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1 / 65 DEFINIÇÃO Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de função real de uma variável real. PROPÓSITO Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas. OBJETIVOS Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4 Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora Definir funções crescentes e decrescentes Definir funções periódicas 2 / 65 INTRODUÇÃO Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar. É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas, porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para todos os possíveis valores da variável independente. Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para os quais a fórmula matemática define uma função. 3 / 65 Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ. DEFINIÇÃO O domínio da função 𝑓𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja: Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2 e os seus domínios. Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la. 4 / 65 Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função? 5 / 65 Exemplo 3 Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa. Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca, faça o que se pede: A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno. B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura. Exemplo 4 Sabendo que o comprimento do terreno de João é de 100 m, utilize a expressão obtida 𝐴𝐴=𝑥𝑥⋅(120−𝑥𝑥) para determinar a área do terreno onde será construída a piscina. Resolução da questão Conforme visto no exemplo 3, a área do terreno é dada pela expressão A=x⋅(120−x), onde x é o número de metros de comprimento do terreno. Logo, temos: A(100)=100⋅(120−100)=2000 m2 Isso significa que a imagem de 100 pela função A é 2000. 6 / 65 ATENÇÃO Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função. O gráfico de uma função pode ser definido como: 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑓𝑓(𝑓𝑓)={(𝑥𝑥; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) | 𝑥𝑥∈𝐷𝐷(𝑓𝑓)} Portanto, a ordenada 𝑦𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓𝑓 é o valor de 𝑓𝑓 na abscissa 𝑥𝑥 correspondente. O gráfico de 𝑓𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras informações. LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM O domínio da função 𝑓𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja: Como saber se um número real 𝒂𝒂 pertence ao domínio de uma função 𝒇𝒇? O número real 𝐺𝐺 pertence ao domínio de uma função 𝑓𝑓 se a reta vertical 𝑥𝑥=𝐺𝐺 corta o gráfico de 𝑓𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único. Fonte: Shutterstock Exemplo 1 Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins: 7 / 65 Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto em Tocantins. Como saber se um número real 𝑏𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓𝑓? O número real 𝑏𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓𝑓 se a reta horizontal 𝑦𝑦=𝑏𝑏 corta o gráfico de 𝑓𝑓 em pelo menos um ponto. Exemplo 2 Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em 2029 e 2018, respectivamente. Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins: 8 / 65 DOMÍNIO Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥. Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓𝑓: Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔𝑔: O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥? O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥? Vemos que o domínio da função 𝑓𝑓 é o intervalo no eixo das abscissas indicado em vermelho. Seu domínio é o intervalo fechado: 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = [−1,4] Vemos que o domínio da função 𝑔𝑔 é o conjunto no eixo das abscissas indicado em vermelho. Seu domínio é a união de intervalos disjuntos (intervalos cuja interseção é vazia): 𝐷𝐷(𝑔𝑔) = [−7 2 , 1) ∪ (1 , 5] 9 / 65 IMAGEM Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓𝑓: Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔𝑔: O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦? O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦? Vemos que a imagem da função 𝑓𝑓 é o intervalo fechado indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. Sua imagem é o intervalo fechado �− 9 4 ; 37 12 � , 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = �− 9 4 ; 37 12 � Vemos que a imagem da função 𝑔𝑔 é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25] 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑔𝑔) = (−2; 5,25] 10 / 65 EXEMPLO 3 Gráfico da função ℎ Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25]. 𝐼𝐼𝐼𝐼(ℎ)=(−2; 5,25]. Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos: Se 𝑫𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem deste subconjunto é dada por 𝒇𝒇(𝑫𝑫)={ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) | 𝑥𝑥 ∈𝐷𝐷 }. 11 / 65 EXEMPLO 5 Observe o gráfico da função 𝑓𝑓 e o intervalo �− 2 3 ; 5 12 � destacado em verde no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦, que é um subconjunto da imagem de 𝑓𝑓 : Ao traçar as retas 𝑦𝑦 = 5 12 e 𝑦𝑦 = −2 3 de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦, temos: 12 / 65 Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas 𝑦𝑦 = −2 3 e 𝑦𝑦 = 5 12 , temos: 13 / 65 Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo �− 2 5 ; 5 12 � da imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥 : A parte do Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8] 14 / 65 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. Considere a seguinte função: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � −2𝑥𝑥, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0 �𝑥𝑥, 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4 2, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 4 O domínio e a imagem da função são, respectivamente: a) 𝐷𝐷(𝑓𝑓)=ℝ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0; +∞┤[. b) 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = ℝ. c) 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = ℝ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = ℝ. d) 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = [0; +∞┤[. Comentário Parabéns!A alternativa A está correta. A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços corresponde a uma parte do domínio. Para 𝑥𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦𝑦=−2𝑥𝑥. Para traçar, basta considerarmos dois pontos. Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa: 15 / 65 Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função. Para 0≤𝑥𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦𝑦=√𝑥𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos. Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o formato parecido com o do esboço já apresentado. Finalmente, para 𝑥𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥: 16 / 65 Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥𝑥=4 não pertence a essa parte do domínio. Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓𝑓: A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷𝐷(𝑓𝑓)=ℝ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0; +∞┤[. 17 / 65 2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷𝐷 em ℝ por: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+8. Sendo 𝐼𝐼𝐼𝐼 a imagem de 𝑓𝑓, é correto afirmar que, se: a) 𝐷𝐷=[−2,0], então 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=ℝ+. b) 𝐷𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0;4]. c) 𝐷𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=ℝ+. d) 𝐷𝐷=[0;2], então 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[4;8]. Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. O gráfico da função 𝑓𝑓 é dado por: Vamos analisar cada restrição do domínio da função 𝑓𝑓. Note que, se 𝐷𝐷=[−2,0], temos que 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[8,20]. Se 𝐷𝐷=[2,+∞[, temos que 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[4,+∞). Se 𝐷𝐷=[0;2], temos que I𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[4;8]. 18 / 65 3. Observe os gráficos das funções 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙), 𝒚𝒚=𝒈𝒈(𝒙𝒙) e 𝒚𝒚=𝒉𝒉(𝒙𝒙): No mesmo par de eixos, podemos afirmar que: a) 𝑓𝑓(2)=2, 𝑔𝑔(2)=2 𝑠𝑠 ℎ(2)=−2. b) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑔𝑔)=[−3,3] 𝑠𝑠 𝐼𝐼𝐼𝐼(ℎ)=[−4,3]. c) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,4] 𝑠𝑠 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,3]. d) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(ℎ)=[−2,2] 𝑠𝑠 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,3]. Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. Observando o gráfico, temos: 𝑓𝑓(2)=2, 𝑔𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2. 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,3]. 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑔𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑔𝑔)=[−1,𝑔𝑔(3)] 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝐼𝐼𝐼(ℎ)=[1,2]. 19 / 65 4. Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 120𝑥𝑥 300−𝑥𝑥 . Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓𝑓 é: a) Todo número real 𝑥𝑥. b) Todo número real 𝑥𝑥, exceto os números positivos. c) Todo número real 𝑥𝑥, exceto 𝑥𝑥=300. d) Todo número real 𝑥𝑥, exceto os números negativos. Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. A função não está definida para 𝑥𝑥=300, pois este número anula o denominador. 20 / 65 5. Considere o gráfico da função 𝑓𝑓: Após a análise do gráfico, podemos afirmar que: a) A função não está definida em 𝑥𝑥=1,6. b) 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,5]. c) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4.5, 11]. d) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11]. Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇𝒇 é o conjunto no eixo -𝑥𝑥 indicado em vermelho na figura. Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒𝟒.𝟓𝟓 , 𝟐𝟐) ∪ (𝟐𝟐 , 𝟏𝟏𝟏𝟏]. 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫(𝒇𝒇)=[−𝟒𝟒.𝟓𝟓 , 𝟐𝟐) ∪ (𝟐𝟐 , 𝟏𝟏𝟏𝟏]. 21 / 65 Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇𝒇 é o intervalo no eixo -𝑦𝑦 indicado em vermelho na figura. Sua imagem é o intervalo [−𝟒𝟒, 𝟖𝟖.𝟑𝟑]. 𝑰𝑰𝑫𝑫(𝒇𝒇)=[−𝟒𝟒, 𝟖𝟖.𝟑𝟑]. 22 / 65 6. Se a função real definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥+1 √𝑥𝑥−2+√11−𝑥𝑥 possui 𝐷𝐷=[𝐺𝐺,𝑏𝑏] como domínio, então, 𝐺𝐺+𝑏𝑏 vale: a) 11 b) 5 c) 13 d) 15 Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. 23 / 65 FUNÇÕES INJETORAS Uma função 𝑓𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝐺𝐺1, 𝐺𝐺2 ∈ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓), tais que 𝐺𝐺1≠𝐺𝐺2, os números 𝑓𝑓(𝐺𝐺1) e 𝑓𝑓(𝐺𝐺2) na imagem de 𝑓𝑓 são também distintos. Exemplo 1 A função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva? Observe que: 𝑓𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓𝑓(2) Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem. 24 / 65 Gráfico da função 𝒇𝒇 e reta horizontal 𝒚𝒚=𝟑𝟑 A partir da representação gráfica da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−1, é possível observar que há retas horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez. ATENÇÃO Teste da reta horizontal Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no máximo, um ponto. Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva. 25 / 65 Exemplo 2 A função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3 é injetiva. Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta horizontal, a função 𝑔𝑔 é injetiva. Gráfico de 𝒈𝒈(𝒙𝒙)=𝒙𝒙𝟑𝟑 FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS Sobrejetoras Se 𝐴𝐴,𝐵𝐵⊂ℝ, uma função 𝑓𝑓:𝐴𝐴→𝐵𝐵 é chamada sobrejetora ou sobrejetiva, quando 𝑓𝑓(𝐴𝐴)=𝐵𝐵. Repare que, quando restringimos o contradomínio de uma função para sua imagem, ou seja,𝑓𝑓:𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)⟶𝑓𝑓(𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)), estamos garantindo que não há qualquer elemento do contradomínio que não seja imagem de algum elemento do domínio. Assim, essa é uma forma de garantir que a função seja sobrejetiva. Bijetoras Uma função 𝑓𝑓, que é simultaneamente injetora e sobrejetora, é chamada de bijetora ou bijetiva. Assim, a função 𝑓𝑓:𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)→𝑓𝑓(𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)) (que já é sobrejetora) será bijetora se, e somente se, for injetora. 26 / 65 RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA INVERSA O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e sua inversa. ATENÇÃO Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva. No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓𝑓 e sua inversa 𝑓𝑓−1: É preciso notar que: Mas o que essa equivalência significa geometricamente? Que o ponto (𝐺𝐺;𝑏𝑏) estar no gráfico da função 𝑓𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏𝑏;𝐺𝐺) estar no gráfico da função 𝑓𝑓−1. 27 / 65 No gráfico, percebemos que os pontos (𝐺𝐺;𝑏𝑏) e (𝑏𝑏;𝐺𝐺) são simétricos em relação à reta 𝑦𝑦=𝑥𝑥. Mas isso é verdade para todos os pontos das funções 𝑓𝑓 e 𝑓𝑓−1. Simetria dos pontos (𝒂𝒂;𝒃𝒃) e (𝒃𝒃;𝒂𝒂) em relação à reta 𝒚𝒚=𝒙𝒙 O gráfico de 𝐟𝐟−𝟏𝟏 é obtido refletindo-se o gráfico de 𝐟𝐟 em torno da reta 𝐲𝐲=𝐱𝐱. Simetria entre os gráficos de 𝒇𝒇 e 𝒇𝒇−𝟏𝟏 28 / 65 Se 𝑓𝑓 e 𝑔𝑔 forem funções inversas entre si, temos: A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥𝑥, aplicando 𝑓𝑓, e, em seguida, 𝑓𝑓−1, obteremos de volta 𝑥𝑥. Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦𝑦, aplicando 𝑓𝑓−1, e, em seguida, 𝑓𝑓, obteremos de volta 𝑦𝑦. 29 / 65 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=9−𝑥𝑥2. Assinale a alternativa correta: a) Existe algum 𝑥𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10. b) A função 𝑔𝑔 é injetora. c) A função 𝑔𝑔 é sobrejetora. d) Restringindo o domínio da função 𝑔𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔𝑔 é injetora. Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Observe o gráfico da função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=9−𝑥𝑥2: Ao traçarmosa reta horizontal 𝑦𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔𝑔. Logo, não existe 𝑥𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10. Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔𝑔(−1)=8 e 𝑔𝑔(1)=8. Assim, 𝑔𝑔 não é injetora em ℝ. 30 / 65 Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔𝑔 é dado por: Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo. 31 / 65 2. Considere a função bijetora 𝑓𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−3𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+2 e seja (𝐺𝐺,𝑏𝑏) o ponto de interseção de 𝑓𝑓 com sua inversa 𝑓𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝐺𝐺+𝑏𝑏 é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 Comentário Parabéns! A alternativa A está correta. Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o sistema: Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função 𝑓𝑓, sugerido na questão. Assim, devemos resolver a equação: Como -23 não pertence ao domínio da função 𝑓𝑓, a única solução é 𝑥𝑥=1 e, portanto, 𝑦𝑦=1, como podemos ver graficamente: Consequentemente 𝐺𝐺+𝑏𝑏=2. 32 / 65 33 / 65 3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número 𝑛𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, 2×nn-2. Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois 2×66-2=3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor? a) 1 e 0 b) 2 e 0 c) 3 e 0 d) 4 e 0 Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar: Desejamos obter os valores de 𝑛𝑛, tais que 𝑓𝑓(𝑛𝑛)=𝑛𝑛. Note ainda que 2 não está no domínio da função dada. Vamos aos cálculos: 34 / 65 4. Considere a função 𝑓𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥2, 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 0 𝑥𝑥 + 1 2 , 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 < 𝑥𝑥 ≤ 1 −𝑥𝑥 + 2, 𝑠𝑠𝑠𝑠 1 < 𝑥𝑥 ≤ 2 Nestas condições, é correto afirmar que: a) 𝑓𝑓 é sobrejetora. b) 𝑓𝑓 é injetora. c) 𝑓𝑓 é bijetora. d) 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0,1]. Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Observe o gráfico da função 𝑓𝑓: Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓𝑓 não é sobrejetora. 35 / 65 5. Seja a função 𝑓𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥−3 𝑥𝑥−2 + 1, cujo gráfico é este: Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓𝑓 antes de responder à atividade. Sobre a sua inversa, podemos garantir que: a) Não está definida, pois 𝑓𝑓 não é sobrejetora. b) O gráfico da função inversa de 𝑓𝑓 é dado pelo gráfico: 36 / 65 c) O gráfico da função inversa de 𝑓𝑓 é dado pelo gráfico: d) O gráfico da função inversa de 𝑓𝑓 é dado pelo gráfico: Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. O gráfico da função inversa é dado por: 37 / 65 6. Seja 𝑓𝑓 a função 𝑓𝑓:[𝑡𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3−3𝑥𝑥2+1. O menor valor de 𝑡𝑡 para que a função seja injetora é: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Observe o gráfico da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3−3𝑥𝑥2+1: Note que, para a função 𝑓𝑓 ser bijetora, 𝑡𝑡=2. O gráfico em roxo é a função 𝑓𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal. 38 / 65 INTRODUÇÃO Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como: Onde a função é crescente? Onde ela é decrescente? O lucro da empresa aumentou? Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da reta real e algumas de suas aplicações. DEFINIÇÃO Uma função 𝑓𝑓:ℝ→ℝ é considerada crescente quando os valores das imagens, 𝑓𝑓(𝑥𝑥), aumentam à medida que os valores de 𝑥𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥𝑥2>𝑥𝑥1, temos: 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )>𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ). Em termos gráficos: 39 / 65 Exemplo 1 O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90: Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiro ao mês de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a previsão é de um aumento significativo das chuvas acumuladas. Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). Exemplo 2 Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início de 2010 a 2058. Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa bruta de mortalidade. 40 / 65 Exemplo 3 Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3 Exemplo 4 Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � −𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 < 0 0, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 (𝑥𝑥 − 1)2, 𝑥𝑥 > 1 Note que essa função é crescente em toda a reta real. De fato, dados 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2, temos que 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = 𝑥𝑥31 < 𝑥𝑥32 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2). Observe que a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela é constante no intervalo [0,1]. As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I. 41 / 65 Exemplo 5 Vamos praticar: analise o gráfico da função. Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente. Resolução da questão Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em (−∞,−0.22)∪(1.55,+∞) e decrescente em (−0.22,1.55). 42 / 65 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos: De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez. b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo. c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente. d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período. Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem decrescente. 43 / 65 2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR- COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir: De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y (correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas 𝑦𝑦=20𝑘𝑘 e 𝑦𝑦=40𝑘𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. 44 / 65 3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=12𝑥𝑥−2𝑥𝑥2, em que 𝑥𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer? a) 0 b) 6 c) 3 d) 18 Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. 45 / 65 4. Uma função 𝑓𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓𝑓(3𝑥𝑥)=3𝑓𝑓(𝑥𝑥), para todo 𝑥𝑥∈ℝ+. Se 𝑓𝑓(9)=27, qual o valor de 𝑓𝑓(1)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. Note que: 27=𝑓𝑓(9)=𝑓𝑓(3⋅3)=3⋅𝑓𝑓(3⋅1)=3⋅3⋅𝑓𝑓(1) Logo, temos: 𝑓𝑓(1) = 27 9 = 3 46 / 65 5. Sabendo que 𝑑𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑𝑑, tal que a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+3, para x < d, seja decrescente, é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 Comentário Parabéns! A alternativa C está correta. A parte do gráfico onde x < d é uma parábola, cujo vértice é o ponto (− 𝑏𝑏 2𝑎𝑎 ,− 𝛥𝛥 4𝑎𝑎 ) = (2,−1). Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para 𝑥𝑥≤2, portanto, o maior valor de 𝑑𝑑 é 2. 47 / 65 6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Sabemos que a função: 𝑁𝑁(𝑥𝑥)=𝐺𝐺𝑥𝑥+𝑏𝑏 Onde: 𝐺𝐺,𝑏𝑏∈ℝ; 𝑁𝑁 = número de sacolas (em bilhões); 𝑥𝑥 = número de anos (após 2007). Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007: Fonte: LUCENA, 2010 De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011? a) 4,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 10 48 / 65 Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Para encontrar o valor pedido, ou seja, 𝑓𝑓(4), porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011, precisamos determinar os valores de 𝐺𝐺 e 𝑏𝑏. Analisando o gráfico, 𝑓𝑓(0)=18 e 𝑓𝑓(9)=0, onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, temos: 18=0𝐺𝐺+𝑏𝑏, 𝑏𝑏=18. Além disso, substituindo o valor de 𝑏𝑏 em 𝑓𝑓(9)=0, obtemos: 0=9𝐺𝐺+18⇒9𝐺𝐺=−18⇒𝐺𝐺=−2. Logo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−2𝑥𝑥+18. Portanto: 𝑓𝑓(4)=(−2)⋅4+18=10. 49 / 65 INTRODUÇÃO Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos. Veja a seguir alguns exemplos: 50 / 65 Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções trigonométricas: SENO COSSENO TANGENTE DEFINIÇÃO Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇𝑇>0, tal que 𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑇𝑇)=𝑓𝑓(𝑥𝑥), para todo 𝑥𝑥 no domínio da função. O menor dos valores de 𝑇𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período da 𝑓𝑓. 51 / 65 ATENÇÃO Se uma função 𝑓𝑓 é periódica de período 𝑇𝑇, então, 𝑓𝑓 também é periódica de período 𝑛𝑛𝑇𝑇, onde 𝑛𝑛∈ℕ, já que: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑇𝑇)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+2𝑇𝑇)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+3𝑇𝑇)=⋯=𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑛𝑛𝑇𝑇) Exemplo 1 Considere a função 𝑓𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao eletrocardiograma* de uma pessoa saudável: *Eletrocardiograma: Exame que tem o objetivo de detectar se existe alguma falha na condução elétrica pelo coração. Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em intervalos de comprimento menor. Assim, a função 𝑓𝑓 é uma função periódica de período T. 52 / 65 Exemplo 2 Considere a função: A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓𝑓 para os valores de 𝑥𝑥 de 0 a 5. 2 - Se 𝑥𝑥 é um número par, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=1. 3 - Se 𝑥𝑥 é um número ímpar, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−1. Esta é uma função periódica de período 2. Por quê? Ora, quando 𝑥𝑥 varia duas unidades, o valor da função se repete, ou seja: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+2)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+4)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+6)... Dessa forma, podemos afirmar que o período dessa função é 2. 53 / 65 Exemplo 3 Considere a função 𝑓𝑓(𝑡𝑡)=sen(𝑡𝑡) e 𝑃𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico. Imagine que o ponto 𝑃𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡𝑡 varia de 0 até 2𝜋𝜋. Pensando no ciclo, é possível perceber que: O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo 𝑥𝑥 e ocorre em ambos os sentidos dos pulmões (inspiração e expiração). O fluxo pode ser representado pela função: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=Asen(𝜔𝜔𝑥𝑥) Fonte: Shutterstock Onde: A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração 𝜔𝜔 = período respiratório 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 𝑇𝑇 → 𝑇𝑇 = o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo 54 / 65 A função 𝑓𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade. 55 / 65 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. Observe o gráfico da função a seguir: Assinale a resposta correta: a) É uma função periódica de período 2. b) É uma função periódica de período 1. c) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓𝑓(14)=2. d) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓𝑓(17)=0. Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Observe que a função é periódica de período 4, porque: 𝑓𝑓(𝑥𝑥+4)=𝑓𝑓(𝑥𝑥), ∀ 𝑥𝑥∈𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓) Assim: • 𝑓𝑓(14)=𝑓𝑓(10+4)=𝑓𝑓(10)=𝑓𝑓(6)=𝑓𝑓(2)=1; • 𝑓𝑓(17)=𝑓𝑓(13+4)=𝑓𝑓(13)=0. 56 / 65 2. Sendo 𝑓𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que: a) A função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(2𝑥𝑥) é periódica de período 4. b) A função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(2𝑥𝑥) é periódica de período 1. c) A função ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥/2) é periódica de período 1. d) A função ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑞𝑞), onde 𝑞𝑞 é uma constante positiva, não é periódica. Comentário Parabéns! A alternativa B está correta. Note que a função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(2𝑥𝑥) é periódica de período 1, pois: 𝑔𝑔(𝑥𝑥+1)=𝑓𝑓(2(𝑥𝑥+1))=𝑓𝑓(2𝑥𝑥+2)=𝑓𝑓(2𝑥𝑥)=𝑔𝑔(𝑥𝑥). A função ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥/2) é periódica de período 4. A função ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑞𝑞) é periódica de período 4. 57 / 65 3. Considere que a função 𝒇𝒇:[𝟒𝟒, +∞[ →[−𝟑𝟑,𝟕𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente no intervalo [4,10[. Logo, podemos afirmar que: a) 𝑓𝑓(10)=𝑓𝑓(25) 𝑠𝑠 𝑓𝑓(4)<𝑓𝑓(8). b) 𝑓𝑓(12)=𝑓𝑓(24) 𝑠𝑠 𝑓𝑓(15)<𝑓𝑓(16). c) 𝑓𝑓(15)=𝑓𝑓(21) 𝑠𝑠 𝑓𝑓(21)<𝑓𝑓(22). d) 𝑓𝑓(18)=𝑓𝑓(24) 𝑠𝑠 𝑓𝑓(28)<𝑓𝑓(27). Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Inicialmente, vamos entender os dados e a situação da função dada. Sabemos que a função é periódicacom período 6. Isso significa que: 𝒇𝒇(𝒙𝒙)=𝒇𝒇(𝒙𝒙+𝟔𝟔), 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂 𝒕𝒕𝑫𝑫𝒕𝒕𝑫𝑫 𝒙𝒙 ∈[𝟒𝟒, +∞[. Como a função é crescente no intervalo [4,10[, então, sempre teremos que: 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[4,10[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦). Sendo 𝒇𝒇 uma função periódica com período 6 e valendo a desigualdade anterior, então, o mesmo vale para os intervalos: • 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[10,16[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦); • 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[16,22[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦); 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[22,28[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦); 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[28,34[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦). E assim sucessivamente para os intervalos seguintes com tamanho 6 (que é o período). Agora vamos analisar cada alternativa: a) Como 𝒇𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔) 𝒆𝒆 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐) ⇒ 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐). 58 / 65 Assim, como 22 e 25 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item anterior, temos: 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐)<𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟓𝟓). Portanto, a letra A é falsa. b) Como 𝒇𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟐𝟐)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟐𝟐+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖) 𝒆𝒆 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟒𝟒) ⇒ 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟐𝟐)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟒𝟒). Agora, vamos analisar 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓) e 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔). Como vimos na letra A, 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos: 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)<𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓). Portanto, a letra B é falsa. c) Como 𝒇𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟏𝟏). Agora, vamos analisar 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟏𝟏) e 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐). Na letra A, vimos que 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos: 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)<𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟏𝟏). Portanto, a letra C é falsa. d) Como 𝒇𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟒𝟒). Agora, vamos analisar 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟖𝟖) e 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟕𝟕). Note que: 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟖𝟖). Como 22 e 27 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item listado anteriormente, temos: 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟖𝟖)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐)<𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟕𝟕). Portanto, a letra D é verdadeira. 59 / 65 4. Seja 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 + 3. cos �𝜋𝜋𝑥𝑥 4 + 𝜋𝜋 6 �. a) 4 e [-2,2]. b) 4 e [-5,1]. c) 8 e [-2,2]. d) 8 e [-5,1]. Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. 60 / 65 5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia pode ser descrita pela seguinte função: f(x)=2+senπx12 Onde 𝒙𝒙 é medido em horas e 𝒇𝒇(𝒙𝒙) em metros. Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia? a) b) c) d) 61 / 65 Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. 62 / 65 6. Considerando a função 𝒇𝒇:ℝ→ℝ, dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 + cos �𝜋𝜋𝑥𝑥 2 + 𝜋𝜋 3 �, determine a alternativa correta: a) A função 𝒇𝒇 é periódica com período 2. b) A imagem de 𝒇𝒇 é o intervalo [-2,2]. c) A função 𝒇𝒇 é bijetora. d) Existe 𝑥𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇𝒇(𝒙𝒙)= −𝟏𝟏,𝟓𝟓. Comentário Parabéns! A alternativa D está correta. Vamos analisar cada alternativa: 63 / 65 64 / 65 No estudo das funções reais de variável real, você pôde observar que a descrição de problemas de nosso cotidiano é realizada com o auxílio das funções. O entendimento das funções reais de variável real requer aprender, de maneira mais aprofundada, a determinar o domínio e a imagem de alguns tipos de funções algébricas, bem como reconhecer geometricamente quando a função é injetora, sobrejetora e bijetora. É muito importante que você faça todos os exercícios propostos e estude bem os exemplos apresentados para compreender melhor o conteúdo. REFERÊNCIAS BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4. FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013. v. 1. LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v. 1. LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.). LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010. MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. Jornal GGN, mar. 2020. STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1. 65 / 65 VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus? Publicação em: 20 mar. 2020. EXPLORE+ Pesquise e consulte: • O aplicativo on-line GeoGebra; • O Portal OBMEP do Saber. Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra: BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.). CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.). No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um exercício interessante que mostra o número de horas de sol ao longo do ano em diferentes locais do planeta. CONTEUDISTA Loisi Carla Monteiro Pereira
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