SECANTE E NEWTOON RAPHSON

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UNIDADE II
SOLUÇÕES NUMÉRICAS 
DE EQUAÇÕES.
Solução de uma equação
I) Definição: Dizemos que é solução ou
raiz da equação se e somente se
II) Graficamente os zeros reais são
representados pelas abcissas dos pontos
onde a curva intercepta o eixo das variáveis
independentes.
Os métodos numéricos usados para resoluções de 
equações não lineares, consiste em duas etapas:
I) Obter uma aproximação inicial para a raiz 
procurada ou um intervalo que contém essa raiz 
- Isolamento das raízes.
II) Melhorar sucessivamente até se obter um 
aproximação para a raiz que atenda a uma 
precisão desejada - Refinamento dessa raiz
Isolamento das Raízes – procedimentos: 
i) Esboçar o gráfico de 𝑓(𝑥), determinando o 
intervalo [𝑎, 𝑏] que contenha a raiz – gerar uma 
tabela de pontos.
ii) Transformar a equação 𝑓 𝑥 = 0 na forma 
equivalente a 𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥), os pontos de 
interseção dos gráficos 𝑓1 𝑥 𝑒 𝑓2(𝑥), serão as 
raízes procuradas.
ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema do valor intermediário ou Teorema 
do Bolzano: Seja uma função contínua 
num intervalo . Se então 
existe pelo menos um ponto entre 
que é zero de . 
REFINAMENTO
Esta etapa está relacionada com os métodos
iterativos. A forma como se faz esse
refinamento é que diferencia os métodos.
Obs: 1) Os métodos iterativos consistem em
uma sequência de instruções que serão
executados passo a passo, algumas das quais
são repetidas.
REFINAMENTO
2) Cada iteração utiliza resultados das 
iterações anteriores e efetuam testes, 
chamados de critério de parada.
3) Esse critério de parada permite verificar se 
foi atingido um resultado que atenda a 
precisão desejada.
Métodos numéricos
I) Método da Bisseção
II) Método de Newton Raphson
III) Método da Secante
MÉTODOS NUMÉRICOS
I) Método da Bisseção
É um método numérico usado para estimar uma raiz 
𝑥 = 𝑥0 no intervalo [𝑎, 𝑏] usando a média aritmética 
nesse intervalo em que essa raiz obedece 
uma certa tolerância , dada pelo erro relativo:
Método da Bisseção.
1) A ideia geral do método consiste em, a partir de um 
intervalo [𝑎, 𝑏] localizado inicialmente onde encontra-se a 
raiz ҧ𝑥 , determinar uma sequência de intervalos 
𝑟𝑖 , 𝑠𝑖 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖 = 1, 2,3… em que 𝑟1 = 𝑎 𝑒 𝑠1 = 𝑏, de forma 
que a amplitude do intervalo em cada interação é a metade 
da amplitude do intervalo anterior e que o mesmo sempre 
contenha a raiz ҧ𝑥.
2) A sequência de intervalos será calculada até que a 
amplitude do intervalo seja menor que a tolerância 𝜀
preestabelecida.
Método da Bisseção
Cálculo do número mínimo de iterações
n
EXEMPLOS
Usando o método da bisseção, resolva as equações 
abaixo:
i) 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + ln 𝑥, com uma estimativa de ε = 0,01.
ii) 𝐹 𝑥 = 4𝑥 − 𝑒𝑥 com uma estimativa de ε = 0,01.
Gráfico
i) 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + ln 𝑥
Gráfico
ii) 𝐹 𝑥 = 4𝑥 − 𝑒𝑥
PASSO A PASSO DESSE MÉTODO
I) Verificar a condição para que exista uma raiz nesse intervalo: 
𝑓 𝑎 .𝑓 𝑏 < 0.
II) Calcular as sequências de soluções aproximadas.
i) Usaremos a média aritmética dos intervalos como estimativa para as 
soluções:
𝑥𝑖 =
𝑎+𝑏
2
III) Verificar se a média obedece uma certa tolerância. Usaremos como 
critério de parada: 
𝑥𝑖+1−𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
< 𝜀
IV) Caso não satisfaz o item III, repete o processo até atingir a tolerância 
desejada.
Exercício
1) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 9𝑥 + 3.Dado que o intervalo inicial é [0, 1], encontre o 
zero desta função, neste intervalo pelo método da bisseção com precisão 𝜀 =
0,01.
2) Use o método da bisseção para determinar uma raiz da equação 
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑥2 com a precisão 𝜀 = 0.1 com o intervalo inicial [-1, -0,5]
3) Usando o método da bisseção, determine uma raiz das equações com a 
precisão 𝜀 = 0,0001: 
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − cos 𝑥 + 1 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
4) Usando o Software Numérico, determine graficamente uma vizinhança uma 
vizinhança para as raízes das seguintes equações:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑒𝑥 b) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 + 2
II) Método de Newton-Raphson
Seja 𝑓: 𝑅 → 𝑅 uma função contínua e derivável, o método de Newton- Raphson
consiste em , a partir de uma estimativa inicial, determinar uma sequência de 
soluções aproximadas através da reta tangente ao gráfico.
Teorema
Seja 𝑓: 𝑎, 𝑏 → [𝑎, 𝑏], subintervalos de R duas vezes 
diferenciável e com a derivada de segunda ordem contínua. Se:
(i) 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 < 0;
(ii) 𝑓′ 𝑥 ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ;
(iii) A derivada 𝑓′′(𝑥) não troca de sinal em [𝑎, 𝑏] então a 
sequência de interações gerada pelo Método de Newton-
Raphson converge para a raiz de para 
uma escolha conveniente em 𝑥𝑜.
Método de Newton-Raphson
*Dado e uma estimativa inicial na vizinhança da 
raiz. Então podemos gerar uma sequência de soluções 
aproximadas usando o processo iterativo:
onde:
𝑥𝑖+1 → estimativa atual
𝑥𝑖 → estimativa anterior
𝑓′(𝑥𝑖) → derivada de 𝑓 no ponto 𝑥𝑖
Obs: A convergência é garantida se 𝑓′(𝑥𝑖) ≠ 0
Exemplos:
1) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2 e 𝑥0 = 1,0000, encontre o zero 
desta função, com precisão 𝜀 = 0,0001
2) Usando o método de Newton-Raphson, resolva a 
equação 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥 − 4, com uma solução inicial 
𝑥0 = 1,5 e precisão 𝜀 = 0,0001
3) Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 9𝑥 + 3 𝑒 𝑥0 = 0,5.Dado que a 
solução ∈ [0, 1], encontre o zero desta função, neste 
intervalo pelo método de Newton, com precisão 𝜀 = 0,01
Método das Secante
Este método consiste em aproximar as raízes trocando a inclinação 
da reta tangente pela inclinação da reta secante a curva.
III) Método das Secantes
𝒙𝟐 =
𝒙𝒐𝒇 𝒙𝟏 − 𝒙𝟏𝒇 𝒙𝟎
𝒇 𝒙𝟏 −𝒇 𝒙𝟎
, generalizando, teremos:
III) Método das Secantes
* Se , saõ duas estimativas iniciais de 
f(x), então podemos estimar as raízes da 
equação pela expressão
Exemplo
1) Dado no intervalo 
1 e 𝑥1 = 1,5 , encontre o zero desta função, com 
precisão 𝜀 = 0,02.
2) Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 9𝑥 + 3 𝑒 𝑥0 = 0,5 𝑒 𝑥1 =
0,7.Dado que solução pertence [0, 1], encontre o 
zero desta função, neste intervalo pelo método das 
secantes, com precisão 𝜀 = 0,01
Resolução
1) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 − 1; 𝑥0 = 1 e 𝑥1 = 1,5 , 𝜀 = 0,
𝒙𝟐 =
𝒙𝟎 .𝒇 𝒙𝟏 −𝒙𝟏 𝒇(𝒙𝟎)
𝒇 𝒙𝟏 −𝒇(𝒙𝟎)
=
𝟏. 𝟎,𝟖𝟕𝟓 −𝟏,𝟓 .(−𝟏)
𝟎,𝟖𝟕𝟓−(−𝟏)
= 𝟏, 𝟐𝟔𝟔𝟕
𝒙𝟑 =
𝒙𝟏 .𝒇 𝒙𝟐 −𝒙𝟐 𝒇(𝒙𝟏)
𝒇 𝒙𝟐 −𝒇(𝒙𝟏)
=
𝟏,𝟓. −𝟎,𝟐𝟑𝟒𝟐 −𝟏,𝟐𝟔𝟔𝟕 .𝟎,𝟖𝟕𝟓
−𝟎,𝟐𝟑𝟒𝟐−𝟎,𝟖𝟕𝟓
= 𝟏, 𝟑𝟏𝟔𝟎
𝐸𝑟 =
1,3160−1,2667
1,3160
= 0,0374 > 𝜀
𝒙𝟒 =
𝒙𝟐 .𝒇 𝒙𝟑 −𝒙𝟑 𝒇(𝒙𝟐)
𝒇 𝒙𝟑 −𝒇(𝒙𝟐)
=
𝟏,𝟐𝟔𝟔𝟕 . −𝟎,𝟎𝟑𝟔𝟗𝟏 −𝟏,𝟑𝟏𝟔𝟎 .(−𝟎,𝟐𝟑𝟒𝟐)
−𝟎,𝟎𝟑𝟔𝟗𝟏−(−𝟎,𝟐𝟑𝟒𝟐)
= 𝟏, 𝟑𝟐𝟓𝟐
𝐸𝑟 =
1,3252−1,3160
1,3252
= 0,0069 < 𝜀
Gráfico
i) 
Gráfico 
ii) 𝑓1 𝑥 = 𝑥
3 e 𝑓2 𝑥 = 𝑥 + 1