na qual já estão preparadas as fórmulas 
para os cálculos vistos no curso. 
 7 . Capitalização simples X Capitalização composta
Observe na tabela abaixo a comparação de dois investimentos, um com a capitalização simples e outro com 
a capitalização composta.
PV R$ 1.000,00
I 20,00% a.a. 
N 6 anos
rEGimE DE CAPitALizAção SimPLES rEGimE DE CAPitALizAção ComPoSto
Ano PV
 Juros 
simPles 
montAnte PV
Juros 
ComPostos
montAnte
1 R$ 1.000,00 R$ 200,00 R$1.200,00 R$ 1.000,00 R$ 200,00 R$1.200,00 
2 R$ 1.000,00 R$ 200,00 R$ 1.400,00 R$ 1.200,00 R$ 240,00 R$ 1.440,00 
3 R$ 1.000,00 R$ 200,00 R$ 1.600,00 R$ 1.440,00 R$ 288,00 R$ 1.728,00 
4 R$ 1.000,00 R$ 200,00 R$ 1.800,00 R$ 1.728,00 R$ 345,60 R$ 2.073,60 
5 R$ 1.000,00 R$ 200,00 R$ 2.000,00 R$ 2.073,60 R$ 414,72 R$ 2.488,32 
6 R$ 1.000,00 R$200,00 R$ 2.200,00 R$ 2.488,32 R$ 497,66 R$ 2.985,98 
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| 13 |
Graficamente pode-se observar com mais ênfase a diferença entre os dois modelos de capitalização.
R$ 10.000,00
Simples
Composto
Capitalização Simples x Composta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R$ 9.000,00
R$ 8.000,00
R$ 7.000,00
R$ 6.000,00
R$ 5.000,00
R$ 4.000,00
R$ 3.000,00
R$ 2.000,00
R$ 1.000,00
R$ –
 8 . Capitalização mista
Somente para períodos de capitalização entre 0 (zero) e 1 (um) unidades de tempo quaisquer, o 
regime de capitalização simples produz rendimento maior que o regime de capitalização composto. 
Vide o gráfico abaixo:
montante no regime de juros 
compostos300.000
200.000
100.000
montante no regime de juros 
simples
FV
n4 321
Quando o cálculo dos juros para a parte inteira do período é feito no regime de juros compostos e o da parte 
compreendida entre 0 e 1 períodos é feito no regime de juros simples, diz-se que o montante ou Valor Futuro 
correspondente foi calculado no regime de capitalização mista. É preciso observar com cuidado os contratos, 
com esse tipo de capitalização, o credor é favorecido em todos os casos.
Fórmulas: 
FV = valor futuro
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| 14 |
PV = valor presente 
J = juros
i = taxa de juros expressa em notação decimal (em 
inglês interest)
n = prazo ou período que o capital ficou aplicado 
Observação: i e n devem estar compatíveis, ou 
seja, tem-se duas opções:
ou passa-se x n para a mesma unidade de 
tempo de i.
ou passa-se x i para a mesma unidade de 
tempo de n.
FV = PV (1 + i)n
Os juros compostos possuem um crescimento 
exponencial, dessa forma a capitalização ocorre de 
maneira bem mais “rápida” do que a dos juros simples.
Observação: taxa “i” em representação decimal, 
exemplo: 30% = 0,30, 5% = 0,05.
A calculadora HP traz as teclas necessárias para 
essas operações, tornando os cálculos bastante simples.
Localize em sua calculadora (parte superior 
esquerda) as teclas: n, i, PV, FV, F, Fin e CLX (vide figura 
abaixo). Para o cálculo de juros compostos na HP devem 
ser observados os detalhes abaixo:
PV e FV devem ser introduzidos com sinal con- x
trário, pois seguem o padrão de fluxo de caixa.
“i” deve ser introduzido em notação percen- x
tual, ou seja, para 30% deve-se digitar 30, 
para 5% devemos digitar 5.
Nos cálculos de “n”, a calculadora HP 12c x
sempre arredonda o valor do período “n” para 
o primeiro número inteiro superior ao valor fra-
cionário encontrado.
Exemplo 1:
Determinar o valor acumulado no final de 6 anos, no 
regime de juros compostos, com uma taxa de 10% ao 
ano, a partir de um investimento inicial de R$ 1.000,00.
Solução usando hP 12c:
Basicamente serão utilizadas as teclas: PV, FV, i e n.
Tem-se então:
FV= é o que está sendo pedido
PV = R$ 1.000,00
i = 10%
n = 6 anos
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| 15 |
Os dados PV, i, n podem ser digitados em qualquer ordem, deve-se, porém, digitar primeiro o valor e depois 
a tecla correspondente e, por último, aperta-se a tecla que se deseja calcular, no caso FV.
Sequência de digitaçãona HP:
DiGitAr VALor tECLAr Função
F Habilita as funções em laranja
FIN Limpa os registradores financeiros
CLX Limpa o registrador X: visor
1000 PV Lançar o PV
10 I Lançar a taxa
6 N Lançar o período
 FV Solicitar o cálculo do FV
 -1.771,56 Resultado no visor
resposta: o valor acumulado será de R$ 1.771,56.
Observações:
As três primeiras teclas servem para limpar os registradores e o visor. x
Na HP, o valor de i deve ser digitado no formato percentual, no caso “10” e não na forma decimal x
“0,10”.
Caso o PV fosse digitado com sinal de “–”, o FV seria calculado com sinal de “+”. Lembre-se que o x
sinal, nesse caso, se trata apenas da convenção de fluxo de caixa representando entrada (+) ou saída 
(–).
Solução usando Excel (versão 2007):
No Excel deve-se localizar o menu de fórmulas e dentro deste localizar o opção “financeira”. Será utilizada 
a função VF (valor futuro em português).
Basta digitar as informações disponíveis e o cálculo já é realizado. Repare que a taxa deve ser digitada no 
formato decimal 10% = 0,10.
Clicando em “OK”, o resultado é transportado para a célula.
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| 16 |
Para organizar os cálculos, é interessante ao invés de digitar os valores na fórmula, colocá-los em células do 
Excel e na fórmula indicar a célula correspondente. Assim basta trocar esses valores para efetuar qualquer outro 
cálculo de valor futuro, veja abaixo como ficaria:
 
Solução usando fórmula geral:
Nesse caso, o uso da fórmula é bastante simples requisitando apenas o cálculo de um expoente:
FV = PV (1 + i)n
FV = 1000 (1 + 0,10)6
FV = 1000 (1,10)6 – você deve usar a função exponencial de sua calculadora, normalmente a tecla yx.
FV= 1000 (1,771561)
FV = R$ 1.771,56
resposta: o valor acumulado será de R$ 1.771,56.
Exemplo 2:
Uma pessoa deposita uma quantia em uma aplicação a taxa de 2% ao mês. Em quantos meses essa quantia 
depositada triplica?
resposta: 56 meses (55,48)
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| 17 |
Solução usando hP 12c:
Tem-se:
PV = 1
FV = 3
i = 2% a.m.
n = é o que esta sendo pedido
Repare que PV e FV podem assumir qualquer valor desde que FV seja o triplo de PV.
Sequência de digitação na HP:
DiGitAr VALor tECLAr Função
F Habilita as funções em laranja. 
FIN Limpa os registradores financeiros.
CLX Limpa o registrador X: visor.
1 PV Lançar o PV.
3 CHS CHS troca sinal do 3.
FV Lançar o FV (sinal contrário de PV).
2 I Lançar a taxa.
N Solicitar o cálculo do período.
 56 Resultado no visor.
resposta: a quantia triplica em 56 meses.
Solução usando Excel (versão 2007):
Será utilizada a função financeira “NPER”.
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Obs.: Lembre-se que na HP o resultado é arredon-
dado (56 meses).
Solução usando fórmula geral:
FV = PV (1 + i)n
3 = 1 (1 + 0,02)n
3 = 1 (1,02)n
3 = 1,02n
Para resolver essa equação deve-se utilizar loga-
ritmos:
log 3 = log 1,02n (usa-se a propriedade na qual o 
expoente desce multiplicando o logaritmo).
log 3 = n × log 1,02
log 3
n = 
log 1,02
n = 55,48 meses
resposta: a quantia triplica em 55,48 meses (56 
meses na HP).
 9 . Taxas
 9.1 Taxas proporcionais
O conceito de taxas proporcionais está relacionado 
com o cálculo de juros simples.
Taxas de juros fornecidas em diferentes unidades 
de tempo são proporcionais se produzem o mesmo 
valor futuro nas seguintes condições:
quando aplicado o mesmo capital inicial; x
durante um mesmo prazo. x
No regime de juros simples a variação é linear, por-
tanto, os cálculos ficam elementares como no exemplo 
que segue, considerando o ano comercial com 360 dias:
i
a
 = i
s
 × 2 = i
t
 × 4 = i
m
 × 12= i
d
 × 360
Exemplos:
2% a.m. = 12% a.s. = 24% a.a.
 9.2 Taxas equivalentes
Essas taxas, por sua vez, estão ligadas aos cálculos 
e juros compostos.
Taxas de juros fornecidas em diferentes unidades 
de tempo são equivalentes se produzem o mesmo valor 
futuro nas seguintes condições:
quando aplicado o mesmo capital inicial; x
durante um mesmo prazo. x
Para obtê-las deve-se lançar mão das seguintes 
fórmulas:
i
q 
= (1 + i
t
)q/t – 1
i
q
 = taxa para o prazo que eu quero
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| 19 |
i
t
 = taxa para o prazo que eu tenho
q = prazo que eu quero
t = prazo que eu tenho
Ou, ainda:
(1 + i
a
) = (1 + i
s
)2 = (1 + i
t
)4 = (1 + i
m
)12 = (i + 
i
d
)360 
i
a
 = taxa de juros anual
i
s
 = taxa de juros semestral 
i
t
 = taxa de juros trimestral
i
m
 = taxa de juros mensal
i
d
 = taxa de juros diária
 9.3 Taxas proporcionais 
versus taxas 
equivalentes
Repare na tabela a comparação entre a evolução 
das taxas proporcionais e equivalentes:
tAxA EFEtiVAS mEnSAiS
tAxAS AnuAiS ProPorCionAiS 
(JuroS SimPLES)
tAxAS AnuAiS EQuiVALEntES 
(JuroS ComPoStoS)
1,00% 12,00% 12,68%
3,00% 36,00% 42,58%
5,00% 60,00% 79,59%
7,00% 84,00% 125,22%
10,00% 120,00% 213,84%
12,00% 144,00% 289,60%
15,00% 180,00% 435,03%
20,00% 240,00% 791,61%
Mais uma vez percebe-se o crescimento exponen-
cial das taxas equivalentes que estão ligadas aos juros 
compostos.
Exemplo 1:
Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 
65% ao ano.
Solução:
Será utilizada a fórmula i
q 
= (1 + i
t
)q/t – 1
i
q
 = taxa para o prazo que eu quero
i
t
 = 65% a.a. = 0,65
q = 183
t = 360 (ano comercial)
i
q 
= (1 + 0,65)183/360 – 1 (para o cálculo do expo-
ente utilize a função yx de sua calculadora).
i
q 
= (1,65)183/360 – 1 
i
q
 = 0,28989 ou 28,98%
Resposta: a taxa equivalente para 183 dias é de 
28,98%
Na HP faz-se:
GESTãO EM FINANçAS EMPRESARIAIS
| 20 |
DiGitAr VALor tECLAr Função
F Habilita as funções em laranja.
FIN Limpa os registradores financeiros.
CLX Limpa o registrador X: visor.
1,65 enter Lançar o valor 1,65.
183 enter Lançar o valor 183.
360 ÷ Dividir 183 por 360.
 yx Eleva 1,65 ao resultado da divisão. 
1 - Subtrai 1 do resultado.
 0,289894 Resultado no visor em percentual 28,98 %.
Exemplo 2:
Qual a taxa anual acumulada que é equivalente a 
uma taxa de inflação de 7,5 % ao mês?
Solução:
Será utilizada a fórmula i
q 
= (1 + it)q/t – 1
i
q
 = taxa para o prazo que eu quero
i
t
 = 7,5% a.m. = 0,075
q = 12 meses
t = 1 mês 
i
q 
= (1+0,075)12/1 – 1 (para o cálculo do expoente 
utilize a função yx de sua calculadora).
i
q 
= (1,075)12 – 1 
i
q
 = 1,3817 em percentual (x 100) = 138,17%
resposta: a taxa equivalente para 1 ano é de 
138,17%.
Na HP faz-se:
DiGitAr 
VALor
tECLAr Função
F Habilita as funções em laranja.
FIN Limpa os registradores financeiros.
CLX Limpa o registrador X: visor.
1,075 enter Lançar o valor 1,075.
12 yx Eleva 1,075 à 12ª potência.
1 - Subtrai 1 do resultado.
1,3817 Resultado no visor, em percentual, 
138,17%.
 9.4 Taxa nominal e 
taxa efetiva
Será adotada a seguinte nomenclatura:
Taxa bruta: estão incluídas as taxas referentes x
ao IR, taxas administrativas e outras.
Taxa líquida: já foram retiradas as taxas refe- x
rentes ao IR, taxas administrativas e outras.
Taxa nominal: é a taxa de juros que as ins- x
tituições fornecem normalmente em período 
anual. não deve ser usada para cálculos 
financeiros no regime de juros compostos. 
É necessário informar o período de capitaliza-
ção, por exemplo, taxa nominal de 12 % a.a. 
capitalizadas trimestralmente.
Taxa efetiva: essa taxa efetiva vem implícita na x
taxa nominal. Deve ser obtida de maneira pro-
porcional (regime de juros simples).
Exemplos:
tAxA nominAL 
AnuAL
tAxA EFEtiVA não 
CAPitALizADA
12% mensal 1,00% ÷ 12 meses
24% semestral 12,00%÷ 2 semestres
10% trimestre 2,50% ÷ 4 trimestres
18% diária 0,05% ÷ 360 dias
Para uso no regime de capitalização com-
posta, deve-se usar a taxa efetiva capitalizada. 
Para encontrá-la veja o procedimento com o exemplo 
abaixo:
MATEMáTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAçõES NA EMPRESA
| 21 |
Determinar as taxas efetivas anuais (juros compos-
tos) que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao 
ano, com os seguintes períodos de capitalização:
Mensala | 
Trimestralb | 
Semestralc | 
Será utilizada a fórmula: i
q 
= (1 + i
t
)q/t – 1
Taxa efetiva mensal calculada com regime de d | 
juros simples:
i = (9% / 12) = 0,75% ao mês.
Agora será encontrada a taxa efetiva equiva-
lente anual: 
i
12 
= (1 + 0,0075)12/1 – 1 = 0,093807 = 
9,3807% efetiva e anual.
i = (9% / 4) = 2,25% ao trimestre.e | 
i
4 
= (1 + 0,0225)4/1 – 1 = 0,093083 = 
9,3083% efetiva e anual.
i = (9% / 2) = 4,5% ao semestre.f | 
i
2 
= (1 + 0,045)2/1 – 1 = 0,092025 = 
9,2025% efetiva e anual
Observações: mais uma vez é preciso ler atenta-
mente os contratos, muitos deles vêm com a taxa anual 
nominal e como foi visto deve-se convertê-la para uma 
taxa efetiva para poder ter uma ideia exata das taxas de 
juros envolvidas na transação financeira.
 10 . Descontos no Regime 
de Capitalização 
Composto
 10.1 Desconto composto 
“por dentro” ou 
racional 
Analogamente ao desconto “racional” simples, ele é 
calculado sobre o valor atual do título ou valor presente 
(PV). A taxa usada também é a mesma taxa “i”, usada 
na transação.
Portanto, pode-se utilizar as seguintes fórmulas:
D
d
 = FV – PV
PV= 
FV
(1 + i)n
d
1
D = FV 1
(1 )ni
 − + 
 10.2 Desconto composto 
“por fora” ou comercial
Analogamente ao desconto “por fora” simples, é cal-
culado sobre o valor futuro ou nominal do título (FV).
Deve-se utilizar as seguintes fórmulas:
D
c
 = FV – PV
PV = FV (1 – d)n
D
c
 = FV [1 – (1 – d)n]
Exemplo 1:
Considere um título no valor nominal de 
R$ 50.000,00, com prazo de vencimento em 5 meses 
e taxa de desconto composto de 3,5% ao mês. Consi-
derando a mesma taxa, qual o valor do desconto para 
pagamento na data atual nos casos:
Desconto racionala | 
Desconto comercialb | 
Solução:
Será utilizada a fórmula a | 
d
1
D = FV 1
(1 )ni
 − +  em que:
FV = R$ 50.000,00
i = 3,5 % ao mês, em percentual 0,035
n = 5 meses, período que falta para vencer o título
d 5
1
D = 50.000 
(1 0,035)
 
 + 
D
d
 = 50.000 (1 – 0,841973167)
D
d
 = 50.000 (0,158026833)
D
d
 = 7.901,34
GESTãO EM FINANçAS EMPRESARIAIS
| 22 |
resposta: o valor do desconto racional é de R$ 7.901,34.
Na HP faz-se:
DiGitAr VALor tECLAr Função
F Habilita as funções em laranja.
FIN Limpa os registradores financeiros.
CLX Limpa o registrador X: visor.
1,035 Enter Lançar o valor 1,035 = (1+ 0,035).
5 yx Elevar 1,035 a 5ª potência.
1/x Inverter o resultado.
1 Inserir 1 no registrador X.
x<>y Trocar valor do visor com registrador y. 
- Subtrair 1. 
50.000 × Multiplicar por 50.000.
7.901,34 Resultado no visor.
Será utilizada a fórmula D
c
 = FV [1 – (1 – d)n]
D
c
 = 50.000 [1 – (1 – 0,035)5]
D
c
 = 50.000 [1 – (0,965)5]
D
c
 = 50.000 [1 – (0,965)5]
D
c
 = 50.000 [1 – 0,836828701]
D
c
 = 50.000 [0,163171299]
D
c
 = 8.158,56
resposta: o valor do desconto comercial é de R$ 8.158,56
Na HP faz-se:
DiGitAr VALor tECLAr Função
F Habilita as funções em laranja.
FIN Limpa os registradores financeiros.
CLX Limpa o registrador X: visor.
1 Enter
0,035 – Subtrair de 1.
5 xy Elevar a 5ª potência.
1 Inserir 1 no registrador X.
x<>y Trocar valor do visor com registrador y. 
– Subtrair 1.
 50.000 × Multiplicar por 50.000.
8.158,56 8.158,56 Resultado no visor.
MATEMáTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAçõES NA EMPRESA
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BRUNI, A.L.; FAMá, R. matemática das 
finanças com aplicações na hP-12C e 
Excel. São Paulo: At las, 2003.
HALFELD, M. Como administrar melhor seu 
dinheiro. São Paulo: Fundamento, 2007.
HAZZAN, S. matemática financeira. São 
Paulo: Saraiva, 2004.
PUCCINI, A. L. matemática financeira obje-
tiva e aplicada. São Paulo: Saraiva, 2004.
SOBRINHO, J. D. V. matemática financeira. 
São Paulo: Atlas, 1992.
VERAS, L. L. matemática financeira. São 
Paulo: Atlas, 2007.
Referências