Alexandre_Lopes_Galo

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MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Cap ALEXANDRE GALO LOPES
COMPORTAMENTO MECÂNICO DA FRATURA DE 
MATERIAL COMPÓSITO EMPREGADO NA AVIAÇÃO
Rio de Janeiro
2012
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Cap ALEXANDRE GALO LOPES
COMPORTAMENTO MECÂNICO DA FRATURA DE MATERIAL 
COMPÓSITO EMPREGADO NA AVIAÇÃO
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de 
Mestrado em Engenharia Mecânica do Instituto Militar 
de Engenharia, como requisito parcial para a obtenção 
do título de Mestre em Ciências em Engenharia 
Mecânica.
Orientador: Prof. Arnaldo Ferreira – Ph D
Rio de Janeiro
2012
1
c2012
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha 
Rio de Janeiro – RJ CEP: 22290-270
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo 
em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de 
arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre 
bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja 
ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que 
sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do 
orientador.
2
621.092 Lopes, Alexandre Galo
L864c Comportamento Mecânico da Fratura do Material Compósito
 Empregado na Aviação / Alexandre Galo Lopes. - Rio de Janeiro: 
I Instituto Militar de Engenharia, 2012.
151 p. : il.
Dissertação (mestrado). - Instituto Militar de Engenharia. 
- Rio de Janeiro, 2012
1. Engenharia mecânica - dissertação. 2. Compósitos. 
3.Aviação.
I. Lopes, Alexandre G. II. Título. III Instituto Militar de 
Engenharia.
CDD 621.092
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Cap ALEXANDRE GALO LOPES
COMPORTAMENTO MECÂNICO DA FRATURA DE MATERIAL 
COMPÓSITO EMPREGADO NA AVIAÇÃO
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia 
Mecânica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a obtenção do 
título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Arnaldo Ferreira – Ph. D.
Aprovada em 23 de janeiro de 2012 pela seguinte Banca Examinadora:
_______________________________________________________________
Prof. Arnaldo Ferreira – Ph.D. do IME - Presidente
_______________________________________________________________
Prof. Fernando Ribeiro da Silva – D. Sc. do CEFET/RJ
_______________________________________________________________
Prof. Ricardo Pondé Weber – D. C. Do IME
_______________________________________________________________
Prof. Marco Antônio Santos Pinheiro – Ph.D do IPRJ/UERJ
Rio de Janeiro
2012
3
Aos companheiros que alçaram o mais alto dos 
voos, no cumprimento do dever.
4
AGRADECIMENTOS
Ao longo dos últimos dois anos, muitas pessoas de uma maneira direta ou indireta 
dedicaram parte do seu precioso tempo para prestar o apoio necessário à consecução 
dos objetivos voltados à presente dissertação. Desde a atenção familiar até o suporte 
técnico e logístico, todas essas pessoas foram partícipes do processo de construção do 
conhecimento adquirido, conjunto de informações essas que não apenas serão parte 
constituinte das minhas habilidades acadêmicas e profissionais, mas também 
contribuirão com uma parcela no desenvolvimento científico e tecnológico do Exército 
Brasileiro.
• A Laureci Galo Lopes, mãe, e a Cristiane Brutti da Silva, esposa, pelo apoio e 
compreensão no decurso desta dura jornada, durante a qual foram sacrificadas 
preciosas horas de convivência familiar;
• A Marcos Paulo Cavaliere de Medeiros – Cap QEM, da Seção de Engenharia Nuclear 
do Instituto Militar de Engenharia, a Luis Felipe Garcia Fernandes – TC QMB, ex-diretor 
do Parque Regional de Manutenção da 3ª Região Militar e a Wlasmir Cavalcanti de 
Santana – Maj QEM, da Assessoria/1 do Departamento de Ciência e Tecnologia, que 
contribuíram para a minha designação para realizar o Curso de Mestrado em 
Engenharia Mecânica;
• Ao Prof. Arnaldo Ferreira – Cel (R/1), PhD, orientador acadêmico, ao Prof. Ricardo 
Pondé Weber – DC, ao Prof. João Carlos Miguez Suarez – Cel (R/1), DC, ao Prof. 
Claudio Rios Maria, DC, ao Prof. Carlos Nelson Elias – Cel (R/1), DC, ao Prof. André 
Louzada Moreira – TC QEM, DC, todos da Seção de Engenharia Mecânica e de 
Materiais, do Instituto Militar de Engenharia, pela ajuda, estímulo, ensinamentos, 
interesse e sugestões presentes em várias ocasiões desta pesquisa;
• Ao Centro Tecnológico do Exército, em especial a André Luis de Vasconcelos Cardoso 
– Maj QEM, DC, a Leonardo Bruno de Sá – Cap QEM, a Ivan Ignácio de Almeida, Eng, 
a Victor de Miranda Santos, Tec Mec, a Francisco dos Santos, Aux Mec, pelo apoio e 
orientações durante a realização dos ensaios mecânicos;
5
• Aos demais professores e técnicos do programa de Mestrado em Engenharia 
Mecânica, em especial a Joel Fonseca dos Santos e a Leonardo Francisco da Cruz, 
pelo auxílio nos trabalhos do Laboratório de Microscopia Eletrônica e no Laboratório de 
Ensaios Mecânicos, respectivamente;
• À Diretoria de Material de Aviação do Exército, em especial a Eliezer Mello de Souza – 
Maj QEM, a Daniel Guilherme da Silva Júnior – Cap QEM e a Luis Fabiano Damy – Cap 
QEM, pelas informações técnicas e pelo auxílio prestado para a obtenção da pá 
destinada a esta pesquisa;
• Ao Batalhão de Manutenção e Suprimento de Aviação do Exército, em particular a 
Rodrigo do Valle Macêdo – Cap Com, a Cicero Adriano do Nascimento – Cap QMB, a 
Emmanuel Araujo Machado – Cap QEM, a João Uirá de Azevedo Júnior – 2° Sgt Av, 
Eng, a Wagner Bonifácio de Oliveira – 3º Sgt QE, pelo fornecimento de informações 
técnicas e pelo apoio prestado durante todo o tempo de trabalho;
• Ao Centro de Instrução Pára-quedista General Penha Brasil – Curso de Precursor 
Pára-quedista, pelo apoio prestado durante o transporte da pá da Guarnição de Taubaté 
para o IME, apoio este fundamental para a realização do trabalho;
• A Wander Ney Oliveira Bastos Gonçalves – Cap QEM, do Arsenal de Guerra do Rio, 
pela ajuda prestada na confecção dos suportes para a realização dos ensaios 
mecânicos;
• A Luis Carlos Largura Júnior – Eng, MC, do Centro de Pesquisas e Desenvolvimento 
Leopoldo Américo Miguez de Mello, da PETROBRAS, pelas sugestões, apoio, estímulo 
e amizade durante todo o desenvolvimento do trabalho;
• A Marcelo Fonseca dos Santos – Eng, MC, do Centro de Pesquisas e 
Desenvolvimento Leopoldo Américo Miguez de Mello, da PETROBRAS, pela troca de 
informações e pelas sugestões para realização dos ensaios mecânicos de fratura;
• A Janaina Dallas Caroline Bárbara Di Kássia Fonseca da Silva, a Hugo Leonardo de 
Aquino Keide, a Rodrigo Vieira Landim, do Instituto Nacional de Tecnologia pelo 
interesse, ajuda e incentivo dispensados, permitindo a utilização das dependências e 
equipamentos, que muito enriqueceram este trabalho;
• A Mirabel Cerqueira Rezende, DC, a Michelle Leali Costa, DC, ambas do Centro 
Tecnológico de Aeronáutica, a Leandro Pereira Costa – Eng, MC, da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul, pelas muitas sugestões, conselhos e troca de 
6
informações durante a realização desta Dissertação;
• Ao Centro de Instrução de Aviação do Exército, pelo fornecimento de material de 
pesquisa, fundamental para a compreensão dos mecanismos do conjunto pá e rotor 
principal;
• A Fabio Bicalho Cano – TC QEM, chefe da Seção de Engenharia Química, do Instituto 
Militar de Engenharia, pelo apoio prestado na execução de ensaios térmicos e pela 
disponibilização do espectrômetropara a caracterização do material em estudo;
• A Marco Aurélio Silva Amorim – ST Topo, da Seção de Engenharia Cartográfica, do 
Instituto Militar de Engenharia, pelo apoio prestado na Guarnição de Taubaté e nas 
instalações do IME, no que se refere às medições do componente analisado;
• A todos que embora não citados aqui, mas de uma maneira direta ou indireta 
contribuíram para atingir os objetivos traçados neste trabalho, os meus sinceros 
agradecimentos.
BRASIL, Acima de Tudo!
7
“A intuição, não testada e não comprovada, é uma 
garantia insuficiente da verdade”.
(Bertrand Russel)
8
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES..........................................................................................12
LISTA DE TABELAS...................................................................................................18
LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS................................................................20
LISTA DE SIGLAS......................................................................................................23
1 INTRODUÇÃO..............................................................................................26
1.1 Importância do Estudo..................................................................................26
1.2 Objetivos........................................................................................................28
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA..........................................................................30
2.1 Conceitos Básicos sobre Compósitos...........................................................31
2.2 Conceitos Fundamentais sobre Compósitos Poliméricos.............................35
2.3 Compósitos Poliméricos de Matriz Epoxídica................................................37
2.4 Comportamento Mecânico.............................................................................39
2.5 Mecânica da Fratura......................................................................................48
2.5.1 Fratura no Nível Atômico...............................................................................48
2.5.2 Balanço de Energia de Griffith.......................................................................50
2.5.3 Equação de Griffith Modificada......................................................................51
2.5.4 Taxa de Liberação de Energia.......................................................................52
2.5.5 Fator de Intensidade de Tensões..................................................................52
2.5.6 Relação Entre K e G......................................................................................56
2.5.7 Relação Entre EPT e EPD.............................................................................56
2.5.8 Trabalho Essencial de Fratura (EWF)...........................................................58
2.5.9 Fadiga.............................................................................................................60
2.6 Mecânica da Fratura de Material Compósito de Matriz Epoxídica................62
3 MATERIAL E MÉTODOS..............................................................................64
3.1 Material...........................................................................................................64
3.2 Métodos..........................................................................................................65
3.2.1 Caracterização Físico-química.......................................................................65
9
3.2.1.1 Verificação da Fusibilidade............................................................................66
3.2.1.2 Identificação da Resina Epoxídica por Solubilização....................................66
3.2.1.3 Determinação da Dureza...............................................................................67
3.2.1.4 Determinação da Densidade Relativa...........................................................67
3.2.1.5 Inflamabilidade...............................................................................................69
3.2.1.6 Análise Termogravimétrica (TGA).................................................................69
3.2.1.7 Espectroscopia Infravermelha por Transformada de Fourier (FTIR)............69
3.2.1.8 Microscopia Eletrônica de Varredura (MEV).................................................70
3.2.2 Ensaios Mecânicos........................................................................................71
3.2.2.1 Ensaio de Tração...........................................................................................71
3.2.2.2 Ensaio de Resistência à Fratura....................................................................72
3.2.2.3 Ensaio de Fadiga...........................................................................................75
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO.....................................................................79
4.1 Rotina Computacional para Laminados com Fibras Unidirecionais..............79
4.2 Caracterização Físico-química.......................................................................81
4.2.1 Verificação da Fusibilidade............................................................................81
4.2.2 Identificação da Resina Epoxídica (ER) por Solubilização..........................83
4.2.3 Determinação da Dureza...............................................................................85
4.2.4 Determinação da Densidade Relativa...........................................................86
4.2.5 Inflamabilidade..............................................................................................88
4.2.6 Outros Ensaios Químicos..............................................................................88
4.2.7 Análise Termogravimétrica............................................................................89
4.2.8 Espectroscopia Infravermelha por Transformada de Fourier (FTIR)............92
4.2.9 Microscopia Eletrônica de Varredura (MEV)...............................................102
4.3 Ensaios Mecânicos......................................................................................105
4.3.1 Ensaio de Tração.........................................................................................105
4.3.2 Ensaio de Resistência à Fratura..................................................................108
4.3.3 Ensaio de Fadiga.........................................................................................109
5 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL...............................................................114
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES.................................................................126
10
6.1 Conclusões...................................................................................................126
6.2 Sugestões....................................................................................................128
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................130
8 APÊNDICES................................................................................................134
8.1 APÊNDICE I: Rotina em Scilab...................................................................135
8.2 APÊNDICE II: Comparação de Dados........................................................141
8.3 APÊNDICE III: Desenho do acoplamento...................................................146
8.4 APÊNDICE IV: Pontos teóricos do perfil ONERA OA209...........................147
8.5 APÊNDICE V: Pontos tomados com a pá na horizontal.............................150
8.6 APÊNDICE VI: Pontostomados com a pá acoplada à aeronave...............151
11
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG. 1.1 Propagação de descontinuidade no extradorso da pá.................................27
FIG. 1.2 Deflexão das pás do HA-1 Esquilo...............................................................27
FIG. 1.3 Fluxograma da dissertação...........................................................................29
FIG. 2.1 Classificação de compósitos (Callister, 2008)..............................................32
FIG. 2.2 Interfase e interface em materiais compósitos (Rezende et al, 2011).........33
FIG. 2.3 Tensões internas entre as camadas de compósitos de fibras contínuas 
(Rezende et al, 2011)..................................................................................................34
FIG. 2.4 Padrões bidimensionais típicos de tecidos (Tong et al, 2002).....................34
FIG. 2.5 Estrutura das cadeias de Kevlar (Callister, 2008)........................................37
FIG. 2.6 Estrutura química de uma resina epóxi (Epóxi – Wikipedia)........................38
FIG. 2.7 Material com fibra frágil e matriz dúctil (Callister, 2008)...............................40
FIG. 2.8: Sistema de coordenadas globais em relação ao sistema de coordenadas 
locais............................................................................................................................42
FIG. 2.9 Locais das camadas em uma estrutura laminada (Kaw, 2006)...................45
FIG. 2.10 Fluxograma de projeto................................................................................47
FIG. 2.11 Distância interatômica (Anderson, 1994)....................................................49
12
FIG. 2.12 Energia potencial e força como funções da distância de separação 
atômica (Anderson, 1994)...........................................................................................49
FIG. 2.13 Trinca passante numa placa submetida a uma tensão trativa remota 
(Anderson, 1994).........................................................................................................51
FIG. 2.14 Coordenadas na ponta da trinca (Anderson, 1994)...................................53
FIG. 2.15 Modos de carregamento e falha (Anderson, 1994)....................................53
FIG. 2.16 Efeito da concentração de tensões sobre a largura da placa (Anderson, 
1994)............................................................................................................................55
FIG. 2.17 Comparação entre as correções devidas à largura finita para um CP tipo 
CCT (Center Cracked Tension) (Anderson, 1994).....................................................55
FIG. 2.18 Estado triaxial de tensões próximo à ponta da trinca (Anderson, 1994). . .57
FIG. 2.19 Efeito da espessura na resistência à fratura de um CP submetido ao Modo 
I (Anderson, 1994).......................................................................................................57
FIG. 2.20 Esquema básico do método EWF e as restrições geométricas para o CP 
tipo DENT (Peres, 2009).............................................................................................59
FIG. 2.21 Aumento no comprimento da trinca "a" a partir do comprimento inicial "ai", 
em função do número de ciclos para 3 intervalos de tensão (Shigley et al, 2005)....60
FIG. 2.22 Comportamento típico de crescimento de trinca em metais (Anderson, 
1994)............................................................................................................................61
FIG. 3.1 Epoxietano (Óxido de Etileno - Wikipedia)...................................................70
FIG. 3.2 Corpo de prova instrumentado.....................................................................72
13
FIG. 3.3 CP pronto para o ensaio (vista frontal).........................................................73
FIG. 3.4 CP pronto para o ensaio (vista lateral).........................................................73
FIG. 3.5 Máquina de ensaios universal eletromecânica Instron................................74
FIG. 3.6 Acoplamento para o CP................................................................................74
FIG. 3.7 CP tipo ESE(T)..............................................................................................75
FIG. 3.8 Esquema do CP tipo ESE(T) (ASTM E647).................................................76
FIG. 4.1 Camadas 1 (Esq) e 2 (Dir) mais internas à pá, nessa ordem......................82
FIG. 4.2 Camadas 3 (Esq) e 4 (Dir) mais externas....................................................82
FIG. 4.3 Amostra antes do ataque químico................................................................85
FIG. 4.4 Amostra após o ataque químico...................................................................85
FIG. 4.5 TGA do material em estudo..........................................................................90
FIG. 4.6 TGA de uma amostra de epóxi (Stern e Dierdoff, 2005)..............................90
FIG. 4.7 FTIR da matriz...............................................................................................93
FIG. 4.8 Comparação entre espectros de análise FTIR (NIST).................................95
FIG. 4.9 FTIR oxirano (NIST)......................................................................................96
FIG. 4.10 FTIR 2-propanol (NIST)..............................................................................97
FIG. 4.11 FTIR etil-éter (NIST)....................................................................................98
14
FIG. 4.12 p-metil-anisol (NIST)...................................................................................99
FIG. 4.13 FTIR p-metil-anisol (NIST)..........................................................................99
FIG. 4.14 Análise dos picos (NIST)..........................................................................100
FIG. 4.15 Diagrama de ocorrência de picos para diversos materiais (Silverstein et al, 
2005)..........................................................................................................................101
FIG. 4.16 Micrografia MEV de uma fibra..................................................................102
FIG. 4.17 Micrografia MEV de um feixe de fibras (vista superior)............................103
FIG. 4.18 Micrografia MEV da seção de um feixe de fibras.....................................103
FIG. 4.19 Micrografia MEV detalhando uma região do feixe de fibras....................104
FIG. 4.20 Área tomada como referência, em razão da nitidez da micrografia, para 
estimar-se a densidade planar de fibras...................................................................104
FIG. 4.21 Resultados dos ensaios de tração............................................................105
FIG. 4.22 Codificação para modos típicos de falha (ASTM D3039)........................106
FIG. 4.23 CP após o ensaio......................................................................................107
FIG. 4.24 CP de 4 camadas, com falha no furo de acoplamento............................109
FIG. 4.25 CP tipo SENT acoplado por garras..........................................................110
FIG. 4.26 Utilização da iluminação indireta para a visualização da trinca...............111
FIG. 4.27 CP falhado após ensaio de fadiga............................................................112
15
FIG. 5.1 Configuração geométrica da pá (THM)......................................................114
FIG. 5.2 Representação tridimensional da pá..........................................................115
FIG. 5.3 Perfil ONERA 209 (Airfoil Investigation Database).....................................115
FIG. 5.4 Região de elevada rigidez...........................................................................117
FIG. 5.5 Secção da pá contendo o perfil aerodinâmico...........................................117FIG. 5.6 Materiais que compõem a pá (THM - HELIBRAS, 2003)...........................118
FIG. 5.7 Esboço do perfil real, obtido a partir de uma seção aerodinâmica............118
FIG. 5.8 Execução das medições da pá, na horizontal............................................119
FIG. 5.9 Acoplamento da pá na aeronave para medição dos pontos de interesse 119
FIG. 5.10 Carga distribuída sobre o CG...................................................................120
FIG. 5.11 Malha do modelo.......................................................................................121
FIG. 5.12 Comparação ilustrativa entre o modelo computacional e o componente 
real.............................................................................................................................121
FIG. 5.13 Deslocamentos devidos ao peso-próprio.................................................122
FIG. 5.14 Campo de deformações na direção longitudinal......................................122
FIG. 5.15 Intensidade de deformações longitudinais na região da trinca................123
FIG. 5.16 Dimensões da cauda da pá (HELIBRAS, 2010)......................................123
16
FIG. 8.1 Resultados de deformações globais obtidos por Kaw (1997) e Ramsaroop e 
Kanny (2010).............................................................................................................141
FIG. 8.2 Resultados de tensões globais obtidos por Kaw (1997) e Ramsaroop e 
Kanny (2010).............................................................................................................142
FIG. 8.3 Resultados de deformações locais obtidos por Kaw (1997) e Ramsaroop e 
Kanny (2010).............................................................................................................143
FIG. 8.4 Resultados de tensões locais obtidos por Kaw (1997) e Ramsaroop e 
Kanny (2010).............................................................................................................144
FIG. 8.5 Razão de carga (SR) obtida por Ramsaroop e Kanny (2010)...................145
17
LISTA DE TABELAS
TAB. 1 Seleção dos materiais conforme a natureza das solicitações.......................31
TAB. 2 Campos de tensão, deformação e deslocamento para materiais isotrópicos 
lineares elásticos.........................................................................................................54
TAB. 3 Dimensões dos CP tipo ESE(T)......................................................................76
TAB. 4 Dados para o cálculo de estruturas laminadas grafite-epóxi.........................80
TAB. 5 Valores comparativos para a região central da camada 2, apresentados por 
duas rotinas computacionais.......................................................................................80
TAB. 6 Tabela de análise de fusibilidade...................................................................81
TAB. 7 Tabela de análise de solubilidade..................................................................84
TAB. 8 Valores obtidos no ensaio de dureza Shore D...............................................86
TAB. 9 Dados do CP...................................................................................................86
TAB. 10 Dados da fase dispersa................................................................................87
TAB. 11 Propriedades dos constituintes do material compósito................................88
TAB. 12 TGA de várias amostras de epóxi................................................................91
TAB. 13 TGA da amostra em estudo..........................................................................91
TAB. 14 Tabela de comparação de números de onda (cm-1)....................................94
18
TAB. 15 Valores comuns de números de onda (cm -1) em compostos semelhantes à 
matriz...........................................................................................................................95
TAB. 16 Valores dos números de onda (cm-1) em análise de FTIR do oxirano.........97
TAB. 17 Valores dos números de onda (cm-1) em análise de FTIR do 2-propanol. . .97
TAB. 18 Valores dos números de onda (cm-1) em análise de FTIR do etil-éter.........98
TAB. 19 Valores dos números de onda (cm -1) em análise de FTIR do p-metil-
anisol........................................................................................................................ 99
TAB. 20 Códigos para os CP ensaiados..................................................................107
TAB. 21 Valores de K translaminar...........................................................................108
TAB. 22 Ajuste de curvas para o perfil teórico ONERA 209....................................116
TAB. 23 Dados de entrada........................................................................................125
TAB. 24 Resultados de deformações globais obtidos pelo programa Laminados 
2-D.............................................................................................................................141
TAB. 25 Resultados de tensões globais obtidos pelo programa Laminados 2-D....142
TAB. 26 Resultados de deformações locais obtidos pelo programa Laminados 
2-D...........................................................................................................................143
TAB. 27 Resultados de tensões locais obtidos pelo programa Laminados 2-D......144
TAB. 28 Razão de carga (SR) calculada pelo programa Laminados 2-D................145
19
LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS
ABREVIATURAS
a - Comprimento da trinca (índices: 0-inicial, f-final, c-crítico)
A - Área de seção transversal
A, B, D - Componentes da matriz de rigidez
Ar - Massa de uma camada de reforço por unidade de área
b -
Fator de forma relacionado com a dimensão da zona plástica normal 
à linha da trinca
B - Espessura
BR - Polibutadieno 
C, m - Coeficientes de Paris
CG - Centro de gravidade
Cnxn - Matriz de rigidez (n linhas e n colunas)
CP - Corpo de prova
DGEBA - Diglicidil éter do bisfenol-A
E - Módulo de elasticidade (índice: cl-compósito na direção longitudinal); na seção 2.5.2, indica a energia total do sistema
EPD - Estado plano de deformações
EPDM - Borracha de etileno-propileno-dieno
EPT - Estado plano de tensões
ER - Resina epoxídica
EWF - Trabalho Essencial de Fratura (Essential Work of Fracture)
f - Fração volumétrica
Fc - Carga total suportada pelo compósito
Ff - Carga suportada pelas fibras
Fm - Carga suportada pela matriz
Fn - Força centrífuga (índices: n-componente normal, t-componente tangencial)
FTIR - Espectroscopia Infravermelha por Transformada de Fourier
g - Aceleração da gravidade
G, μ - Módulo de cisalhamento; na seção 2.5.4, indica a taxa de liberação de energia
GFRP - Compósitos poliméricos reforçados por fibras de vidro
20
h - Horas
HDPE - Polietileno de alta densidade
hk -
Distância do topo da camada de um laminado até a sua base, na k-
ésima camada
Hn - Parâmetros de Tsai-Wu
IIR - Borracha de Isobutileno Isopreno 
IR - Borracha de poliisopreno 
IR - Infravermelho
K - Fatores de concentração de tensão
Kic - Fator de intensidade de tensões crítico, no modo I de falha
KTL - Fator de intensidade de tensões translaminar
LDPE - Polietileno de baixa densidade
M - Massa (índices: I-CP, m-matriz)
M - Momento
MEF - Método dos elementos finitos
MEV - Microscopia Eletrônica de Varredura
MFEP - Mecânica da fratura elasto-plástica
MFLE - Mecânica da fratura linear-elástica
N - Número de ciclos
N - Força
N2 - Nitrogênio molecular
NR - Borracha natural
PEEK - Poli-éter-éter-cetona
PEI - Polieterimida
PIB - Poliisobutileno 
PMC - Compósitos com matriz polimérica
PP - Polipropileno 
PPS - Sulfeto de polifenileno
r - Raio
Rnxn - Matriz de Reuter
Snxn - Matriz de flexibilidade
SR - Razão de carga
TGA - Análise termogravimétrica
Tnxn - Matriz de transformação (c-cosθ, s-sinθ)
21
un - Deslocamento
V - Fração volumétrica
w - Peso específico
W - Largurada placa
We - Trabalho essencial de fratura
Wf - Percentual em massa da fase de reforço
Wp - Trabalho plástico não essencial
Ws - Trabalho destinado a criar novas superfícies
x0 - Distância atômica
Y - Fator de forma
SÍMBOLOS
αD - Ângulo de incidência do disco do rotor principal
γp - Trabalho plástico por unidade de área de superfície criada
γs - Módulo de elasticidade, da energia de superfície por unidade de área
ε - Deformação
ε0 - Deformação linear
κ - Curvatura
ν - Coeficiente de Poisson
Π - Energia potencial
ρ - Densidade (índices: r-reforço, m-matriz)
σ - Tensão (índices: c-compósito, m-matriz, f-fibra, C-compressão, T-tração, c-coesiva, este na Seção 2.5.1)
τ - Tensão de cisalhamento (ult-última)
ω - Velocidade angular
ξ, η - Parâmetros das equações de Halpin-Tsai
22
LISTA DE SIGLAS
AIST National Institute of Advanced Industrial Science and Technology
ASTM American Society for Testing and Materials 
Btl Mnt Sup Av Ex Batalhão de Manutenção e Suprimento de Aviação do Exército
CAD Computer aided design
CFD Computational fluid dynamics
DCT Departamento de Ciência e Tecnologia
DENT Double Edge Notched Tension
ESE(T) Carregamento excêntrico – entalhe em apenas um bordo
ESIS European Structural Integrity Society
HA-1 Helicóptero de ataque
IME Instituto Militar de Engenharia
INT Instituto Nacional de Tecnologia
IUPAC International Union of Pure and Applied Chemistry 
NACA National Advisory Committee for Aeronautics
NIST National Institute of Standards and Technology 
ONERA Office National d’Etudes et Recherches Aérospatiales 
P&D Pesquisa e desenvolvimento
SE/4 Seção de Engenharia Mecânica e de Materiais
SE/5 Seção de Engenharia Química
SE/6 Seção de Engenharia Cartográfica
SENT Single edge notched tension
TC4 Technical Committee 4
THM Technical helicopter manual
23
RESUMO
Este trabalho investigou o comportamento mecânico da fratura de um 
material compósito empregado na aviação de asa rotativa, sob o ponto de vista das 
características de fabricação e das propriedades mecânicas, oferecendo um ponto 
de partida para estudos mais aprofundados, que permitam melhor compreensão do 
fenômeno da fratura em materiais compósitos.
O mecanismo pelo qual este fenômeno ocorre ainda não é bem 
compreendido, visto que este material é submetido a ciclos complexos de 
carregamento, podendo envolver tanto falhas estruturais, supostamente associadas 
à fadiga, como o desenvolvimento de trincas em carregamento estático, quando as 
pás são defletidas pelo sistema de ancoragem.
Em uma fase inicial o enfoque foi a caracterização físico-química do 
material, de modo a associar as propriedades obtidas a um determinado material 
compósito.
Em seguida as propriedades mecânicas de tração e de resistência à fratura 
foram estimadas, possibilitando a aplicação em modelos computacionais do 
componente em estudo.
Por fim é apresentada a simulação computacional de uma pá de rotor 
principal, submetida a carregamento estático, de modo a obter a distribuição de 
tensões na região da trinca, em condições que simulem as situações reais.
Os resultados obtidos permitem identificar o material como um compósito 
laminado de matriz epoxídica reforçada por fibras de vidro. O tamanho crítico da 
trinca sob solicitação estática é de cerca de 75 mm, abaixo dos valores 
preconizados em Manuais de Manutenção e observados em condições reais, 
indicando que outros aspectos tecnológicos estão envolvidos no mecanismo de 
resistência à fratura e que devem ser alvo de investigação específica.
24
ABSTRACT
This study investigated the behavior of fracture mechanics of a composite 
material used in rotary wing aviation, from the point of view of manufacturing 
characteristics and of mechanical properties, providing a starting point for further 
study, allowing a better understanding of the fracture phenomenon of composite 
materials.
The mechanism by which this phenomenon occurs is not well understood, 
because this material is subjected to complex loading cycles, which may involve both 
structural flaws, presumably associated with fatigue, as the development of cracks in 
static loading, when the main rotor blades are deflected by mooring system.
In an initial phase, the focus was on the physico-chemical characterization of 
the material in order to associate the properties obtained for a particular composite 
material. Then the tensile mechanical properties and fracture toughness were 
estimated, allowing the application of computational models of the component under 
study.
Finally, the computer simulation is presented of a main rotor blade, subjected 
to static loading, in order to obtain the stress distribution in the region of the crack 
under conditions that simulate the real situations.
The results obtained allow us to identify the material as a epoxy matrix 
composite laminate, reinforced with glass fibers. The critical size of cracks under 
static charging is about 75 mm, below recommended values in the Maintenance 
Manuals and observed under real conditions, indicating that other technological 
aspects are involved in the mechanism of fracture toughness to and should be 
targeted specific research.
25
1 INTRODUÇÃO
O conceito de materiais compósitos não é novo e tem sua origem na própria 
natureza, como é o caso da madeira, que constitui um compósito vegetal. A 
manufatura dos compósitos baseia-se em uma ideia simples de combinar e colocar 
em serviço dois ou mais materiais macroconstituintes distintos que, geralmente, 
diferem em composição química e/ou física, com o objetivo de obter propriedades 
específicas, diferentes daquelas que cada constituinte apresenta separadamente, 
tendo uma interface reconhecível entre os componentes (Matthews e Rawlings, 
1999). Cada um dos constituintes mantém suas propriedades físicas e químicas, 
embora o material resultante dessa combinação apresente propriedades diferentes 
daquelas observadas nos constituintes individuais.
As indústrias aeronáutica e aeroespacial são as grandes impulsionadoras do 
desenvolvimento desses materiais, pois necessitam de componentes com baixa 
densidade e que atendam aos requisitos de elevada resistência mecânica em 
serviço. Assim, esse setor da indústria nucleou o surgimento dos compósitos de 
plásticos reforçados com fibras de alta resistência, também denominados 
compósitos estruturais (Rezende et al, 2011).
1.1 IMPORTÂNCIA DO ESTUDO
A Aviação do Exército Brasileiro tem se deparado com problemas, 
supostamente associados à fadiga em materiais compósitos, nas pás do rotor 
principal dos seus helicópteros modelo HA-1 Esquilo e HA-1 Fennec. A FIG. 1.1 
mostra a avaria na pá em estágio avançado.
Tal ocorrência ainda não está perfeitamente compreendida, pois o aspecto 
mecânico – por se tratar de uma peça submetida a ciclos complexos de 
carregamento – pode envolver tanto falhas estruturais ligadas à fadiga, quanto pode 
26
1
envolver a propagação da trinca em carregamento estático, quando as pás são 
submetidas à deflexão pela ação do seu peso próprio ou pelo sistema de 
ancoragem na condição de estacionamento, conforme ilustra a FIG. 1.2.
FIG. 1.1: Propagação de 
descontinuidade no extradorso da 
pá
27
FIG. 1.2: Deflexão das pás do HA-1 Esquilo
Trinca
A presente Dissertação de Mestrado atende à linha de pesquisa 
determinada pelo Departamento de Ciência e Tecnologia (DCT), divulgada no 
Quadro dos Temas dos Cursos de Pós-graduação no IME-2010, intitulada "Avanço 
de trincas e controle de danos em estruturas aeronáuticas. Análise de falhas 
estruturais causadas por fadiga", buscando associar o tema genérico a um aspecto 
particular de interesse da Força Terrestre. 
O estudo destina-seà investigação da mecânica da fratura em material 
compósito empregado em componentes de aviação, com a finalidade de coletar e 
de fornecer aos órgãos de Ciência e Tecnologia do Exército Brasileiro informações 
acerca do comportamento mecânico de um compósito laminado, cuja malha de fibra 
de vidro reforça uma possível matriz epoxídica.
Nesse contexto, a pesquisa acadêmica tem como motivação o levantamento 
de parâmetros de resistência à fratura em compósito estrutural utilizado em pás de 
aeronaves de dotação da Aviação do Exército. Tais pás têm apresentado dano 
recorrente e prematuro, o que demanda estudos aprofundados de engenharia no 
campo dos projetos mecânicos para compreender a causa da falha, subsidiar a 
apuração de responsabilidades e possibilitar posteriores estudos de tolerância ao 
dano.
1.2 OBJETIVOS
Citam-se abaixo os objetivos a serem atingidos nesta dissertação:
• caracterizar o material de estudo a partir de análises físico-químicas;
• executar ensaios de tensão versus deformação e de resistência à 
fratura (KTL) no material que apresenta descontinuidades;
• desenvolver um modelo computacional do comportamento mecânico 
de uma pá sob condições estáticas.
Para atingir os objetivos propostos, foi realizada uma revisão bibliográfica, 
inicialmente sobre os conceitos básicos relativos aos materiais compósitos, detendo-
se mais especificamente nos compósitos poliméricos e posteriormente nos 
conceitos do comportamento mecânico e de mecânica da fratura.
28
Em seguida, o material de interesse presente na pá do rotor principal da 
aeronave foi caracterizado a partir de análises físico-químicas e submetido a 
ensaios mecânicos.
O capítulo 3 descreve o material e os métodos empregados. Esta 
caracterização foi de fundamental importância visto que os componentes deste 
material eram desconhecidos e não foram fornecidos pelo fabricante.
Propriedades mecânicas foram estimadas a partir de ensaios de tensão 
versus deformação e de resistência à fratura (KTL).
Finalmente, um modelo computacional foi desenvolvido para analisar as 
tensões devidas a carregamentos estáticos, na região de interesse, cujo objetivo é o 
de prever o tamanho crítico de trinca.
Para melhor visualização dos objetivos apresentados, a FIG. 1.3 organizará 
o trabalho segundo um fluxograma das atividades desenvolvidas ao longo da fase 
de investigação.
FIG. 1.3: Fluxograma da dissertação
29
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Os materiais compósitos poliméricos destacam-se devido à sua maior 
resistência específica quando comparados aos materiais convencionais. Além disso, 
apresentam elevada resistência à corrosão e à fadiga, expansão térmica controlada, 
moldagem de peças em formatos complexos e orientação das fibras em direções 
desejadas. Devido ao baixo peso dos compósitos poliméricos, as suas relações 
resistência-peso e módulo-peso são notadamente superiores às dos materiais 
metálicos.
Rezende et al (2011) apresentam a TAB. 1 relacionando as propriedades 
dos materiais de emprego aeronáutico, de acordo com estudo publicado por 
Matthews e Rawlings (1999).
Segundo as informações disponibilizadas na TAB. 1, é possível observar 
que uma matriz epoxídica reforçada por fibras de vidro se adéqua bem às 
exigências de uma pá do rotor principal do helicóptero. Isto porque além de atender 
aos requisitos de inflamabilidade e de trabalho a baixa temperatura, também possui 
baixa rigidez, necessária às deflexões impostas pela dinâmica da pá em voo.
30
2
TAB. 1: Seleção dos materiais conforme a natureza das solicitações
Solicitações Escolha dos Materiais Área de Utilização 
Temperatura Natureza do polímero
T<150°C: resina epóxi
150°C<T<220°C: resina 
bismaleída 
220°C<T<300°C: polímeros 
poliimídicos
Rigidez 
Natureza do reforço 
Rigidez baixa: vidro
Rigidez média: aramida
Rigidez alta: carbono
Esforços
Baixa e média solicitação: vidro 
Alta solicitação: carbono (alto 
custo) 
Alta resistência ao impacto: 
aramida 
Inflamabilidade Natureza do polímero e da fibra
Resina epóxi: atende aos 
requisitos de inflamabilidade 
Resina fenólica: atende aos 
requisitos de inflamabilidade, 
emissão de calor e de fumaça
Fibras de vidro e de carbono: 
atendem aos requisitos de 
contenção de chama
Fibra de aramida: não atendem 
aos requisitos de contenção de 
chama
Rezende et al, 2011
2.1 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE COMPÓSITOS
Callister (2008), observando que muitos compósitos são constituídos por 
apenas duas fases, define a fase contínua como sendo a matriz do compósito, 
enquanto a fase envolvida pela matriz é denominada “fase dispersa”. A FIG 2.1 
ilustrará um esquema de classificação para grande variedade de materiais 
compósitos.
31
FIG. 2.1: Classificação de compósitos (Callister, 2008)
Dentre os diversos tipos de configurações, especial atenção será dada aos 
compósitos reforçados por fibras, devido à natureza do material que será estudado 
na presente dissertação.
Uma das principais características dos projetos que envolvem esse tipo de 
configuração é aquela que tem como objetivo a alta resistência mecânica e/ou 
rigidez em relação ao peso, como é o caso das exigências da indústria aeroespacial. 
As expressões “resistência específica” e “módulo específico” referem-se 
respectivamente às razões entre o limite de resistência à tração (ou o módulo de 
elasticidade, no último caso) e o peso específico.
O comprimento da fibra colabora especialmente com a resistência mecânica 
do material, uma vez que às fibras mais longas é transmitido um grau maior da 
carga a qual a matriz é submetida.
Um componente também relevante para a resistência mecânica é a 
interface entre a matriz e o reforço. Rezende et al (2011) definem interface como 
sendo a superfície limite entre a fibra e a matriz, por meio da qual ocorre a 
descontinuidade de alguns parâmetros. Difere de “interfase” por ser esta uma região 
de espessura finita, que se inicia na interface e se prolonga para dentro da matriz. A 
interfase, ilustrada pela FIG. 2.2, apresenta gradientes nas suas propriedades 
físicas, que influenciam significativamente o desempenho do compósito final. Uma 
técnica modificadora da região de interface consiste em aplicar uma película da 
matriz polimérica na superfície do reforço antes da sua impregnação com a matriz 
propriamente dita. Esta operação é conhecida como recobrimento (sizing).
32
Além da natureza dos mecanismos de adesão físico e químico, a adesão 
mecânica – quando a matriz se ancora mecanicamente no reforço – é devidamente 
considerada. A rugosidade da fibra e a molhabilidade do reforço exercem influência 
importante nas propriedades da interface. Ademais, Rezende et al (2011) ressaltam 
que enquanto tratamentos térmicos e oxidativos contribuem para melhorar a 
interligação mecânica e aumentar a densidade das interações físicas, a absorção da 
umidade na estrutura do compósito afeta direta e negativamente a resistência da 
interface.
Outro aspecto importante sobre a configuração mecânica dos compósitos é 
a sua estrutura em forma de laminados. Suas lâminas bidimensionais possuem uma 
direção preferencial de alta resistência. Rezende et al (2011) afirmam que os 
principais fatores referentes ao material e à preparação do laminado, que 
influenciam na tolerância ao dano afetando a delaminação da borda livre, são a 
tenacidade da matriz polimérica, a resistência da interface fibra-resina, a orientação 
das fibras, a sequência de empilhamento das camadas e a espessura do laminado. 
A FIG. 2.3 ilustra o comportamento mecânico de uma placa laminada submetida a 
tensões cisalhantes. Nessa figura observa-se que as lâminas de um material 
laminado submetido a tensões trativassão submetidas a diferentes deformações, 
uma vez que a orientação das fibras em relação à direção de carregamento 
determina a rigidez naquela direção. As diferentes deformações, neste caso, 
33
FIG. 2.2: Interfase e interface em materiais 
compósitos (Rezende et al, 2011)
submetem o material à delaminação.
As fibras podem ser dispostas em tecidos unidirecionalmente ou 
bidirecionalmente, dependendo das propriedades mecânicas de interesse. Dentre 
os vários tipos de trançado, Tong et al (2002) afirmam que os tecidos podem se 
apresentar tipicamente sob 3 padrões bidimensionais: tecido plano, sarja e cetim, 
conforme ilustrado na FIG. 2.4, apesar de muitas outras configurações serem 
utilizadas com as mais diversas finalidades. Tais padrões apresentam diferentes 
propriedades mecânicas, tendo modelos micromecânicos distintos (Tong et al, 
2002).
Fibras diferentes também podem compor um tecido com propriedades 
combinadas, o que dá origem aos compósitos híbridos.
Quanto à fase matriz, Callister (2008) apresenta o seguintes exemplos: 
34
FIG. 2.3: Tensões internas entre as camadas de compósitos de fibras 
contínuas (Rezende et al, 2011)
FIG. 2.4: Padrões bidimensionais típicos de tecidos (Tong et 
al, 2002)
matriz polimérica, metálica, cerâmica, carbono-carbono. O primeiro exemplo será 
discutido a partir da Seção 2.2, uma vez que é de particular interesse à dissertação.
2.2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS SOBRE COMPÓSITOS POLIMÉRICOS
Os compósitos com matriz polimérica (PMC) consistem em uma resina 
polimérica sendo a matriz, com fibras na função de reforço (Callister, 2008). Define-
se resina como sendo um plástico reforçado com alto peso molecular.
Geralmente, a matriz determina a máxima temperatura de serviço, uma vez 
que suas propriedades térmicas apresentam valores muito mais baixos que aqueles 
observados na fase de reforço.
A fase matriz de origem polimérica é empregada, dentre outros fatores, por 
apresentar relativa ductilidade em relação à fase metálica ou à fase cerâmica, 
quando essa propriedade é desejada. Apresenta como função básica a capacidade 
de unir as fibras umas às outras, além de distribuir as tensões aplicadas 
externamente ao reforço. Além disso, serve para proteger as fibras individuais 
contra os danos superficiais em decorrência da abrasão mecânica e contra as 
reações químicas com o ambiente. Também impede que trincas frágeis sejam 
transmitidas de uma fibra para outra, prevenindo falhas catastróficas no caso de 
rompimento de um certo grupo de fibras.
Resinas tais quais poliésteres e ésteres vinílicos são resinas poliméricas 
mais amplamente utilizadas e que apresentam baixo custo. Resinas epoxídicas – 
usualmente empregadas na indústria aeroespacial – são mais caras, contudo 
apresentam maior resistência à umidade e melhores propriedades mecânicas se 
comparadas com as resinas poliésteres e vinílicas (Callister, 2008). Resinas 
poliimídicas são empregadas em aplicações cujas temperaturas superiores de 
utilização em regime contínuo aproxima-se de 230°C. Para temperaturas mais altas, 
utilizam-se as resinas termoplásticas, tais como a poli-éter-éter-cetona (PEEK), o 
sulfeto de polifenileno (PPS) e a polieterimida (PEI).
Os compósitos poliméricos reforçados por fibras de vidro (GFRP) 
apresentam fibras cujo diâmetro varia normalmente entre 3 e 20 μm de vidro 
35
estirado (conhecido por Vidro-E). As propriedades do vidro, tais como fácil 
estiramento, disponibilidade comercial, relativa resistência e inércia química, fazem 
com que este material seja muito apreciado do ponto de vista comercial e de 
engenharia. Todavia, embora possuam resistências elevadas, os GFRP não 
apresentam elevada rigidez e suas temperaturas de serviço são relativamente 
baixas se comparadas com materiais metálicos, da ordem de 300°C, para 
compósitos aperfeiçoados quimicamente com sílica fundida de alta pureza, segundo 
Callister (2008).
Os compósitos poliméricos reforçados com fibras de carbono (CFRP) têm 
por característica um reforço de alto desempenho pelos seguintes motivos (Callister, 
2008):
• a resistência específica e o módulo específico das fibras de carbono 
apresentam os maiores valores dentre todas as fibras de reforço atuais, mantendo 
valores elevados mesmo a altas temperaturas;
• a estabilidade das fibras de carbono na temperatura ambiente 
mantem-se ainda que sob efeito de umidade ou sob a presença de grande 
variedade de solventes, ácidos e bases;
• a grande diversidade de características físicas e mecânicas das fibras, 
aliada à sua capacidade de modificações pela engenharia, permite que o compósito 
que as emprega incorpore uma ampla gama de propriedades devidamente 
ajustadas ao uso;
• os processos de fabricação tornaram-se relativamente baratos, 
favorecendo a relação custo-benefício.
As fibras de carbono são classificadas conforme seu módulo de tração em 4 
classes: módulo padrão, intermediário, alto e ultra-alto. Suas fibras possuem 
diâmetro variando entre 4 e 10 μm e geralmente são revestidas com epóxi para 
proteção e para melhoramento da adesão à matriz polimérica.
No início da década de 70 as fibras poliamidas aromáticas (Chawla, 1998), 
genericamente conhecidas por aramidas, foram introduzidas, apresentando alta 
resistência e alto módulo, cujas relações resistência-peso são superiores às dos 
metais. Comercialmente, as mais comuns são as diversas variedades das fibras 
marcas KevlarTM e NomexTM. Sua resistência deve-se às moléculas rígidas, que 
durante a síntese se alinham na direção do eixo das fibras, conforme ilustrado pela 
36
FIG. 2.5. Embora possuam alto módulo e limite de resistência à tração na direção 
longitudinal, sua resistência à compressão é relativamente baixa.
As aramidas são conhecidas por sua tenacidade, resistência ao impacto, à 
fluência e à fadiga. Ademais, a despeito de serem termoplásticos, são resistentes à 
combustão e estáveis até temperaturas relativamente elevadas, em comparação 
com os demais materiais compósitos, mantendo altas propriedades mecânicas 
numa faixa entre -200 e 200°C. Todavia, sua susceptibilidade à ação de ácidos e 
bases fortes mostra-se um fator restritivo a certos empregos. Os materiais da matriz, 
geralmente, são os epóxis e os poliésteres.
Outros materiais fibrosos, como o boro, o carbeto de silício e o óxido de 
alumínio também são usados, todavia com menor frequência. No caso das fibras de 
boro, sua utilização tem sido verificada em componentes de aeronaves militares e 
em pás de rotores de helicópteros, enquanto as fibras de carbeto de silício e de 
óxido de alumínio são utilizadas em blindagens militares e nas extremidades de 
foguetes.
2.3 COMPÓSITOS POLIMÉRICOS DE MATRIZ EPOXÍDICA
Rezende et al (2011) ressaltam que os polímeros termorrígidos são muito 
utilizados em compósitos estruturais de emprego aeronáutico, devido à sua 
resistência a solventes e às maiores temperaturas de serviço. As resinas epoxídicas, 
as fenólicas, as bismaleimidas e as poliimidas destacam-se quanto ao uso nessa 
37
FIG. 2.5: Estrutura das cadeias de fibras 
marca KevlarTM (Callister, 2008)
área de engenharia.
Atestam também que as resinas epoxídicas possuem boas propriedades 
mecânicas, resistência química, baixa absorção de umidade, baixa porcentagem de 
contração e fácil processamento. Estas são caracterizadas pela presença de grupos 
epóxi (anel oxirano) e uma das mais utilizadas é baseada no diglicidil éter do 
bisfenol-A (DGEBA), ilustrada na FIG. 2.6.
Graças às resinas epóxi conterem monômeros difuncionais e polifuncionais, 
ou pré-polímeros, é possível sua reação com grandevariedade de agentes de cura, 
que a partir de diferentes combinações de processamentos, resultam em sistemas 
de resinas termorrígidas de elevado desempenho. Para aumentar o desempenho de 
algumas propriedades mecânicas, as resinas epóxi usadas na indústria aeroespacial 
têm sido modificadas com vistas à sua tenacificação, através de alterações em 
cadeia termorrígida com termoplásticos e elastômeros.
Podem ser citadas como vantagens dos sistemas epóxi suas excelentes 
propriedades quando combinadas às fibras, o seu bom comportamento térmico, sua 
boa estabilidade dimensional, a baixa contração na cura, sua excelente aderência 
aos materiais metálicos, sua boa resistência à abrasão, seu bom isolamento 
elétrico, sua excelente resistência química a solventes orgânicos e a bases, além da 
propriedade de autoextinção da chama.
Todavia, tais sistemas podem possuir um tempo de cura relativamente alto, 
sua temperatura de operação pode ser limitada para algumas aplicações, sua 
resistência química aos ácidos sulfúrico e nítrico, a cetonas e a solventes clorados é 
baixa, e do ponto de vista da fabricação, desvantagens podem ser observadas 
quanto à necessidade de boa preparação de moldes e ao uso de um bom 
desmoldante.
38
FIG. 2.6: Estrutura química de uma resina epóxi (Epóxi – 
Wikipedia)
2.4 COMPORTAMENTO MECÂNICO
A presente Seção abordará os aspectos clássicos do comportamento 
mecânico dos compósitos com fibras contínuas e alinhadas. Embora o material 
compósito possa apresentar comportamento altamente anisotrópico, como é o caso 
daqueles que possuem fibras unidirecionais, suas propriedades podem ser tratadas 
sob um ponto de vista global – em que a combinação de propriedades individuais 
das fibras e da matriz é obtida por modelos matemáticos – ou local (preservam-se 
as propriedades individuais dos constituintes), a depender do interesse do estudo.
O comportamento tensão versus deformação longitudinal em tração será 
ilustrado pela FIG. 2.7. Observa-se na FIG. 2.7 (a) o comportamento mecânico da 
fibra e da matriz isoladamente, enquanto na FIG. 2.7 (b) é ilustrado o 
comportamento global do material compósito.
No estágio I, linear elástico para ambos os constituintes, o compósito se 
deforma linearmente em uma região intermediária entre os valores dos 
componentes. Ao entrar no estágio II, a matriz começa a apresentar escoamento, 
enquanto as fibras, de resistência muito maior, continuam seu comportamento 
elástico. Nesta região, a proporção de carga suportada pelas fibras aumenta.
O compósito falha quando suas fibras falham, embora a falha não 
necessariamente seja catastrófica. Isso porque as fibras não falham todas 
simultaneamente e a matriz mantém-se íntegra por mais algum tempo, contendo as 
partes das fibras que ainda não falharam. Logo, são ainda capazes de suportar 
algum carregamento, contudo menor, até a falha total do compósito.
Mandell e Meier (1975), ao ensaiarem material compósito para estudo de 
fadiga, observaram que a falha em camadas orientadas a 90° com a direção de 
carregamento ocorre pela propagação da trinca entre as fibras, não contribuindo 
substancialmente para a resistência à fratura.
39
FIG. 2.7: Material com fibra frágil e matriz dúctil (Callister, 2008)
Para o cálculo do módulo de elasticidade do compósito, parte-se das 
seguintes hipóteses:
• as fibras estão alinhadas com a direção do carregamento;
• a ligação interfacial é perfeita, impondo uma condição de 
isodeformação.
Seja Fc a carga total suportada pelo compósito, Fm a carga suportada pela 
matriz e Ff a carga suportada pelas fibras, implica que:
F c=Fm+F f (2.1)
Assumindo-se que F=σA, tem-se:
σ cAc=σ m Am+σ f A f (2.2)
σc=σm
Am
Ac
+σ f
A f
Ac
(2.2a)
As frações de área da EQ. 2.2a são equivalentes às frações volumétricas 
(V) correspondentes se os comprimentos do compósito e das fases presentes forem 
iguais. Assim, tem-se:
σ c=σ mV m+σ f V f (2.3)
Da hipótese do estado de isodeformação, implica:
εc=εm=ε f (2.4)
σc
εc
=
σ m
εm
V m+
σ f
ε f
V f (2.5)
40
Sendo σ=Eε e considerando as deformações do compósito, das fibras e da 
matriz como todas elásticas, o módulo de elasticidade do compósito na direção 
longitudinal (Ecl) fica:
E cl=E mV m+E f V f (2.6)
Como Vm+Vf=1:
E cl=E m(1−V f )+E f V f (2.7)
No carregamento em direção transversal às fibras, tem-se a condição de 
isotensão:
σ c=σm=σ f=σ (2.8)
A deformação do compósito como um todo fica:
εc=εmV m+ε f V f (2.9)
σc
Ect
=
σ
Em
V m+
σ
E f
V f (2.10)
Sendo Ect o módulo de elasticidade na direção transversal, obtém-se:
1
E ct
=
V m
Em
+
V f
E f
(2.11)
Donde resulta:
E ct=
Em E f
V m E f+V f E m
=
Em E f
(1−V f )E f+V f E m
(2.12)
Chawla (1998) apresenta as equações de Halpin-Tsai (EQ. 2.12a e 2.12b), 
na qual é inserido um termo empírico (ξ) como uma medida relativa ao reforço. Esta 
medida depende de condições de contorno (configuração geométrica da fibra, 
distribuição das fibras e condições de carregamento), cuja finalidade é ajustar os 
dados experimentais. A propriedade “p” é a forma genérica de representar, por 
exemplo, os módulos E11, E22, G12 ou G23 do compósito, e “pm” e “pf” são os 
equivalentes a “p” com relação à matriz e à fibra, respectivamente.
p
pm
=
1+ξηV f
1−ηV f
(2.12a)
η=
p f / pm−1
p f / pm+ξ
(2.12b)
Estudado o comportamento mecânico de uma camada de material 
compósito com fibras contínuas unidirecionais, a próxima aplicação será o estudo do 
comportamento mecânico de um laminado com diversas camadas.
41
Kaw (2006) discorre em sua publicação acerca dos procedimentos 
matemáticos para o estudo de compósitos laminados, sob o ponto de vista 
macromecânico. Inicialmente, o sistema é orientado segundo coordenadas locais e 
globais, de acordo com a FIG. 2.8.
Um sistema linear isotrópico tridimensional, apresenta a seguinte equação 
constitutiva para a relação tensão-deformação, segundo a lei de Hooke:
[
εx
εy
εz
γ yz
γzx
γxy
]=[
1
E
−ν
E
−ν
E
0 0 0
−ν
E
1
E
−ν
E
0 0 0
−ν
E
−ν
E
1
E
0 0 0
0 0 0 1
G
0 0
0 0 0 0 1
G
0
0 0 0 0 0 1
G
][σ xσ yσ zτ yzτ zxτxy] (2.13)
G= E
2(1+ν)
(2.14)
Para um material genérico, de comportamento linear, a equação em 
coordenadas locais fica:
42
FIG. 2.8: Sistema de coordenadas globais em relação ao 
sistema de coordenadas locais
[
σ1
σ2
σ3
τ23
τ31
τ12
]=[
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C21 C22 C23 C 24 C25 C26
C31 C32 C33 C34 C35 C36
C41 C42 C43 C 44 C45 C46
C51 C52 C53 C54 C55 C56
C61 C62 C63 C64 C65 C66
][
ε1
ε2
ε3
γ23
γ31
γ12
] (2.14)
A matriz C6X6 é chamada matriz de rigidez. Sua recíproca S6X6 é chamada 
matriz de flexibilidade.
Materiais compósitos com fibras unidirecionais, cujo volume de controle 
assume a forma de um paralelepípedo, apresentam um comportamento ortotrópico. 
Neste caso, a matriz de rigidez fica:
[C ]=[
C11 C12 C13 0 0 0
C21 C22 C23 0 0 0
C31 C32 C33 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C55 0
0 0 0 0 0 C66
] (2.15)
Consequentemente, a matriz de flexibilidade fica:
[S ]=[
S11 S12 S 13 0 0 0
S 21 S 22 S 23 0 0 0
S31 S32 S 33 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 55 0
0 0 0 0 0 S66
] (2.16)
A teoria clássica da laminação analisa o comportamento do laminado 
considerando-o submetido ao estado plano de tensões (EPT). Segundo tal hipótese, 
as componentes de tensões normais e cisalhantes só estão presentes no plano do 
laminado. Importante ressaltar que as hipóteses do EPT aplicam-se apenas a 
placas de dimensões infinitas, pois na região da borda, a uma distância de 
aproximadamente 2 vezes a espessura do laminado, existe um estado triaxial de 
tensões, chamado por Rezende et al (2011) de tensões interlaminares, que se 
manifesta na borda livre podendo causar a delaminação das camadas ouimprimir 
trincas na matriz. Para tal análise, são empregados métodos de potenciais de 
43
tensões, de diferenças finitas e de elementos finitos, que fogem ao escopo da 
presente dissertação.
Assumindo-se o EPT, podem ser suprimidas as linhas e colunas de índices 
3, 4 e 5 das matrizes C e S, constantes nas EQ. 2.15 e 2.16. A relação simplificada 
fica:
[σ1σ2τ12]=[
C11 C12 0
C21 C22 0
0 0 C66][
ε1
ε2
γ12] (2.17)
Analogamente, para o sistema global, obtemos a seguinte relação:
[σ xσ yτxy]=[
C̄11 C̄12 C̄16
C̄ 21 C̄22 C̄26
C̄61 C̄62 C̄66][
εx
εy
γxy] (2.18)
Os elementos da matriz C, da EQ. 2.17, são dependentes das constantes do 
material e podem ser calculados pelas expressões da EQ. 2.19:
C11=
E1
1−ν12ν21
;C12=
ν12E 2
1−ν12ν21
; C22=
E2
1−ν12ν21
; C66=G12 (2.19)
A matriz de rigidez reduzida transformada pode ser calculada pela EQ. 2.20.
[C̄ ]=[T ]−1[C ][R] [T ][R]−1 (2.20)
Onde:
T=[ c
2 s2 2sc
s2 c2 −2sc
−sc sc c2−s2] ; R=[1 0 00 1 00 0 2] ; c=cosθ ; s=sin θ (2.21)
Reuter (1971) apresenta a matriz “R” como sendo responsável por eliminar 
denominadores dos vetores deformação, nos quais os termos cisalhantes aparecem 
divididos por 2.
Então, as transformações são apresentadas conforme a EQ. 2.22.
[σ xσ yτxy]=[T ][
σ1
σ2
τ12] ; [
ε1
ε2
γ12]=[R] [T ][R]−1[
εx
ε y
γxy] (2.22)
As equações relativas ao estudo dos laminados, apresentadas até este 
ponto, são relativas ao cálculo de tensões e deformações para uma única camada. 
A introdução de mais de uma camada implica numa relação de acoplamento entre 
44
os carregamentos (forças e momentos distribuídos) e suas deformações lineares e 
curvaturas associadas. A EQ. 2.23 traz essa relação:
[ NM ]=[A BB D][ε0κ ] (2.23)
As EQ. 2.24, 2.25 e 2.26 relacionam os valores A, B e D com os valores da 
matriz de rigidez reduzida transformada.
Aij=∑
k=1
n
[(C̄ ij)]k(hk−hk−1) ; i=1,2 ,3 ; j=1,2 ,3 (2.24)
Bij=
1
2∑k=1
n
[(C̄ ij)]k(h
2
k−h
2
k−1) ; i=1,2,3 ; j=1,2 ,3 (2.25)
Dij=
1
3∑k=1
n
[(C̄ ij)]k (h
3
k−h
3
k−1) ; i=1,2 ,3 ; j=1,2 ,3 (2.26)
Sendo “n” o número de camadas do laminado, “hk” é a distância do topo até 
a base da k-ésima camada, contada a partir do plano médio do compósito. A FIG. 
2.9 ilustrará tais definições.
Sendo assim, o vetor de coordenadas globais para deformações no plano é 
calculado pela EQ. 2.27. Esta equação não contempla efeitos higrotérmicos ou 
piezoelétricos.
[ εxε yγxy]=[
ε0x
ε0y
γ0xy
]+z[ κxκ yκxy] (2.27)
Levantando-se os valores para as tensões locais, um critério de falha deverá 
45
FIG. 2.9: Locais das camadas em uma estrutura laminada (Kaw, 2006)
ser aplicado para observar-se a resistência do compósito perante o carregamento 
de projeto. Um desses critérios, o de Tsai-Wu, encontra-se descrito em Kaw (2006) 
e considera que a lâmina falha quando a condição da EQ. 2.28 é satisfeita:
H 1σ1+H 2σ2+H 6 τ12+H11σ
2
1+H 22σ
2
2+H 66 τ
2
12+2H12σ
2
1σ
2
2<1 (2.28)
Os parâmetros do critério de falha da Tsai-Wu estão descritos nas EQ. 2.29 
a 2.35.
H 1=
1
(σT 1)ult
−
1
(σC1)ult
(2.29)
H 2=
1
(σT 2)ult
−
1
(σC 2)ult
(2.30)
H 6=0 (2.31)
H 11=
1
(σT1)ult (σ
C
1)ult
(2.32)
H 22=
1
(σT 2)ult(σ
C
2)ult
(2.33)
H 66=
1
(τ12)
2
ult
(2.34 )
H 12=−
1
2 √ 1(σT 1)ult (σC1)ult (σT 2)ult (σC2)ult (2.35)
O termo H12 do critério aqui apresentado é obtido do critério Mises-Hencky, 
segundo Kaw (2006). Outros critérios empíricos poderiam ser adotados, como o de 
Tsai-Hill e Hoffman, por exemplo.
Utiliza-se como parâmetro de avaliação a razão de carga (SR), que 
conforme apresentada pela EQ. 2.36, indica a relação entre a carga admissível e a 
carga aplicada.
SR= carga admissível
carga aplicada
(2.36)
Da EQ. 2.36, observa-se que valores de SR<1 indicam falha do compósito, 
SR>1 indicam materiais superdimensionados e SR=1 oferece o valor do 
carregamento de falha.
O critério de Tsai-Wu modificado com o uso de SR fica:
(H 1σ1+H 2σ2+H 6 τ12)SR+(H 11σ
2
1+H 22σ
2
2+H 66 τ
2
12+2H12σ
2
1σ
2
2)SR
2<1 (2.37)
46
Ramsaroop e Kanny (2010) apresentam um método de análise de 
compósitos laminados através do uso do software Matlab. O Apêndice I a esta 
dissertação apresentará um código computacional em software Scilab, seguindo o 
mesmo método proposto por Ramsaroop e Kanny (2010), e cujos resultados serão 
discutidos na Seção 4, Pág. 79. O fluxograma representado pela FIG. 2.10, proposto 
por Ramsaroop e Kanny (2010), apresenta uma rotina para análise de compósitos 
laminados com fibras unidirecionais, de maneira a auxiliar o projeto com o uso do 
código constante no Apêndice I.
47
FIG. 2.10: Fluxograma de projeto
2.5 MECÂNICA DA FRATURA
O projeto mecânico convencional baseia-se na prevenção de falhas por 
colapso plástico, no qual o carregamento ultrapassa o limite de escoamento do 
material. Todavia, componentes mecânicos falham sem que tenham sido 
carregados até o seu limite de projeto, devido à propagação de trincas. Em metais, 
as trincas podem ser observadas, por exemplo, nas regiões que apresentem 
diferentes taxas de solidificação, nos locais atacados por hidrogênio (soldas), nos 
materiais submetidos à fadiga ou à corrosão sob tensão. Tecnicamente, é correto 
afirmar que todos os materiais apresentam potencial para nucleação de trincas 
desde sua fabricação, haja vista as imperfeições nos seus arranjos microestruturais 
que são agravados pelas condições ambientais e de serviço.
A fim de facilitar o estudo da mecânica da fratura, esta área de 
conhecimento foi dividida em duas sub-áreas: a mecânica da fratura linear-elástica 
(MFLE) e a mecânica da fratura elasto-plástica (MFEP).
Anderson (1994) expõe em sua obra que os conceitos de mecânica da 
fratura vêm sendo aplicados desde a década de 60, em materiais que obedecem à 
lei de Hooke. Entretanto, também ressalta que desde 1948 estudos são conduzidos 
propondo a modelagem de correções para a plasticidade em pequenas escalas em 
estruturas com comportamento global linear elástico. A presente dissertação tratará 
dos aspectos relativos à MFLE, uma vez que o compósito a ser estudado apresenta 
comportamento global linear elástico, com fratura frágil. Callister (2008) explica que 
uma característica da fratura frágil é a sua ocorrência sem qualquer deformação 
apreciável, associada a uma rápida propagação da trinca em uma direção 
aproximadamente perpendicular à direção de aplicação da tensão de tração.
O estudo é feito baseando-se na energia liberada durante a abertura da 
trinca e nos fatores de concentração de tensão (K). Inglis (1913) e Griffith (1920) 
deram início a estes conceitos, parametrizando-os matematicamente.
2.5.1 FRATURA NO NÍVEL ATÔMICO
A fratura ocorre quando são aplicados tensão e trabalho no material, 
capazes de romperem as suas ligações atômicas. A força da ligação atômica está 
48
associada à atração existente entre os núcleos, conforme poderá ser observado nas 
FIG. 2.11 e 2.12.
FIG. 2.11: Distância interatômica (Anderson, 
1994)
FIG. 2.12: Energia potencial e força como funções da distância de 
separação atômica (Anderson, 1994)
Observa-se na FIG. 2.12 que o estado de equilíbrio entre as forças trativa e 
49
compressiva ocorre quando a energia potencial é mínima. Para que ocorra a ruptura 
da ligação atômica, a força aplicada deve superar o valor da força coesiva. 
Anderson (1994) cita que para pequenos deslocamentos, a relação de força e de 
deslocamentos é linear.
A EQ. 2.38 explicita a tensão coesiva (σc) em função do módulo de 
elasticidade, da energia de superfície por unidade de área (γs) e da distância 
atômica (x0).
σ c=√ E γsx0 (2.38)
2.5.2 BALANÇO DE ENERGIA DE GRIFFITH
Griffith (1920), com referência à primeira lei da Termodinâmica, aplica esse 
conceito à Mecânica da Fratura. Propõe que por ocasião daformação da trinca, há 
uma rápida destruição das ligações trativas que agem na superfície fraturada, 
liberando energia. No instante seguinte, uma energia potencial devida à deformação 
retoma seus valores originais. Todavia, não sendo este um estado de equilíbrio, 
aplica-se o Teorema da Mínima Energia Potencial, pelo qual a energia potencial 
reduz-se até atingir uma condição de equilíbrio.
Considerando-se uma placa submetida a uma tensão constante, contendo 
uma trinca de comprimento 2a<<w (sendo “w” a largura da placa, conforme FIG. 
2.13) e na qual o EPT seja dominante, a Teoria de Griffith sugere que o balanço de 
energia para um incremento na área fraturada (dA) pode ser dado pela EQ. 2.39.
50
dE
dA
=
d Π
dA
+
dW s
dA
=0 (2.39)
Sendo “E” a energia total do sistema, “Π” a energia potencial (dada pela 
energia interna de deformação e pelas forças externas) e “W s” o trabalho destinado 
a criar novas superfícies, Griffith (1920) chegou à seguinte expressão, dada pela 
EQ. 2.40:
σ f=√ 2 E γsπa (2.40)
2.5.3 EQUAÇÃO DE GRIFFITH MODIFICADA
Uma vez que a EQ. 2.40 é válida apenas para sólidos frágeis ideais (vidros, 
por exemplo), seus resultados são subestimados se obtidos para materiais dúcteis.
Irwin (1948) e Orowan (1948) modificaram a equação de Griffith e obtiveram 
uma expressão que se adéqua aos materiais com falha plástica. Tal expressão está 
51
FIG. 2.13: Trinca passante numa placa submetida 
a uma tensão trativa remota (Anderson, 1994)
w
indicada na EQ. 2.41:
σ f=√ 2 E (γs+γ p)πa (2.41)
“γp” é o trabalho plástico por unidade de área de superfície criada e é 
tipicamente muito maior que “γs”. Ressalte-se aqui a diferença entre “área de fratura” 
e “área superficial”: enquanto a primeira refere-se à área projetada da trinca (na FIG. 
2.13 A=2aB), a segunda diz respeito à superfície da trinca como um todo, ou seja, 
“2A”.
2.5.4 TAXA DE LIBERAÇÃO DE ENERGIA
Irwin (1956) propôs que a taxa de liberação de energia “G”, conforme 
apresentado na EQ. 2.42, é a medida de energia disponível para um incremento de 
extensão da trinca.
G=− d Π
dA
(2.42)
Para uma placa de grandes dimensões (FIG. 2.13) com relação ao 
comprimento da trinca (2a) , frágil e submetida ao EPT, o valor de “G” toma o valor 
da EQ. 2.43:
G=πσ
2a
E
(2.43)
2.5.5 FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÕES
Anderson (1994) observa que cada modo de carregamento produz uma 
singularidade na ponta de uma trinca elíptica, proporcional a uma constante “k”, a 
um fator “fij” (dependente do modo de carregamento) e a um fator inversamente 
proporcional à raiz quadrada do raio da ponta da trinca, (1/r)0,5. A FIG. 2.14 ilustra 
um elemento infinitesimal próximo à ponta da trinca.
52
Por conveniência matemática, o fator “k” é substituído por “K”, denominado 
fator de intensidade de tensões, de acordo com a EQ. 2.44.
K=k √2π (2.44)
O fator de intensidade de tensões é uma função dos modos de falha 
ilustrados na FIG. 2.15 e o campo de tensão para um material isotrópico linear 
elástico é dado pela EQ. 2.45.
lim
r→0
σ(α)ij=
K (α)
√2π r
f (α)ij(θ) ∀ α=I , II , II (2.45)
Um modo misto de carregamento pode ser calculado pela superposição dos 
modos I, II e/ou III, a depender do problema em questão. A EQ. 2.46 apresenta tal 
solução.
σ totalij=σ
I
ij+σ
II
ij+σ
III
ij (2.46)
A TAB. 2 apresenta os campos de tensão, deformação e deslocamento para 
53
FIG. 2.14: Coordenadas na ponta da 
trinca (Anderson, 1994)
FIG. 2.15: Modos de carregamento e falha (Anderson, 1994)
cada modo de carregamento, em função das coordenadas polares do ponto de 
interesse.
TAB. 2: Campos de tensão, deformação e deslocamento para materiais isotrópicos lineares elásticos
Modo I Modo II Modo III
σxx
K I
√2πr
cos(θ2 )[1−sin( θ2) sin( 3θ2 )] − K II√2πr sin(θ2 )[2+cos(θ2 )cos( 3θ2 )] 0
σyy
K I
√2πr
cos(θ2 )[1+sin( θ2) sin( 3θ2 )] K II√2πr sin(θ2 )cos(θ2 )cos( 3θ2 ) 0
σzz
0 - EPT 0 - EPT 0
ν(σxx+σyy) - EPD ν(σxx+σyy) - EPD 0
τxy
K I
√2πr
cos(θ2 )sin(θ2 )cos( 3θ2 ) K II√2πr cos(θ2)[1−sin(θ2 )sin( 3θ2 )] 0
τxz 0 0 −
K III
√2πr
sin(θ2 )
τyz 0 0
K III
√2πr
cos(θ2)
ux
K I
2μ √ r2π cos(θ2 )[κ−1+2sin2(θ2 )] K II2μ √ r2π sin(θ2)[κ+1+2cos2(θ2 )] 0
uy
K I
2μ √ r2π cos(θ2 )[κ+1−2cos2(θ2 )] −K II2μ √ r2π cos(θ2 )[ κ−1−2sin2(θ2)] 0
uz 0 0
K III
√2πr
sin(θ2 )
ν Coeficiente de Poisson
μ Módulo de cisalhamento
EPD κ=3-4ν
EPT κ=(3-ν)/(1+ν)
Anderson (1994), ao discorrer sobre os efeitos das dimensões da placa 
sobre a concentração de tensões, ilustrado na FIG. 2.16, afirma que as linhas de 
força fazem surgir uma componente na direção “x”, perpendicular à direção de 
aplicação das tensões trativas, que causa influência na intensificação das tensões 
na ponta da trinca.
54
Diversas expressões foram sugeridas e ratificadas em análises por 
elementos finitos. Tais expressões levam em consideração a relação entre o 
comprimento da trinca e a largura da placa (a/W), pois ao se aproximar da unidade, 
esta relação impõe a KI um comportamento assintótico, como poderá ser observado 
na FIG. 2.17. A EQ. 2.47 apresentará uma dessas soluções, que varia conforme a 
configuração geométrica de cada corpo de prova analisado.
55
FIG. 2.16: Efeito da concentração de tensões sobre a largura da placa 
(Anderson, 1994)
FIG. 2.17: Comparação entre as correções devidas à largura finita para um 
CP tipo CCT (Center Cracked Tension) (Anderson, 1994)
K I=σ√π a[ 2Wπa tg( πa2W)]
1
2 (2.47)
Genericamente, tais funções são representadas conforme a EQ. 2.48:
K (I , II , III )=Y σ √πa (2.48)
2.5.6 RELAÇÃO ENTRE K E G
Enquanto o fator “K” caracteriza um material quanto ao comportamento 
mecânico de uma fratura existente, segundo suas tensões, deformações e 
deslocamentos nas proximidades da ponta da trinca, o parâmetro “G” quantifica a 
mudança líquida de energia potencial que acompanha um incremento na extensão 
da trinca. Este descreve o comportamento global do material, enquanto aquele é um 
parâmetro local. Para materiais lineares elásticos, “K” e “G” estão relacionados.
A EQ. 2.49 indica tal relação, no caso de metais.
G=
(K I )
2
E ' { E '=E⇒ EPTE '= E1−ν2 ⇒ EPD (2.49)
Gomes Filho et al. (2011) apresentam a relação da EQ. 2.50, para o caso 
dos materiais compósitos laminados ortotrópicos:
E '= √2 E1 E2
√√ E1E2−ν12+ E12G12
(2.50)
2.5.7 RELAÇÃO ENTRE EPT E EPD
A maioria das soluções da mecânica da fratura, afirma Anderson (1994), 
reduz o problema a um caso bidimensional. Isto implica em ao menos uma das 
tensões/deformações principais ser nula. Todavia, as situações reais são 
tridimensionais e há certos limites a serem observados para que as aproximações 
56
possam ter validade.
A FIG. 2.18 ilustra o estado triaxial de tensões quando r<<B.
Para adotar o parâmetro “K” como um critério de falha, e portanto avaliar 
seu valor crítico “KIc”, é necessário que a zona plástica seja pequena se comparada 
com a espessura do CP. Se a zona plástica é muito grande, o valor de “K Ic” é 
influenciado, conforme ilustrado pelo esquema da FIG. 2.19.
Valores adotados para o estudo dos metais indicam que o valor do raio 
plástico do material deve ser da ordem de 1/50 das dimensões do CP para que o 
valor de KIc seja independente do tamanho. Ou seja, é importante que o material 
57
FIG. 2.18: Estado triaxial de tensões próximo à ponta da trinca (Anderson, 
1994)
FIG. 2.19: Efeito da espessura na resistência à fratura de um CP submetido ao 
Modo I (Anderson, 1994)
esteja em EPD. Todavia, relações superiores às observadas experimentalmente não 
necessariamente invalidam o valor de KIc, e valores obtidos em laboratório para K ic 
de materiais em EPT são aplicáveis a estruturas feitas do mesmo material, nas 
mesmas condições (Anderson, 1994).
2.5.8 TRABALHO ESSENCIAL DE FRATURA (EWF)
O princípio do método EWF baseia-se na proposição