PC_2020-1_APX3_ENUNCIADO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
APX3– Pré-Cálculo – 2020-1 
Código da disciplina EAD01002 
 
TODAS AS RESPOSTAS DEVEM VIR ACOMPANHADAS DOS CÁLCULOS OU JUSTIFICATIVAS 
 
Questão 1 [1,5 ponto] 
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥4 + (𝑎 + 𝑏)𝑥3 + (2𝑎 + 3𝑏)𝑥2 + 4𝑎𝑥 − 4 , onde 𝑎 e 𝑏 são 
constantes reais, 𝑎 ≠ 0 . 
Encontre os valores das constantes reais 𝑎 e 𝑏 sabendo que 𝑥 = 1 é raiz dupla desse polinômio. 
Encontre todas as raízes reais de 𝑝(𝑥) e fatore esse polinômio em ℝ . 
 
Questão 2 [1,8 ponto] 
Considere a função 𝑓(𝑥) =
1−4|𝑥|
 3−√2−7𝑥 
 . Para justificar suas respostas mostre todos os cálculos que 
foram feitos em cada item abaixo. 
(2.a) [0,5 ponto] Determine o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). Dê a resposta na forma de 
intervalo e/ou de união de intervalos disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum). 
(2.b) [1,0 ponto] Estude o sinal da função 𝑓, ou seja, encontre os valores de 𝑥 tais que 𝑓(𝑥) =
0 , 𝑓(𝑥) > 0 𝑒 𝑓(𝑥) < 0. 
(2.c) [0,3 ponto] Considere a função 𝑔(𝑥) = √𝑥 . Considerando o que foi calculado no item 
(2.b), responda, justificando, se é possível calcular: 
 (i) (𝑔 ∘ 𝑓) (−
1
2
) (ii) (𝑔 ∘ 𝑓) (
1
7
). 
Quando você concluir que é possível calcular, faça os cálculos e dê o valor da composição. 
 
Questão 3 [2,7 pontos] Faça o que se pede em cada item. 
(3.a) [1,6 ponto] Considere a função ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 6𝑥 − 4 . Utilizando completamento de 
quadrados, escreva a função quadrática ℎ(𝑥) = −2𝑥2 + 6𝑥 − 4 na forma canônica. A partir 
dessa forma canônica encontre o vértice dessa parábola e as raízes dessa função, ou seja, 
encontre os valores de 𝑥 para os quais ℎ(𝑥) = 0. Justifique suas respostas apresentando as contas 
feitas para essa resolução. Dê a concavidade da parábola. Justifique. Encontre a interseção dessa 
parábola com o eixo 𝒚. 
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Atenção: a questão só será pontuada se o vértice e as raízes forem encontrados e justificados 
através da forma canônica. Lembre que a forma canônica de uma função quadrática é ℎ(𝑥) =
𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , onde 𝑎 , ℎ , 𝑘 são constantes reais. 
Explique, usando transformação em gráfico, como construir o gráfico da função 𝑠(𝑥) = −ℎ(−𝑥) , 
a partir do gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥). Esboce em um mesmo par de eixos os gráficos das funções 
 𝑦 = ℎ(𝑥) e 𝑦 = 𝑠(𝑥) = −ℎ(−𝑥). Marque nos gráficos as interseções com os eixos 
coordenados e o vértice de cada parábola. Dê a imagem de cada função. 
(3.b) [1,1 ponto] Considere a função 𝑟(𝑥) = √𝑥 + 1. 
Qual é o domínio da função 𝑟 ? Esboce o gráfico da função 𝑟 e explique a construção desse 
gráfico , usando transformação em gráfico a partir do gráfico da função 𝑦 = √𝑥. 
Observando o gráfico da função 𝑟 , responda qual é a imagem da função r e explique porque é 
possível garantir que a função 𝑟: 𝐷𝑜𝑚(𝑟) ⟶ 𝐼𝑚(𝑟), admite função inversa 𝑦 = 𝑟−1(𝑥). 
Encontre a expressão da função inversa 𝑟−1 . Responda qual é o domínio e a imagem de 𝑦 =
𝑟−1(𝑥). 
Esboce, agora, em um mesmo par de eixos coordenados o gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥), da função 
inversa 𝑦 = 𝑟−1(𝑥) e da reta 𝑦 = 𝑥 . Identifique nos gráficos de 𝑦 = 𝑟(𝑥) e de 𝑦 = 𝑟−1(𝑥) 
os pontos onde esses gráficos tocam ou cortam os eixos coordenados. 
 
Questão 4 [1,8 ponto] Faça o que se pede em cada item. 
(4.a) [1,2 ponto] Considere a função 𝑓(𝑥) = (1 − tan(3𝑥))(1 − 4 sen2(2𝑥)). 
Determine o domínio da função 𝑓 e os valores de 𝑥 em que 𝑓(𝑥) = 0, para −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 . Esses são 
pontos onde o gráfico corta o eixo 𝑥 . 
(4.b) [0,6 ponto] Se sec(𝜃) = 3 e 
15𝜋
2
< 𝜃 < 8𝜋, calcule sen(2𝜃). 
 
Questão 5 [2,2 pontos] Faça o que se pede em cada item. 
(5.a) [0,7 ponto] Determine o domínio da função F(x) = log3 4
𝑥. 
Usando propriedades de logaritmo e mudança de base, resolva a equação 
log3 4
𝑥 = ln 2. 
(5.b) [1,5 ponto] Considere as funções 𝑚(𝑥) = 3𝑒2𝑥 − 4 e 𝑛(𝑥) = 4𝑒𝑥 − 5. 
Determine o domínio de cada função e esboce o gráfico das duas funções em um mesmo par de 
eixos. Explique a construção de cada gráfico, descrevendo as transformações usadas ou desenhando 
os gráficos das transformações usadas. 
Em quais pontos os gráficos se cortam? Para responder será preciso resolver a equação 𝑚(𝑥) =
𝑛(𝑥). 
Observe os gráficos e responda: qual é a imagem de cada função?