Aula 05

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Estatística para Bacen 
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AULA 5: Variáveis aleatórias 
 
1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS .................................................................................................................. 2 
1.1. Variáveis aleatórias discretas ............................................................................................................... 2 
1.2. Variáveis aleatórias contínuas .............................................................................................................. 3 
1.3. Distribuição de probabilidade de uma variável discreta ...................................................................... 5 
1.4. Esperança para variáveis discretas ...................................................................................................... 9 
1.5. Esperança para variáveis contínuas ................................................................................................... 17 
1.6. Propriedades da esperança ................................................................................................................. 17 
1.7. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta .......................................................... 20 
1.8. Variância e desvio padrão para uma variável contínua ..................................................................... 26 
1.9. Propriedades da variância .................................................................................................................. 26 
1.10. Coeficiente de variação de uma variável aleatória ............................................................................ 28 
1.11. Covariância ......................................................................................................................................... 31 
2. MOMENTOS ................................................................................................................................. 36 
3. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (fdp) ........................................................................... 40 
4. FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ............................................................................... 44 
5. LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 50 
5.1. Funções não lineares .......................................................................................................................... 50 
5.2. Relação entre FDP e fdp ..................................................................................................................... 53 
5.3. Esperança para variáveis contínuas ................................................................................................... 56 
5.4. Variância de variáveis contínuas ........................................................................................................ 59 
6. QUADRO RESUMO ....................................................................................................................... 59 
7. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 61 
8. GABARITO ..................................................................................................................................... 71 
 
 
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1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
1.1. Variáveis aleatórias discretas 
Considere o lançamento de um dado de seis faces. O resultado do lançamento pode ser: 1, 
2, 3, 4, 5, 6. Vamos indicar por X o resultado do lançamento. 
Lançamos o dado a primeira vez e o resultado foi 3. 
�� = 3 
Lançamos o dado a segunda vez e o resultado foi 1. 
�� = 1 
Lançamos o dado pela terceira vez e o resultado foi 5. 
�� = 2 
E assim por diante. 
Observem que X assume valores diferentes a cada lançamento. Ou seja, X varia, é uma 
variável. Além disso, varia de forma aleatória. Não temos como predizer, com 100% de 
certeza, o resultado do próximo lançamento. 
Se quiséssemos de antemão determinar, com exatidão, o resultado do lançamento de um 
dado, teríamos que levar em conta uma gama muito grande de fatores. A posição de 
lançamento do dado. A força de arremesso. O ângulo. A rotação. Formato e densidade do 
dado. Atrito com o ar. Altura em relação à mesa. Inclinação da mesa. E poderíamos ficar 
imaginando aqui infinitos outros fatores que influenciariam no resultado. São tantos fatores 
que fica extremamente difícil modelar seu comportamento de tal modo que possamos 
predizer o resultado com 100% de certeza. 
O máximo que podemos fazer é calcular a probabilidade para cada possível valor de X. 
Podemos dizer que a probabilidade de X ser igual a 3 é de 1/6. Apenas isso. Mas não 
podemos garantir que, no próximo lançamento, X será igual a 3. 
Em casos assim, podemos dizer que a variável é aleatória. Ela assume diferentes valores e 
cada resultado possível pode ser associado a uma dada probabilidade. 
Além de ser uma variável aleatória, X também é discreta. 
O que é uma variável discreta? 
É uma variável que assume valores em um conjunto enumerável de pontos da reta real. Ou 
seja, nós conseguimos ordenar todos os seus valores possíveis, dizendo quem é o primeiro 
valor possível, quem é o segundo valor possível etc. 
O primeiro valor possível para X é 1. O segundo é 2. O terceiro é 3. E assim por diante. 
São seis valores possíveis. E a cada um deles podemos associar uma probabilidade. 
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X Probabilidade 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 
 
 
Variáveis aleatórias discretas 
Uma variável aleatória discreta assume valores num conjunto enumerável de pontos da 
reta real. A cada um de seus possíveis valores se associa uma probabilidade. 
 
1.2. Variáveis aleatórias contínuas 
Como exemplo, considere que nossa variável de interesse seja a temperatura de uma 
estufa, que será designada por X. 
X pode assumir diversos valores, como: 20ºC, 25ºC, 30ºC, etc. 
Para medir o valor de X, usaremos um termômetro “mágico”. Trata-se de um termômetro 
com infinitas casas depois da vírgula. Assim, este termômetro é capaz de medir 
temperaturas como 32ºC, ou como 34,3333333...ºC (uma dízima periódica), ou como √50 º 
C (um número irracional). 
Não é possível saber, com segurança, qual o valor que o termômetro indicará. Novamente 
estamos diante de uma variável aleatória. 
Contudo, diferentemente do caso do lançamento do dado, agora estamos diante de uma 
variável contínua. Não conseguimos mais enumerar todos os possíveis valores de X. 
Para exemplificar, vamos começar com a temperatura de 20ºC. Suponhamos que este seja o 
menor valor possível para a temperatura dentro da estufa. 
Qual o próximo valor possível para X? 
Alguém poderia dizer: 21ºC. 
Será mesmo? Outra pessoa poderia dizer que é 20,1ºC. 
Mas isto ainda não é correto. Poderíamos pensar no valor 20,01ºC. Ou então, em 20,001ºC. 
E esta brincadeira não acaba nunca. 
Para qualquer valor que você pensar, sempre existirá outro que está ainda mais próximo de 
20ºC. 
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Ou seja, sequer conseguirmos listar o próximo valor possível. 
Quando isso acontece, a variável é contínua. Ela pode assumir qualquer valor em um dado 
intervalo da reta real. 
Quando a variável é contínua, não podemos mais falar em probabilidades associadas a cada 
valor. 
Exemplo: qual a probabilidade de a temperatura medida com nosso termômetro mágico ser 
exatamente igual a 34,33333...ºC (uma dízimaperiódica)? 
Tem que ser exatamente 34,3333...ºC. Não pode ser 34ºC, nem 34,3ºC. Tem que ser 
exatamente 34,3333...ºC. 
A probabilidade é zero. São infinitos casos possíveis e um único favorável. 
Sempre que a variável for contínua, não podemos mais falar em probabilidade associada a 
cada valor. 
Para variáveis contínuas, o que podemos fazer é associar uma probabilidade a cada 
intervalo de valores. 
Exemplo: poderíamos dizer que a probabilidade de a temperatura X estar entre 20ºC e 30ºC 
é de 48%. A probabilidade de 48% está sendo associada a um intervalo de valores. 
 
Variáveis aleatórias contínuas 
Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor em um intervalo real 
 
Questão 1 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO] 
Uma variável aleatória numérica contínua é uma variável que possui a característica de não 
se poder saber a priori o seu valor, além de ser 
(A) qualitativa e de poder assumir qualquer valor dentro do intervalo no qual está definida. 
(B) qualitativa e de ser fruto de um processo de contagem 
(C) qualitativa e de ser fruto de um processo de mensuração. 
(D) quantitativa e de poder assumir qualquer valor dentro do intervalo no qual está 
definida. 
(E) quantitativa e de ser fruto de um processo de contagem. 
 
Resolução. 
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Uma variável contínua pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo da reta real. 
Logo, é uma variável quantitativa (e não qualitativa). Com isso, já descartamos as 
alternativas A, B e C. 
A letra D traz a explicação correta sobre as características de uma variável contínua: pode 
assumir qualquer valor dentro de certo intervalo real. 
Na letra E temos a seguinte falha: se uma variável é fruto de um processo de contagem, 
então ela assume valores em um conjunto enumerável de pontos da reta real. Logo, trata-se 
de variável discreta (e não contínua). 
Gabarito: D 
 
1.3. Distribuição de probabilidade de uma variável discreta 
Para as variáveis discretas, associamos cada valor a uma probabilidade. Chamamos isso de 
distribuição de probabilidade. A soma de todas as probabilidades é sempre igual a 1 
(=100%). 
Como exemplo, vamos apresentar a distribuição de probabilidades para a variável X, que 
representa o resultado do lançamento do dado: 
X Probabilidade 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
Total 1 
Vejam como a soma de todas as probabilidades é igual a 1 (=100%). Isto sempre acontece. 
 
Exemplo 1 
Temos um tetraedro homogêneo. Nas suas faces temos os números 1, 2, 3, 4. Lançamos o 
tetraedro. O resultado corresponde ao número da face que fica em contato com a mesa. 
Vamos chamar esse resultado de X. Em uma tabela, monte a distribuição de probabilidades 
da variável X. 
 
Resolução: 
São 4 faces. Cada uma tem chance de 25% de ocorrer. 
 
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X P(X) 
1 1/4 
2 1/4 
3 1/4 
4 1/4 
TOTAL 1 
Observe a soma das probabilidades é igual a 1 
 
Exemplo 2 
Temos dois tetraedros homogêneos. Lançamos os dois, simultaneamente. Em ambos, as 
faces apresentam os números 1, 2, 3, 4. Seja Y a variável que indica a soma dos resultados 
dos lançamentos dois tetraedros. Em uma tabela, monte a distribuição de probabilidades da 
variável Y. 
 
Resolução: 
Em cada tetraedro, a probabilidade de ocorrer cada uma das 4 faces é de 25%. Portanto, as 
possibilidades de combinação ficam: 
Resultado do primeiro tetraedro Resultado do segundo tetraedro Soma 
1 1 2 
2 1 3 
3 1 4 
4 1 5 
1 2 3 
2 2 4 
3 2 5 
4 2 6 
1 3 4 
2 3 5 
3 3 6 
4 3 7 
1 4 5 
2 4 6 
3 4 7 
4 4 8 
Portanto, a variável Y pode assumir valores de 2 a 8. Se os dois tetraedros forem honestos, 
cada uma das 16 combinações tem a mesma chance de ocorrer. 
Observe que cada um dos valores de Y tem chances distintas de ocorrer. Por exemplo, o 
valor 2 só ocorre em uma única combinação (1 no primeiro tetraedro e 1 no segundo). Já o 
valor 4 acontece em três situações (3 e 1; 2 e 2; 1 e 3). 
A distribuição de probabilidade fica: 
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Y P(Y) 
2 1/16 
3 2/16 
4 3/16 
5 4/16 
6 3/16 
7 2/16 
8 1/16 
TOTAL 1 
 
Questão 2 TCE/MG – 2007 [FCC] 
O número de unidades vendidas, mensalmente, de um produto em uma determinada loja é 
uma variável aleatória (X) com a seguinte distribuição de probabilidades: 
X P(X) 
0 2m 
1 n 
2 2n 
3 n 
4 m 
Sabe-se que somente em 10% dos meses são vendidos mais que 3 unidades. Então, se em 
um determinado mês a venda realizada não foi nula, tem-se que a probabilidade dela ter 
sido inferior a 4 é: 
a) 70,0% 
b) 75,0% 
c) 80,0% 
d) 87,5% 
e) 90,0% 
 
Resolução: 
O exercício disse que a probabilidade de serem vendidas mais que 3 unidades é de 10%. 
Ou seja, o enunciado está nos dizendo que: 
� = 0,1 
Sabemos que a soma de todas as probabilidades é igual a 1. 
Portanto: 
2� + � + 2� + � +� = 1 
Substituindo o valor de ‘m’: 
0,2 + � + 2� + � + 0,1 = 1 
4� + 0,3 = 1 
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4� = 0,7 
� = 0,175 
 
A distribuição de probabilidades fica: 
X P(X) 
0 0,2 
1 0,175 
2 0,35 
3 0,175 
4 0,1 
TOTAL 1 
Podemos pensar que, a cada 1.000 meses, temos o seguinte comportamento das vendas 
(casos possíveis): 
 
• Em 200 meses são vendidas zero unidades 
• Em 175 meses é vendida uma unidade 
• Em 350 meses são vendidas duas unidades 
• Em 175 meses são vendidas três unidades 
• Em 100 meses são vendidas quatro unidades. 
 
 E estamos interessados nos meses em que foram vendidas menos de 4 unidades. Temos os 
seguintes casos favoráveis: 
• Em 200 meses são vendidas zero unidades 
• Em 175 meses é vendida uma unidade 
• Em 350 meses são vendidas duas unidades 
• Em 175 meses são vendidas três unidades 
 
Só que foi dada uma condição. A condição é: em um determinado mês, a venda não foi nula. 
Dada esta condição, qual a probabilidade da venda ter sido inferior a 4 unidades? 
Precisamos rever nossos casos possíveis e favoráveis. 
Casos possíveis: 
• Em 200 meses são vendidas zero unidades 
• Em 175 meses é vendida uma unidade 
• Em 350 meses são vendidas duas unidades 
• Em 175 meses são vendidas três unidades 
• Em 100 meses são vendidas quatro unidades. 
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Casos favoráveis: 
• Em 200 meses são vendidas zero unidades 
• Em 175 meses é vendida uma unidade 
• Em 350 meses são vendidas duas unidades 
• Em 175 meses são vendidas três unidades 
 
Temos 700 casos favoráveis e 800 casos possíveis. A probabilidade fica: 
%5,87
800
700 ==P 
Gabarito: D. 
 
1.4. Esperança para variáveis discretas 
Voltemos ao lançamento do dado. 
Considere que o dado é lançado seis vezes. São obtidos os seguintes resultados: 
Resultados obtidos em seis lançamentos: 2, 5, 3, 2, 4, 1. 
 
Obtidos esses resultados, podemos calcular a média. 
6
142352 +++++=X 
83,2
6
142352 ≈+++++=X 
Até aqui nenhuma novidade. 
A esperança de uma variável aleatória é muito parecida com a média de um conjunto de 
dados. 
Depois que os lançamentos com nosso dado de seis faces foram feitos, sabemos 
exatamente os valores que saíram e podemos calcular a média com tranqüilidade. 
Contudo, é muito comum querermos calcular uma “média” antes de lançarmos o dado. 
Só que antes de lançarmos o dado não sabemos quais os resultados sairão. Já vimos que se 
trata de uma variável aleatória. É impossível prever os resultados com uma certeza de 
100%. 
É aí queentra a esperança. 
Considere que se trata de um dado honesto. Feito de material homogêneo, com formato 
simétrico. É bem razoável esperar que todas as seis faces tenham a mesma chance de sair. 
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É razoável esperar que, num número muito grande de lançamentos, cada uma das faces saia 
em 1/6 das vezes. 
Se lançarmos esse dado muitas e muitas vezes, podemos esperar a seguinte tabela de 
frequências relativas: 
 
Valor da face 
(X) 
Freqüência relativa 
simples (fr) 
frX × 
1 1/6 1/6 
2 1/6 2/6 
3 1/6 3/6 
4 1/6 4/6 
5 1/6 5/6 
6 1/6 6/6 
Total 1 3,5 
Assim, o valor médio, esperado, é 3,5. 
Não temos certeza se, para um dado conjunto de lançamentos, a média será de 3,5. Pode 
não ser. No caso dos seis lançamentos que mostramos no começo deste tópico, a média foi 
diferente de 3,5. 
Mas para um número muito grande de lançamentos, é razoável esperar que a média se 
aproxime de 3,5. 
Dizemos que 3,5 é a esperança do resultado do lançamento de um dado honesto. 
Corresponde à média que seria obtida num número extraordinariamente grande de 
lançamentos. 
Apenas para ilustrar, você pode executar no Excel uma lista de números aleatórios entre 0 e 
6. Feito isto, pode pedir para ele arredondar para o inteiro logo acima. Com isso, estaremos 
simulando o lançamento de um dado honesto. 
Fiz um exemplo aqui no meu computador. A lista gerada, com 100 números, foi: 
1 2 3 3 4 1 6 3 6 4 
4 3 5 2 3 6 3 3 4 5 
3 6 1 6 2 6 3 2 1 3 
1 5 6 4 5 5 6 2 6 1 
6 6 3 3 2 2 5 2 5 6 
3 6 4 4 2 3 4 1 4 5 
4 3 3 1 1 4 2 4 3 4 
3 5 1 5 4 3 4 1 3 4 
2 1 4 1 4 3 1 4 6 2 
4 1 4 2 6 1 5 3 2 1 
A média destes valores é de 3,4. 
Repeti o mesmo procedimento, desta vez para 300 valores. A média foi de 3,52667. 
Vamos passar a fórmula da esperança. 
Seja X uma variável aleatória que assume n valores (x1, x2, x3, ..., xn). 
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Considere que cada um desses n valores tem uma dada probabilidade de acontecer. 
x1 tem probabilidade P1 de acontecer. 
x2 tem probabilidade P2 de acontecer. 
xn tem probabilidade Pn de acontecer. 
 
A esperança de X é dada por: 
���� = �� =��� × ��
�
���
 
Para o dado, foi exatamente isto que fizemos. Sabíamos que os resultados possíveis eram 1, 
2, 3, 4, 5 e 6. Cada um com probabilidade de 1/6. A esperança ficou: 
5,36
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1
6
1
)( =×+×+×+×+×+×=XE 
É comum se empregar o seguinte símbolo para esperança: μ. 
Logo: 
5,36
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1
6
1 =×+×+×+×+×+×=Xµ 
A esperança é bem parecida com a média. Só que em vez de sabermos quantas vezes um 
valor ocorreu, sabemos apenas a sua probabilidade. 
O cálculo é bem semelhante ao cálculo da média, quando são fornecidas apenas as 
frequências relativas. A probabilidade de acontecer cada valor é análoga à sua frequência 
relativa em um número muito grande de experimentos. É comum que se referira à 
esperança como “valor médio”, ou como “média de uma variável aleatória”. 
 
Esperança ou média da variável aleatória 
É a média que seria obtida em um número muito grande de experimentos. 
No caso de variável discreta é dada por: 
���� = �� =��� × ��
�
���
 
A exemplo do que ocorre em estatística descritiva, a média é uma medida de tendência 
central. Ela nos dá um indicativo de centro, em torno do qual os possíveis valores da variável 
aleatória giram. 
 
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Questão 3 ENAP 2006 [ESAF] 
Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas 
resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra 
paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o 
valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos 
os valores que ela paga à Suzana) é igual a 
a) 1,5. 
b) -0,75. 
c) 0,75. 
d) -1,5. 
e) 2,5. 
 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre quando, lançando a primeira moeda, obtemos cara. 
Seja B o evento que ocorre quando, lançando a segunda moeda, obtemos cara. 
Vamos calcular a probabilidade da intersecção entre A e B. Como os dois eventos são 
independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades. 
��� ∩ � = ���� × �� � 
��� ∩ � = 0,5 × 0,5 = 0,25 
Deste modo, a probabilidade de termos duas caras é de 25%. 
Vamos indicar por X o quanto Sandra ganha com esta aposta. 
Se as duas moedas resultarem em cara, Sandra ganha R$ 6,00. Certo? 
Ou seja, neste caso, temos: 
6=X 
É certeza que Sandra ganhará 6,00? 
Não, não é certeza. É apenas uma possibilidade. 
E qual a probabilidade de isso ocorrer? 
Como vimos acima, a probabilidade de duas caras é 25%. 
Logo, há 25% de chance de Sandra ganhar 6,00. 
Tudo certo até aqui? 
 
Para qualquer outra combinação de resultados nas duas moedas, Sandra perde R$ 4,00. 
Neste caso, teríamos: 
4−=X 
É certeza que Sandra perderá 4,00? Não, não é. É apenas uma possibilidade. 
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E qual a probabilidade de isso ocorrer? 
Oras, se a probabilidade de saírem duas caras é 25%, então a probabilidade de não saírem 
duas caras é 75% (eventos complementares, matéria da aula passada). 
Logo, há 75% de chance de Sandra perder 4,00. 
 
Podemos concluir que X varia (pois, a cada nova aposta, X pode assumir valores diferentes). 
Além disso, a cada valor possível de X está associada uma dada probabilidade. Assim, X é 
uma variável aleatória. 
A tabela abaixo resume os possíveis valores de X, acompanhados de suas probabilidades. 
X Probabilidade (P) 
– 4 75% 
6 25% 
A esperança de uma variável aleatória nada mais é do que sua média. 
Para tanto, nós adotamos a abordagem frequentista da probabilidade, que vimos na aula 
passada. 
Relembrando: nesta abordagem, consideramos que a probabilidade é a frequência relativa 
que seria obtida em um número muito grande de experimentos. 
Ou seja, se as duas amigas fizessem esta aposta inúmeras vezes, é natural esperar que, em 
75% dos casos, Sandra perca 4,00. E é natural esperar que em 25% dos casos ela ganhe 6,00. 
Ou seja, a probabilidade seria análoga à frequência relativa. 
Em outras palavras, a esperança da variável aleatória X é a média que seria obtida em um 
número muito grande de apostas entre Sandra e sua amiga. 
Portanto, para calcular a esperança, basta considerar que estamos diante de um caso de 
cálculo de média com frequências relativas simples. 
Temos que multiplicar cada valor por sua frequência. Depois somamos. Depois dividimos 
pelo total das frequências. 
X P PX × 
-4 0,75 -3 
6 0,25 1,5 
total 1 -1,5 
1
5,1
][
−== XXE µ = 5,1− 
O que isto significa? 
Significa que, se fosse possível realizar infinitas vezes esta aposta, Sandra perderia, em 
média, R$ 1,50 por aposta. 
Gabarito: D 
 
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Questão 4 MPU 2004 [ESAF] 
O preço de determinada ação fica constante, aumenta ou diminui R$ 1,00 por dia com 
probabilidades 0,3, 0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a opção que dá o valor esperado do 
preço da ação amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00. 
a) R$ 7,90 
b) R$ 8,00 
c) R$ 7,00 
d) R$ 9,00 
e) R$ 8,50 
 
Resolução: 
Hoje o preço é de R$ 8,00. 
Há 30% de chance de o preço ficar constante (permanecer em 8,00). 
Há 30% de chance de o preço aumentar R$ 1,00 (indo para 9,00). 
Há 40% de chance de o preço cair R$ 1,00 (indo para7,00). 
Assim, a distribuição de probabilidades fica: 
� ���� � × ���� 
7 0,4 2,8 
8 0,3 2,4 
9 0,3 2,7 
Total 1 7,9 
Logo: 
���� = 7,9 
Gabarito: A 
 
Questão 5 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO] 
Suponha que você esteja participando de um sorteio que consiste na retirada de uma 
cartela de dentro de uma urna, onde está declarado o valor com o qual você será 
contemplado. 
Considere ainda que existam dentro da urna 1000 cartelas, com os valores assim 
distribuídos: 
• 500 cartelas com o valor R$ 0,00; 
• 300 cartelas com o valor R$ 50,00; 
• 150 cartelas com o valor R$ 100,00; 
• 50 cartelas com o valor R$ 200,00. 
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À medida que o número de cartelas retiradas for aumentando, tendendo para o infinito, 
para que valor, em reais, tenderá a média dos valores dos prêmios contemplados? 
(A) 40,00 
(B) 75,00 
(C) 87,50 
(D) 100,00 
(E) 200,00 
 
Resolução. 
São 500 cartelas com valor R$ 0,00 em um total de 1.000 cartelas. Assim, a probabilidade de 
o prêmio ser nulo é: 
500
1000 = 50% 
São 300 cartelas com valor R$ 50,00. Assim, a probabilidade de o prêmio ser de cinquenta 
reais é: 
300
1000 = 30% 
Com um raciocínio análogo calculamos todas as demais probabilidades. 
Prêmio (X) Probabilidade 
0 50% 
50 30% 
100 15% 
200 5% 
Tendo os valores de X e as probabilidades, podemos calcular a esperança: 
���� = 0 × 0,5 + 50 × 0,3 + 100 × 0,15 + 200 × 0,05 
���� = 0 + 15 + 15 + 10 = 40 
Gabarito: A 
 
Questão 6 MDIC 2012 [ESAF] 
Paulo e João são dois mecânicos que trabalham em uma oficina que eles possuem e 
dirigem. Eles têm duas vagas para troca de óleo para clientes que estão esperando para 
realizar a manutenção dos seus motores. Além disso, sabe-se que o número de clientes na 
oficina para trocarem o óleo, varia de 0 a 5 clientes. Em particular, para n=0, 1, 2, 3, 4 e 5 
clientes, a probabilidade de exatamente n clientes se encontrarem na oficina para 
realizarem uma troca de óleo é 
�# = 125 , �� =
2
25 , �� =
4
25 , �� =
9
25 , �$ =
7
25 , �% =
2
25 
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De acordo com estes dados, o número médio de clientes na oficina (L), e o número médio 
de clientes esperando para serem atendidos para a troca de óleo (Lq) é dado por: 
 
a) L = 2,5 e Lq= 1,26. 
b) L = 3 e Lq= 1,32. 
c) L = 2 e Lq= 1,52. 
d) L = 2 e Lq= 1,12. 
e) L = 3 e Lq= 1,16. 
 
Resolução: 
Não temos condições de calcular o número médio de clientes na oficina, porque a questão 
não nos deu informações para isso. 
O que a questão nos trouxe foram informações sobre a quantidade de clientes que vão à 
oficina para trocarem óleo. 
Assim, só nos resta supor que L, na verdade, se refere à quantidade de clientes que foram à 
oficina para trocar óleo. 
Vamos então montar uma tabelinha relacionando todos os valores de "L" e suas 
probabilidades: 
& � & × � 
0 1/25 0 
1 2/25 2/25 
2 4/25 8/25 
3 9/25 27/25 
4 7/25 28/25 
5 2/25 10/25 
Total 75/25 
 
A esperança de L é dada por: 
��&� = 7525 
A questão pediu também a esperança de Lq. 
Lq indica a quantidade de clientes esperando para serem atendidos na troca de óleo. 
 
Quando L= 0, 1, 2, não há clientes esperando na fila, pois há duas vagas para troca de óleo. 
 
Só teremos clientes esperando na fila quando houver mais de dois clientes para troca de 
óleo. Exemplificando, se & = 3, então &' = 3 − 2 = 1. 
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& &' � &' × � 
0 0 1/25 0 
1 0 2/25 0 
2 0 4/25 0 
3 1 9/25 9/25 
4 2 7/25 14/25 
5 3 2/25 6/25 
Total 29/25 
 
A esperança de Lq fica: 
�)&'* = 2925 = 1,16 
Gabarito: E 
 
1.5. Esperança para variáveis contínuas 
O cálculo de esperança para variáveis contínuas exige o conhecimento de ferramentas de 
cálculo (cálculo integral). Na minha opinião, não é um assunto cuja cobrança seja razoável 
em uma prova aberta a candidatos de todas as áreas. 
Contudo, tenho observado que as bancas têm sim adentrado neste conteúdo, mesmo em 
provas que não sejam específicas para a área de estatística. 
Ainda assim, vou optar por não abordar o assunto aqui no corpo da aula. Para quem já tiver 
tido contato com cálculo, montei uma leitura opcional ao final da aula. 
 
1.6. Propriedades da esperança 
Independente de a variável em estudo ser contínua ou discreta, a esperança tem algumas 
propriedades. 
Sejam A e B duas variáveis aleatórias. 
Sabemos que a esperança de “A” pode ser escrita como ][ AE ou Aµ . 
A esperança de B pode ser escrita como ][BE ou Bµ 
Pois bem, seja C = A + B 
Seja D = A – B. 
Então, as esperanças de C e D serão: 
BABEAECE µµ +=+= ][][][ 
BABEAEDE µµ −=−= ][][][ 
A esperança da soma é igual à soma das esperanças. 
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A esperança da subtração é igual à subtração das esperanças. 
Se A e B forem independentes (ou seja, o resultado de uma variável não influenciar em nada 
no resultado da outra), então ainda temos mais uma propriedade. Seja H = A × B. 
BABEAEHE µµ ×=×= ][][][ 
Quando as variáveis são independentes, a esperança do produto é igual ao produto das 
esperanças. 
Seja k uma constante real. Seja AkI ×= . A esperança de I fica: 
][]][][][ AEkIEAkEIE ×=⇒×= 
Se multiplicarmos uma variável aleatória por uma constante k, podemos retirar esta 
constante da esperança. 
Por fim, seja k uma constante. A esperança da constante é: 
kkE =][ 
A esperança de uma constante é igual à própria constante. 
 
Propriedades da esperança. 
Sejam A e B variáveis aleatórias, e k uma constante 
��� + � = ���� + �� � 
��� − � = ���� − �� � 
��,� = , 
��, × �� = , × ���� 
 
Se A e B forem independentes, ainda vale: 
��� × � = ���� × �� � 
Um detalhe importante. Vimos que se as variáveis são independentes, a esperança do 
produto é igual ao produto das esperanças. Mas o contrário não é verdadeiro. O fato da 
esperança do produto ser igual ao produto das esperanças não garante que as variáveis 
sejam independentes. Ou seja: 
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X e Y independentes → )()()( YEXEXYE ×= 
)()()( YEXEXYE ×= → não garante nada. 
Exemplo 3 
Seja A uma variável aleatória de média 2. Seja B uma variável aleatória de média 5. Sabendo 
que A e B são independentes, calcule a média da variável C onde: 
ABAC 3+= 
 
Resolução: 
Vamos aplicar as propriedades da esperança. 
]3[][ ABAECE += 
Temos uma esperança de uma soma. Podemos separar em uma soma de esperanças. 
]3[][][ ABEAECE += 
Agora temos uma constante multiplicando nossas variáveis aleatórias. Esta constante pode 
sair da esperança. 
][3][][ ABEAECE += 
Temos uma esperança de um produto. Como as variáveis são independentes, podemos 
separar em um produto de esperanças. 
][][3][][ BEAEAECE ×+= 
Substituindo os valores, ficamos com: 
325232][ =××+=CE 
 
Exemplo 4 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. X tem média 4. Y tem média 6. Calcule a média da 
variável Z, onde Z = 3X – 2Y 
 
Resolução: 
Usando as propriedades da esperança, temos: 
][2][3][ YEXEZE ×−×= 
06243][ =×−×=ZE 
A variável Z tem média zero. 
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1.7. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta 
Vamos trabalhar novamente com o resultado do lançamento de um dado de seis faces. O 
resultado do lançamento de um dado pode ser: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Poisbem, suponhamos que lançamos o dado seis vezes e obtivemos os seguintes 
resultados: 
Resultados obtidos em seis lançamentos: 2, 5, 3, 2, 4, 1. 
A média desses resultados fica: 
83,2
6
17
6
142352 ≈=+++++=X 
E a variância fica: 
80,1
6
)83,21()83,24()83,22()83,23()83,25()83,22( 2222222 ≈−+−+−+−+−+−=σ 
Lembrando, a variância de um conjunto de dados é estudada lá na estatística descritiva. 
Basta calcularmos os desvios em relação à média. Ou seja, subtraímos cada valor da média. 
Depois elevamos ao quadrado. Depois dividimos pelo número de observações. Foi isso que 
fizemos acima. 
 
A variância é uma medida de dispersão. Ela me indica o quanto os dados estão afastados 
(dispersos) da média. Se os dados estiverem muito dispersos, os desvios serão altos, e a 
variância assumirá um valor grande. Se os dados estiverem concentrados, os desvios serão 
pequenos, e a variância será pequena. 
 
Agora, de forma análoga ao feito com a esperança, vamos calcular qual a variância que seria 
obtida num número muito grande de lançamentos de um dado. 
Em um número muito grande de lançamentos, é razoável esperar que cada uma das faces 
ocorra em 1/6 das vezes. E é razoável esperar que a média seja próxima a 3,5. 
Se lançarmos este dado muitas e muitas vezes, a tabela de freqüências obtida seria: 
Valor da face (x) Freqüência relativa simples (fr) frx × 
1 1/6 1/6 
2 1/6 2/6 
3 1/6 3/6 
4 1/6 4/6 
5 1/6 5/6 
6 1/6 6/6 
Total 1 3,5 
A média seria 3,5. 
O cálculo da variância ficaria: 
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Valor da face (x) Quadrado do desvio em relação à média )( 2e 
1 6,25 
2 2,25 
3 0,25 
4 0,25 
5 2,25 
6 6,25 
Total 17,5 
E a variância seria: 
9166,2
6
5,172 ==σ 
Ou seja, o valor da variância seria 2,9166, em um número muito grande de lançamentos. 
É claro que, num experimento em particular, a variância pode ser diferente desta acima. No 
caso dos seis lançamentos, visto no começo deste tópico, de fato, foi diferente. Mas em um 
número grande de lançamentos, o valor da variância se aproxima de 2,9166. 
Para aquela simulação de cem lançamentos feita no Excel, a variância foi de 2,66. 
Como estamos fazendo um cálculo que envolve possíveis resultados de uma variável 
aleatória, estamos lidando com esperanças. A variância nada mais é que a média dos 
quadrados dos desvios. Ou ainda: a variância é a esperança do quadrado do desvio. 
No caso de variáveis aleatórias, a variância é definida como: 
-� = �.�� − ���/ 
Em vez de utilizar o símbolo 2σ para variância, é também comum se empregar )(XV . 
Outro símbolo possível é )(XVar 
012��� = 0��� = 	�.�� − ���/ 
A variância de X pode ser reescrita da seguinte forma: 
0��� = 	�.�� − ���/ 
Desenvolvendo o quadrado: 
]2[)( 22 µµ +−= XXEXV 
Agora podemos utilizar as propriedades da esperança. A esperança da soma é igual à soma 
das esperanças. 
][]2[][)( 22 µµ EXEXEXV +−= 
Só que o valor de µ é constante. Multiplicando uma variável aleatória por uma constante, a 
esperança também fica multiplicada pela mesma constante. 
][][2][)( 22 µµ EXEXEXV +−= 
O valor 2µ também é constante. A esperança de uma constante é igual à própria constante. 
22 ][2][)( µµ +−= XEXEXV 
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A esperança de X é igual a μ. 
222 2][)( µµ +−= XEXV 
22 ][)( µ−= XEXV 
Pronto, esta é outra forma de escrever a esperança. 
Vamos aplicá-la ao lançamento do dado. 
 
Primeiro passo. Vamos calcular a esperança de X2. 
Os valores possíveis de X2 são 1, 4, 9, 16, 25 e 36, cada um com probabilidade de 1/6. 
A esperança de X2 fica: 
166,1536
6
1
25
6
1
16
6
1
9
6
1
4
6
1
1
6
1
][ 2 ≈×+×+×+×+×+×=XE 
Portanto, a variância é igual a: 
22 ][)( µ−= XEXV 
25,3166,15)( −=XV 
9166,2)( =XV 
É o mesmo resultado obtido anteriormente. 
 
Símbolos para variância: 
)()(2 XVarXV ==σ 
Fórmulas para a variância de uma variável aleatória: 
0��� = �.�� − ���/ ou 0��� = �.��/ − �� 
Ambas são equivalentes. 
Aqui vale fazer um paralelo com a estatística descritiva. 
Exatamente como ocorre em estatística descritiva, aqui a variância continua sendo vista 
como uma medida de dispersão. Ela nos indica o quanto os dados estão afastados da média. 
Sua unidade é o quadrado da unidade dos dados originais. Assim, se a variável tem unidade 
cm, a variância estará em cm2. Se a variável está em kg, a variância estará em kg2. 
 
Quando ao desvio-padrão da variável aleatória, ele é dado pela raiz quadrada da variância. 
Ele também fornece um indicativo da dispersão dos dados em torno da média, com a 
vantagem de ter a mesma unidade dos dados originais. 
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Questão 7 AFRFB 2009 [ESAF] 
A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X: 
X f’ 
−2 61 1 11 2 31 
 
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: 
a) 5,0−=Xµ e 45,3
2 =Xσ 
b) 5,0=Xµ e 45,3
2 −=Xσ 
c) 0=Xµ e 1
2 =Xσ 
d) 5,0−=Xµ e 7,3
2 =Xσ 
e) 5,0=Xµ e 7,3
2 =Xσ 
 
Resolução: 
Em vez de usar a palavra “probabilidade”, a questão fala em “frequência relativa”, 
demonstrando a utilização da abordagem frequentista da probabilidade. 
Observem que a alternativa “B” traz uma variância negativa, o que é absurdo. A variância é 
a média dos quadrados dos desvios. Se os desvios são elevados ao quadrado, só obtemos 
números não negativos. Logo, a média destes desvios ao quadrado nunca poderia ser 
negativa. 
A variável X só assume os valores -2, 1 e 2. Logo, somando todas as probabilidades 
associadas a estes valores, devemos ter 100%. 
1,01316 =⇒=++ aaaa 
Agora podemos calcular a esperança de X: 
=×+×+×−= 3,021,016,0)2()(XE 5,0− 
De igual modo, podemos calcular a esperança de X2. 
=×+×+×−= 3,021,016,0)2()( 2222XE 3,7 
A variância é dada pela diferença entre a esperança de X2 e o quadrado da esperança de X. 
=−−=−= 2222 )5,0(7,3)( XX XE µσ 3,45 
Gabarito: A 
 
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Questão 8 BACEN 2001 [ESAF] 
Um investidor aplica em um fundo de ações e espera os rendimentos seguintes, 
dependentes do cenário econômico vigente: 
Cenário Rendimento 
Economia em recessão R$ 1.000,00 
Economia estável R$ 2.000,00 
Economia em expansão R$ 4.000,00 
Com base em sua experiência passada, a distribuição de probabilidades do cenário 
econômico seria: 
Cenário Probabilidade 
Economia em recessão 0,4 
Economia estável 0,4 
Economia em expansão 0,2 
Assinale a opção que dá o valor do desvio-padrão em reais da rentabilidade do investidor. 
a) 1100 
b) 2000(1/5)0,5 
c) 3000(3/5)0,5 
d) 1000(6/5)0,5 
e) 2000 
 
Resolução: 
Seja X a variável que representa o rendimento obtido pelo investidor. X apresenta a 
seguinte distribuição de probabilidades. 
X Probabilidade 
1000 0,4 
2000 0,4 
4000 0,2 
Podemos calcular a esperança de X. 
∑
=
×=
n
i
ii xPXE
1
][ 
[ ] 000.22,0000.44,0000.24,0000.1 =×+×+×== µXE 
 
O que é que significa isso? 
Significa que, se fosse possível realizar infinitas vezes este investimento, a média de 
rendimento destas aplicações seria de R$ 2.000,00. 
Não estamos dizendo que, ao fazer a aplicação uma vez, será obtido um investimento de R$ 
2.000,00. Não é isso. Não temos como saber qual será o rendimento obtido para uma 
aplicação em particular. 
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Mas, se fosse possível repetir esta aplicação diversas vezes, em cada umadelas obteríamos 
um rendimento. O rendimento médio destas inúmeras aplicações seria igual a R$ 2.000,00. 
É isto que estamos afirmando. 
 
De forma análoga, podemos também calcular a esperança de X2. 
∑
=
×=
n
i
ii xPXE
1
22 ][ 
[ ] 000.200.52,0000.000.164,0000.000.44,0000.000.12 =×+×+×=XE 
 
A variância de X fica: 
22 ][][ µ−= XEXV 
000.200.1000.000.4000.200.5][ 2 =−== σXV 
O que é que isso significa? Significa o seguinte. Se fizéssemos esta aplicação inúmeras vezes, 
em cada uma delas obteríamos um rendimento. A cada rendimento obtido, calculamos o 
desvio em relação a 2.000. Depois elevamos o desvio ao quadrado. Depois calculamos a 
média. 
A média dos quadrados desses desvios seria 1.200.000. 
 
O desvio padrão de X é igual à raiz quadrada da variância: 
000.200.1=σ 
Vamos fatorar o número 1.200.000 
30410000.200.1 4 ××= 
Ficamos com: 
3020030410000.200.1 4 =××==σ 
E não há alternativa com este número. 
Todas as alternativas que apresentam a raiz quadrada contém uma fração em que o 
denominador é 5. 
Vamos “construir” uma fração em que o denominador seja 5. 
5
6
1000
5
625
200
5
150
20030200 =×== 
Gabarito: D. 
 
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1.8. Variância e desvio padrão para uma variável contínua 
Cabem os mesmos comentários feitos no tópico de esperança para variáveis contínuas. Só 
abordaremos este assunto na leitura complementar colocada ao final da aula. 
 
1.9. Propriedades da variância 
Independente de a variável ser discreta ou contínua, a variância apresenta algumas 
propriedades: 
Se multiplicamos ou dividimos uma variável por uma constante, a variância sofre o efeito ao 
quadrado. 
Se somamos ou subtraímos uma constante a uma variável, a variância não se altera. 
 
Exemplo: Considere que X e Y sejam duas variáveis aleatórias, tal que 4 = 2� + 1 
Vamos ver como expressar a variância de Y em função da variância de X: 
0�4� = 0�2� + 1� 
Somas e subtrações não interferem na variância. Ou seja, somar 1 não muda a variância: 
0�4� = 0�2� + 1� = 0�2�� 
0�4� = 0�2�� 
Quando multiplicamos uma variável por uma constante, a variância é multiplicada pela 
constante ao quadrado. 
0�4� = 0�2�� = 2�0��� 
0�4� = 40��� 
A variância de Y é quatro vezes a variância de X. 
A figura abaixo resume os passos feitos: 
 
 
Questão 9 CGU 2008 [ESAF] 
Seja X uma variável aleatória com média 1 e variância 2. Qual a variância da variável 
42 += XY ? 
a) 2 
12 +×= XY Não interfere na variância
12 +×= XY
222 2 XY σσ ×=
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b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 12 
 
Resolução: 
Temos: 
42 += XY 
Somas e subtrações não interferem na variância. Multiplicações e divisões sim. Como X foi 
multiplicado por 2, a variância fica multiplicada por 2 ao quadrado. 
)(2)( 2 XVYV ×= 
824)( =×=YV 
Gabarito: D 
 
Questão 10 TRT 2º REGIÃO 2008 [FCC] 
Seja X uma variável aleatória. Sabe-se que a média e a variância da variável aleatória Y = 2X 
+ 1 são 9 e 36, respectivamente. Então, a média e a variância de X são, respectivamente, 
(A) 4 e 12 
(B) 4 e 9 
(C) 4 e 18 
(D) 4,5 e 6 
(E) 4,5 e 9 
 
Resolução: 
Temos: 
4 = 2� + 1 
4 − 1 = 2� 
� = 42 − 0,5 
Usando as propriedades da esperança: 
���� = � 542 − 0,56 =
��4�
2 − 0,5 
���� = 92 − 0,5 = 4 
Usando as propriedades da variância: 
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0��� = 0 542 − 0,56 
Somas e subtrações não interferem na variância: 
0��� = 0 5426 
Quando dividimos uma variável por uma constante, a variância fica dividida pela constante 
ao quadrado. 
0��� = 0�4�2� =
36
4 = 9 
Gabarito: B 
 
Questão 11 SUSEP 2006 [ESAF] 
Sendo X uma v. a. d. – variável aleatória discreta e sendo Y = aX + b, pode concluir-se que 
var (aX + b) é igual a: 
a) = var X. 
b) = E(X2) – (EX)2. 
c) = E(X – E(X)2. 
d) = a2 var X. 
e) = a2 var X – b. 
 
Resolução: 
Somas e subtrações não interferem na variância 
0�1� + 7� = 0�1�� 
Quando multiplicamos uma variável por uma constante, a variância é multiplicada pela 
constante ao quadrado: 
= 1�0��� 
Gabarito: D 
 
1.10. Coeficiente de variação de uma variável aleatória 
O coeficiente de variação corresponde à divisão entre o desvio padrão e a média. Trata-se 
de uma medida de dispersão relativa (relação, em matemática, é sinônimo de divisão). Isto 
porque é obtida a partir da divisão entre as duas grandezas mencionadas. 
Sua função é permitir a comparação das dispersões observadas em conjuntos com médias 
diferentes. 
Como exemplo, considere que as vendas diárias de um vendedor ambulante se comportem 
como uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades: 
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X P(X) 
8 0,2 
9 0,2 
10 0,2 
11 0,2 
12 0,2 
Suponha que as vendas diárias de uma grande empresa também se comportem como uma 
variável aleatória, com a seguinte distribuição: 
Y P(Y) 
999.998 0,2 
999.999 0,2 
1.000.000 0,2 
1.000.001 0,2 
1.000.002 0,2 
Se você calcular a variância para as duas variáveis aleatórias, ela será igual a 2. Mas será 
mesmo correto dizer que ambas apresentam mesma dispersão? 
A variância é uma medida de dispersão absoluta. Para ela, interessam apenas os valores 
absolutos dos quadrados dos desvios. Apenas isso. 
Já no coeficiente de variação nós temos uma referência quanto à grandeza relativa dos 
desvios. Um desvio de R$ 1,00 num conjunto em que a média é de R$ 10,00 é um desvio de 
10%. É um desvio relativamente grande. O desvio de R$ 1,00 num conjunto em que a média 
é de R$ 1.000.000,00 é irrisório, desprezível. 
O coeficiente de variação nos diz que, tomando a média como denominador, as vendas da 
grande empresa são mais concentradas. 
 
Questão 12 Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
Seja X uma variável com média 3 e coeficiente de variação igual a 0,5. Seja Y = -2X+3. As 
variâncias de X e Y são dadas, respectivamente, por: 
a) 1,5 e 6 
b) 2,25 e 9 
c) 1,5 e 3 
d) 2,25 e 5 
e) 2,5 e 6 
 
Resolução: 
Sabemos que o coeficiente de variação é dado pela divisão entre o desvio padrão e a média. 
X
X
XCV µ
σ= 
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Substituindo os valores dados: 
25,25,1
3
5,0 2 =⇒=⇒= XX
X σσσ 
A variância de X é igual a 2,25. Ficamos entre as alternativas B e D. 
Foi informado que 32 +−= XY . 
Somas e subtrações não interferem na variância. Multiplicações sim. 
Como X foi multiplicado por -2, então a variância sofre a variação ao quadrado. A variância 
de Y é 4 vezes a variância de X. 
925,24)(4)( =×=×= XVarYVar 
Gabarito: B. 
 
Questão 13 AFRFB 2012 [ESAF] 
A expectância de uma variável aleatória x ─ média ou esperança matemáfca como também 
é chamada ─ é igual a 2, ou seja: E(x) = 2. Sabendo-se que a média dos quadrados de x é 
igual a 9, então os valores da variância e do coeficiente de variação de x são, 
respectivamente, iguais a 
1�	5; √52 
7�	5;	√5 
9�	√5;√25 
:�√5	; 2√5 
;� √52 ; 5 
Resolução: 
O coeficiente de variação é a relação entre o desvio padrão e a esperança. 
Muito bem, antes de calcular o desvio padrão, precisamos da variância. 
A variância é a diferença entre a esperança do quadrado e o quadrado da esperança: 
0��� = ����� − ����� 
0��� = 9 − 2� = 5 
A variância é 5. Logo, o desvio padrão é igual a √5, pois o desvio padrão é a raiz quadrada 
da variância. 
Finalmente, o coeficiente de variação é igual à divisão entre desvio padrão e média: 
<0 = -= ÷ ���� = √52 
Gabarito: A 
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Questão 14 MPOG 2012 [ESAF] 
A expectância de uma variável aleatória z é igual a 4, ou seja: E(z)=4. Sabendo-se que a 
E(Z2)=20, então o coeficiente de variação de Z é igual a: 
1� 1√20 
7�	1/5 
9�	½ 
:�	1 
;�	0 
Resolução: 
A variância é dada por: 
��A�� − ��A�� = 20 − 4� = 20 − 16 = 4 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 
- = √4 = 2 
O coeficiente de variação é igual à divisão entre desvio padrão e esperança: 
<0 = 24 = 0,5 
Gabarito: C 
 
1.11. Covariância 
Por definição, a covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é: 
( ) ( )[ ]YX YXEYXCov µµ −×−=],[ 
Desenvolvendo a fórmula acima: 
( ) ( )[ ]YX YXEYXCov µµ −×−=],[ 
( )[ ]YXXY YXXYEYXCov µµµµ +−−=],[ 
A esperança da soma é igual à soma das esperanças. 
][][][][],[ YXXY EYEXEXYEYXCov µµµµ +−−= 
Os valores de Xµ e Yµ são constantes. Podemos retirá-los das esperanças. Ficamos com: 
YXXY YEXEXYEYXCov µµµµ +−−= ][][][],[ 
YXYXXYXYEYXCov µµµµµµ +−−= ][],[ 
XYXYEYXCov µµ−= ][],[ 
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Se X e Y forem independentes, a covariância fica: 
XYXYEYXCov µµ−= ][],[ 
XYYEXEYXCov µµ−×= ][][],[ 
Isto porque, para variáveis independentes, a esperança do produto é igual ao produto das 
esperanças. 
XYXYYXCov µµµµ −=],[ 
0],[ =YXCov 
 
Fórmulas para covariância. 
( )( )[ ]YX YXEYXCov µµ −−=],[ 
ou 
XYXYEYXCov µµ−= ][],[ 
Caso X e Y sejam independentes, a covariância é nula 
Agora um detalhe importante. Vimos que sempre que as variáveis são independentes, a 
covariância é nula. Mas o inverso não é verdadeiro. O fato da covariância ser nula não 
garante que as variáveis sejam independentes. 
 
X e Y independentes → 0),( =YXCov 
0),( =YXCov → não garante nada 
Sabendo o conceito de covariância, podemos calcular a variância da soma de duas variáveis 
aleatórias. 
Seja YXZ += 
Queremos calcular: 
0�B� = �.�B − �C��/ =? 
Primeiro, calculemos o valor de �E. 
��B� = ��� + 4� = ���� + ��4� 
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A esperança da soma é a soma das esperanças. 
�C = �= + �F 
Podemos agora continuar o cálculo da variância de Z 
0�B� = �.�B − �C��/ 
Substituindo Z por X + Y: 
0�B� = �.�� + 4 − �= − �F��/ 
0�� + 4� = �.�� + 4 − �= − �F��/ 
Rearranjando os termos: 
0�� + 4� = �.��� − �=� + �4 − �F���/ 
Elevando ao quadrado: 
0�� + 4� = �.�� − �=�� + �4 − �F�� + 2�� − �=��4 − �F�/ 
0�� + 4� = �.�� − �=��/ + �.�4 − �F��/ + 2�.�� − �=��4 − �F�/ 
0�� + 4� = 0��� + 0�4� + 2<GH��, 4� 
De forma análoga, a variância da diferença entre duas variáveis fica: 
0�� − 4� = 0��� + 0�4� − 2<GH��, 4� 
 
Variância da soma e da diferença: 
0�� + 4� = 0��� + 0�4� + 2	<GH��, 4� 
0�� − 4� = 0��� + 0�4� − 2<GH��, 4� 
 
Questão 15 BACEN 2002 [ESAF] 
Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Sejam 45 e 65 as médias de X e de Y, 
respectivamente. Sejam 4 e 16 as variâncias de X e Y respectivamente e 3 a covariância 
entre essas variáveis. Assinale a opção que dá a variância da diferença X – Y. 
a) 26 
b) 20 
c) 23 
d) 14 
e) Não é possível calcular a variância de X – Y com a informação dada. 
 
Resolução: 
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Sabemos que: 
45=Xµ 
65=Yµ 
4)( =XV 
16)( =YV 
3),( =YXCov 
Sabemos que a fórmula da variância da diferença entre duas variáveis é: 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV −+=− 
Substituindo os valores: 
32164)( ×−+=− YXV 
14)( =− YXV 
Gabarito: D. 
 
Questão 16 MPU 2004 [ESAF] 
Considere a distribuição conjunta abaixo de duas variáveis aleatórias discretas X e Y. 
Assinale a opção que dá o valor da covariância entre X e Y. 
 Y1 Y2 
X1 0,25 0,25 
X2 0,25 0,25 
 
a) –6,40 
b) –0,87 
c) –0,05 
d) 0,00 
e) 0,25 
 
Resolução: 
Para entender o quadro acima, vejamos um exemplo: 
 Y1 Y2 
X1 0,25 0,25 
X2 0,25 0,25 
Vejam a célula em negrito. Vale 0,25. Logo, a probabilidade correspondente (ou seja, de X = 
X1 e Y = Y1) vale 0,25. É isso. 
A covariância fica: 
9GH��, 4� = ���4� − ���� × ��4� 
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Primeiro vamos calcular a esperança do produto. 
O produto pode assumir os valores ��4�, ��4�, ��4�, ��4�,	cada um com probabilidade 0,25. 
Assim, a esperança do produto é simplesmente a média aritmética desses valores: 
���4� = ��4� +	��4� + ��4� +	��4�4 
X pode assumir os valores X1 e X2, cada um com probabilidade 0,5. Vejam: 
 Y1 Y2 Total 
X1 0,25 0,25 0,5 
X2 0,25 0,25 0,5 
Logo: 
���� = �� + ��2 
Analogamente, Y pode assumir os valores Y1 e Y2, cada um com probabilidade 0,5: 
 Y1 Y2 
X1 0,25 0,25 
X2 0,25 0,25 
Total 0,5 0,5 
Assim: 
��4� = 4� + 4�2 
Substituindo esses resultados na fórmula da covariância: 
9GH��, 4� = ���4� − ���� × ��4� 
9GH��, 4� = ��4�, ��4�, ��4�, ��4�4 −
�� + ��2 ×
4� + 4�2 
9GH��, 4� = ��4�, ��4�, ��4�, ��4�4 −
��4� + ��4� + ��4� + ��4�4 = 0 
Gabarito: D 
 
Questão 17 ENAP 2006 [ESAF] 
- Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes. 
Dado que Z = 2 X – Y, então pode-se afirmar que 
a) a variância de Z nunca poderá ser superior à variância de X. 
b) a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y. 
c) a variância de Z poderá se diferente de 2 X - Y. 
d) o valor esperado de Z é igual a 2. 
e) a variância de Z é igual a zero. 
 
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Resolução. 
Aplicando a fórmula da variância da diferença: 
),2(2)()2()2( YXCovYVXVYXV −+=− 
A constante 2 que multiplica a variável X pode sair da variância. Só que o efeito é ao 
quadrado. 
)(4)2( XVXV = 
Voltando à equação original: 
),2(2)()2()2( YXCovYVXVYXV −+=− 
),2(2)()(4)2( YXCovYVXVYXV −+=− 
Utilizando as propriedades da esperança, é possível verificar que: 
),(2),2( YXCovYXCov = 
Assim, temos: 
),2(2)()(4)2( YXCovYVXVYXV −+=− 
),(22)()(4)2( YXCovYVXVYXV ××−+=− 
Como X e Y são independentes, então a covariância entre ambas é nula. 
022)()(4)2( ××−+=− YVXVYXV 
)()(4)2( YVXVYXV +=− 
Assim, a variância de Z é superior à variância de X e de Y. 
Gabarito: B 
 
2. MOMENTOS 
Os momentos geralmente cobrados em prova são: 
• Momentos em relação à média (ou momento central) 
• Momentos em relação à origem. 
Momentos nada mais são do que médias, ou esperanças. 
 
Dada uma variável aleatória X, seu momento de ordem n em relação à média é: 
( ) ][ nn XEM µ−= 
Seu momento de ordem n em relação à origem é: 
][' nn XEM = 
Interessante notar que o momento em relação à média, de ordem 2, é justamente a 
variância. 
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( ) )(][ 22 XVXEM =−= µ 
E o momento de ordem 1 em relação à origem é justamente a média da variável aleatória. 
µ== ]['1 XEM 
 
E o primeiro momento em relação à média é sempre zero. Veja: 
( ) ][][][ 11 µµ EXEXEM −=−= 
µ−= ][1 XEM 
01 =−= µµM 
O momento de terceira ordem em relação à média aritmética está relacionado com 
medidas de assimetria. O momento de quarta ordem em relação à média aritmética está 
relacionado com medidas de e curtose. 
 
Exemplo: considere que X seja uma variável aleatória, com a seguinte distribuição de 
probabilidades. 
� I 
1 0,5 
2 0,25 
3 0,25 
 
Vamos iniciar calculando a média (ou esperança). Como é que se calcula média? 
Multiplicamos cada valor pela sua frequênciarelativa. Depois somamos. 
No caso de variáveis aleatórias, a frequência relativa dá lugar à probabilidade. 
Fica assim: 
� I � × I 
1 0,5 0,5 
2 0,25 0,5 
3 0,25 0,75 
Total 1 1,75 
A esperança é igual a: 
���� = 1,75 
Certo? 
Continuando. 
Os momentos em relação à origem, também são esperanças. 
Exemplo: momento de ordem 5 em relação à origem. 
Como calcular? 
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Só tirar a média. Mas, antes disso, temos que elevar à quinta potência (por causa da ordem 
5). A ordem nos indica a potência. Assim: 
� �% I �% × I 
1 1 0,5 0,5 
2 32 0,25 8 
3 243 0,25 60,75 
Total 1 69,25 
Logo, o momento de ordem 5 em relação à origem fica: 
J%K = ���%� = 69,25 
O momento de ordem 4 em relação à origem seria: 
� �$ I �$ × I 
1 1 0,5 0,5 
2 16 0,25 4 
3 81 0,25 20,25 
Total 1 24,75 
J$K = ���$� = 24,75 
E assim por diante. 
O momento de ordem 1 é a própria média, que já calculamos: 
J�K = ����� = ���� = 1,75 
 
No caso dos momentos centrais (calculados em relação à média), a única coisa que muda é 
que, antes de elevar à potência, temos que subtrair da média. Exemplo: momento de ordem 
2 em relação à média. 
Passos: 
• Primeiro subtraímos da média 
• Depois elevamos ao quadrado (pois a ordem é 2) 
• Depois calculamos a esperança 
Assim: 
� � − � �� − ��� I �� − ��� × I 
1 1 − 1,75 = −0,75 0,5625 0,5 0,28125 
2 2 − 1,75 = 0,25 0,0625 0,25 0,015625 
3 3 − 1,75 = 1,25 1,5625 0,25 0,390625 
Total 1 0,6875 
Então o momento de ordem 2 em relação à média, também chamado de momento central 
de ordem 2, é igual a 0,6875: 
J� = ���� − ���� 
Vejam que temos a média dos quadrados dos desvios. Que é justamente a variância. Por 
isso dissemos que a variância corresponde ao momento central de ordem 2. 
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Se quisermos calcular o momento central de ordem 3, basta repetir tudo de novo: 
• Calculamos os desvios (basta subtrair da média, pois é um momento central) 
• Elevamos à potência 3 (pois a ordem do momento é 3) 
• Depois calculamos a esperança 
 
Bom, é isso. Os momentos mais importantes são: 
• O central de ordem 2 (= variância) 
• O de ordem 1 em relação à origem (=esperança) 
 
Questão 18 BASA 2007 [CESPE] 
Considere duas variáveis aleatórias independentes X e Y idênticas e uniformemente 
distribuídas no intervalo (0, 1). Acerca da distribuição da soma Z = X + Y, julgue os seguintes 
itens. 
65. O quarto momento central de Z, comumente usado como medida de curtose, 
corresponde ao quarto momento central de X. 
 
Resolução. 
O quarto momento de X, em relação à média é dado por: 
J=$ = �.�� − ���$/ 
Já o quarto momento de Z, em relação à média é: 
JC$ = �.�B − �C�$/ 
Desenvolvendo: 
JC$ = �.�� + 4 − �= − �F�$/ 
JC$ = � L)�� − �=� + �4 − �F�*$M 
JC$ = � L)�� − �=� + �4 − �F�*$M 
JC$ = �.�� − �=�$/ + 4�.�� − �=���4 − �F�/ + 6�.�� − �=���4 − �F��/+ 4�.�� − �=���4 − �F��/ + �.�4 − �F�$/ 
Repare que a parcela destacada em vermelho é justamente o quarto momento de X em 
relação à média. Portanto, o quarto momento central de Z é igual ao quarto momento de X, 
somado a alguns valores. Logo, os dois momentos não são iguais. A alternativa está errada. 
Gabarito: errado 
 
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3. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (fdp) 
A função densidade de probabilidade é uma função especial. Ela tem uma propriedade 
muito importante: a área abaixo da curva nos dá a probabilidade associada a determinado 
intervalo. 
A função densidade tem um papel análogo ao do histrograma. A área delimitada por um 
intervalo do histograma é proporcional à quantidade de valores naquele intervalo. Para a 
fdp é exatamente a mesma coisa: a área delimitada por certo intervalo nos dá a 
probabilidade de ocorrência do intervalo. 
 
Muito bem, como o maior valor que uma probabilidade pode assumir é 1, então a área total 
abaixo do gráfico inteiro sempre será igual a 1. 
Para ficar mais claro, vejamos alguns exercícios: 
 
Questão 19 BACEN – 2002 [ESAF]. 
Uma variável aleatória do tipo absolutamente contínuo tem a função densidade de 
probabilidade seguinte: 
xxf 08,02,1)( −= , se 10 ≤ x ≤ 15 
0)( =xf , caso contrário 
Assinale a opção que dá a probabilidade de que a variável aleatória assuma valores entre 10 
e 12. 
a) 0,160 
b) 0,640 
c) 0,500 
d) 0,200 
e) 0,825 
 
Resolução: 
Para cálculo de probabilidades associadas a variáveis contínuas, utilizamos a chamada 
função densidade de probabilidade (fdp). Ela é uma função muito interessante. A área 
abaixo da curva, para determinado intervalo, corresponde à probabilidade daquele 
intervalo. 
Nesta questão, o gráfico da função é o seguinte: 
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Para calcular a probabilidade de X assumir valores entre 10 e 12, basta calcular a área 
abaixo da curva, entre esses valores. 
A área é a seguinte: 
 
Temos um trapézio. A área depende da base maior (B), da base menor (b) e da altura (h). 
A base maior vale 0,4. 
A base menor corresponde ao valor da função para x igual a 12. 
24,01208,02,1)12( =×−=f 
A base menor vale 0,24. 
A altura vale 2. 
A área fica: 
( )
2
h
bBArea ×+= 
2
2
)24,04,0( ×+=Area 
64,0=Area 
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Portanto, a probabilidade de X assumir valores entre 10 e 12 é de 0,64. 
Gabarito: B. 
 
Questão 20 BACEN 2001 [ESAF] 
A variável aleatória X tem distribuição de probabilidades do tipo absolutamente contínuo 
com densidade de probabilidades: 
α2
1
)( =xf , se αα <<− x 
0)( =xf , caso contrário. 
Onde α é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o valor de α 
para que se tenha 25,0)1( =>XP . 
a) 4 
b) 0 
c) 3 
d) 1 
e) 2 
 
Resolução: 
Observem que a questão apresenta alternativas não muito inteligentes. Se o próprio 
enunciado já afirmou que α é maior que 1, então já podemos descartar as alternativas B e 
D. Só com a simples leitura do enunciado já eliminamos duas alternativas. 
O gráfico da fdp fica: 
 
O enunciado disse que a probabilidade de X ser maior que 1 é de 25%. Portanto, a área 
verde da figura abaixo é de 0,25. 
 
αα−
α2
1
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Temos um retângulo. A altura é igual a α21 . A base é igual a 1−α . Ficamos com: 
hbA ×= 
( )
α
α
2
1
125,0 ×−= 
225,0
2
1
2
1
5,025,0 =⇒=⇒−= α
αα
 
Gabarito: E. 
 
Questão 21 MPU 2004 [ESAF] 
O tempo em segundos, necessário para processar certo programa é uma variável aleatória 
com função densidade de probabilidades 
 
Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que o tempo de processamento 
exceda 7 segundos. 
a) 0,20 
b) 0,25 
c) 0,30 
d) 0,35 
e) 0,40 
 
Resolução: 
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O gráfico da função densidade de probabilidade fica: 
 
A probabilidade de a variável aleatória assumir valores maiores que 7 é numericamente 
igual à área hachurada abaixo: 
 
��� > 7� = �10 − 7� × 0,1 = 0,3 
Gabarito: C 
 
4. FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
Outra função relacionada com o cálculo de probabilidade é a função distribuição de 
probabilidade (FDP). Ela nos dá a informação sobre qual a probabilidade de obtermos um 
valor menor ou igual aovalor em análise. 
 
Vejamos um exemplo. 
Considere as seguintes informações sobre a função distribuição de probabilidade de uma 
variável aleatória X. 
x FDP 
1 0,0 
4 0,2 
5 0,5 
10 1,0 
Vamos à primeira linha. 
O valor da FDP para x = 1 é 0,0. O que isto significa? 
Significa que a probabilidade de X assumir valores iguais ou inferiores a 1 é 0%. 
O valor da FDP para x = 4 é 0,2. O que isto significa? Significa que a probabilidade de X 
assumir valores iguais ou inferiores a 4 é 20%. 
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O valor da FDP para x = 5 é 0,5. O que isto significa? Significa que a probabilidade de X 
assumir valores iguais ou inferiores a 5 é 50%. 
O valor da FDP para x = 10 é 1. O que isto significa? Significa que a probabilidade de X 
assumir valores iguais ou menores que 10 é 100%. Ou seja, não há valores de X maiores que 
10. 
 
E se a pergunta fosse: qual a probabilidade de X ser maior que 4? 
Com a FDP sabemos que a probabilidade de X ser igual ou menor que 4 é de 0,2. 
Portanto, para saber a probabilidade de X ser maior que 4, basta subtrair o valor acima de 1. 
Ficamos com: 
8,02,01)4( =−=>XP 
Ou seja, a probabilidade de X assumir valores maiores que é de 80%. 
 
A título de exemplo, podemos construir uma tabela com valores de função distribuição de 
probabilidade para o resultado do lançamento de um dado de seis faces. 
Ficaria assim: 
Intervalos de valores FDP 
x < 1 0 
1 ≤ x < 2 1/6 
2 ≤ x < 3 2/6 
3 ≤ x < 4 3/6 
4 ≤ x < 5 4/6 
5 ≤ x < 6 5/6 
x ≥ 6 6/6 
O primeiro intervalo abrange apenas valores abaixo de 1. 
Assim, para qualquer x inferior a 1, a FDP vale zero. Por quê? 
Tomemos o valor 0,999. 
Qual a probabilidade de, lançando um dado, sair um resultado igual ou inferior a 0,999? 
A probabilidade é zero. Não há qualquer resultado, nas faces de um dado, que seja igual ou 
inferior a 0,999. Por isso sua FDP é zero. E isto vale para todos os valores de x menores que 
1. 
Mudemos de intervalo. 
Qual a probabilidade de, lançando um dado, sair um resultado igual ou inferior a 1? 
A probabilidade é 1/6. Dentre as faces de um dado há apenas uma cujo resultado é igual ou 
inferior a 1. É a face de número 1. 
Portanto, a FDP de 1 é 1/6. 
O mesmo vale para a FDP de x = 1,7. Qual a probabilidade de, lançando um dado, obtermos 
um resultado igual ou inferior a 1,7? 
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A probabilidade é 1/6. Há uma face que nos interessa (a face 1) em seis possíveis. 
Para qualquer outro valor no intervalo 1 ≤ x < 2, a FDP será de 1/6. 
 
E qual a probabilidade de, lançando um dado, obtermos um resultado igual ou inferior a 
4,89? 
A probabilidade é 4/6. Há quatro faces que nos interessam (1, 2, 3, 4) em seis possíveis. Por 
isso, a FDP de todos os valores do intervalo 4 ≤ x < 5 é igual a 4/6. 
 
Finalmente, para qualquer valor maior que 6, a FDP valerá 1. 
Exemplo: qual a FDP para x = 7? 
É só calcular a probabilidade de, lançando um dado, obtermos um resultado igual ou inferior 
a 7. Como todos os resultados possíveis são inferiores a 7, a probabilidade é 100%. 
 
Se desenharmos o gráfico da FDP para o lançamento do dado, ficamos com: 
 
No eixo horizontal temos os valores de x. No eixo vertical temos a FDP. 
Repare que o gráfico apresenta “saltos”. A função vinha com valor zero. De repente, quando 
x = 1, a função salta para 1/6. 
A função permanece constante em 1/6. De repente, quando x = 2, a função salta para 2/6. 
Depois, em x = 3, ela salta para 3/6. E assim por diante. 
Este tipo de gráfico, com saltos (ou ainda, em degraus, ou “em forma de escada”) é 
característico de uma variável aleatória discreta. 
Justamente onde ocorrem os “saltos” temos os valores que a variável aleatória assume. 
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No caso, trata-se do lançamento de um dado. O resultado não pode assumir qualquer valor 
real no intervalo [1;6]. Não é possível termos o resultado 1,56. Nem o resultado “π ” (pi). 
Apenas os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Ou seja, nossa variável é discreta. Os saltos da FDP ocorrem justamente para os valores que 
nossa variável aleatória pode assumir. 
Este tipo de gráfico (em forma de escada) é o que geralmente é cobrado em concursos. 
 
Detalhe: não confunda os gráficos. O cálculo de probabilidades por meio da área abaixo da 
curva só é aplicável ao gráfico de fdp. 
 
Vamos treinar um pouco com alguns exercícios. 
 
Questão 22 SEFAZ/MG – 2005 [ESAF] 
Uma variável aleatória X tem função distribuição de probabilidades dada por: 
0)( =xF , se x < 0. 
243
1
)( =xF , se 0 ≤ x < 1 
243
11
)( =xF , se 1 ≤ x < 2 
243
51
)( =xF , se 2 ≤ x < 3 
243
131
)( =xF , se 3 ≤ x < 4 
243
211
)( =xF , se 4 ≤ x < 5 
1)( =xF , se x > 5 
Assinale a opção correta. 
a) X é do tipo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,461 
b) X é do tipo discreto e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,658 
c) X é do tipo discreto e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506 
d) X é do tipo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506 
e) X não é do tipo discreto nem (absolutamente) contínuo Pr (2 < x ≤ 4) = e 0,506. 
 
Resolução: 
Primeiro, vamos verificar qual o tipo da variável. Se é discreta ou contínua. 
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Note que a FDP apresenta saltos. Seu valor é igual a zero, para todos os valores negativos de 
x. Quando x assume valor 0, aí a FDP salta para 1/243. O próximo salto se dá em 1, quando a 
FDP assume valor 11/243. 
Concluímos que é uma FDP em forma de escada. Caracteriza uma variável aleatória que é 
discreta. 
Agora vamos calcular a probabilidade de x estar entre 2 e 4. 
A FDP nos fornece a probabilidade de X ser igual ou inferior ao valor em análise. 
Para x = 2, a FDP é 51/243. O que isto significa? 
Significa que a probabilidade de sair um resultado igual ou inferior a 2 é de 51/243. 
 
Para x = 4, a FDP é 211/243. O que isto significa? 
Significa que a probabilidade de sair um resultado igual ou inferior a 4 é 211/243. 
 
Para obter a probabilidade de 2 < x ≤ 4, basta subtrair um do outro: 
658,0
243
51
243
211
)2()4()42( =−=−=≤< FDPFDPxP . 
Gabarito: B. 
 
Questão 23 BACEN 2001 [ESAF]. 
Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada por: 
0)( =xF , x < 0 
4
1
)( =xF , 0 ≤ x < 1 
12
7
)( =xF , 1 ≤ x < 2 
12
11
)( =xF , 2 ≤ x < 3 
1)( =xF , x ≥ 3 
Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de X = 2. 
a) 7/12 
b) 11/12 
c) 1/3 
d) 3/4 
e) 10/12 
 
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Resolução: 
A FDP apresenta saltos. Ou seja, a variável aleatória é discreta. A variável X só assume os 
valores 0, 1, 2 e 3, valores esses que correspondem aos valores de x para os quais a FDP 
“salta”. 
A FDP para x = 1 é 7/12. Ou seja, a probabilidade de X ser igual ou inferior a 1 é 7/12. Ou 
ainda, a probabilidade de X ser igual a 0 ou igual a 1 é de 7/12. 
A FDP para x = 2 é 11/12. Portanto, a probabilidade de X ser igual ou inferior a 2 é 11/12. Ou 
ainda, a probabilidade de X ser igual a 0 ou 1 ou 2 é 11/12. 
Ora, se a probabilidade de ser 0, 1 ou 2 é 11/12 e a probabilidade de ser 0 ou 1 é 7/12, 
concluímos que a probabilidade de ser exatamente igual a 2 é: 
3
1
12
4
12
7
12
11
)2( ==−==XP 
Gabarito: C. 
 
Questão 24 IPEA/2004 [ESAF] 
A variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades: 
0)( =xF , se 1<x 
8/1)( =xF , se 21 <≤ x 
4/1)( =xF , se 32 <≤ x 
1)( =xF se 3≥x 
Assinalea opção correta: 
a) A probabilidade de que X=3 é 0,75 
b) A probabilidade de que X=2 é 1/4. 
c) A aleatória X é uniforme discreta 
d) a variável aleatória X tem valor esperado unitário 
e) A variável aleatória X é uniforme contínua 
 
Resolução: 
Observe que a função apresenta saltos. Portanto, a variável aleatória X é discreta. Já 
descartamos a letra E. 
Ainda não estudamos o que é uma variável uniforme (letra C). Veremos isso mais adiante. 
De todo modo, a letra C está errada (apesar da variável ser discreta, ela não é uniforme). 
Vamos à letra A. Precisamos calcular a probabilidade de X=3. 
A função apresenta saltos em 1, 2 e 3. São esses os valores que a variável X pode assumir. 
Sabemos que a probabilidade de X ser menor ou igual a 2 é de 1/4. E a probabilidade de X 
ser menor ou igual a 3 é de 100%. 
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Para saber a probabilidade de X ser exatamente igual a 3, basta fazer: 
75,04/34/11)2()3()3( ==−=−== FDPFDPXP 
A letra A está correta. 
 
Vamos para a letra B. 
8/18/14/1)1()2()2( =−=−== FDPFDPXP 
Alternativa errada. 
 
Letra D. 
Para calcular a esperança, precisamos das probabilidades de X assumir cada valor. 
Já calculamos a probabilidade de X ser igual a 2 e a 3. Falta a probabilidade de X=1 
8/108/1)0()1()1( =−=−== FDPFDPXP 
Usando a fórmula vista nesta aula, a esperança fica: 
[ ] ∑
=
×=
n
i
ii xxPXE
1
)( 
[ ]
8
21
3
4
3
2
8
1
1
8
1 =×+×+×=XE 
A esperança não é igual a 1. Alternativa errada. 
Gabarito: A. 
 
5. LEITURA COMPLEMENTAR 
Agora trataremos de assuntos que exigem o conhecimento prévio de cálculo. Só vou 
abordá-los por garantia. E se você não tem formação em alguma área de exatas, acho 
melhor deixar essa parte da aula de lado – não vale a pena o custo benefício. Pule sem peso 
na consciência. 
5.1. Funções não lineares 
Quando a função densidade não é linear, é difícil fazer o cálculo da área diretamente no 
gráfico. 
A saída é utilizar o cálculo integral. Isso porque a área abaixo da curva é numericamente 
igual à integral da função. 
Assim, a probabilidade de a variável aleatória X assumir valores no intervalo entre “a” e “b” 
é dada por: 
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��1 < �	 < 7� = 	PQ���:�
R
S
 
Onde Q��� é a função densidade de probabilidade. 
 
Questão 25 MPE PE/2006 [FCC] 
A trava de segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com freqüência, de modo a 
evitar a quebra devido ao fim de sua vida útil. Estudos anteriores admitem que essa vida útil 
possa ser representada por uma variável aleatória contínua X, assumindo valores entre 0 e 1 
ano. 
Seja: 
( )212/3)( xxf −×= se 10 ≤< x 
0)( =xf , caso contrário. 
A probabilidade da vida útil ser superior a 6 meses é: 
a) 3/16 b) 5/16 c) 3/8 d) 7/16 e) 5/8 
 
Resolução 
1
5,0
31
5,0
2
5,0 32
3
2
)1(3
)()5,0( 





−×=−×==> ∫∫
∞ x
xdx
x
dxxfXP 
%25,31
2
5,0
2
5,1
2
1
2
3
3
5,0
5,0
3
1
1
2
3
)5,0(
33
=





+−−=





+−−×=>XP 
Gabarito: B 
 
Questão 26 TRF-2 2007 [FCC] 
Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por: 
Q��� = ;T
�$
4 ,	se	� ≥ 0 
Q��� = 0,	caso	contrário 
 
então P ( X > 4 | X > 2) é igual a 
a) e-4 
b) e-2 
c) e-1 
d) e-1/2 
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e) 1 
 
Resolução: 
Para calcular a probabilidade de X estar no intervalo entre 0 e 2, calculamos a integral da 
função densidade, para o intervalo especificado. 
��0 < �	 < 2� = 	PQ���:�
�
#
 
= P;T�/$4
�
#
:� 
= `−;T�/$a#� = 1 − ;T�/�		Tendo	a	probabilidade	de	X	ser	menor	que	2 podemos achar a probabilidade de X ser 
maior que 2: 
��� > 2� = 1 − ��0 < � < 2� = ;T�/� 
 
Agora precisamos calcular P(0<X<4). 
��0 < �	 < 4� = 	PQ���:�
$
#
 
= P;T�/$4
$
#
:� 
= `−;T�/$a#$ = 1 − ;T�		Logo: 
��� > 4� = ;T� 
Finalmente podemos aplicar a fórmula da probabilidade condicional: 
��� > 4|� > 2� = ��� > 4 ∩ � > 2���� > 2� 
= ;T�;T�/� 
= ;T�/�		
Gabarito: D 
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5.2. Relação entre FDP e fdp 
Já vimos que a FDP para um determinado valor “k” é igual à probabilidade de a variável X 
assumir valores menores ou iguais a “k”. 
E já vimos que para cálculo de probabilidades, usamos a função densidade. 
Assim: 
o�,� = ��� < ,� 
o�,� = ��−∞ < � < ,� 
o�,� = P Q���:�
q
T	r
 
Não localizei questões sobre este assunto. 
 
Fechando a parte de FDP, trago o seguinte exercício: 
 
Questão 27 BACEN 2009 [CESGRANRIO] 
Se X é uma variável aleatória descrita por uma função conjunto de probabilidades PX(.), a 
função de distribuição de probabilidade de X, F(x) terá, entre outras, as seguintes 
propriedades: 
I - F(x) é monotônica não decrescente; 
II - st��→Tro��� = 0 e st��→vro��� = 0; 
III - F(x) é contínua à direita. 
É(São) correta(s) a(s) propriedade(s) 
(A) II, apenas. 
(B) I e II, apenas. 
(C) I e III, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
Resolução. 
Os conceitos de limite e de função contínua são estudados em cálculo. 
De forma “grosseira”, uma função é monotônica quando ela não apresenta “sobe” e 
“desce”. Ou seja, se ela for monotônica crescente, ela será sempre crescente. No máximo, 
poderá ficar constante em alguns trechos. Mas nunca será decrescente. 
Ou seja, para uma função crescente, temos: 
Se � < w, então Q��� ≤ Q�w� 
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De outro modo, se ela for monotônica decrescente, ela será sempre decrescente. Poderá 
até ficar constante em alguns trechos. Mas nunca será crescente. Ou seja: 
Se � < w, então Q��� ≥ Q�w� 
Uma função não-monotônica ora cresce, ora decresce. 
 
Realmente, a função distribuição de probabilidade é monotônica. Ela corresponde à 
probabilidade acumulada. A probabilidade acumulada vai sempre aumentando. No máximo, 
pode ficar constante em alguns pontos. Mas nunca decresce. É uma função monotônica 
crescente (ou não decrescente, dá no mesmo). O primeiro item está certo. 
 
A propósito, é bom lembrar que, além da função crescente e da função decrescente, ainda 
existem: 
- função estritamente crescente: Se � < w, então Q��� < Q�w� 
- função estritamente decrescente: Se � < w, então Q��� > Q�w� 
 
Segundo item. 
Realmente, quando x tende a menos infinito, a função distribuição tende a zero. Afinal, a 
probabilidade de x ser menor ou igual a menos infinito é zero. 
De outra forma, quando x tende a mais infinito, a função distribuição tende a 1. Nós já 
sabemos que ela corresponde à probabilidade acumulada. A probabilidade acumulada vai 
aumentando, aumentando, até chegar em 100%, quando não tem mais como aumentar 
(não existe probabilidade maior que 100%). O item está errado. 
 
Terceiro item. 
Uma função distribuição não precisa ser contínua. Vimos o caso da função distribuição do 
lançamento do dado, que apresenta saltos. Logo, não é contínua. 
Contudo, a questão não se referiu apenas à uma função contínua. Ela afirmou que a função 
é contínua pela direita. 
Dado um ponto “a” qualquer da reta real, a função é contínua pela direita no ponto “a” 
quando: 
st��→SvQ��� = Q�1� 
Ou seja, se x tender ao ponto “a” pela direita (ou seja, a partir de valores maiores que a), 
então o limite é igual ao valor da função em a. 
Se a função for contínua à direita para todos os valores de a, então ela é contínua à direita. 
No caso da função distribuição, realmente a função é contínua à direita. 
Para melhor visualização,