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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro EP8 � Gabarito � Métodos Determinísticos I Exercício 1 (AP1 - 2014.1) Na AD2 de Métodos Determinísticos I, composta de duas questões, 560 alunos acertaram somente uma das questões e 310 acertaram a segunda. Sendo que 70 alunos acertaram as duas questões e 275 erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? Solução: Sabemos que a melhor forma de resolver este tipo de questão é começar pelo número de elementos na interseção dos conjuntos existentes. No caso, os conjuntos são: A: conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão; B: conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão. O número de alunos na interseção dos dois conjuntos é 70. Como 310 acertaram a segunda questão e, neste total, também contam os que acertaram a primeira questão, temos que 310-70=240 acertaram apenas a segunda questão. Como 560 alunos acertaram somente uma das questões, temos que 560- 240= 320 acertaram apenas a primeira questão. Finalmente, como 275 erraram a primeira questão e estes podem ter acertado ou errado a segunda questão, temos que 275-240=35 alunos não acertaram nenhuma das questões. Desta forma, 320 + 70 + 240 + 35 = 665 é o número de alunos que fizeram a prova. Abaixo temos o diagrama de Venn relativo a este problema. Exercício 2 (AP1 - 2016.2) Em uma cidade, são vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe- se que 12% da população compra ambas as marcas; que o percentual da população que compra a marca A é o triplo do percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da população não compra A e nem B. (a) Determine o percentual da população que compra apenas a marca A. Métodos Determinísticos I EP8 2 (b) Se a marca B lançar uma ofensiva publicitária e conseguir fazer com que um quinto das pessoas que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Será o aumento percentual de clientela da marca B? Solução: (a) Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos com- pradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B. Representando em uma diagrama de Venn, temos o seguinte: Vamos chamar de t o número de habitantes da cidade, isto é, faremos n(U) = t. A informação de que �12% da população compra ambas as marcas", nos dá então que n(A ∩ B) = 12 100 · t. Além disso, como �apenas 16% da população não A e nem B", temos n(U − (A∪B)) = 16 100 · t. Temos então o seguinte diagrama: Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no diagrama abaixo, teremos n(B) = x+ n(A ∩ B) = x+ 12 100 · t. Como o número de compradores da marca A é o triplo de compradores de B, temos n(A) = 3n(B) = 3 ( x+ 12 100 · t ) = 3x+ 36 100 · t. Além disso, o número de compradores exclusivos da marca A será dado por n(A)− n(A ∩B) = ( 3x+ 36 100 · t ) − 12 100 · t = 3x+ 24 100 · t. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 3 Reunindo todas as informações no diagrama, temos: Com isso, podemos ver que( 3x+ 24 100 · t ) + 12 100 ·t+ x+ 16 100 · t = t, logo 4x = t− 52 100 · t ∴ 4x = 48 100 · t ∴ x = 12 100 · t. O percentual de compradores exclusivos de A será então n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12 100 · t+ 24 100 · t = 60 100 · t. Com isso, 60% da população compra apenas a marca A. Observação: Uma forma mais simples (embora mais descuidada) de resolver seria supor que a cidade possui 100 habitantes e resolver de forma similar à feita acima, porém sem o t. Resolver desta forma, porém, poderia levar (não é o caso neste problema, mas poderia ocorrer) à conjuntos com cardinalidade não inteira, que deveriam ser interpretados como percentuais da forma 12,41%, por exemplo, que faz sentido para populações grandes. (b) No item anterior, encontramos os seguintes percentuais: Com isso, a marca B tem, hoje, 12 100 · t+ 12 100 · t = 24 100 · t compradores. Se a campanha publicitária da marca B conseguir captar um quinto dos 60 100 · t compradores exclusivos da marca A, ela representará um aumento de 1 5 · 60 100 · t = 12 100 · t novos clientes. O aumento percentual será o número de novos clientes dividido pelo número de clientes antigos, isto é, 12 100 · t 24 100 · t = 1 2 = 50 100 = 50%. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 4 Exercício 3 (AP1 - 2018.1) Em uma cidade, o número de pessoas que não compram nas Lojas Pedro é o dobro do número de pessoas que compram. Das pessoas que compram nas Lojas Pedro, metade compra também nas Lojas Mateus. Sabe-se ainda que as duas lojas possuem o mesmo número de clientes. (a) Represente, por meio de um diagrama, a situação descrita, representando por P o conjunto de quem compra nas Lojas Pedro e por M o conjunto de quem compra nas Lojas Mateus. Repre- sente por x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro e, a partir daí, complete todas as partes do diagrama com a fração de x correspondente. (b) Que fração da população da cidade não compra nem nas Lojas Pedro e nem nas Lojas Mateus? (c) Que fração da população da cidade compra nas duas lojas? (d) Que fração da população da cidade compra apenas nas Lojas Pedro? E apenas nas Lojas Mateus? Solução: (a) Começaremos a preencher o diagrama abaixo: Chamando de x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro, como metade destas pessoas também compram nas Lojas Mateus, a interseção entre P e M será x 2 . Com isso, a quantidade de pessoas que compram exclusivamente nas Lojas Pedro é x − x 2 = x 2 , conforme representado abaixo. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 5 O número de pessoas que compram nas Lojas Mateus é igual à quantidade que compra nas Lojas Pedro, logo, igual a x. Como x 2 já estão na interseção, temos x 2 pessoas comprando exclusivamente em M . Se chamarmos de y o número de pessoas que não compra em qualquer uma das lojas, o número de pessoas que não compram nas Lojas Pedro será dado por u + x 2 . O enunciado diz que este número é o dobro dos que compram nas Lojas Pedro, isto é, u+ x 2 = 2x. Com isso, temos u = 2x− x 2 = 4x− x 2 = 3x 2 . Assim, temos o diagrama abaixo: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 6 (b) A população total da cidade é dada pela soma de cada quantidade do diagrama da questão anterior. Temos, no total, x 2 + x 2 + x 2 + 3x 2 = 6x 2 = 3x. Desses, 3x 2 não compra em nenhuma das lojas, ou seja, a metade da população total 3x. (c) Dos 3x habitantes, apenas x 2 compram nas duas lojas, logo x 2 3x = x 2 · 1 3x = 1 6 . Assim, 1 6 da população compra nas duas lojas. (d) Apenas x 2 pessoas compra apenas nas Lojas Pedro, e, como já vimos na questão anterior, isto corresponde a 1 6 do total. Da mesma forma 1 6 da população compra apenas nas Lojas Mateus. Exercício 4 (AP1 - 2018.1) Um comerciante adquire, do fabricante, um produto ao preço de R$120,00. Este comerciante sabe que, ao vender o produto para o consumidor, há a incidência de um imposto total de 40%, calculado sobre o preço de venda, isto é, aquele que o consumidor paga pelo produto. Apenas o restante, após descontar o imposto, fica para o comerciante. Nos itens de a a c, despreze qualquer outra despesa que não seja o preço de aquisição do produto pelo comerciante no fabricante e o recolhimento de impostos. Observe que, no item d, aparecerá uma nova despesa que deverá ser levada em conta. (a) Qual o preço de venda mínimo Vm pelo o produto deve ser vendido paraque o comerciante não tenha prejuízo com a venda deste produto? (apresente os cálculos, não apenas o valor final de Vm) (b) Dê a expressão do lucro L obtido com a venda do produto. Utilize na expressão apenas o preço de venda V e as despesas anteriormente mencionadas. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 7 (c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 30% sobre o valor de aquisição do produto, qual deverá ser o preço de venda V ? (d) Além do valor recolhido na forma de impostos e o custo de aquisição, o comerciante ainda estima que a venda deste produto demanda uma despesa fixa de R$8.000,00 (logística, vendedor, espaço na loja, etc.), independentemente da quantidade de produtos vendidos. Na média, são vendidos 200 produtos como este por mês. Por quanto cada unidade do produto deve ser vendida para que o vendedor apure um lucro mínimo de R$4.000,00. Solução: (a) Em uma venda pelo preço Vm, após o desconto dos impostos, para o vendedor sobrarão Vm − 40% · Vm = Vm − 40 100 Vm = 100Vm − 40Vm 100 = 60Vm 100 . Para que a venda não resulte prejuízo, é necessário que 60Vm 100 ≥ 120, logo Vm ≥ 120 · 100 60 = 200. (b) Com a venda por um preço V , descontando os impostos de 40%V = 40V 100 e o custo do produto, termos um lucro de L = V − 40V 100 − 120 = 60V 100 − 120. (c) O preço de aquisição do produto é de 120 reais, logo, 30% deste valor é 30% ·120 = 30 100 ·120 = 3600 100 = 36 reais. Para que o lucro L seja maior que 36 reais, precisamos de um preço de venda V tal que 60V 100 − 120 = 36, logo 60V 100 = 156. Com isso, V = 156 · 100 60 = 260. (d) Na questão 6, vimos que, considerando apenas o custo do fornecedor e os impostos, em cada produto vendido a um preço V , há o lucro de L = 60V 100 − 120. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 8 A venda de 200 produtos resulta então em um lucro de 200 · (60V 100 − 120) = 120V − 24000. Descontando agora o custo fixo de 8000, o vendedor tem um lucro total de Lt = 120V − 24000− 8000 = 120V − 32000. Para que o lucro mínimo seja de 4000, teremos 120V − 32000 > 4000, logo 120V > 36000, portanto V > 36000 120 = 300. Assim, o produto deve ser vendido por, no mínimo, R$300,00. Exercício 5 (AP3 - 2017.2) (a) Diminuir um preço em 20% significa multiplicá-lo por qual número racional? Justifique. (b) Aumentar um preço em 20% significa multiplicá-lo por qual número racional? Justifique. Uma loja adotará uma política de preços inovadora. No primeiro dia, seus produtos estarão com preço 20% inferior ao que tinham no dia anterior a esta nova política de preços. No segundo dia, os preços serão aumentados de 20%, em relação ao preço que tinham no primeiro dia. No terceiro dia, os preços diminuirão em 20% em relação ao segundo dia. No quarto dia, aumen- tarão em 20% em relação ao terceiro dia. Os preços continuam desta forma nos dias seguintes; em um dia diminuem 20% em relação ao anterior e, no dia seguinte, sobem 20% sobre o novo preço. Se um produto era vendido por P reais antes da nova política de preços, por quanto será vendido no décimo terceiro dia? Dê a resposta como uma expressão envolvendo apenas a incógnita P e frações e/ou números decimais, suas potências ou produtos. Solução: (a) Diminuir um preço P em 20%, significa torná-lo igual a P − 20%P = P − 20 100 P = P − 2 10 P = ( 1− 2 10 ) P = 8 10 P = 4 5 P. Assim, diminuir um preço em 20% significa multiplicá-lo por 4 5 (ou 80 100 , ou 0.8, etc.) Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 9 (b) Aumentar um preço P em 20%, significa torná-lo igual a P + 20%P = P + 20 100 P = P + 2 10 P = ( 1 + 2 10 ) P = 12 10 P = 6 5 P. Assim, aumentar um preço em 20% significa multiplicá-lo por 6 5 (ou 120 100 , ou 1.2, etc.) (c) Nos itens acima, vimos que diminuir um preço em 20% significa multiplicá-lo por 4 5 , enquanto aumentá-lo em 20% representa uma multiplicação por 6 5 . Com isso, no décimo terceiro dia, o preço do produto passará por: • 7 reduções de 20%: nos dias 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13; • 6 aumentos de 20%: nos dias 2, 4, 6, 8, 10 e 12. O preço do produto no décimo terceiro dia será, portanto, P · 4 5︸︷︷︸ dia 1 · 6 5︸︷︷︸ dia 2 · 4 5︸︷︷︸ dia 3 · 6 5︸︷︷︸ dia 4 · 4 5︸︷︷︸ dia 5 · 6 5︸︷︷︸ dia 6 · 4 5︸︷︷︸ dia 7 · 6 5︸︷︷︸ dia 8 · 4 5︸︷︷︸ dia 9 · 6 5︸︷︷︸ dia 10 · 4 5︸︷︷︸ dia 11 · 6 5︸︷︷︸ dia 12 · 4 5︸︷︷︸ dia 13 = P · ( 4 5 )7 · ( 6 5 )6 . Algumas respostas equivalentes são: P · ( 80 100 )7 · ( 120 100 )6 ;P · ( 8 10 )7 · ( 12 10 )6 ;P · (0.8)7 · (1.2)6 . Exercício 6 (AP1 - 2018.2) Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300 euros. Ao vender o produto, o comerciante deverá recolher, como impostos, o equivalente a 20% do valor agragado, isto é, da diferença V − C entre o preço de venda V e o de compra C. (a) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de 500 euros. (b) Dê a expressão do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja dado, em euros, por V . (c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando apenas o preço de venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto deverá vender o produto? Solução: (a) Com o preço de venda V = 500, o valor agregado será V − C = 500− 300 = 200 euros, logo o imposto será de 20-% deste valor, ou seja 20% · 200 = 20 100 · 200 = 40 euros. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 10 (b) Com o preço de venda V , o valor agregado será V − C = V − 300 euros, logo o imposto será de 20% deste valor, ou seja, em euros, 20% · (V − 300) = 20 100 · (V − 300) = 1 5 · (V − 300) = V 5 − 60. (c) O lucro L é dado pelo preço de venda V , descontado o preço de compra C = 300 e o imposto calculado na questão anterior. Assim, L = V − 300− ( V 5 − 60 ) = V − V 5 − 300 + 60 = 4V 5 − 240. Para que este lucro seja de 60 euros, teremos L = 60⇔ 4V 5 − 240 = 60⇔ 4V 5 = 300⇔ V = 1500 4 = 375. Exercício 7 (AP1 - 2016.2) Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, os números reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo. 2(x− 1)2 − (x− 2) ( 2x− 1 2 ) > (2x− 1)(2x+ 1) Solução: 2(x− 1)2 + (x− 2) ( 2x− 1 2 ) > (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1) + ( 2x2 − x 2 − 4x+ 1 ) > (2x)2 − 1 ⇔ 2x2 − 4x+ 2 + 2x2 − x 2 − 4x+ 1 > 4x2 − 1 ⇔ 2x2 − 4x+ 2 + 2x2 − x 2 − 4x+ 1− 4x2 + 1 > 0 ⇔ −8x− x 2 + 4 > 0 ⇔ −16x− x 2 + 4 > 0 ⇔ −17x 2 + 4 > 0 ⇔ −17x 2 > −4 ⇔ 17x 2 < 4 ⇔ x < 4 · 2 17 ⇔ x < 8 17 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 11 Assim, os números reais que tornam verdadeira a desigualdade são x ∈ ( −∞, 8 17 ) . Exercício 8 (AP1 - 2015.2) Considere as proposições: A: �Ana está na escola.� B: �Se João está no cinema, então Maria está na loja.� Sabendo que a proposição P: �A ou B� é falsa, pode-se afirmar que: (i) Ana não está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja. (ii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria está na loja. (iii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja. (iv) Ana está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja. (v) Ana está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja. Solução: Para que uma disjunção, isto é, uma proposição tipo �A ou B�, seja falsa, é necessário que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P é falsa, segue que A é falsa e Btambém é falsa. Dizer que A é falsa é dizer que Ana não está na escola. Por outro lado, a proposição B é uma implicação do tipo p ⇒ q, onde p: �João está no cinema� e q: �Maria está na loja�, logo, ela é falsa, apenas se vale p e ∼ q, isto é, se João está no cinema e Maria não está na loja. Portanto, a resposta correta é a (iii). Exercício 9 (AP1 - 2018.2) Um empresa aceita pagamentos em cheque, boletos bancários de di- versos bancos e cartão de crédito. Avaliando os pagamento feitos pelos clientes e recebidos pela empresa, o diretor percebeu, hoje, que: (i) Se um pagamento foi feito com cheque, então o pagamento foi recebido. (ii) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto era do Banco iTatu, então o pagamento não foi recebido. (iii) Se um pagamento foi com cartão de crédito e o pagamento foi feito semana passada, então ele não foi recebido. Responda aos itens a seguir: (a) Diga se é possível concluir ou se não é possível concluir cada uma das afirmações abaixo, baseando-se apenas nas afirmações acima. Não é necessário justificar, mas cada resposta incorreta invalidará uma correta (portanto, não chute!). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 12 (1) Todo pagamento feito com cheque foi recebido. (2) Se um pagamento foi recebido e foi feito com boleto, então este pagamento não é do Banco iTatu. (3) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto não era do Banco iTatu, então ele foi recebido. (4) Se um pagamento foi recebido, então ele foi feito com cheque. (5) Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento foi recebido, então ele não foi feito semana passada. (6) Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento não foi recebido, então ele foi feito semana passada. (b) Se foram recebidos 25 pagamentos, quantos pagamentos, no máximo, foram feitos com cheque? Se foram feitos 10 pagamentos com boleto, mas apenas 5 foram recebidos, pode-se dizer que 5 boletos eram do Banco iTatu? Em caso negativo, o que se pode garantir? Justifique como chegou à conclusão. Solução: (a) (1) É possível concluir que todo pagamento feito com cheque foi recebido, pois um pagamento feito com cheque e não recebido seria um contraexemplo para (i). (2) Se o pagamento foi recebido, é possível concluir que o pagamento não é do Banco iTatu. Se o pagamento com boleto fosse do Banco iTatu, então, por (ii), ele não teria sido recebido. (3) Não se pode concluir. A afirmação diz apenas que se o boleto é do iTatu, então ele não foi recebido. A afirmação não diz nada sobre os boletos dos outros bancos. Por exemplo, um pagamento feito com um boleto do Banco Santo André, e não recebido, não seria um contraexemplo para a afirmação, pois não satisfaria a hipótese. (4) Não se pode concluir, ele pode ter sido feito com boleto de algum banco que não o iTatu, ou pode ter sido feito com cartão de crédito antes da semana passada. (5) É possível concluir! Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento foi recebido, ele não pode ter sido feito na semana passada pois neste caso, por (ii), ele não teria sido recebido. (6) Não é possível concluir. A afirmação (iii) diz apenas que todo pagamento feito com cartão na semana passada não foi recebido, mas nada impede que um pagamento feito antes disso, por exemplo, também não tenha sido recebido. (b) Foram feitos, no máximo, 25 pagamentos com cheques. Por (i), todo pagamento com cheque foi recebido, logo, se tivessem sido feitos mais de 25 pagamentos com cheque, haveria mais de 25 pagamentos recebidos. Não se pode garantir que 5 boletos eram do iTatu, apenas que 5 pagamentos feitos com boleto não foram recebidos. A afirmação (ii) garante que pagamentos de boletos do iTatu não foram recebido, mas não que apenas pagamentos deste banco não foram recebidos, como vimos no item (c) da questão anterior. O que pode ser garantido é que, no máximo, 5 boletos eram do iTatu pois, se houvesse 6 ou mais boletos deste banco, haveria 6 ou mais pagamentos por boleto não recebidos. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP8 13 Exercício 10 (AP3 - 2017.2) Considere as seguintes afirmações: (1) Se Pedro joga bola ou Mateus brinca de pique, então Bernardo pula corda. (2) Julieta desenha se e só se Ana sobe em uma árvore. (3) Se Mateus brinca de pique, então Ana sobe em uma árvore. (4) Para que Bernardo pule corda, basta que Mateus brinque de pique ou que Velentina coma um lanchinho. (5) Mas Julieta não desenha e Pedro joga bola. Agora responda aos itens a seguir. (a) Considere as proposições elementares p: Pedro joga bola, m: Mateus brinca de pique, b: Bernardo pula corda, j: Julieta desenha, a: Ana sobe em uma árvore e v: Velentina come um lanchinho. Reescreva as afirmações (1) a (5) com as letras atribuídas às proposições e com os símbolos da Lógica (implicação, equivalência e conectivos). (b) Considerando que sejam verdadeiras as afirmações (1) a (5), decida se cada uma das proposições elementares abaixo é verdadeira ou falsa. E necessário que você apresente o raciocínio que usou para deduzir sua conclusão a partir dos dados. a: Ana sobe em uma árvore. b: Bernardo pula corda. m: Mateus brinca de pique. Solução: (a) Reescrevendo as afirmações, temos (1) p ou m ⇒ b (2) j ⇔ a (3) m ⇒ a (4) m ou v ⇒ b (5) (∼ j) e p (b) Pela afirmação (5), são verdadeiras ∼j e p. Assim, como ∼j é verdadeiro, j é falso. Como j é falso, por (2) temos que a é falso. Por (5), p é verdadeiro. Logo �p ou m"será verdadeiro, qualquer que seja o valor de m, logo, por (1), b é verdadeiro. Como a é falso, temos, ∼ a é verdadeiro. Pela contrapositiva da (3) (isto é, ∼ a ⇒ ∼ m), temos que ∼ m é verdadeiro. Logo, m é falso. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ