Conceito de Números Naturais e Sistemas Numéricos

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DEFINIÇÃO
Os sistemas de números naturais historicamente contextualizados, os Axiomas de Peano, o surgimento dos números
inteiros e complexos, os números racionais e sua relação com medida, seu surgimento e concepção moderna, alguns
problemas e operações com frações.
PROPÓSITO
Refletir sobre nossa própria concepção da Matemática, proveniente de como a aprendemos ao longo de nossa vida
escolar, geralmente organizada em Aritmética, Geometria e Álgebra, tendo como foco a Aritmética.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
/
Relacionar a contagem ao surgimento dos números naturais e o porquê de sua criação
MÓDULO 2
Relacionar a criação dos números racionais e reais positivos à necessidade de realização de medidas e manipulação
das operações matemáticas básicas
 Relacionar a contagem ao surgimento dos números naturais e o porquê de sua criação
INTRODUÇÃO
O QUE IRÁ NOS NORTEAR EM CADA MÓDULO É ENTENDER
A PERGUNTA: “O QUE É UM NÚMERO?” A DISCUSSÃO QUE
FAREMOS TERÁ DUAS IDEIAS CENTRAIS E ELEMENTARES:
A CONTAGEM E A MEDIDA.
Com estas ideias, iremos construir o conceito abstrato de número que permeia a Aritmética. A contagem nos conduz
aos números naturais (ℕ), mas devemos estar atentos ao nosso sistema numérico, que nem sempre foi universal e que
diversos povos ao longo da história criaram sua própria forma de contar. O mais interessante é que todos eles
respeitavam regras muito semelhantes, que mais tarde foram nomeadas como Axiomas de Peano.
 
/
E medir vai nos conduzir aos números racionais (ℚ+ ) e reais (ℝ+ ) positivos. Os números inteiros (ℤ), bem como os
números racionais e reais negativos, surgem com o entendimento mais amplo e irrestrito dos números. Não temos a
ambição de chegar tão longe aqui. Nós nos restringiremos ao uso da reta, mas deixaremos algumas referências para
aqueles que quiserem ir mais adiante.
CONCEITO
VOCÊ JÁ IMAGINOU COMO SERIA DIFÍCIL O SEU DIA, SE VOCÊ
PERDESSE A NOÇÃO DE QUANTIDADE DAS COISAS? SE VOCÊ
FOSSE UM CAMPONÊS, POR EXEMPLO, COMO FARIA PARA
RELACIONAR O NÚMERO DE OVELHAS EM UM CERCADO, SEM
SABER COMO CONTAR?
Uma primeira estratégia para resolver este problema seria estabelecer uma correspondência um a um com o conjunto
de referência.
/
Fonte: Madlen/Shutterstock
Por exemplo: para cada ovelha que entrasse no cercado, você faria um nó em um pedaço de corda; ao final, a mesma
quantidade de ovelhas no cercado seria a quantidade de nós em sua corda. Note, porém, que esta tarefa não envolve
ainda o conceito de número, mas ela já era empregada por grupos humanos na Pré-história, segundo Tatiana Roque
(2012), alguns séculos antes dos primeiros sistemas de escrita ou de numeração.
Sendo assim, um número natural foi a marca dada (os nós) a todos os conjuntos de objetos (as ovelhas) que poderiam
ser colocados em correspondência um a um entre si, isto é: a todos os conjuntos que têm a mesma quantidade de
elementos.
 REFLITA
O conceito de número natural é uma abstração que emerge da noção concreta de contagem.
Acabamos de ver que o conceito de número natural é, de fato, um grande passo na abstração.
Quando uma criança não entende de forma imediata que o mesmo número 2 serve para registrar duas colheres ou
duas garrafas ou duas camisas, é porque ela ainda não deu este passo abstrato.
E é importante que percebamos isso, pois o entendimento de que o número 2 representa a quantidade de elementos
de um conjunto que possua apenas dois objetos nele é uma abstração e tanto.
Arrisco a dizer que você também nunca tinha parado para pensar sob essa perspectiva.
SISTEMAS DE NÚMEROS NATURAIS
Antes de entramos diretamente nas operações usuais com os números naturais, com os quais você muito
provavelmente está familiarizado, queremos começar olhando para esse conjunto por outras perspectivas, algumas
nada triviais.
/
Diversas civilizações desenvolveram sistemas de
numeração semelhantes aos números naturais que
conhecemos hoje. Veja a seguir o exemplo dos babilônicos:
Fonte: Wikimedia.
Numerais Babilônicos, Josell7, 2010.
 IMPORTANTE
Esse sistema possui 60 algarismos, isto é, um sistema sexagesimal. Note que o número 1 é o primeiro elemento e a
representação do zero não aparece.
Já os maias possuíam 20 algarismos, como você pode ver abaixo:
Fonte: Matematiques
 ATENÇÃO
O sistema maia merece destaque, pois ele já contava com a representação do zero em sua concepção. Portanto, se
considerarmos pela ótica maia, o zero é, de fato, representado como um número natural.
EXEMPLO 1
/
Vejamos como os maias e os babilônicos representavam o número 300.
No sistema decimal, temos:
Três centenas, zero dezenas e zero unidades; (3 × 100 + 0 × 10 + 0 × 100)
No sistema babilônico seria:
Cinco sexagenas e zero unidades (5 × 60 + 0 × 60 ^ 0)
/
No sistema maia:
Quinze vintenas e zero unidades (15 × 20 + 0 × 20 ^0).
Você pode encontrar, ainda hoje, sistemas não decimais. O exemplo mais simples são os relógios: cada 60 segundos
correspondem a 1 minuto.
Poderíamos citar diversas outras civilizações, como os romanos ou egípcios que também possuíram o seu conjunto de
números naturais, mas os maias e babilônicos tiveram ainda uma característica, presente em nosso sistema decimal:
seu sistema de numeração era posicional, isto é, o conjunto que apresentamos acima representa as suas unidades.
UM SISTEMA POSICIONAL É EXTREMAMENTE VANTAJOSO,
POIS PERMITE QUE, DADO UM NÚMERO QUALQUER, SEJA
POSSÍVEL DETERMINAR O SEU SUCESSOR DE FORMA
SIMPLES. E A IDEIA DE SUCESSOR É A BASE QUE NORTEIA
O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.
O sistema decimal que aprendemos na escola é composto de dez algarismos, a saber: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Antes de continuarmos, que tal esclarecer uma das dúvidas mais comuns no campo da Matemática, mas que muitas
pessoas ainda se confundem?
VOCÊ SABE QUAL É A
DIFERENÇA ENTRE NÚMERO,
NUMERAL E ALGARISMO?
/
Fonte: Roman Samborskyi/Shutterstock
Temos certeza de que você não se confundirá mais:
O número relaciona-se sempre à quantidade! O numeral é
a representação gráfica desse número. E algarismos são
os símbolos de numeração utilizados nessa representação
gráfica.
Exemplo:
O número vinte e nove (quantidade de dias do mês de
fevereiro, nos anos bissextos) é representado pelo numeral
29, que é formado pelos algarismos 2 e 9.
Podemos escrever qualquer número utilizando apenas estes símbolos. Vamos entender como se dá esse processo:
1
Suponhamos o número 423 (que identificaremos como 𝑎).
2
Poderemos dizer: 𝑎 ∈ ℕ (lemos “𝑎 pertence ao conjunto dos números naturais”) e é um número de 3 algarismos.
3
Assim: 𝑎 = 423 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 3.
4
No caso geral, isto significa que existe: 𝑎0,𝑎1 e 𝑎2∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tal que:
𝑎 = 𝑎2⋅ 100 + 𝑎1⋅ 10 + 𝑎 0.
Em que 𝑎0 são as unidades, 𝑎1 são as dezenas e 𝑎2 são as centenas.
O CONJUNTO DE NÚMEROS QUE GERA TODO O SISTEMA
POSICIONAL É CHAMADO DE BASE. NO CASO, O SISTEMA
DECIMAL TEM BASE 10, O SISTEMA MAIA BASE 20 E O
SISTEMA BABILÔNICO BASE 60. O RACIOCÍNIO É O MESMO
/
PARA QUALQUER NÚMERO NATURAL, MAS A NOTAÇÃO
NÃO É TÃO AGRADÁVEL.
EXEMPLO 2
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Digamos que, em Marte, seus habitantes possuam apenas 3 dedos em cada mão, por isso, em sua evolução,
desenvolveram um sistema numérico posicional que tinha apenas 6 algarismos, {0𝑚,1𝑚,2𝑚,3𝑚,4𝑚,5𝑚 }. Quem deve ser
o correspondente ao número 6 do nosso sistema decimal no sistema marciano?
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Solução: Qual o número que deve vir depois do número 5𝑚? Note que não temos o número 6 neste sistema. Desta
forma, ocorre exatamente a mesma coisa quando queremos escrever o número que vem depois do 9 no nosso sistema
decimal. Portanto é 10𝑚.
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Agora, vamos dar um pouco mais de profundidade ao exemplo: E o número 100_m no sistema marciano,
corresponderia a qual número em nosso sistema decimal?
/
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Solução: Existem diversas formas de dar esta resposta. Vamos optar pela mais explícita e tentar acharum padrão,
exibindo quem é o correspondente de cada um dos números compostos por dois algarismos. Assim, ficará mais fácil
de intuirmos quem será o próximo:
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
0 𝑚 →0 10 𝑚 →6 20 𝑚 →12 ⋯ 50 𝑚 →30
1 𝑚 →1 11 𝑚 →7 21 𝑚 →13 ⋯ 51 𝑚 →31
2 𝑚 →2 12 𝑚 →8 22 𝑚 →14 ⋯ 52 𝑚 →32
3 𝑚 →3 13 𝑚 →9 23 𝑚 →15 ⋯ 53 𝑚 →33
4 𝑚 →4 14 𝑚 →10 24 𝑚 →16 ⋯ 54 𝑚 →34
5 𝑚 →5 15 𝑚 →11 25 𝑚 →17 ⋯ 55 𝑚 →35
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Podemos ver que, de uma coluna para outra, são acrescentadas 6 unidades. Com o raciocínio análogo ao que fizemos
anteriormente, o número que vem depois do 99 no sistema decimal é o 100. No caso do sistema marciano, o 55_m faz
este papel, portanto: 100_m→36
/
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Mas, imagine que você tivesse que saber a qual número corresponde o 315𝑚. Seria mais complicado! Por isso, de
modo geral, dado um número de três algarismos 𝑎𝑏𝑐𝑚 ∈ ℕ𝑚 no sistema numérico marciano, em que 𝑎,𝑏,𝑐
∈{0𝑚,1𝑚,2𝑚,3𝑚,4𝑚,5𝑚 }, para transformá-lo em um número no nosso sistema numérico, basta fazer a conta:
𝑎⋅62+𝑏⋅6+𝑐.
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Vejamos como fica o número que apresentamos no quadro anterior:
315 𝑚=3 ⋅ 62+ 1 ⋅ 6 + 5 ⋅ 60 = 108 + 6 + 5 = 119
 SAIBA MAIS
Existe uma série de nuances sobre o tema de sistemas e bases numéricas, para os que estiverem iniciando o seu
caminho nos círculos da Matemática. Para o leitor interessado, recomendo Números Naturais, de Ripoll, Rangel &
Giraldo, que faz uma extensa discussão sobre o tema, com foco no Ensino Básico.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
CONSIDERE AS COMPARAÇÕES A SEGUIR, EM QUE O LADO DIREITO MOSTRA NÚMEROS
NO SISTEMA DECIMAL E O LADO ESQUERDO NO SISTEMA MARCIANO. SELECIONE A
ALTERNATIVA QUE VOCÊ CONSIDERA VERDADEIRA:
A) 235𝑚 <90
/
B) 200𝑚 <70
C) 537𝑚 >200
GABARITO
Considere as comparações a seguir, em que o lado direito mostra números no sistema decimal e o lado
esquerdo no sistema marciano. Selecione a alternativa que você considera verdadeira:
A alternativa "C " está correta.
Vamos passar os números do sistema marciano para o sistema decimal: 
235𝑚=2⋅62+3⋅6+5=95>90, logo, a primeira sentença é falsa. 
200𝑚=2⋅62=72>70, logo, a segunda sentença também é falsa. 
5⋅62+3⋅6+7=205>200, logo, a terceira sentença é verdadeira.
EXEMPLO 3
Fonte: IR Stone/ Shutterstock
Pirâmide Maia de Kukulcan El Castilho ao pôr do sol.
Determine o sucessor e o antecessor dos números abaixo, em caracteres maias:
Fonte: Autor
/
O leitor pode pensar em cada box da esquerda para direita como dezenas e unidades, lembrando que cada bolinha
vale uma unidade e cada traço vale cinco unidades.
Fonte: Autor
Este é o sucessor do número dado:
É o antecessor do número proposto:
Fonte: Autor
O BIG BANG DOS NÚMEROS NATURAIS
MAS, AFINAL, O QUE É UM NÚMERO NATURAL?
Segundo Eave (1995), a busca sobre o entendimento dos números se originou primeiramente na Física, com relação a
uma definição precisa do que é a reta numérica. A teoria dos conjuntos se mostrou um terreno fértil para tal
construção.
A PARTIR DAÍ, FOI NECESSÁRIO REAPRESENTAR O
CONJUNTO NUMÉRICO MAIS CONHECIDO DO PLANETA
SOB UMA NOVA PERSPECTIVA.
Deve-se a Giuseppe Peano a constatação de que se pode elaborar toda a teoria dos números naturais a partir de
quatro fatos básicos, conhecidos atualmente como os Axiomas de Peano, publicado no seu livro Os princípios da
Aritmética apresentados por um novo método. Segundo ele:
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/
GIUSEPPE PEANO 
Foi o fundador da lógica simbólica e o centro de seus interesses foram os fundamentos da Matemática e o
desenvolvimento de uma linguagem lógica formal. Em 1889, Peano publicou os seus axiomas famosos,
chamados Axiomas de Peano, que definiram os números naturais em termos de conjuntos.
Fonte: (SÓ MATEMÁTICA, 2020)
Fonte: Wikipedia
“O conjunto dos números naturais possui quatro propriedades fundamentais, das quais resultam,
como consequência lógica, todas as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre esses números.”
Giuseppe Peano (1858-1932)
AXIOMAS DE PEANO
Talvez você esteja se questionando:
/
Fonte: Sumkinn /Shutterstock
 RESPOSTA
Os axiomas são afirmações ou proposições que não precisam ser provadas. Eles constituem-se como alicerces nos
quais uma teoria é construída.
Seja ℕ um conjunto de elementos, chamados números naturais, satisfazendo os seguintes axiomas:
I
Existe um número natural chamado de 1.
Esta afirmação é o início de tudo: existe um conjunto que possui um elemento, o primeiro. Poderia ser o zero, mas, por
uma questão de princípios, o autor definiu 1.
II
Existe uma função 𝑠:ℕ→ℕ tal que 𝑠 é injetiva (1-1), em que, para cada número natural 𝑎 ∈ ℕ, está associado o número
natural 𝑠(𝑎) denominado sucessor de 𝑎.
Este axioma garante que todo número deste conjunto possui um sucessor. Assim, dá um sentido de ordem aos
números naturais.
III
Para todo 𝑎∈ℕ, 𝑠(𝑎)≠1
Este é o resultado que caracteriza que estamos no conjunto dos números naturais e não dos inteiros, pois ele diz que o
primeiro elemento não é sucessor de ninguém, isto é, não existe ninguém neste conjunto que seja menos que ele.
IV
(Princípio de Indução) - Se 𝑆 é um subconjunto dos números naturais ℕ, tal que:
a. 1 ∈ 𝑆
b. Se 𝑎 ∈ 𝑆 então 𝑠(𝑎) ∈ 𝑆
Então 𝑆 = ℕ
/
O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA
ESTE PRINCÍPIO MERECE DESTAQUE, POIS É UMA
FERRAMENTA PODEROSA PARA DEMONSTRAR A
VALIDADE DE AFIRMAÇÕES SOBRE O CONJUNTO DOS
NÚMEROS NATURAIS.
A comparação ao Big Bang é inevitável, como a afirmação feita pelo professor Stephen Hawking : o universo surgiu
por geração espontânea, do nada. Assim são os números naturais. Existe um conjunto com o número 1 e pronto!
STEPHEN HAWKING (1942-2018)
Foi um físico inglês que trabalhou nas leis básicas que governam o universo. Com Roger Penrose, ele mostrou
que a teoria geral da relatividade de Einstein implicava que espaço e tempo teriam um começo no Big Bang e um
fim nos buracos negros.
Fonte: (HAWKING.ORG, 2020)
Como teria dito um velho matemático alemão, Leopold Kronecker:
Fonte: Sociedade Portuguesa de Matemática
“Deus criou os números naturais, todo o mais foi criado pelo Homem”
Leopold Kronecker(1823-1891).
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/
Fonte: R-Type/Shutterstock
Para que você se familiarize com o Princípio de Indução Matemática, pense em um conjunto de dominós enfileirados
sobre uma mesa. Então, empurra-se uma das peças em qualquer posição. Ocorre, desse modo, um efeito em cadeia
que derruba todas as restantes. Esse é um conceito formidável! Ele está presente em toda a Matemática de diversas
formas.
Vamos pensar em uma série de proposições: 𝑃1, 𝑃2,⋯ numeradas pelos números naturais.
Suponha que podemos provar que:
𝑃𝐵= Alguma proposição da série é verdadeira.
𝑃I = A veracidade de cada proposição na série implicará a veracidade da próxima proposição.
 IMPORTANTE
Note que isso implicará que provamos todas as proposições da série, a partir da primeira ser provada como verdade.
Ou seja, provar a 𝑃𝐵 e depois 𝑃I, significa que podemos derrubar alguma peça da pilha de dominós, e cada peça ao
cair vai derrubar a próxima, qualquer que seja a peça do dominó.
Esta é uma descrição lúdica do Princípio de Indução Matemática:
𝑃𝐵 é chamado de passo básico e 𝑃I de passo indutivo.
Este processo pode ser pensado visivelmente, como uma onda de demonstrações indo de afirmação em afirmação e
formando uma cadeia de teoremas.
𝑃1→𝑃2→⋯→𝑃𝑛→𝑃𝑛+1→⋯.
PSICOLOGICAMENTE, A NATUREZA INTRÍNSECA DA
INDUÇÃO ESTÁ EM SEU PROCESSO. COMO APRENDER
ISSO? BEM, UM IMPORTANTE PROCESSO PARA
/
AMADURECER O PENSAMENTO LÓGICO INDUTIVO É
PERCEBER ATRAVÉS DE EXEMPLOS E CASOS
PARTICULARES QUE DETERMINADOS FENÔMENOS DEVEM
OCORRER SEMPRE.
Este pensamento ingênuo cria um vácuo de oportunidade. A pergunta é, então: O que significa ocorrer sempre?
PLANO PARA RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO A
INDUÇÃO MATEMÁTICA
A partir do exemplo assistido no vídeo, podemos definir alguns passos para resolver problemasmatemáticos através
da indução. Lembre-se de que ainda estamos falando da contribuição de Peano para essa área do conhecimento, no
caso, seu Axioma IV.
 IMPORTANTE
A indução, como forma de raciocínio lógico, já era conhecida na Antiguidade Clássica, a partir das obras aristotélicas,
especialmente no Órganon.
.
ÓRGANON
Conjuntos de obras que apresentam a Lógica como um instrumento da Filosofia.
Então, vamos a esses passos:
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/
Encontre no enunciado do problema uma série de proposições semelhantes. Se elas estiverem escondidas, devemos
explicitá-las e reformular o problema. Se não existir uma cadeia explícita, devemos construi-la, a fim de que o problema
se torne parte dela.
Prove o passo básico.
Prove que qualquer que seja o número natural 𝑛, a veracidade da 𝑛-ésima proposição implica a veracidade da (𝑛+1)-
ésima proposição que é o passo indutivo.
Uma vez provado o passo básico e o indutivo, todas as sentenças estão provadas simultaneamente. A partir daí, é
possível chegar a qualquer uma delas, partindo da base passo a passo.
VAMOS ENTENDER ISSO DE FORMA PRÁTICA?
EXEMPLO 5A
/
Seja 𝑛 ∈ ℕ Mostre que a igualdade , é verdadeira.
PASSO BÁSICO
Consiste em considerar a sentença, no caso 𝑛=1. Desta forma, basta verificarmos que o lado direito é igual ao lado
esquerdo, de fato, pois, 
Apesar de não ser necessário, vamos verificar que quando 𝑛=2, também é verdadeiro. 1+2=3, e 
HIPÓTESE DE INDUÇÃO
Vamos estabelecer a hipótese de indução, isto é, vamos supor que a igualdade é verdadeira, até um valor 𝑛0 fixado,
assim:
PASSO INDUTIVO
Queremos provar que
De fato, pois
ó çã
ã
Daí
ê
Obtivemos, então, exatamente a sentença que desejamos. Provamos, assim, que a igualdade proposta no exemplo é
verdadeira.
/
EXEMPLO 5B
Seja 𝑛∈ℕ, considere a soma dos 𝑛 primeiros números ímpares: 
Complete a tabela:
𝑛 1 +3 + ⋯ + ( 2𝑛 − 1) Resultado da soma 𝑛2
1 1 1 12
2 1 + 3 4 22
3 1 + 3 + 5 9 32
4 1 + 3 + 5 + 7 16
5 1 + __ + 5 + 7 + 9 25 52
⋮ ⋮ ⋮
1 + 3 + ⋯ + 199
SOLUÇÃO
O que temos que observar é que 199=2𝑛−1, logo 2𝑛=200, 𝑛=100.
Portanto, 𝑛2=1002.
Sobre o valor da soma, não provamos que 1+3+⋯+(2𝑛−1)=𝑛2 , mas a tabela nos induz a acreditar que de fato isto
ocorra, assim, o valor da soma é 10.000.
Deixaremos essa prova a seu cargo. Não se preocupe se você ainda não entendeu direito como se usa a indução,
você terá tempo.
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/
SURGIMENTO DOS NÚMEROS INTEIROS ℤ E
COMPLEXOS ℂ
Os números Inteiros são geralmente abordados em um primeiro curso de Álgebra e não temos aqui o intuito de
explorá-lo. Assumiremos que você tem familiaridade com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
de números inteiros, bem como o Teorema Fundamental da Aritmética (Fatoração) e as desigualdades no Conjunto de
Números Inteiros (ℤ).
 SAIBA MAIS
Caso queira rever ou se aprofundar, recomendamos:
— Algebra, de S. M. Birkhoff (um clássico).
— Para uma abordagem mais formal, de Milies e Coelho.
— Para uma abordagem mais informal, de Courant e Robbins.
O conjunto dos números inteiros possui diversas histórias e personagens fascinantes. Recomendamos o livro O Último
Teorema de Fermat, de Simon Singh (2014), para você conhecer mais o universo dos números inteiros.
Alguns matemáticos se destacam quando falamos a respeito da história dos números. Veja a seguir quais são eles:
Fonte: Wikipedia
LEONHARD EULER
No século XVIII, apresentou-se uma intensa atividade em
torno dos números imaginários. Leonhard Euler afirmava
que qualquer operação usual entre números imaginários
nos daria novamente um número da forma ,
em que 𝑚 e 𝑛 eram números reais. Segundo Ripoll, Rangel
e Giraldo (2016), apesar de toleradas as quantidades
complexas e negativas, elas não possuíam uma
representação rigorosa. Somente no início do século XIX
surgem as primeiras representações geométricas dos
números negativos e complexos.
JEAN ROBERT ARGAND
javascript:void(0)
/
A primeira abordagem geométrica para os números
negativos é devida a Jean Robert Argand em 1813-1814.
Ele introduz a noção de quantidades absolutas e
orientação, dando a interpretação geométrica de que
multiplicar por (−1) é a reflexão em relação à origem,
fazendo então com que (−1)⋅(−1) torne-se naturalmente
(+1).
Isto poderia ser assim representado:
Fonte: autor
Fonte: Lovers of Math
Fonte: Wikipedia
CARL FRIEDRICH GAUSS
Argand fez um trabalho muito bom, porém ele era um
matemático amador (profissionalmente, era livreiro).
Apenas em 1831, quando Carl Friedrich Gauss publicou
o que chamou de Manifesto das grandezas imaginárias, os
números complexos e negativos ganharam de vez o seu
lugar na Aritmética, sobre os quais era possível realizar
cálculos de modo consistente.
LEONHARD EULER (1707-1783)
Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e artigos dele representam aproximadamente um terço
do corpo inteiro de pesquisa em Matemática, teorias físicas e Engenharia Mecânica publicadas entre 1726 e
1800. Em Matemática pura, ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton em Análise
Matemática. 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
/
Fonte: (SÓ MATEMÁTICA, 2020)
JEAN ROBERT ARGAND (1768-1822)
Argand ficou famoso pela sua interpretação geométrica dos números complexos. Ele apresentou, ainda, uma
prova para o Teorema Fundamental da Álgebra, sendo, possivelmente, o primeiro a trabalhar com o teorema no
caso em que os coeficientes são números complexos.
Fonte: (EDUC, 2000)
CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)
Matemático, astrônomo e físico alemão, criador da Geometria Diferencial, a ele se devem importantíssimos
estudos de Matemática, Física, Geometria e Astronomia. Entre outras coisas, inventou o telégrafo e definiu o
conceito de números complexos. 
Fonte: (UC, 2020)
 SAIBA MAIS
Se você quiser saber um pouco mais sobre essa história, leia Historia da Matemática — Uma visão crítica desfazendo
mitos e lendas, de Tatiana Roque, e Números Racionais, Reais e Complexos, de Jaime Ripoll et al.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O NÚMERO NA REPRESENTAÇÃO MAIA: 
/
FONTE-AUTOR CLASS=
LEMBRE-SE DE CADA BOX DA ESQUERDA PARA DIREITA COMO CENTENAS, DEZENAS E
UNIDADES, E QUE CADA BOLINHA VALE UMA UNIDADE E CADA TRAÇO VALE CINCO
UNIDADES. 
 DETERMINE O ANTECESSOR E O SUCESSOR DO NÚMERO ACIMA, EM CARACTERES
MAIAS:
A)
Fonte-Autor
A)
B)
Fonte-Autor
B)
C)
Fonte-Autor
/
C)
D)
Fonte-Autor
D)
2. SEJA 𝒏 ∈ ℕ. CONSIDERE A SOMA: 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛−1+2𝑛. 
A PARTIR DA TABELA, RESPONDA: 
𝑛 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛 RESULTADO DA SOMA 2𝑛+1 VALOR DE 2𝑛+1
0 1 1 21 2
1 1 + 2 3 22 4
2 1 + 2 + 4 7 23 8
3 1 + 2 + 4 + 8 15 24 16
4 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 25 32
DE ACORDO COM O QUE OBSERVAMOS NA TABELA, QUAL DEVE SER O VALOR
ESTIMADO PARA A SOMA EM QUESTÃO COM 100 TERMOS?
A) 10000
B) 2100
C) 2100-1
D) X2101-1
GABARITO
1. Considere o número na representação maia: 
/
Fonte-Autor class=
Lembre-se de cada box da esquerda para direita como centenas, dezenas e unidades, e que cada bolinha vale
uma unidade e cada traço vale cinco unidades. 
 Determine o antecessor e o sucessor do número acima, em caracteres maias:
A alternativa "D " está correta.
Podemos perceber que os números maias, apesar de estarem na base 20, isto é, com seus algarismos representados
por números que vão de zero a dezenove, possuem uma subclassificação:
O sucessor de quatro bolinhas enfileiradas é uma barra horizontal.
O sucessor de uma barra é uma barra com uma bolinha em cima dela.
Fonte-Shutterstock
A regra vale até três barras enfileiradas. Devemos estar atentos ao fato de que o mesmo se aplica aos antecessores.
Como estamos falando de sucessores e antecessores no exercício, basta que observemos a casa das unidades, que é
a ultima casa, olhando da esquerda para a direita. Desta forma, podemos perceber que temos três barras.
 
O sucessor de três barras, pela lógica apresentada, deve ser o box com três barras com uma bolinha emcima.
 
O antecessor de três barras é o número duas barras com quatro bolinhas em cima. Desta forma, a resposta fica:
/
Fonte-Shutterstock
2. Seja 𝒏 ∈ ℕ. Considere a soma: 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛−1+2𝑛. 
A partir da tabela, responda: 
𝑛 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛 Resultado da soma 2𝑛+1 Valor de 2𝑛+1
0 1 1 21 2
1 1 + 2 3 22 4
2 1 + 2 + 4 7 23 8
3 1 + 2 + 4 + 8 15 24 16
4 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 25 32
De acordo com o que observamos na tabela, qual deve ser o valor estimado para a soma em questão com 100
termos?
A alternativa "D " está correta.
A pergunta foi simples: no caso, queremos saber apenas a expressão do resultado dos 100 primeiros termos da soma
proposta. A tabela nos faz acreditar que o resultado da soma será 2𝑛+1−1. Note que isso é o que a tabela está nos
induzindo, assim, a resposta correta é a letra D.
 
Vamos provar o caso geral. Poderíamos provar por indução que tal sentença é verdadeira para todo número natural 𝑛.
Entretanto, preferimos outra abordagem, mais simples.
 
Digamos que o valor desta soma seja 𝑥, então 𝑥 = 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2 𝑛 - 1 + 2 𝑛.
 
E multiplicando por 2 ambos os lados, temos 2𝑥 = 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2 𝑛 + 2 𝑛+1
2𝑥 − 𝑥 = 𝑥 = 2 𝑛+1 −1
/
 Relacionar a criação dos números racionais e reais positivos à necessidade de realização de medidas e
manipulação das operações matemáticas básicas
INTRODUÇÃO
Os números naturais e inteiros advêm do processo da contagem, tanto para acrescentar ou retirar. Contudo, na vida
diária sempre se precisou medir quantidades, tais como comprimentos, áreas, pesos e tempo. Desejamos operar
livremente as grandezas dessas quantidades. Para tal, devemos expandir o domínio de nossa Aritmética para além
dos números inteiros.
A pergunta que gostaríamos de responder inicialmente é:
DADOS 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, QUEM DEVE SER 𝑥 TAL QUE 𝑎⋅𝑥=𝑏?
No contexto dos números naturais, essa pergunta é tratada como um problema geométrico, com aparições desde o
século V a.C. O valor de 𝑥 era denominado terceira proporcional, assim concluímos que o manuseio dos números
racionais é muito anterior ao dos números inteiros.
A MEDIDA E OS NÚMEROS RACIONAIS
A medida dá origem aos números racionais positivos quando desejamos comparar grandezas de mesma espécie.
Necessitamos estabelecer uma unidade, uma grandeza 𝑢 fixada como referência, com a qual outras grandezas de
mesma espécie são comparadas.
ESTE PENSAMENTO NOS LEVA A UMA IDEIA INCOMPLETA,
MAS INTUITIVA: MEDIR = DETERMINAR QUANTAS VEZES A
/
UNIDADE OU ALGUMA SUBDIVISÃO DELA CABE NA
GRANDEZA A SER MEDIDA (ESSE PENSAMENTO NÃO É
ERRADO, APENAS INCOMPLETO).
Se estabelecermos um comprimento qualquer 𝑙, e
tomarmos um quadrado exatamente com essa medida de
lado, então, independentemente da unidade escolhida, com
base em alguma subdivisão em partes iguais do lado do
quadrado, nunca iremos conseguir dois números
naturais, tal que a diagonal do quadrado e o lado do
quadrado sejam múltiplos inteiros desta unidade.
Fonte: autor
NUNCA IREMOS CONSEGUIR DOIS NÚMEROS NATURAIS
Não se preocupe com essa afirmação! Você a entenderá perfeitamente, ainda neste módulo!
ENTENDIMENTO GEOMÉTRICO DOS NÚMEROS
RACIONAIS
Passamos agora ao entendimento geométrico dos números racionais. Fixada uma grandeza 𝑎 e uma unidade 𝑢, tal
que ela não possa ser colocada um número inteiro de vezes na grandeza 𝑎 a ser comparada, contudo suponha que
possamos subdividir a unidade 𝑢 em uma quantidade 𝑞, obtendo, então, uma nova unidade , menor que 𝑢 tal
que a qual passa, então, a caber uma quantidade inteira 𝑝 de vezes na grandeza 𝑎, assim com
isto, temos: ã
 ATENÇÃO
javascript:void(0)
/
Dizemos neste caso que um número racional é a medida de uma grandeza 𝑎, em que 𝑝,𝑞 ∈ ℕ. Desta forma, vemos
que os números racionais positivos surgem de modo natural do conjunto ℕ. Voltaremos a esta discussão na próxima
seção. Parece confuso? Tranquilize-se! Com o exemplo, tudo ficará bem mais claro!
EXEMPLO 1
Sejam 𝑢 a unidade, û, uma subdivisão da unidade 𝑢 e 𝑎 uma grandeza da mesma espécie de 𝑢, que se relacionam
segundo a imagem a seguir:
Fonte: autor
Vemos claramente que 𝑢=8⋅û e 𝑎=5⋅û . Desta forma, podemos expressar 𝑎 em termos da unidade, pois: 
û
û
Então: 
Logo, a medida de 𝑎 é 
/
A CONCEPÇÃO MODERNA DOS NÚMEROS
RACIONAIS
O tópico anterior apresentou de forma geométrica o surgimento dos números racionais, a partir de ter fixado uma
unidade como referência. De fato, uma excelente forma de se compreender esse conteúdo ou mesmo apresentá-lo a
quem gostaria de aprender Matemática.
 
Mas, seguindo a mesma percepção que tivemos com os Axiomas de Peano, podemos conceber a criação dos
números racionais a partir do que já sabemos sobre números inteiros. Perceba que continuamos no campo do conjunto
das frações, mas com um olhar levemente diferente.
DESSA FORMA, QUE OBJETO DA TEORIA DOS CONJUNTOS
PODE NOS AJUDAR A DESCONSTRUIR O CONCEITO ,
COM 𝒑,𝒒 ∈ ℤ E 𝒒≠𝟎?
Pode não parecer tão imediato em um primeiro momento, mas podemos traçar uma relação entre frações e pares
ordenados, por exemplo: 
Assim, podemos olhar uma fração como um par ordenado. Logo, o conjunto que dá origem aos racionais do ponto de
vista da lógica matemática é ℤ × ℤ∗, em que ℤ∗= ℤ ∖ { 0 }.
A figura a seguir ilustra de forma geométrica como devemos imaginar os números racionais:
Fonte: autor
/
No entanto, temos algumas arestas a serem aparadas. Por exemplo, os pares ordenados (4, 5) e (12, 15) são
diferentes, já as frações são as mesmas.
 
Para resolver este problema, você deve lembrar que duas frações são iguais ou equivalentes quando 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑐 ⋅
𝑑.
 DICA
Assim, utilizando as ideias já existentes, podemos definir uma relação de equivalência.
SEJAM (𝒂,𝒃),(𝒄,𝒅) ∈ ℤ × ℤ ∗, DIREMOS QUE (𝒂,𝒃) É
EQUIVALENTE A (𝒄,𝒅) QUANDO 𝒂⋅𝒅=𝒄⋅𝒅.
Em linguagem matemática, escrevemos (𝑎 , 𝑏) ≅ (𝑐 ,𝑑).
 
Definimos, então, um número racional como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ ∗, tal que
(𝑎 , 𝑏) ≅(𝑝, 𝑞).
 
 IMPORTANTE
Note que fixado 𝑛 ∈ ℤ, o par (𝑝, 𝑞) é equivalente a (𝑝 ⋅ 𝑛, 𝑞 ⋅ 𝑛), pois 𝑝⋅(𝑞 ⋅ 𝑛) = 𝑞 ⋅ ( 𝑝 ⋅ 𝑛), assim, podemos dizer sem
perda de generalidade que os conjuntos , São iguais. Nesse sentido, podemos perceber que tanto faz
escrevermos , o número independe do representante do conjunto. Outra forma de percebermos isso é
entender que também podemos escrever 1/2 ou 2/4, pois indicam a mesma quantidade representada.
Imagine que você divida uma maçã em duas partes iguais
e coma uma das partes (1/2). Não seria a mesma situação
se você a dividisse em quatro partes iguais, e comesse
duas destas partes (2/4)?
/
Fonte: Nataly Studio/Shutterstock
DEFINIÇÃO: 
DADO UM NÚMERO RACIONAL ∈ ℚ, DIREMOS QUE É
IRREDUTÍVEL SE O ÚNICO DIVISOR NATURAL COMUM DE 𝒑
E 𝒒 FOR O NÚMERO 1.
EXEMPLO 2
Considere os números: .
Diga se eles são ou não irredutíveis.
Vejamos: como foi relatado, esperamos que você tenha alguma familiaridade com as operações básicas.
Para resolver este problema, recomendamos o uso de uma tabela, onde nós vamos colocar os divisores do numerador
em uma linha e os divisores do denominador em outra. Se apenas o 1 aparecer nas duas tabelas, simultaneamente,
então a fração será irredutível. Esse pode não ser o método mais rápido, mas é o mais simples.
49 1,7,49
21 1,3,7,21
/
Percebemos neste caso que o 1 e o 7 aparecem como divisores de ambos os números, no caso 49 e 21. Desta forma,
temos que a fração é redutível. Apesar de ser redutível, note que existe um representante irredutível para esta
fração, pois e neste caso é irredutível.
9 1,3,9
14 1,2,7,14
Percebemos neste caso que apenas o número 1 ocorre como divisor em ambas as tabelas, por isso, temos pela
definição que é irredutível.
 ATENÇÃO
Obs. 1: Dada uma fração ∈ ℚ, sempre existe um representante, (𝑝,𝑞)∈ , tal que é irredutível.
Obs. 2: Entendemos perfeitamente o que você deve estar pensando, “Mas, como assim? Um númeroracional é um
conjunto?”.
Sim, um número racional é um conjunto, mas se você pensar bem, ele já era um conjunto, pois se fixarmos, por
exemplo, (2,3)∈ ℤ×ℤ∗, o que é este número? Pela nossa definição , que é o mesmo número que: ,
para quaisquer 𝑛 ∈ ℤ. Sendo assim, as frações equivalentes que vemos no Ensino Fundamental apresentam o
conceito de classes de equivalência, mas sem fazer alarde.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
QUAL DAS SENTENÇAS A SEGUIR É O REPRESENTANTE IRREDUTÍVEL DA FRAÇÃO
432180 ?
A) 21690
B) 10845
C) 7230
D) 125
/
GABARITO
Qual das sentenças a seguir é o representante irredutível da fração 432180 ?
A alternativa "D " está correta.
O que estamos pedindo aqui é que você simplifique a fração até que isso não possa mais ser feito. De forma geral,
temos: 
432180=2⋅2162⋅90=2⋅2⋅1082⋅2⋅45=4⋅3⋅364⋅3⋅15=12⋅3⋅1212⋅3⋅5=125 
Portanto, a resposta correta é a letra d).
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Para que possamos nos aprofundar ainda mais nessa concepção moderna dos números racionais, devemos ter em
mente que uma interpretação geométrica está no entendimento das soluções das equações 𝑞⋅𝑥=𝑝, com 𝑝,𝑞 ∈ ℤ e 𝑞≠0.
 
Observemos isto graficamente:
Fonte: autor
Você pode notar que todos os pontos pretos que estão sobre uma mesma reta na figura, pertencem ao mesmo
conjunto. Sob a luz desta perspectiva, podemos pensar sobre esta nova representação no sentido das inclusões
ℕ⊂ℤ⊂ℚ, como segue na próxima figura:
/
Fonte: autor
O conjunto dos números naturais está representado pelos pontos amarelos, o conjunto dos números inteiros são os
pontos amarelos e os verdes e, por fim, o conjunto dos números racionais são os pontos de cor amarela, verde e azul.
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Você sabe o que significa uma relação de equivalência?
Uma relação de equivalência em ℤ×ℤ* é um objeto matemático que satisfaz as 3 propriedades a seguir:
1 - REFLEXIVA
(𝑝,𝑞)≅(𝑝,𝑞)
2 - SIMÉTRICA
(𝑝,𝑞) ≅ (𝑥,𝑦)⇒ (𝑥,𝑦) ≅ (𝑝,𝑞)
3 - TRANSITIVA
(𝑝,𝑞) ≅ (𝑥,𝑦) e (𝑥,𝑦) ≅ (𝑎,𝑏) ⇒ (𝑝,𝑞) ≅ (𝑎,𝑏)
Para que o aluno possa entender melhor as relações de
equivalência, vamos pensar sobre a relação de amizade,
em sentido amplo.
Fonte: Rawpixel.com/ Shutterstock
- A reflexividade nos diz que uma pessoa é amiga de si mesma.
- A simétrica nos apresenta que a relação de amizade é mútua: se eu sou seu amigo, então você também é meu
amigo.
/
- Por fim, a transitiva diz que se um amigo seu tiver um amigo, essa pessoa é imediatamente sua amiga também.
É claro que isto é apenas um contexto lúdico, mas espero que você tenha entendido a ideia das relações de
equivalência.
 ATENÇÃO
É muito importante que você perceba que estamos aqui apenas apresentando as ideias básicas acerca deste mundo
tão fantástico da Matemática. Portanto, há muito a se aprender, muito a ser aprofundado.
As relações de equivalência são, de modo geral, um conceito extremamente abstrato. Frações equivalentes são
apenas um exemplo que apresenta de forma simples o conceito, especialmente para os principiantes nesse vasto
universo matemático. Saiba, portanto, que este tema escala em âmbito de generalidade e abstração que só pode ser
de fato entendido quando se ganha experiência e maturidade matemática, e como toda maturidade, só se adquire com
o tempo.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
SEJAM PQ ∈ ℚ UMA FRAÇÃO. QUAL DAS SENTENÇAS ABAIXO É VERDADEIRA? 
DICA: PARA MOSTRAR QUE ALGO É FALSO, BASTA EXIBIR UM CASO EM QUE A
SENTENÇA SEJA FALSA. ASSIM, TENTE VERIFICAR QUE EXISTEM 4 AFIRMAÇÕES
FALSAS. A QUE SOBRAR SERÁ A VERDADEIRA.
A) pq é irredutível.
B) Se 𝑝 é par e pq é redutível, então 𝑞 é par
C) Se p2q2 é irredutível, então pq é irredutível.
D) Se 𝑝 é ímpar e pq é irredutível, então 𝑞 é par.
GABARITO
/
Sejam pq ∈ ℚ uma fração. Qual das sentenças abaixo é verdadeira? 
DICA: Para mostrar que algo é falso, basta exibir um caso em que a sentença seja falsa. Assim, tente verificar
que existem 4 afirmações falsas. A que sobrar será a verdadeira.
Parabéns! A alternativa “C” está correta. 
Vamos por eliminação: 
a) É falsa, pois, se escolhermos pq=24, esta fração é redutível. 
b) É falsa, pois se escolhermos pq=69, temos que 𝑝=6 é par, ela é redutível, mas 𝑞=9 é ímpar. 
c) É verdadeira, mas vamos verificar que as outras são falsas, que é bem mais simples. 
d) É falsa, pois, se escolhermos pq=35, temos que 𝑝=3 é ímpar, ela é irredutível, mas 𝑞=5 é ímpar.
ALGUMAS OPERAÇÕES EM ℚ
Apesar das ideias abstratas, a medida ainda é o que nos guia na hora de definir as operações com frações. A seguir,
uma breve síntese das operações de soma e divisão de frações com objetivo de darmos sentido a essas operações.
SOMA
Primeiro, devemos lembrar que, para executar a soma, as grandezas devem ser colocadas sob a mesma unidade ou
subunidade. Por exemplo:
Pensando em segmentos, o que temos aqui são duas barras de mesmo material e mesmo tamanho, em que a primeira
barra está dividida em 3 partes e usamos uma, e a segunda está dividida em 5 partes e usamos 3. O ponto é que em
cada barra estão sendo utilizadas unidades diferentes. O que devemos fazer é colocar as barras sob a mesma
subunidade. Como?
BARRA 1
A barra 1 está dividida em 3 partes. Dividindo cada uma delas em 5 partes, vamos obter 15 partes no total. Mas, se
usamos uma das 3 partes na unidade anterior, agora vamos utilizar 5 partes com a nova unidade, pois sabemos que
BARRA 2
A barra 2 está dividida em 5 partes. Dividindo cada uma delas em 3 partes, vamos obter 15 partes no total. Mas, se
usamos três das 5 partes na unidade anterior, agora vamos utilizar 9 partes com a nova unidade, pois sabemos que
assim: 
/
De forma geral: 
Definição:
Dados ∈ ℚ tem-se 
Esta pode não ser exatamente a forma como você aprendeu a somar frações na infância, mas, no fim, é a mesma
coisa. Estamos evitando usar termos como MMC (Mínimo Múltiplo Comum) ou MDC (Máximo Divisor Comum).
Lembra-se deles?
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
GASTEI 39 DO MEU SALÁRIO COM ALIMENTAÇÃO E 25 COM AS DEMAIS DESPESAS. O
QUE SOBROU FOI APLICADO EM UM INVESTIMENTO DE RENDA FIXA. QUAL FRAÇÃO DO
MEU SALÁRIO FOI COLOCADA NO INVESTIMENTO?
A) 3345.
B) 514
C) 415
D) 914
GABARITO
Gastei 39 do meu salário com alimentação e 25 com as demais despesas. O que sobrou foi aplicado em um
investimento de renda fixa. Qual fração do meu salário foi colocada no investimento?
Parabéns! A alternativa “C” está correta. 
A conta é simples. O que foi gasto corresponde a 3 9+ 2 5=15+1845=3345. 
Esta é a parte que foi gasta. Como queremos o que foi investido, então: 3345−4545=1245 
A resposta poderia ser esta, sem problemas, mas ela não está na múltipla escolha, note que 1245=415 
 
DIVISÃO
Lembre-se de que uma divisão já é uma fração, assim, a divisão de frações pode ser pensada da seguinte forma:
.
/
Segundo o mesmo princípio das frações equivalentes, isto é, quando multiplicamos o numerador (a parte de cima da
fração) e o denominador (a parte de baixo da fração) pelo mesmo valor, continuamos a ter a mesma fração. Assim:
 
 .
De forma geral:
Definição:
Dados ∈ ℚ com 𝑚≠0, tem-se 
 RELEMBRANDO
Provavelmente, você tenha se lembrado da famosa regra: Mantenha o primeiro e multiplique pelo inverso do segundo.
EXEMPLO 3
Uma geladeira foi comprada de maneira que do valor foram pagos à vista. O restante do valor deve ser pago em 10
prestações iguais. Qual a fração, em relação ao total, de cada parcela?
SOLUÇÃO
A ideia é simples: ficaram faltando do valor da geladeira, e esta quantia foi dividida em 10 parcelas fixas. Logo, o
montante de cada parcela vai corresponder a . 
OS INCOMENSURÁVEIS E O SURGIMENTO DOS
NÚMEROS REAIS
Segundo Eave (1995), os pitagóricos acreditavam que os números eram a essência do universo e da sociedade
secreta grega. Sob a concepção moderna, um número para os pitagóricos correspondia aos números racionais
positivos.
 
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/
Devemos ter o cuidado de localizar os próximos eventos, narrados há aproximadamente 500 a.C., porque não hácomo
ter precisão histórica em relação ao que vamos contar, mas a reflexão vale muito a pena!
 
O problema se inicia com um fato guardado a sete chaves pelos pitagóricos:
PITAGÓRICOS
Pitágoras (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego, creditado como fundador do pitagorismo.
A DIAGONAL DE UM QUADRADO É INCOMENSURÁVEL COM
SEUS LADOS.
O QUE ISSO SIGNIFICA?
Segundo o Teorema de Pitágoras, deve-se ter que: Se 𝑥 é
a diagonal de um quadrado de lado 𝑙, então 𝑥 deve ser a
solução da equação 𝑥2=𝑙2+𝑙2, portanto 𝑥2=2𝑙2.
Assim, se estabelecermos um comprimento qualquer, e
tomarmos um quadrado exatamente com essa medida de
lado, independentemente da unidade escolhida, com base
em alguma subdivisão em partes iguais do lado do
quadrado, nunca iremos conseguir dois números naturais,
tal que a diagonal do quadrado e o lado do quadrado sejam
múltiplos inteiros desta unidade. Fonte: Autor
De acordo com Eave (1995), toda a teoria da proporção pitagórica e das figuras semelhantes era baseada nesse
pressuposto óbvio. Assim, grande parte da Geometria pitagórica foi subitamente invalidada.
 CURIOSIDADE
A lenda conta que Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras, foi misteriosamente naufragado após ter exposto
esse segredo.
/
Outra relação que ilustra a incomensurabilidade entre grandezas é a comparação entre o diâmetro 𝐷 e o perímetro 𝐶
de um círculo que gera o famoso número 𝜋, em que
Fonte: autor
Neste caso, a prova que tais grandezas são incomensuráveis é bem mais difícil e sofisticada. A primeira prova foi dada
apenas em 1770, por Johann Lambert.
Uma prova simplificada para este fato pode ser encontrada em Niven (1947) ou com maiores detalhes em Spivak
(1970). Decorre da existência de grandezas incomensuráveis a necessidade de se expandir o conjunto dos números
racionais.
OS NÚMEROS REAIS FORAM UM CAPÍTULO E TANTO NO
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO MATEMÁTICO E
SOMENTE COMPLETAMENTE ENTENDIDOS PELA
COMUNIDADE MATEMÁTICA NA SEGUNDA METADE DO
SÉCULO XIX.
Como já falamos, haverá sempre um mundo a se mergulhar no âmbito da Matemática!
As atividades a seguir ilustram um pouco da dificuldade que se pode encontrar quando trabalhamos com frações.
EXEMPLO 4
Adaptada da OBMEP
Um ônibus transporta 31 estudantes da Estácio, baianos e mineiros, para um encontro nacional de educação. Entre os
baianos, são homens e, entre os mineiros, são mulheres. Entre todos os estudantes, quantas são as mulheres?
SOLUÇÃO
javascript:void(0)
/
Esta questão é delicada, mas muito bonita também. Aqui, fica nítido que não conhecemos as unidades do problema e
que eles se encontram em unidades distintas, assim, se simplesmente fizermos a soma das frações, isso não irá nos
dar uma resposta adequada. Neste problema, temos duas unidades, representadas em baianos e mineiros.
 
Porém, o problema deixa algumas coisas claras:
Baianos + Mineiros = 31.
A quantidade de mineiros como unidade, é divisível por 7, pois são mulheres.
A quantidade de baianos como unidade é divisível por 5, pois são homens.
VAMOS FAZER UMA TABELA:
Múltiplos de 7 Número cuja soma é 31
7 24
14 17
21 10
28 3
Vemos claramente que a terceira linha é única que satisfaz as 3 condições relatadas. Logo, temos 21 mineiros e 10
baianos. Assim, podemos construir a seguinte tabela:
Mineiros Baianos Total
Mulheres 6 15
Homens 12 16
Total 21 10 31
Agora todos os alunos estão sob a mesma unidade. Com isso, a fração que representa a quantidade de mulheres é 
.
/
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJAM 𝒖 A UNIDADE, Û UMA SUBDIVISÃO DA UNIDADE 𝒖, 𝒂 E Â GRANDEZAS DA
MESMA ESPÉCIE DE 𝒖 QUE SE RELACIONAM SEGUNDO A IMAGEM A SEGUIR: 
FONTE: AUTOR
DETERMINE 𝑎 EM TERMOS DE Â.
A) a=54⋅â
B) Xa=57⋅â.
C) a=45⋅â
D) a=75⋅â
2. CONSIDERE A MALHA EM ℤ × ℕ. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE EXIBE TODOS OS
PONTOS QUE PERTENCEM AO CONJUNTO 12: 
/
FONTE: AUTOR
A) 𝑔11; 𝑓14
B) 𝑔10; 𝑓12;𝑒14
C) 𝑓9; 𝑑10; 𝑏11
D) 𝑔6; 𝑓4; 𝑒2
GABARITO
1. Sejam 𝒖 a unidade, û uma subdivisão da unidade 𝒖, 𝒂 e â grandezas da mesma espécie de 𝒖 que se
relacionam segundo a imagem a seguir: 
Fonte: autor
Determine 𝑎 em termos de â.
/
A alternativa "D " está correta.
Vemos claramente que 𝑢=4⋅û, 𝑎=5⋅û e â=7⋅û. Desta forma, podemos expressar 𝑎 em termos da unidade, 
u=4⋅ûa=5⋅ûâ=7⋅û.
Então:
a=57⋅â.
Com isto, temos que o conceito de número racional positivo surge da noção de medida entre grandezas
comensuráveis.
2. Considere a malha em ℤ × ℕ. Determine a alternativa que exibe todos os pontos que pertencem ao conjunto
12: 
Fonte: autor
A alternativa "C " está correta.
Novamente uma imagem vale mais que mil palavras. A seguir, temos a representação dos números racionais como
pontos do plano cartesiano. Como vimos no módulo, a classe de um número racional pq são todos os pontos do plano
(𝑚,𝑛) tal que estejam sobre a reta que passa pela origem e pelo ponto (𝑝,𝑞). Assim, considerando a reta que passa
pela origem e pelo ponto (1,2) = 𝑓 9, vemos que 𝑑10 e 𝑏11 também pertencem à classe de 12.
/
Fonte: autor
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Aritmética é o estudo dos conjuntos numéricos. Resumidamente, estudamos os números naturais – aqueles que
surgem naturalmente pela necessidade humana de contar as coisas – com um pouco mais de profundidade. Também
através dos números naturais obtivemos a excelente oportunidade de conhecermos o Princípio de Indução
Matemática, que é uma ferramenta poderosíssima dentro da ciência de forma geral. E isso fizemos com a ajuda de
Peano, lembra-se?
 
Estudamos também com um pouco mais de empenho os números racionais: aqueles relacionados às questões sobre a
necessidade de medir as coisas. Tivemos a oportunidade de perceber a necessidade dos números reais devido aos
incomensuráveis e, em um contexto histórico, o surgimento dos números inteiros e complexos.
 
Portanto, apresentamos a você a ideia de que todo conhecimento matemático é sempre inicial, ou seja, sempre haverá
muito mais a se aprender. E é nisto que acreditamos: que você irá buscar mais e mais se aprofundar nesse mundo!
/
REFERÊNCIAS
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BIRKHOFF, S. M. Álgebra. 3rd. ed. New York: AMS, 1988.
COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática. Rio de Janeiro: CM, 2000.
EAVE, H. Introdução à História da Matemática. São Paulo: Unicamp, 1995.
FOMIN, D. A. Círculos Matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
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MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números — Uma introdução a Matemática. São Paulo: Edusp, 2006.
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RIPOLL, C.; Rangel, L.; GIRALDO, V. Números Inteiros. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
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SPIVAK, M. Calculus. v. 2. Barcelona: Reverté S.A., 1970.
STEPHEN Hawking. The Official Website. Consultado em meio eletrônico em: 21 mai. 2020.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, acesse:
O site da Sociedade Brasileira de Matemática.
Assista:
Canal A Matemaníaca, por Julia Jaccoud, YouTube./
Canal M3 Matemática Multimídia, que pode ajudar você a aprofundar conceitos básicos apresentados aqui. Por
exemplo, o vídeo A Razão dos Irracionais, que fala sobre os matemáticos pitagóricos.
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, acesse:
A dissertação de mestrado A construção histórica dos sistemas de numeração como recurso didático para
o Ensino Fundamental I, de Claudélcio G. Leite, defendida na UFC (Universidade Federal do Ceará), que
apresenta diversos sistemas de numeração com uma abordagem lúdica, adaptada para alunos do Ensino
Fundamental.
CONTEUDISTA
Marcelo Leonardo dos Santos Rainha
 CURRÍCULO LATTES
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