Lista-Exercicios1-Nocoes-Basicas-Erros - Calculo Numerico

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Lista de Exercícios 1 – Noções Básicas sobre Erros 
 Cálculo Numérico 
 Profa. Dra. Yara de Souza Tadano 
1. Seja um sistema em aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com 
acumulador de precisão dupla. Dados os números:
 
𝑥 = 0,7237 × 104,
 
𝑦 = 0,2145 × 10−3,
 
𝑧 = 0,2585 × 101
 
 
Efetue as seguintes operações e obtenha o limitante máximo no erro relativo do resultado, 
supondo que x, y e z estão exatamente representados. Considere arredondamento.
 
 
 
b) x – y – z 
d) (xy)/z
 
a) x + y + z 
c) x/y 
e) x (y/z)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Repita o exercício 1, considerando um sistema em aritmética de ponto flutuante de 
cinco dígitos, base decimal, com acumulador de precisão dupla e truncamento. 
3. Supondo que x é representado num computador por �̅� , onde �̅� é obtido por 
arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de 𝑢 = 2�̅� e 
𝑤 = �̅� + �̅�. 
4. Idem ao exercício 3 para 𝑢 = 3�̅� e 𝑤 = �̅� + �̅� + �̅�. 
5. Repita o exercício 4, sendo agora x representado com truncamento. 
6. Sejam �̅� e �̅� as representações de x e y obtidas por arredondamento em um 
computador. Deduza expressões de limitante de erro para mostrar que o limitante do 
erro relativo de 𝑢 = 3�̅��̅� é menor que o de 𝑣 = (�̅� + �̅� + �̅�)�̅�. 
7. Considere uma máquina cujo sistema de representação de número é definido por:
𝛽 = 10, 𝑘 = 4, 𝑒 ∈ [−5,5]. Pede-se:
a) Qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina?
b) Como será representado o número 73,758 nesta máquina, se for usado o 
arredondamento? E se for usado o truncamento?
c) Se a = 42.450 e b = 3 qual o resultado de a + b?
d) Qual o resultado da soma:
 10 
𝑆 = 42.450 + ∑ 3 
 𝑖=1 
nesta máquina?
e) Qual o resultado da soma:
 10 
𝑆 = ∑ 3 + 42.450 
 𝑖=1 
nesta máquina?
(Obviamente os resultados dos itens d e e deveriam ser os mesmos. Contudo, as 
operações devem ser realizadas na ordem em que aparecem as parcelas, o que 
conduzirá a resultados distintos). 
f) O resultado da operação: wz/t pode ser obtido de várias maneiras, bastando 
modificar a ordem em que os cálculos são efetuados. Para determinados valores de w, 
z, t, uma sequência de cálculos pode ser melhor que outra. Faça uma análise para o 
caso em que w = 100, z = 3.500 e t = 7.
 
 
 
 
 |𝐸𝑅𝑥+𝑦+𝑧| < 0,9998 × 10
−3 
 |𝐸𝑅𝑥−𝑦−𝑧| < 1,0002 × 10
−3 
 |𝐸𝑅𝑥/𝑦| < 0,5 × 10
−3 
 |𝐸𝑅(𝑥𝑦)/𝑧| < 10
−3 
 |𝐸𝑅𝑥(𝑦/𝑧)| < 10
−3 
e |𝐸𝑅𝑤| < 10
−𝑘+1 
e |𝐸𝑅𝑤| <
4
3
× 10−𝑘+1 
 
 
 
 
 
 
 e |𝐸𝑅𝑤| <
7
3
× 10−𝑘+1 
RESPOSTAS:
1. a) x+y+z=0,7240×104 
b) x – y – z = 0,7234×104 
c) x/y = 0,3374×108 
d) (xy)/z = 0,6004 
e) x(y/z) = 0,6005 
3. |𝐸𝑅𝑢| < 10−𝑘+1 
4. |𝐸𝑅𝑢| < 10−𝑘+1 
6. |𝐸𝑅𝑢| < 2 × 10−𝑘+1 
 
 
7.
a) 𝑚 = 0,1000 × 10−5 = 10−6 
 𝑀 = 0,9999 × 105 = 99.990
 
 
 
b) No arredondamento: 0,7376 × 102
 No truncamento: 0,7375 × 102 
c) a + b = 0,4245×105 
d) S = 0,4245×105 
e) S = 0,4248×105 
f) Observar que a opção (wz)/t conduz a um overflow nesta máquina.