Apostila Jogos Matemáticos 2018 pdf

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MATERIAL DE USO CONTÍNUO PARA AS AULAS, DEVE ESTAR SEMPRE COM O ALUNO! 
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JOGOS MATEMÁTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conceito de função e construção gráfica 
 
Características gerais das funções: 
 
i) Intuitivamente a palavra função evoca uma ideia de dependência geralmente entre 
duas variáveis. 
 
Exemplos: 
 
a) O que se paga por mês na conta de luz depende do consumo de energia. 
 
b) O faturamento de uma empresa depende de suas vendas. 
 
ii) Essa dependência pode ser representada por lei de formação (sentenças matemáticas) 
para que possamos resolver problemas. 
 
Exemplos: 
 
a) A conta de luz no mês de janeiro de 2016 é calculada pelo consumo de kWh, onde 
cada kWh custa 0,7932828 acrescido de uma taxa de iluminação pública de 7,50. 
Represente essa dependência a partir de uma lei: 
 
 onde 
 
b) Uma empresa vende docinhos por $ 3,50 a unidade. Represente através de uma 
sentença matemática o faturamento desta empresa. 
 
 
 
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Características gerais da função polinomial de primeiro grau ou função afim: 
 
i) A relação de dependência é dada de forma geral por: , sendo . 
 
ii) Onde é a variável dependente e a variável independente. 
 
iii) “b” é um valor fixo, quando não aparece o “b” é por que ele é igual a “zero”. 
 
iv) O gráfico é uma reta crescente se e decrescente se . 
 
v) No eixo “y” ficam registrados os valores da variável dependente e no “x” da 
independente. 
 
 
Exemplo: 
Na expressão , onde V= valor a pagar e C= consumo de energia 
pode-se observar que o “a” e o “b” valem 0,79322828 e 7,50, respectivamente. 
 
Assim como V é a variável dependente e C a variável independente 
 
Fórmula geral 
 
 
 
Fórmula de acordo com o enunciado 
 
 
 
 
 
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Contextualizando a matemática e aplicando as funções do primeiro grau... 
 
Exemplos resolvidos: 
I) O salário mensal (sem os descontos legais) de um operário é composto por $ 1.500,00 
fixo mais $15,00 por hora extra, sabe-se que o salário dele varia de acordo com as horas 
extras que faz. 
 
Responda: 
a) Quais as variáveis do problema? 
Salário mensal (S) e número de horas extras (Q) 
 
b) Quem depende de quem? 
O salário mensal do funcionário depende da quantidade de horas extras que ele faz num 
mês de trabalho 
 
c) Represente matematicamente a situação através de uma equação que expresse essa 
dependência, isto é escreva matematicamente como é calculado o salário. 
 salário é igual a 1500 que é o fixo mais 15 vezes a quantidade de 
horas extras num mês de trabalho 
 
d) Se o operário trabalha 5 horas extras, qual será seu salário? Q = 5 S =? 
 S=1.500+15.5 = 1575 Logo para 5 horas extras o salário é 
$ 1.575,00 
 
e) Se o operário recebeu bruto no final do mês $ 1800,00, quantas horas extras ele fez no 
mês? S=1800 q =? 
 1800=1500+15.q 1800-1500=15.q 300=15q 300/15=q 20=q 
 
Logo se o salário foi de $ 1.800,00 o funcionário fez 20 horas extras. 
 
 
 
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f) Represente graficamente como fica o salário bruto do funcionário em função do número 
de horas extras trabalhados. Para organizar o raciocínio montei uma tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o gráfico parte de 1500 que é o valor fixo, isto é, o valor do salário caso não 
tenha sido feita nenhuma hora extra (x=0) 
Q S= 1500+15.Q 
0 S=1500+15.0=1500 
10 S=1500+15.10=1650 
20 S=1500+15.20=1800 
30 S=1500+15.30=1950 
 
ATENÇÃO OS VALORES COLOCADOS NO GRÁFICO VOCÊ QUEM DECIDE, 
MAS PROCURE UTILIZAR SEMPRE O ZERO PARA VIZUALIZAR O PONTO DE 
PARTIDA. 
 
 
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II) O valor da conta de um telefone fixo cresce de maneira linear, sendo composta por 
uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com o número de ligações. A tabela a 
seguir fornece os valores da conta nos últimos meses. Sabe-se que o valor da conta 
depende da quantidade de ligações. 
Ligações 45 52 65 
Valor reais 77,50 81 87,50 
 
a) Determine a tarifa fixa e o preço por ligação? E escreva a expressão que relaciona 
valor em função das ligações. 
Modo prático para encontrar a lei de formação: (escolha dois valores e analise o que está 
ocorrendo depois divida o resultado da variável dependente pela independe) : 
 
 
 
 
 
 
50,0
7
5,3
 xde variação
y de variação

ligação
valor
a Veja que cada ligação sai por 0,50 
 
Para encontrar b Sabe-se que 0,50 varia de acordo com o número de ligações assim: 
0,50 .52=26 
Total da conta 81- 26 (total que variou) = 55 (tarifa fixa) 
 
Ou use a função geral: lembre-se y= valor à pagar x= ligações 
 
81=0,50. 52+b 
81=26+b 
81-26=b 
55=b (tarifa fixa) Logo: V=0,50.L+55 ou y=0,50.x+55 
III) Uma operadora de celular oferece dois planos, sendo que ambas as ligações para a 
mesma operada são gratuitas. 
Ligações Valor 
45 77,50 
52 81 
65 87,50 
81 - 77,50 
3,5 
52 - 45 
7 
 
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A= vinte reais fixo mais três centavos de real por minuto de uso para outros celulares e 
fixos. 
 
B= dez reais fixo mais quatro centavos de real por minuto de uso para outros celulares e 
fixo. 
 
Sabe-se que o valor da conta depende do tempo que o usuário fica ao telefone, assim 
responda: 
a) Represente os dois planos matematicamente. 
 
Operadora A ( ) (vinte reais fixo mais 0,03 por minuto) 
Operadora B ( ) (dez reais fixo mais 0,04 por minuto) 
 
b) Encontre o ponto de nivelamento entre os dois planos. 
Basta igualar os dois planos 
 ( ) ( ) 
20+0,03t = 10+0,04.t 
20 – 10 = 0,04 t- 0,03t 
10 = 0,01t 
10/0,01 = t 
1000 minutos = t 
Para 1000 min paga-se o mesmo valor para a operadora A e B 
 
Para encontrar o quanto se paga por este tempo é só substituir na 
equação A ou B 
 ( ) ( ) 
V(t)=20+0,03.1000=50 Ou V(t)=10+0,04. 1000 = 50 
 
Ponto de equilíbrio 1.000 min e $ 50,00 
 
c) Represente os dois gráficos num mesmo plano e analise os resultados. 
 
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Dica: 
Primeiro marcar o ponto de equilíbrio, isto é ( ) ( ) 
 
Para 1000 min paga-se $ 50,00 e em seguida marcar no y o mínimo que se paga em 
cada uma das operadoras. 
A é $20,00 e B é $10,00 
 
Terceiro traçar cada reta separadamente passando pelo ponto de equilíbrio. 
 
 
Análise geral: 
Antes de 1000 min a operadora B é mais barata 
Em 1000 min Paga-se o mesmo no plano A e B 
Depois de 1000 min a operadora A é mais barata 
 
Logo pode se afirmar que o plano B é mais caro que o outro depois de 1000 
minutos de uso. 
 
 
 
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Exercícios de aplicação (no final da lista estão as respostas) 
 
1. Cada vendedor de certa loja de ferramentas recebe um salário mensalque consiste de 
duas partes: salário fixo de $ 800 e 3% de comissão, calculada sobre o valor total dos 
itens que ele vende no mês. Obs.: 3% é o mesmo que 
100
3
 ou ainda 0,03 
a) Quais as variáveis do problema? 
b) Encontre uma lei que represente o salário mensal (S) do vendedor em função do valor 
total (v) dos itens vendidos. 
c) Qual foi o salário mensal de um funcionário que vendeu $ 10.000,00 no mês? 
d) Um funcionário recebeu um salário mensal de $ 1.400,00. Quantos reais em ferramentas 
ele vendeu? 
e) Complete a tabela abaixo e depois faça a representação gráfica. 
 
 
 
2. Márcia ligou seu computador à rede internacional de computadores INTERNET e contratou 
um plano nas seguintes condições: uma mensalidade fixa de $ 30,00, que lhe dá direito a 
1200 minutos mensais e mais 5 centavos de real ($ 0,05) a cada minuto de uso excedente 
ao plano. O valor a ser pago por Márcia ao final do mês depende, então do tempo que ela 
gasta acessando a INTERNET. 
 
a) Quais as variáveis do problema: 
b) Escreva uma lei (sentença matemática) que explique a situação acima: 
c) Complete a tabela e depois represente graficamente. 
Obs: o tempo abaixo é o total em minutos de acesso a internet 
d) Se Márcia pagou $100, quanto tempo excedente ficou na internet? 
e) Se Márcia pagou $ 36, quanto tempo ela ficou conectada? 
 
V (total em reais vendidos) 0 1000 2000 3000 
S (em reais a partir das vendas) 
T(tempo de acesso em min) 600 1200 1800 2400 
V (total a pagar) 
 
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3. A quantia que uma pessoa desembolsa para abastecer seu carro depende quantos litros 
de combustível são colocados. O preço por litro é $3,95. 
a) Quais as variáveis do problema? 
b) Represente através de uma sentença matemática como se calcula o preço a pagar (P) em 
função da quantidade de litros (Q) 
c) Quantos litros de combustível foram colocados no tanque se a pessoa pagou $ 138,25? 
d) Sabendo que a capacidade do tanque é de 40 litros, quanto pagou a pessoa que encheu 
o tanque? 
e) Construa o gráfico relacionando o preço a pagar e a quantidade de combustível a partir 
dos valores calculados anteriormente. 
 
4. Um estacionamento cobra $3,00 até 2 horas e $0,50 adicional por hora de cada carro que 
permanece no local. 
a) Complete abaixo, a tabela que representa esse fato. 
Tempo em horas (T) 1 2 3 4 5 
Valor em reais (P) 
 
b) Determine a lei que expressa o fato do preço ser dado em função do número de horas 
que um carro fica nesse estacionamento. 
c) Quanto se paga se o carro ficar no local 30 min? 
d) Se uma pessoa pagou $ 6,00 quantas horas ele permaneceu no local? 
 
5. A poupança f(x) de um operário depende do salário x que recebe; seu salário por sua vez, 
depende do número t de horas extras que faz por mês. Sabendo que essas dependências 
são descritas pelas funções f(x) = 0,4x – 10 e x(t) = 430 + 15t, respectivamente. 
a)Qual é o valor da poupança quando o salário é de $ 570,00? 
b)Quantas horas extras o operário precisa fazer para que seu salário seja $ 505,00? 
c)Qual é o valor da poupança quando o operário faz 2 horas extras? 
 
 
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6. Uma locadora (A) de automóveis aluga um “carro popular” ao preço de $30,00 a diária, 
mais $4,00 por quilômetro rodado. Outra locadora (B) aluga o mesmo modelo de carro ao 
preço de $80,00 a diária, mais $2,00 por quilometro rodado. 
a)Escreva as funções diárias que descrevem, para cada locadora, o valor a ser pago de 
aluguel em função do quilômetro rodado. 
b) Se o percurso percorrido em um dia por uma pessoa é 200 quilômetros rodados. 
Quanto esta pessoa irá pagar na locadora A e B? 
c) Represente graficamente, em um mesmo sistema de eixos, as funções determinadas 
no item anterior (a). 
 Dica: primeiramente iguale as duas funções para encontrar o ponto de equilíbrio 
d) Qual das locadoras apresenta a melhor opção para uma pessoa alugar um carro 
popular sabendo que a mesma vai percorrer em um dia no mínimo 30 km? 
 
7. Procurei duas firmas para obter um emprego como vendedor de livros. A firma A promete 
um salário fixo mensal de $400,00, mais a comissão de $8,00 para cada coleção vendida. 
A firma B promete um salário fixo mensal de $600,00, mais a comissão de $3,00 para 
cada coleção de livros vendida. 
a) Escreva as funções que descrevem, para cada firma, o salário mensal (S) em função das 
coleções vendidas (x) 
b) Represente graficamente, em um mesmo sistema de eixos, as funções determinadas no 
item anterior. 
 Dica: primeiramente iguale as duas funções para encontrar o ponto de equilíbrio 
c) A partir do gráfico responda: Qual das duas firmas paga o melhor salário? Justifique sua 
resposta. 
 
8. Observe o gráfico da Safra brasileira (1995-2003) e responda o que se pede: 
 
 
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Levando em conta o período considerado responda: 
a) Qual foi a menor safra e em que ano ela ocorreu? 
b) Qual a maior safra e em que ano ela ocorreu? 
c) Em que anos a safra decaiu em relação ao ano anterior? 
 
9. Um comerciante vende um determinado produto. O gráfico abaixo expressa o preço do 
produto (em reais por quilograma) em função da quantidade “Q” adquirida pelo comprador 
(em quilogramas). 
 
 
 
a) Qual o preço por quilograma na compra de 15 kg? 
b) Para que valores de Q, o produto custa 6,00/kg? 
c) Quanto custa 4 kg do produto? 
d) Qual o custo máximo do quilo do produto? 
 
Respostas: 
1. a) salário e total em vendas (R$) b)S=800+0,03.V c)1100 d)20 000 
e)( 800; 830; 860; 890) f) gráfico 
 
2. a) valor a pagar e tempo b)V=30 para tempo menor e igual a 1200mim 
 
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V=30+0,05.t para o tempo em excedente (maior que 1200) c)(30; 30; 60; 90) 
 
d)1400mim excedente e)total de 1320 min 
3. a) quantidade de combustível e valor a pagar b)P=3,95.q c)35 litros d)158reais 
 
4. a) 
 
 
 
 b)V=3 se t≤2horas e V=3+0,50.t se t>2horas 
 c)3,00 d)8horas(6extra+2direito) 
 
5. a)218 b) 5 horas c)174 
6. a) A=30+4x B=80+2x (x)=quilômetros b) A=830 B=480 c) gráfico 
 
T 1 2 3 4 5 
R$ 3 3 3,50 4 4,50 
 
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7. a)A=400+8x B=600+3x b)Nivelamento 40 coleções salário 720 c) gráfico 
 
 
8. a)73,6 milhões de toneladas ano de 1996 
b) 123 milhões de toneladas ano de 2003 
c) 1996, 1998 e 2002 
 
9. 
a)R$=5,00 (pois é o preço correspondente a esta quantidade) 
b) Até cinco kg o custo é de 6,00 reais por kg (mesmo raciocínio) 
c) Até 5kg o preço é R$ 6,00 por kg 
 
 logo= 4. 6= 24,00 ( quantidade vezes o preço por unidade) 
d) Custo máximo é 6,00 
 
 
d) Como ele vai percorrer pelo menos 30km 
melhor escolher a locadora B 
Para 40 coleções (x=40) o salário é o mesmo 
Para uma venda maior que 40 coleções (x>40) o 
salário mais alto é o A 
Para uma venda menor que 40 coleções (x>40) o 
salário mais alto é o B 
 
 
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Aplicações das Funções do 1° Grau em Custo, Receita e Lucro. 
 
Considere uma firma que fabrica e vende determinado bem (produto). Se x representa a 
quantidade produzida ou vendida, então, 
 O custo fixo CF é a soma de todos os custos que não dependem do nível de produção 
tais como aluguel, seguros, etc., 
 O custo variável CV(x) é a soma de todos os custos que dependem do número x de 
unidades produzidas tais como mão-de-obra, material, etc., 
 O custo total C(x) é a soma do custo fixo com o custo variável, 
 
C(x) = CF + CV(x) 
 
 O customédio ou diário é o custo total divididos pela quantidade. 
 
x
xC
Cme
)(
 
 A receita total R(x), descreve o total bruto recebido pela venda de um produto. A Receita 
para cada quantidade será obtida como produto do preço pela quantidade 
correspondente, ou seja, 
R(x) = p. x 
 
 O lucro total L(x) é a diferença entre a função receita e a função custo, isto é: 
L(x) = R(x) – C(x) 
 
Exemplo: Uma empresa que fabrica bermudas tem um custo variável por unidade de $ 
3,00 e um custo fixo de $ 1.000,00. Sabe-se que no mercado cada bermuda é vendida por 
$ 10,00. 
Assim responda: 
 
 
 
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a) Quais as relações matemáticas ou funções que representam: O custo total, a receita total 
e o lucro. 
Retirando os dados: custo unitário da bermuda $ 3,00, custo fixo $ 1.000,00, preço de 
venda $ 10,00 e sendo x = unidades 
 (custo total será igual ao custo fixo mais o custo variável multiplicado pela 
quantidade produzida/vendida) 
C=1000+3.x 
 
 (Receita será igual ao preço de venda multiplicado pela quantidade vendida) 
R=10.x 
 
 (lucro será igual a receita total menos o custo total) 
L=10x-(1000+3x) 
L=10x-1000-3x (juntando os termos semelhantes) 
L=7.x-1000 
 
b) Qual o custo médio para produzir 10 bermudas? 
Para determinar o custo médio primeiro precisamos encontrar o custo total, para tal 
vamos utilizar a função custo 
C=1000+3.x como x=10 substituímos e calculamos 
 
C=1000+3.10=1030 
 
 custo para produzir 10 unidades é 1030 reias agora com este dado podemos calcular o 
custo médio 
x
xC
Cme
)(
 =
10
1030
=103 
O custo médio para produzir 10 unidades é 103 reais 
 
c) Qual o faturamento na venda de 1000 bermudas? 
Vamos utilizar a função receita e substituir x por 1000 
R=10.x 
 
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 R=10.1000=10 000 
 
O faturamento na venda de 1000 unidades é $10.000,00 
 
d) Há lucro na venda de 300 bermudas? 
Para determinar o lucro vamos utilizar a função lucro e substituir x por 300 
L=7.x-1000 
 L=7.300-1000= 1 100 
 
 Sim, o lucro de $1.100,00 
 
e) Se o faturamento em uma venda foi de $ 10.000, qual o lucro? 
Veja que para resolver esta questão serão necessários dois cálculos, pois para saber o 
lucro primeiro precisamos saber quantas unidades foram vendidas. Como 
R=10.000 x=? L=? 
R=10.x 
10 000= 10.x (isolando x) 
10 000/10=x 
1 000=x Para ter um faturamento de $10.000,00 foram vendidas 1000. Agora vejamos 
o lucro 
 
 L=7.x-1000 L=7.1000-1000=6 000 
 
 Para um faturamento de $10.000,00 o lucro foi de $6.000,00 
 
f) Faça o esboço gráfico das funções custo, receita e lucro. 
Quant(x) Custo (R$) 
0 1000 
10 1030 
20 1060 
 
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Para traçar o gráfico da função receita você pode proceder da mesma forma montando 
uma tabela e analisando a própria função, observe que se tratando da função receita a 
mesma sempre vai partir do zero, pois se não for vendido nada não se arrecada nada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para traçar o gráfico da função lucro vamos raciocinar da mesma forma como fizemos 
nas funções custo e receita. 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
► R > C = Lucro ► R < C = Prejuízo 
► R = C ou Lucro nulo (ponto crítico ou ponto de nivelamento) 
 
 
 
Quant(x) Receita (R$) 
0 0 
10 100 
20 200 
Quant(x) Lucro (R$) 
0 -1000 
100 -300 
200 400 
 
 
 
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Ponto de Nivelamento ou ponto crítico 
 
É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e o do custo total. Ele indica a 
quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É acima dessa quantidade que o 
produtor começará a ter lucro positivo. 
 
Considerando o exemplo anterior analisado temos: 
 
 
 
Encontre o ponto de nivelamento, construa o gráfico da função custo e receita num 
mesmo plano cartesiano e faça a interpretação: 
 
Para encontrar o nivelamento podemos: 
Igualar a R(x) com C(x) ou L=0 como fizemos anteriormente. 
R=C 
10x =3x+1000 
10x-3x=1000 
7x=1000 
x=1000/7 
x=142,86 quantidade que R=C 
 
Valor arrecadado com a venda ou com o custo na prática o valor deve ser igual, mas 
como x deu um valor aproximado vai variar um pouco. 
 
R=10x R=10 . 142,86= 1428,60 
 
C=3x+1000 C=3 .142,86+1000= 1428,58 
 
 
 
 
 
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Dicas para fazer o gráfico: 
 
(1) marque no gráfico (eixo y ) o custo fixo (é o valor onde começa o gráfico do custo e a 
receita (começa no zero) 
(2) marque o ponto de nivelamento 
(3) trace o gráfico da receita que começa no zero e passa pelo ponto de nivelamento 
(4) trace o gráfico do custo que começa no custo fixo e passa pelo ponto de nivelamento 
 
Observe como ficou: 
 
 
 
Para ter lucro é necessário vender no mínimo 143 unidades do produto. Se vender 142 
unidade tem-se prejuízo. 
 
Lista de exercícios: (as respostas estão no final da lista) 
 
1. Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fixo de $ 800 por mês e custos 
variáveis de $ 0,04 por folha que reproduz. Expresse a função custo total em função do 
número x de páginas copiadas por mês. 
a) Se os consumidores pagam $ 0,09 por folha, quantas folhas a firma tem que produzir para 
não ter prejuízo? 
 
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b) Qual o faturamento se foram reproduzidas 20.000 cópias? 
c) Qual o lucro referente às cópias do item b? 
 
2. Uma venda média em uma floricultura é de $15,00, assim a função faturamento semanal 
da floricultura é R(x) = 15x , em que “x” é o número de vendas em uma semana. O 
correspondente custo é ( ) . 
a) Escreva a função lucro semanal da floricultura? 
b) Qual é o lucro obtido quando são feitas 1200 vendas por semana? 
C) Qual o mínimo que deve ser vendido para começar a ter lucro? Represente graficamente. 
 
3. Suponha que o custo fixo de produção de um artigo seja de $ 5.000,00; e o custo variável 
seja de $ 7,50 por unidade e o artigo seja vendido a $ 10,00 por unidade. Qual é a 
quantidade necessária para se atingir o ponto de nivelamento? 
 
4. Analise o gráfico abaixo e responda o que é solicitado: 
 
a) Qual o custo fixo deste produto e o custo variável? 
 
b) Qual o preço de venda do produto? 
 
c) Se a empresa vender 1000 unidades o faturamento será? 
 
d) Há lucro ou prejuízo na venda de 10 unidades? Dê quanto? 
 
e) Se a empresa vender 48 unidades de um produto, haverá lucro? Justifique: 
 
5. Um operário ganha um salário variável de acordo com as horas extras que trabalha, sabe-
se ainda que lhe é permitido fazer num mês sessenta horas extras, se assim o fizer, tem 
direito a uma bonificação de 20% sobre o total do seu salário bruto. No gráfico abaixo está 
 
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22 
 
descrito como fica seu salário (bruto) em função das horas extras que faz. Analise o 
gráfico e responda o que é solicitado abaixo. 
 
 
a) Qual o valor da hora extra? 
b) Qual o seu salário bruto se o funcionário fizer o máximo de horas extras permitida 
pela empresa? 
 
6. O custo variável de certo produto é $ 24,00 e o custo fixo de produção é $ 180,00; 
colocado no mercado verificou-se que o preço desse produto é $ 60,00 
a) Determine a função Custo C(x) para esse produto e trace seu gráfico. 
b) Determine a função Receita R(x) para esse produto e trace seu gráfico. 
c) Determine a função Lucro L(x) e trace seu gráfico. 
 
7. Suponha que a função ( ) represente o custo totalde produção de um 
determinado artigo, onde “c” é o custo (em reais) e “x” o número de unidades produzidas. 
Determinar: 
a) O custo total e médio para fabricação de 5 unidades desse produto; 
b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de $ 12.000,00; 
 
Respostas: 
1. a) 16 000 cópias b)1800 reais faturamento c)lucro 200 reais 
 
2. a) L=10x-500; 
b) L=11500,00; 
c)mais de 50 unidades gráfico 
 
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23 
 
 
3. x=2.000 
 
4. a)CF= 400 Cv=2 b) 10 c)10 000 d) prejuízo de 320 e)Não haverá, pois é necessário 
vender mais de 50 unidades 
 
5. a)30,50 b)3156 
 
6. . a) C(x)=24x+180 b) R(x)=60x c) L(x)= 36x-180 
 
 
7. . a)R$ 140 e 28,00 b) 598 unid 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
 Função Quadrática - Conceito e aplicações 
 
Características gerais da função quadrática 
 
I) É de segundo grau toda a função polinomial do tipo: , onde 
 
II) São ditas completas se e incompletas se . 
 
Exemplos: 
 
a) Completa: onde 
 
b) Incompleta: onde 
 
III) O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, 
 y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. 
 
 ponto de mínimo ponto de máximo 
 
IV) Representação gráfica: 
Etapas: 
1) Encontrar as raízes 
As raízes estão localizadas no eixo x, para encontra-las substituímos 
 
 
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25 
 
a) Se completa calculamos através da fórmula de Bhaskara: 
 
a
ca
ca
a
b
x
2
..4bb-
 xou ..4b onde ,
2
2
2 

 
 
b) Se incompleta onde , podemos também usar a fórmula acima ou colocar o “x” em 
evidência. 
 
 ( ) temos duas raízes uma zero ( x=0) e a outra raiz 
(valor de x) encontramos resolvendo a equação: 
 
2) Calcular o vértice 
O vértice está localizado no lugar onde a parábola muda o sentido, isto é no ponto de 
máximo ou mínimo. Para calcular o vértice podemos usar: 
 
aa
b
xv
.4
y e 
.2
v



 ou 
 
cbxaé
éxv


x²y equação na xo paray de valor o y
 e ráizes as entre médio ponto o 
vv
 
 
Para traçar o gráfico: 
1) No eixo x marque as raízes 
2) Marque o vértice que um ponto de encontro de x com y 
3) Marque no eixo y o valor de c 
4) Trace o gráfico a partir do vértice passando pelo c e pelas raízes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26 
 
Exemplos: 
a) y= -3x²-2x+1 
1)Encontrar raízes, para tal y=0 e resolva a equação 
 -3x²-2x+1=0 a= -3 b= -2 c=1 
 
a
ca
ca
a
b
x
2
..4bb-
 xou ..4b onde ,
2
2
2 

 
 
)3.(2
16(-2)-
 x
 
 16)1).(3.(4)2( 2




6
42
 
 
 


 
 
2) Vértice: 
 
 
 
Etapas do gráfico: 
1) No eixo x marque as raízes que são -1 e 0,33 
2) Marque o vértice que um ponto de encontro de x com y que é: (-0,3 ; 1,3) 
3) Marque no eixo y o valor de c que é: 1 
4) Trace o gráfico a partir do vértice passando pelo c e pelas raízes. 
 
 
 
 
1
6
6


33,0
6
2



3,0
3.2
)2(
.2






a
b
x 3,1
12
16
3.4
16
.4









a
y
 
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27 
 
 
b)y= -x²+6x 
 
1) Achar as raízes: 
-x²+6x=0 pode colocar o x em evidencia 
x. (-x+6)= 0 
 x=0 -x+6=0 -x= -6 x= 6 
 
ou pela bháskara 
-x²+6x=0 a= -1 b=6 c=0 
 
 
 
 
2) vértice 
Pela fórmula 
 
Etapas do gráfico: 
1) No eixo x marque as raízes que são 0 e 6 
2) Marque o vértice que um ponto de encontro de x com y que é: (3,9) 
3) Marque no eixo y o valor de c que é: 0 
4) Trace o gráfico a partir do vértice passando pelo c e pelas raízes. 
 
 
 
360360.1.462 
ca
a
b
..4b onde ,
2
2 

)1.(2
366


2
66


0
2
0


6
2
12



3
1.2
6
.2






a
b
x 9
4
36
1.4
36
.4









a
y
 
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28 
 
 
Exemplo 3: 
Dada a função L= -x²+100x-1600. 
a) Há lucro na venda de 60 unidades 
L= - (60)²+100.60-1600= 800. sim há lucro 
 
b) Para que quantidades o lucro é máximo ou que quantidade maximiza a função lucro 
 
 é máximo para 50 unidades 
 
 
c) Qual o lucro máximo 
 
 
 
 Ou y= - (50)²+100.50-1600=900 o lucro máximo é 900 reais 
 
 
 
 
Exercícios de revisão para resolver: 
 
1. Dadas as funções entre as raízes e o vértice e com os dados trace os gráficos 
a)y= -x²+40x 
b) y= –x²-4x+12 
 
 
2. Sendo a função R= -x²+5000x, calcule o que se pede: 
a) Para que quantidades obtém-se Receita máxima 
b) Qual a Receita na venda de 100 unidades 
c) Qual a Receita máxima 
 
50
1.2
100
.2






a
b
x
36001600.1.4001 2  900
4
3600
.4






a
y
 
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29 
 
3. Um pequeno comerciante nota que para a comercialização de um produto a receita é dada 
pela função e o custo é dado por , onde “x” é a 
quantidade. Lembre-se que L=R-C 
a) Represente graficamente a função receita e analise os dados? 
b) Escreva a função lucro, represente graficamente e analise os dados. 
c) Há lucro na venda de 8 unidades deste produto? Se sim, de quanto? 
d) Qual o custo de 8 unidades do produto? 
 
 
4. Analise os gráficos de acordo com o que se pede: R= -x²+100.x 
 
a) Para quantidade temos receita máxima. 
b)Qual a receita máxima. 
c)O que ocorre com a receita entre 50 e 100 unidades do produto. 
d) Receita para 55 unidades é: 
e)Entre que unidades a receita aumenta. 
 
Respostas: 
1) Raízes Vértice (x,y) 
a 0 e 40 20 e 400 
b -6 e 2 -2 e 16 
 
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30 
 
 
 
2) a) 2500unid b)R$ 490 000 c) R$ 6 250 000 
 
3) a) Receita b) Lucro L=-5x²+100x-375 
 
 
c) Sim a lucro podemos perceber no gráfico. Substituindo x por 8 veremos que o lucro é 
de 105 reais 
d) O custo é 663 reais 
 
 
4) a) 50 unidades b) 2500 reais c) um decréscimo na Receita d) 2475 reais 
e) entre 0 e 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
 
APLICANDO.... Vejamos agora um exemplo: 
 
Um grupo de amigos resolveu montar um pequeno negócio para estampar camisetas. 
Para tornar este negócio rentável é preciso levantar os custos de produção e conhecer o 
número provável de camisetas vendidas. Esta última estimativa pode ser obtida por meio 
de uma pesquisa de mercado e depende do preço de venda de cada camiseta. 
O grupo identificou e levantou os seguintes custos: 
Preço de aquisição da prensa para 
estamparia 
R$ 1250,00 
Preço das camisetas brancas no atacado 
R$ 5,00 
(cada) 
Custo para estampar cada camiseta R$ 2,00 
 
De acordo com os dados levantados o custo total para produzir x camisetasé dado 
por: C=1250+7.x 
O grupo também levantou dados junto a outros fabricantes de camiseta para ajudar a 
decidir o preço apropriado para a venda das camisetas. Para simplificar, vamos admitir 
que não existe competidores na região onde a fábrica será instalada. Dessa maneira, 
quanto mais baixo o preço de venda, maior o número de vendas efetuadas, isto é, o preço 
de venda pode ser determinado em função do número de camisetas que se espera 
vender. Os dados da tabela abaixo resumem a situação. 
Estimativa de Vendas 
(Número Mensal de camisetas) 
Preço por Camiseta 
500 R$17,50 
900 R$15,50 
1300 R$ 13,50 
1700 R$ 11,50 
2100 R$ 9,50 
 
 
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32 
 
a) De acordo com os dados apresentados, verifique que o preço de venda P de x camisetas 
por mês é dado pela função P(x) = 20 - 0,005 x. 
 
b) Escreva a função receita: 
Primeiro vamos pensar na função receita R=p.x logo sabe-se que o preço da camiseta 
varia de acordo com a quantidade p=20-0,005x juntando as informações temos: 
R=p.x 
R=(20-0,005x).x R=20x-0,005x² 
 
c) Escreva a função lucro: 
Para determinar a função lucro, vamos relembrar seu conceito L=R-C 
Sabe-se que R=20x-0,005x² C=1250 +7x juntando as informações temos: 
L=R-C 
L= 20x-0,005x²- (1250+7x) 
L=20x-0,005x²-1250-7x 
L= - 0,005x²+13x-1250 
 
d) Ache o número mínimo de camisetas a serem vendidas para que o custo de estampá-las 
se iguale a renda obtida com a sua venda. “ache x para L=0 ou R=C” 
 
Para tal precisamos encontrar as raízes da função uma das maneiras de fazer isto é 
utilizar a báskara, isto é encontrar os valores de x para L=0 
 
a
ca
ca
a
b
x
2
..4bb-
 xou ..4b onde ,
2
2
2 

 
 
L= - 0,005x²+13x-1250 
-0,005x²+13x-1250=0 a= -0,005 b=13 c= -1250 
a
ca
2
..4bb-
x
2 
 substituindo os valores temos: 
 
 
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33 
 
)005,0.(2
)1250).(005,0.(41313-
x
2


 
01,0
25-16913-
x


 
01,0
44113-
x


 
01,0
1213-
x


 -1/-0,01=100 
 -25/-0,01=2500 
 
Logo as raízes da equação são 100 e 2500, isto é R=C ou L=0 para x=100 e x= 2500 
 
Pensando um pouco mais .... Isto significa que a partir da produção (e venda) de 
100 camisetas a fábrica começa a não ter prejuízo e voltando a ter prejuízo após a 
produção e venda de 2500 camisetas 
 
A figura, mostra o gráfico de L. O eixo horizontal indica o número de camisetas 
produzidas e o vertical mostra o lucro (ou prejuízo), em reais. 
 
 
Verifique que o seu lucro é maior que zero (L>0) quando seu gráfico está acima do eixo x, 
isto é entre as raízes. 
Você percebe também que não há lucro (L<0) para os valores antes e depois das Raízes, 
isto é, antes de 100 e depois de 2500. 
 
Assim, o negócio de estamparia apresentará lucro para produções variando entre 100 e 
2500 camisetas mensais. 
 
 
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34 
 
e) Quantas camisetas devem ser produzidas para que o lucro da fábrica seja o maior 
possível? E qual é este lucro máximo? 
 
 
Neste caso o x do vértice expressa o número de camisetas. 
1300
01,0
13
(-0,005) 2.
13-
 
.2






a
b
xv Camisetas 
O lucro máximo por esta venda é de $ 7.200,00. Você pode descobrir isso substituindo x por 
1300 e descobrindo o lucro ou você pode calcular o y do vértice. 
 
Vejamos: 
L= -0,005x²+13.x-1250 
L= -0,005. (1300)²+13. 1300-1250= 7200 
Ou: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
Atenção é importante ter claro: 
Grandes vendas não significam necessariamente, lucros maiores. O gráfico da função L 
mostra que se o nível de produção estiver entre A e V', quanto maior for o número de 
camisetas produzidas maior será o lucro obtido. Se, no entanto, o nível de produção 
estiver entre V' e B aumentar a produção significa diminuir o lucro. (Lembre-se que para 
vender um grande número de camisetas será necessário baixar o preço unitário.) 
 
Exemplo dois: 
Analise o gráfico abaixo: 
Observe que o maior lucro 
está localizado no vértice. 
Assim a partir dele podemos 
calcular o número de 
camisetas são necessárias 
serem vendidas para obter 
este lucro máximo. 
 
 
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35 
 
 
a) A função custo no gráfico representa uma função do ________________, pois seu 
gráfico é uma ____________________. 
b) A função receita no gráfico representa uma função do _____________________, pois 
seu gráfico é uma ____________________________. 
c) O custo fixo é:______________________________ 
d) O que acontece com o lucro entre: 
10 e 50 unidades:_______________________________ 
50 e 70 unidades:________________________________ 
e) Há lucro na venda de 9 unidades do produto? Por quê? 
 
 
f) Qual o mínimo de unidades que devem ser vendidas para começar a lucrar? 
__________________________________________________________________ 
g)Há lucro entre que quantidades? 
__________________________________________________________________ 
h) Quando deve ser vendido para maximizar a receita e o lucro? 
__________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
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36 
 
Exercícios de aplicação 
 
1. Uma empresa vende cada unidade de seus produtos por $ 20,00. O custo da produção de 
“x” unidades é dado por . Quantas unidades do produto devem ser 
vendidas para se obter um lucro de $ 800,00? 
 
2. O custo de um edifício foi de 600 mil dólares. O construtor espera que a receita R, em 
milhares de dólares, apurada pelas vendas dos apartamentos cresça de acordo com a 
função , em que “x” é o número de apartamentos vendidos. 
a) Escreva a função lucro 
b) Qual o menor número de apartamentos que devem ser vendidos para que o lucro passe a 
ser positivo? 
 
3. Suponha que o consumo em litros de um carro, para percorrer 100 km com velocidade de x 
km/h, seja dado por ( ) . 
a) Para qual velocidade esse consumo é mínimo? 
b) Qual o consumo mínimo? 
 
4. A função de demanda para certo produto é , sendo a função custo, 
 
a) Determine a função receita e faça seu gráfico 
b) Para qual quantidade obtemos receita máxima? Qual a receita máxima? 
. 
5. Dadas às funções de Demanda e a função Custo . 
a) Obtenha a quantidade que maximiza a receita. 
b) Obtenha a receita máxima. 
c) Obtenha a quantidade que maximiza o lucro. 
d) Obtenha o lucro máximo 
 
6. Sabe-se que o custo de produção de um produto depende de muitos fatores entre eles a 
quantidade que irá ser produzida. Considere uma função custo dada por 
 
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37 
 
 , onde “x” expressa a quantidade do produto. Qual o custo para 
produzir 100 unidades? 
 
Respostas: 
1. 24,65 aproximadamente 25 unidades ( como é um problema não se aceita o 
resultado negativo 
 
2. a)L= -x²+62x-600 b)13 
 
3. .50km/h 10 litros 
 
4. 
a) R= 90x-x² b) 45 und 2025 reais 
 
 
5. a)5 b)50 c) 4 d) 27 
 
 
6. 10 000 reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38 
 
Tópico seis: Aplicações de função exponencial e logarítmica 
Definição: Dado um número real a, tal que a > 0 e a ≠ 1, a f(x)= a x , é chamado função 
exponencial de base a. 
As funções exponenciais e algumas propriedades dos logaritmos são bastante utilizadas, 
por exemplo: namatemática financeira, crescimento ou decrescimento populacional entre 
outros. 
Exemplo 1: 
Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de $ 10.000,00 e cujo 
montante da dívida seja corrigido a uma taxa de juros de 5% que incide mês a mês sobre 
o montante do mês anterior. 
a) Qual o montante daqui a três meses? 
Analisando o problema temos: 
Montante=Valor inicial +5% do valor inicial 
M=10 000+ (0,05. 10 000) = 10 000 + 500 = 10500 montante do primeiro mês 
M=10 500 + (0,05. 10500) = 10500 +525= 11025 montante do segundo mês 
M= 11 025 + (0,05 . 11025) =11025+ 551,25=11 576,25 montante do terceiro mês 
 
 
 
 
 
 
 
M= C . (1+i).(1+i). (1+i) 
 M= 10 000 . (1+0,05).(1+0,05). (1+0,05)= 11 576,25 
Ou ainda: Como o fator (1+i) se repete pode ser escrito em 
forma de potência .(1+i) Assim temos: M=C.(1+i) 
M=montante C=capital aplicado i= taxa de 
correção n= prazo 
M=? C= 10 000 i=5%=0,05 n=3 
 
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39 
 
 
 
b) Em quanto tempo o montante será de 70 400? 
Dados: M=70 400 C=10 000 i=0,05 n=? substituindo temos: 
M=C.(1+i) n 
70 400=10 000 . (1+0,05) n 
70 400/10 000=1,05 n 
7,04=1,05 n 
log 7,04= n. log 1,05 
log 7,04/log1,05=n 
40=n 
Em 40 meses ele vai acumular o valor 
 
 
c) A representação gráfica: 
Vamos montar o gráfico, para tal monte uma tabela e escolha os valores que quiser, mas 
comece sempre pelo zero. 
 
 
n(tempo) M (R$) 
0 M=10 000 . (1+0,05) 0 =10 000 
5 M=10 000 . (1+0,05) 5 =12 762,81 
10 M=10 000 . (1+0,05) 10 =16 288,94 
Veja que precisamos descobrir o n 
que é nosso expoente. 
Para isso vamos utilizar a 
propriedade dos logaritmos log a
= n.log a . Porém, cuidado como se 
trata de uma igualdade é 
necessário aplicar nos dois 
membros da igualdade. 
 
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40 
 
 
 
Exemplo dois: 
Considere uma máquina cujo valor é depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa 
que incide sobre o valor na máquina no ano anterior. Nessas condições, se o valor inicial 
da máquina é $240.000,00 e a depreciação é de 15% ao ano. 
 
a) Qual o valor desta máquina em três anos. 
Para resolver vamos utilizar os conceitos trabalhados anteriormente, porem agora a uma 
perda logo o fator multiplicador não será (1+i) e sim (1-i). Logo podemos pensar numa 
fórmula. 
Dados: 
Valor inicial (VI)= 240.000 valor posterior(V)=? Tempo (n)=3 taxa( i)=15%=15/100=0,15 
 
V=VI . (1-i) n 
V=240.000 . (1-0,15) 3 
V=240.000 . 0,85 3 = 147 390 
 
Em três anos a máquina custará 147 390 reias 
 
 
 
 
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b) Em quanto tempo a máquina terá o valor de $ 90.516,00? 
V=240 000 . 0,85 n 
90 516= 240.000 . 0,85 n 
90 516/240.000=0,85 n 
0,37715=0,85 n 
log 0,37715=n. log 0,85 
log 0,37715/log0,85=n 
5,9999=n 
 Isto é, em 6 anos. 
 
c) Qual a perda, em reais, deste equipamento em três anos? 
Hoje refere ao tempo zero onde o equipamento vale $ 240.000 
Em três anos já calculamos anteriormente o chegamos ao valor de $ 147.390 
Para calcular a perda basta subtrair 
240.000 – 147.390 = 92.610 
Em três anos a desvalorização foi de $ 92.610,00 
 
d) Representação gráfica. 
n(tempo) v ($) 
0 V=240000 . 0,85 0 =240 000 
5 V=240000 . 0,85 5 =106 489,27 
10 V=240000 . 0,85 10 =47 249,86 
Sempre que precisar descobrir o 
expoente não esqueça aplicar a 
propriedade dos logaritmos 
log a = n.log a . 
Cuidado como se trata de uma igualdade 
é necessário aplicar nos dois membros 
da igualdade. 
 
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Como podemos perceber a função exponencial pode ser: 
 
Crescente Decrescente 
 
 
 
Cuidado como não cresce ou decresce de maneira proporcional vai ficar uma curva 
e não uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios de aplicação 
 
1. No início deste século, a população da Índia girava em torno de 2 bilhões de 
habitantes. Supondo que ela cresça 10% em cada década. 
a) Escreva a sentença (fórmula) que representa essa situação: 
b) Em quantas décadas a população será de aproximadamente 2,42 bilhões de 
habitantes? 
c) Em 2030 terá aproximadamente quantos habitantes? 
 
2. Uma microempresa realizou um empréstimo no valor de $ 5.000,00. A cada trimestre 
sem pagamento, o valor que deverá ser pago pelo empréstimo é corrigido aplicando-
se uma taxa de juros trimestral de 10%. 
a) Escreva a sentença (fórmula) que representa essa situação: 
b) Qual será o valor da dívida dessa empresa após o 2º trimestre? 
c) Quantos anos são necessários para que essa dívida seja de $ 7.320,50? 
d) Mostre a evolução da dívida desde o momento inicial do empréstimo através de um 
gráfico? 
 
3. Um automóvel usado foi comprado por $ 38.000,00 teve uma desvalorização de 10% 
em relação ao ano anterior. 
a) Escreva a sentença (fórmula) que representa essa situação: 
b) Qual era o valor do automóvel ao final desses 3 anos? 
c) Quanto desvalorizou este carro em três anos? 
d) Em quanto tempo o carro estará valendo $ 22.438,62? 
e) Represente graficamente a situação? 
 
4. A cada balanço anual, uma firma tem apresentado um aumento de 10% de seu 
capital. Considerando Q o seu capital inicial, a expressão que fornece esse capital C, 
ao final de cada t anos em que essas condições permanecem, é: 
a) C=Q.(1,1) t b) C=C.(1,1) t c) C=Q.(0,1) t d) Q=C.(1,1) t e) C=Q.(10) t 
 
 
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5. Devido a declínio da qualidade de vida de um bairro, prevê-se que, durante os 
próximos 4 anos, um imóvel sofrerá uma desvalorização de 10% ao ano. 
a) Se hoje o valor do imóvel é de $ 200.000,00, escreva uma equação que 
expresse o valor do imóvel (V), em reais, em função do tempo (t), em ano. 
b) Qual será o valor deste imóvel daqui a 4 anos? 
c) Qual a desvalorização? 
d) Represente graficamente esta desvalorização? 
 
6. Uma cidade cresce de modo exponencial ( ) , onde “P” é a população 
em milhões de habitantes e “t” é dado em anos. Qual será a população daqui uma 
década? 
 
7. O preço de uma mercadoria em janeiro era de $ 12,00 e vem evoluindo com a 
inflação tendo um aumento de 0,5% ao mês. A partir da função: 
 ( ) , onde “P” é o preço e “t” é o tempo em meses. 
a) Calcule aproximadamente em que mês do ano o preço atingiu $ 12,24 e 
$ 12,62? 
b) Se a inflação continuar assim durante todo o ano, quanto custará este produto 
em janeiro do próximo ano? 
 
8. Daqui a t anos o valor de uma máquina será ( ) . Daqui a quantos anos 
seu valor se reduzirá à metade? 
 
9. O preço de uma mercadoria no início do ano passado era de $ 10,00 e evoluiu com 
a inflação, de acordo com a função ( ) , onde “P” é o preço e “t” é o 
tempo em meses, a partir do início de janeiro. Em que mês do ano o preço atingiu: 
a) $ 20,00? 
b) $ 25,00? 
 
10. Um laboratório, ao lançar um novo produto de beleza, estabelece uma função que 
dá a quantidade y procurada do produto no mercado em função da quantidade x de 
caixas com certa quantidade de amostras, que foram distribuídas entre donas de 
 
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casa. A função estabelecida foi ( ) . Quantas caixas de amostras 
devem ser distribuídas para que a quantidade procurada seja: 
a) 500 ? 
b) 1000 ? 
c) 2000 ? 
 
11. Uma pessoa faz um empréstimo de $ 35.000,00, que será corrigido de formaexponencial a uma taxa de 3,5%ao mês. Após quanto tempo o montante estará em 
$ 50.000,00? 
 
12. Uma máquina copiadora após a compra tem seu valor depreciado de forma 
exponencial a uma taxa de 1,15% ao ano. O valor na compra desta máquina é de $ 
68.500,00? Qual o valor da máquina daqui a 10 anos? 
 
13. Um trator tem seu valor dado pela função ( ) , em reais, onde “x” 
representa o ano após a compra de um trator. 
a) Calcule o valor do trator após 1 e 10 anos de compra. 
b) Qual o valor do trator na data da compra? 
c) Após quanto tempo o valor do trator será $ 90.000,00? 
 
Respostas: 
1. a) P= 2. 1,1 t b) 2 décadas c) 2,662 bilhões de habitantes 
2. a) V=5000. 1,1 t b) 6050 reais c)4 trimestre=1ano d) gráfico 
 
 
3. a) V= 38 000 . 0,9 t b)27 702 reais c)10298 reais d) em 5 anos e) gráfico 
 
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4. A 
5. a) V=200 000 . 0,9 t b)131 220 reais c)68780 d) gráfico 
 
6. Aproximadamente 298 mil habitantes 
 
7. a) n=4 que representa maio n=10 representa novembro b)12,74 
 
8. 3,10 anos = 3 anos 1mes 6 dias 
 
9. a)No nono mês se janeiro é o inicio corresponde ao tempo zero assim o nono mês 
vai corresponder a outubro b)11,9 aprox. 12 No mês de janeiro do outro ano 
 
10. a) 9,613= aprox. 10 caixas b) 16,88= aprox. 17 caixas c)24,15 aprox. 24 caixas 
 
11. 10,36= 10 meses 11 dias 
 
12. 61 017,90 
 
13. a)R$ 113 750 e 48 677,01 b)125000 c)3,48 anos= 3anos 5 meses e aprox. 23 
dias