Relações métricas num triângulo qualquer

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MATEMÁTICA
Ensino Médio, 1º Ano
Relações métricas num triângulo qualquer
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando o triângulo retângulo abaixo, vamos destacar os seus elementos:
Com esses dados vamos considerar os triângulos: 
que por possuírem dois ângulos congruentes são semelhantes:
=Projeção cateto
c sobre a hipotenusa
=Projeção cateto
b sobre a hipot. 
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
I –Comparemos os triângulos 
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
 O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da
medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a mesma. 
 o quadrado de um cateto é igual ao produto da 
medida da hipotenusa pela projeção do mesmo 
sobre ela. 
 o produto da medida de um cateto pela altura é igual
ao produto da medida do outro cateto pela projeção do
primeiro.
II- Comparemos o 
 O quadrado da altura é igual ao produto
das medidas dos lados das projeções.
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
FIQUE LIGADO!!!
Poderíamos, de forma não matemática, fazer “cortes transversais”, nos triângulos para obter essas relações, ou seja:
I)
II) 
III) 
n
IV)
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
V) VI) 
VII)
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APLICAÇÕES:
No triângulo retângulo ABC abaixo,
determine a , m , n e h.
Resolução:
Para calcular o valor da hipotenusa
a,vamos usar Pitágoras:
II) Conhecida a hipotenusa a, vamos 
usar as dicas para achar m e n:
Como:
III) Por último, para achar a altura h,
Podemos recorrer a várias relações,
por exemplo:
2) ( FAFI – BH) Considere um triângulo ABC retângulo em A e, nele, tome 
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como sendo a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. Se cm e cm, então o comprimento do segmento em cm, valerá quanto?
Resolução:
Logo:
 cm
3) (UFPA) O perímetro do pentágono PENTA da figura abaixo valerá quanto?
Resolução:
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
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4) (PUC – MG ) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são 1 cm e 2 cm. A medida da altura do triângulo relativa à hipotenusa, em cm, é igual a quanto?
Resolução:
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
 cm.
Como pela relação trigonométrica IV, temos os catetos e a hipotenusa, pode- mos achar a altura por:
 cm.
5) (CESGRANRIO – RJ) Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triângulo medirá quanto?
Resolução:
Como conhecemos a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, podemos recorrer as relações IV e I, ou seja:
 
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RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
Vamos analisar a seguinte situação:
Um navio, navegando em linha reta, 
passa pelo ponto A, distante 6 milhas 
de um farol C . No mesmo instante, o comandante, de outro navio se encontra num ponto B, distante 15 milhas do farol C, de tal modo que o ângulo de visão de um observador que se encontra no farol C e vê os dois navios é de 30º. Qual a distância entre os dois navios nesse instante? 
 Para facilitar nosso entendimento, va-
mos montar uma figura para expressar
o modelo matemático. 
6
15
x
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Pelo desenho, é possível verificar que devemos determinar a medida de um lado de um triângulo que não é triângulo retângulo, quando são conhecidas as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar. Como o triângulo não é retângulo, não podemos aplicar as relações dadas anteriormente. Vamos, então conhecer outras relações aplicadas em triângulos acutângulos ou obtusângu-los, utilizando uma importante ferramen- ta que é a Lei dos senos e a Lei dos cossenos.
LEI DOS SENOS
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:
Ex.: No triângulo da figura abaixo, 
Calcule a medida b.
a
b
c
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Resolução:
Utilizando a Lei dos senos, temos:
LEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, o quadrado da medi-da de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, subtraído do dobro produto desses doislados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.
b
2
a
b
c
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 Estamos em condições, agora, de resolver a situação-problema colocada no início deste assunto.
Pela lei dos cossenos, temos:
Observação:
A lei dos senos ou dos cossenos pode ser usada para calcular as medidas dos lados ou dos ângulos de quaisquer triângulos independetemente dos dados fornecidos, porém, para efeito didático, podemos: 
Aplicar a lei dos senos se no triângulo dado, tivermos mais ângulos conhecidos do que lados;
Aplicar a lei dos cossenos em caso contrário, ou seja, quando são conhecidos mais lados do que ângulos.
6
x
15
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS
1) (FAFI – BH) Considerando a figura abaixo, o quadrado do comprimento do segmento valerá quanto?
Resolução:
No 
Ainda no retângulo:
No , aplicando a lei dos cossenos, temos:
2) Num triângulo retângulo ABC temos 
 =3 m , e .
a) Se m , calcule 
b) Se , oposto ao lado 
Calcule 
 
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Resolução:
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
b) Aplicando a lei dos senos, temos:
Como , nestas condições não existirá o triângulo.
3) (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:
 
 
 
 
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Os segmentos simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolução:
Pela Lei dos Senos, segue que:
4) (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
a) Calcule a distância entre A e B. 
b) Calcule a distância entre B e D. 
Resolução:
a) 
 
 
	 Visada	Ângulos
		
		
		
No triângulo ABC assinalado, temos:
b)
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
No triângulo BDC, temos:
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
Atravésde conhecimentos de séries an-
teriores, vimos que a área de um triângu-
lo podia ser calculada por 
Porém, existem situações em que não te-
mos informações sobre as medidas da ba-
se e da altura, como o exemplo abaixo:
Qual a área de um terreno triangular, 
conforme figura abaixo, cujas dimensões
são de 5m e 8m e o ângulo entre eles 
mede 30º?
Resolução:
Vejamos o modelo matemático desse 
terreno:
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Para resolver este problema, usaremos a
seguinte relação: 
A área de qualquer triângulo é igual ao 
semiproduto das medidas de dois lados 
pelo seno do ângulo formado por eles.
Então, considerando o triângulo dado
temos:
REVISÃO GERAL
1) (Ufrn- 2012) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir. 
 
  
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. 
O valor encontrado pelo fiscal 
a) estava entre 30° e 45°; 
b) era menor que 30°;
c) foi exatamente 45°;
d) era maior que 45°.
Resolução:
Seja o ângulo que a rampa faz com o solo. 
O ângulo é tal que 
Desse modo, como a função tangente é crescente e segue que 
2) (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de 
 
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
 
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que , onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 
 , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: 
a) 10. 
b) 50. 
c) 100. 
d) 250. 
e) 600. 
Resolução: 
Considere a figura.
 
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Sabendo que
 e que 
pela Lei dos Cossenos, vem:
 
Portanto, como temos que a velocidade média pedida é dada por
3) (Ufpr 2012) Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície?
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
a) 
b) 1 cm 
c) 
d) 
e) 
Resolução:
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Logo, 
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4) (Ufrn 2012) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de 
a) 18 m. 
b) 8 m. 
c) 36 m. 
d) 9 m. 
 Resolução:
Se é a distância procurada, então: 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Matemática:ciência e aplicações, 1: ensino médio/Gelson Iezzi...(et al).- 6.ed.-São Paulo: Saraiva, 2010.
Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1:ensino médio/Jackson Ribeiro- São Paulo:Scipione,2010.
Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar: matemática:1/Joamir Roberto de Souza.-2.ed.-São Paulo:FTD, 2013.
História da matemática / Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F. Gomide – 2ª ed. -- São Paulo: Blücher, 1996.
Matemática: conceito e aplicações/ Luiz Roberto Dante.-São Paulo:Ática,2010.
Matemática fundamental: uma nova abordagem:ensino médio:volume único/ José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr.-São Paulo: FTD, 2002.
a
BHm
=
HCn
=
b
BCa
=
hipotenusa
=
ABc
=
cateto
=
ACb
=
AHh
=
altura
=
)
a
a
c
=
b
h
..
bcah
Þ=
)
a
b
c
=
c
m
2
.
cam
Þ=
)
bc
c
hm
=
..
chbm
Þ=
)
h
a
n
=
m
h
2
.
hmn
Þ=
2
.
cam
=
2
.
ban
=
2
.
hmn
=
..
bcah
=
..
chbm
=
..
bhcn
=
222
abc
=+
222
abc
=+Þ
mna
+=Þ
3,610
n
+=
6,4
n
\=
2
.
hmn
=Þ
2
3,6.6,4
h
=Þ
2
23,04
h
=
23,04
h
=
4,8
h
\=
AH
222
68
a
=+Þ
2
3664
a
=+Þ
2
100
a
=Þ
100
a
=
10
a
\=
2
610.
m
=Þ
36
10
m
=
3,6
m
\=
144
BH
=
65
AC
=
AB
(
)
(
)
2222
2
.1446514465144
144203760
169
1442037616900144194
25
22
caaaaa
aa
aa
nãoserve
=Þ=-Þ=-
--=
ì
±+±
ï
=Þ==
í
-
ï
î
2
169.144156
cc
=\=
222222
2222
2222
4442
4163243
448168
abcaa
babb
cbcc
=+Þ=+Þ=
=+Þ=+Þ=
=+Þ=+Þ=
222
215
aa
=+Þ=
2525
..2.15..
5
55
bcahhh
=Þ=\==
2
2
.1449.16
15.915
hmnnn
cc
=Þ=\=
=\=
30
o
a
b
q
abc
sensensen
abq
==
222
2...cos
abcbc
a
®=+-
222
2...cos
bacac
b
®=+-
222
2...cos
cabab
q
®=+-
45º
2
30º45º
b
sensen
=Þ
1
2
b
=
2
2
2
Þ
2
2
b
2
2
=
Þ
2
2
b
=
2
2
=
2
2
2
2
=
222
3
2
6152.6.15.cos30º
x
=+-
123
2
362252
x
=+-
3
.90.
2
Þ
2
261903
x
=-Þ
261903
x
=-
AB
ˆ
BAC
a
=
3
AB
=
cos;
a
ˆ
ABC
b
=
60º,
AC
=
.
sen
a
:
BCD
D
353
30º
5353
xx
tgx
=Þ=\=
BCD
D
2222
25.3103
525
93
yxyy
=+Þ=+\=
ABD
D
222
2
2
42.4..cos45º
1002.4.1032
16.
332
148406
3
AByy
AB
AB
=+-
=+-
-
=
AC
4
BCm
=
222
2.cos
16992.3.3.cos
161818.cos
21
coscos
189
abcbca
a
a
aa
=+-
=+-
=-
=Þ=
3
60º
2
3434
3123
..4
233
sensensena
senasena
a
=Þ=
=Þ=
1
sena
>
AB,
=Û=Û=×=
°
AB80803803
2R2RRm.
sen603
333
2
BC,
CA
AB80m.
=
1603
m
3
803
m
3
163
m
3
83
m
3
3
m
3
^
BCD
^
ABC
^
ACB
=+-×××°
æö
=--
ç÷
èø
=
=
=
222
22
2
2
15xx2xxcos120
1
2252x2x
2
2253x
x75
x53m
6
π
3
π
=+-×××°
=+-
=
=
222
2
y151021510cos60
y225100150
y175
y57m
;
.
.
2
bbase
bh
S
haltura
=
ì
=
í
=
î
5.8
5.8.30º
2
sen
S
==
4
1
.
2
2
20
10
22
m
==
α
a==
12
tg0,50.
24
°=@>
3
tg300,580,50,
3
<°
30.
α
82
2393,4215 100
××@
cos0,934
a@
=
ET360km,
=
ST320km,
a@
cos0,934
××@
82
2393,4215100,
=+-×××aÞ
=+-×××Þ
=+-××××Û
=-××Þ
=-Þ
=Û=
222
2
22
2
225
2
82
2
ESETST2ETSTcos
ES36032023603200,934
ES129600102400223293,4
ES2320002393,4
ES232000215100
ES16900ES130km.
=
13
13minh,
60
=
130
600kmh.
13
60
1
cm
2
3
cm
2
cm
2
p
2 cm
=Û=Û=
o
313
sen30AO6cm
AO2AO
+-=Û=
63x8x1cm
=Û=
d2
d8m.
123