Dimensionamento de Lajes em Concreto

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ESTRUTURAS DE CONCRETO
Engenharia Agrícola
AULA 8 – LAJES: DIMENSIONAMENTO EM 
UMA DIREÇÃO E DIMENSIONAMENTO EM 
DUAS DIREÇÕES
Prof. Juliane da Silva Dávila
LAJES – DIMENSIONAMENTO EM UMA 
DIREÇÃO
2
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
3
▪ Para o cálculo da altura útil das lajes, será adotado d´ igual a 3 cm;
▪ As armaduras são calculadas pelas mesmas equações utilizadas no cálculo de
flexão de vigas;
▪ Não esquecer que b é igual a 100 cm;
▪ A armadura mínima é calculada pela mesma equação utilizada para o cálculo da
aradura mínima à flexão de vigas. Entretanto, deve-se atentar que a base utilizada
para o cálculo de lajes é igual a 100 cm (1 m);
▪ A taxa de armadura é a mesma da flexão;
▪ A armadura de distribuição, por metro de largura da laje, deve ter área de aço
igual ou superior a As/5 da área de aço principal, com um mínimo de 0,9 cm²/m, e
no mínimo 3 barras por metro.
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
4
▪ O espaçamento máximo entre barras não deve ser maior que 20 cm nem maior
que 2.h;
▪ O ideal é que se use de 5 a 10 ferros por metro;
▪ Detalhamento das armaduras à flexão:.
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
5
▪ O detalhamento das armaduras deve ser realizado de acordo com a figura abaixo.
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
6
▪ O cálculo das armaduras negativas deve ser realizada para o maior momento fletor
obtido através das seguintes considerações:
(Me1+Me2)/2 e 0,8.(o maior momento Me1 ou Me2)
Detalhamento das armaduras negativas:
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
7
▪ Armaduras negativas sobre os vínculos das laje contínuas:
▪ Os bordos livres das lajes devem ser protegidos por uma armadura em forma de
estribo:
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
8
▪ Geralmente, as lajes das sacadas possuem um rebaixo da ordem de 5 cm, para
evitar a penetração de água da chuva dentro do ambiente. Dessa forma, atenção
para os cuidados necessários.
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
9
▪ Atenção especial deve ser dada as marquises em termos de durabilidade. A
fissuração na face superior é inevitável. Dessa forma, realizar a impermeabilização
adequada, a fim de proteger a armadura principal da corrosão.
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
10
▪ Quando a laje é armada em uma direção é necessário reforçar uma faixa nas
proximidades da carga (paredes);
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
11
▪ Garantir a posição das armaduras:
Considerações
de
Cálculo
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
▪ Quando houver abertura nas lajes, deve-se reforçar os bordos de abertura;
Considerações
de
Cálculo
12
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
CÁLCULO DAS FLECHAS EM LAJES (1 D)
▪ As flechas das lajes não devem ultrapassar o limite l/250, onde l é o menor vão da
laje;
▪ Para lajes em balanço, como as marquises, a flecha na extremidade livre deve ser
limitada em l/125, onde l é o comprimento do balanço.
Considerações
de
Cálculo
𝑤 =
𝑘
384
.
𝑝. 𝑙𝑥
4
𝐷
13
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
CÁLCULO DAS FLECHAS EM LAJES (2 D)
Considerações
de
Cálculo
𝐷 =
𝐸𝑐𝑠. ℎ
3
12. 1 − 𝑣2
𝐸𝑐𝑠 = 0,85.21500.
𝑓𝑐𝑘 + 8
10
ൗ1 3
Em MPa
𝑊𝑐 = 0,001. 𝑤𝑐 .
𝑝. 𝑙𝑥
4
𝐷
14
Onde:
𝐷: Rigidez à flexão da laje;
𝐸𝑐𝑠:Módulo de deformação longitudinal secante;
𝑊𝑐:Flecha no centro da laje.
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
O cálculo de lajes armadas em uma direção pode ser feito de maneira simplificada a
favor da segurança.
▪ Considerar uma faixa de largura unitária na direção do menor vão;
▪ O cálculo dos esforços (Momento Fletor) é realizado como nas vigas (largura de
b=1m e altura h).
Considerações
de
Cálculo
15
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
Os momentos fletores possíveis de ocorrer para as lajes armadas em uma direção são
divididos em 4 casos:
Considerações
de
Cálculo
𝑀 =
𝑝. 𝑙𝑥
2
8
𝑀 =
𝑝. 𝑙𝑥
2
14,22
𝑀𝑒 = −
𝑝. 𝑙𝑥
2
8
16
CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
Os momentos fletores possíveis de ocorrer para as lajes armadas em uma direção são
divididos em 4 casos:
Considerações
de
Cálculo
𝑀 =
𝑝. 𝑙𝑥
2
24
𝑀𝑒 = −
𝑝. 𝑙𝑥
2
12
𝑀𝑒 = −
𝑝. 𝑙𝑥
2
2
17
EXEMPLO
Exemplo 1: Calcular a laje demonstrada abaixo:
Considerar os seguintes dados:
▪ Classe de agressividade II;
▪ Ambiente: sala de um edifício residencial;
▪ Revestimento de cerâmica;
▪ Não possui alvenaria sobre a laje;
▪ d´= 3cm.
18
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
1º Verificar se a laje é armada em uma ou em duas direções:
𝑉ã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑉ã𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
=
𝑙𝑥
𝑙𝑦
=
5,0
2,3
= 𝟐, 𝟏𝟕 > 2, portanto, a laje é armada em uma direção.
2º Pré-dimensionamento da Altura da Laje
ℎ =
𝑉ã𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
50
=
𝑙𝑥
50
=
2,3
50
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟔𝒎 A altura mínima para lajes é 8 cm.
Portanto, ℎ = 8 𝑐𝑚 = 𝟎, 𝟎𝟖𝒎
19
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
3º Cálculo das Cargas Atuantes
▪ Cargas Permanentes:
a. 𝑔𝑝 = 𝛾𝑐 . ℎ = 25. 0,08 = 𝟐, 𝟎 𝒌𝑵/𝒎²
b. 𝑔𝑟 = 𝟏, 𝟎 𝒌𝑵/𝒎²
c. 𝑔𝑎 = 𝟎, 𝟎 𝒌𝑵/𝒎²
▪ Cargas Acidentais:
𝑞 = 𝟏, 𝟓 𝒌𝑵/𝒎²
▪ Carga Total:
𝑔𝑡 = 𝑔𝑝 + 𝑔𝑟 + 𝑔𝑎 + 𝑞 = 2,0 + 1,0 + 0,0 + 1,5 = 𝟒, 𝟓 𝒌𝑵/𝒎²
20
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
4º Cálculo dos Esforços Solicitantes
▪ Momentos Fletores:
a. 𝑀𝑒 = −
𝑝.𝑙𝑥
2
8
= −
4,50.2,32
8
= −𝟐, 𝟗𝟕 𝒌𝑵.𝒎
b. 𝑀 =
𝑝.𝑙𝑥
2
14,22
=
4,50.2,32
14,22
= 𝟏, 𝟔𝟕 𝒌𝑵.𝒎
21
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
5º Cálculo das Áreas de Aço
▪ Dimensionamento para Flexão
a. Para o Momento Me
Dados conhecidos:
𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 = 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50,0 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑑′ = 3 𝑐𝑚
ℎ = 8 𝑐𝑚
𝑏 = 100 𝑐𝑚
𝑀𝑘 = 2,97 𝑘𝑁.𝑚 = 297 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑑 = 5 𝑐𝑚
𝑓𝑐𝑑 = Τ𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐 = Τ2,5 1,4 = 1,789 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑑 = Τ𝑓𝑦𝑘 𝛾𝑠 = Τ50 1,15 =43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑀𝑑 = 𝑀𝑘 . 𝛾𝑓 = 297.1,4 = 415,8 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑀𝑑 = 0,68. 𝑏𝑤. 𝑑
2. 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4. 𝛽𝑥
415,8 = 0,68.100. 52. 𝛽𝑥 . 1,786. 1 − 0,4. 𝛽𝑥
0,137 = 𝛽𝑥 − 0,4. 𝛽𝑥
2
0,4. 𝛽𝑥
2 − 𝛽𝑥 + 0,137 = 0
𝛽𝑥 =
− −1 ± −1 2 − 4.0,4.0,137
2.0,4
𝛽𝑥′ = 2,36
𝛽𝑥′′ = 𝟎, 𝟏𝟒𝟓
22
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
0,68. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝛽𝑥. 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠. 𝜎𝑠 = 0
0,68.100.5.0,145.1,786 − 𝐴𝑠. 43,478 = 0
𝐴𝑠 = 𝟐, 𝟎𝟑 𝒄𝒎
2/𝒎
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝑏𝑤. ℎ =
0,15
100
. 100.8 = 𝟏, 𝟐𝟎 𝒄𝒎2/𝒎
Logo, 𝑨𝒔𝒆 = 𝟐, 𝟎𝟑 𝒄𝒎
𝟐/𝒎
23
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
b. Para o Momento M
Dados conhecidos:
𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 = 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50,0 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑑′ = 3 𝑐𝑚
ℎ = 8 𝑐𝑚
𝑏 = 100 𝑐𝑚
𝑀𝑘 = 1,67 𝑘𝑁.𝑚 = 167 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑑 = 5 𝑐𝑚
𝑓𝑐𝑑 = Τ𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐 = Τ2,5 1,4 = 1,789 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑑 = Τ𝑓𝑦𝑘 𝛾𝑠 = Τ50 1,15 =43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑀𝑑 = 𝑀𝑘 . 𝛾𝑓 = 167.1,4 = 233,8 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑀𝑑 = 0,68. 𝑏𝑤. 𝑑
2. 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4. 𝛽𝑥
233,8 = 0,68.100. 52. 𝛽𝑥 . 1,786. 1 − 0,4. 𝛽𝑥
0,077 = 𝛽𝑥 − 0,4. 𝛽𝑥
2
0,4. 𝛽𝑥
2 − 𝛽𝑥 + 0,077 = 0
𝛽𝑥 =
− −1 ± −1 2 − 4.0,4.0,077
2.0,4
𝛽𝑥′ = 2,42
𝛽𝑥′′ = 𝟎, 𝟎𝟖
24
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
0,68. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝛽𝑥. 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠. 𝜎𝑠 = 0
0,68.100.5.0,08.1,786 − 𝐴𝑠. 43,478 = 0
𝐴𝑠 = 𝟏, 𝟏𝟐 𝒄𝒎
2/𝒎
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝑏𝑤. ℎ =
0,15
100
. 100.8 = 𝟏, 𝟐𝟎 𝒄𝒎²/m
Logo, 𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟎 𝒄𝒎
2/𝒎
25
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
6º Detalhamento das Armaduras
▪ Ase=2,03 cm²/m
𝑆𝑚á𝑥 ≤
Para ∅ = 5 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠𝑒 𝐴𝑠∅ = Τ2,03 0,196 = 10,36 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
Para ∅ = 6,3 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠𝑒 𝐴𝑠∅ = Τ2,03 0,312 = 6,51 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
O diâmetro da barra a ser utilizado será de 5,0 mm:
𝑆 = Τ100 𝑁º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = Τ100 10,36 = 9,65 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
2. ℎ = 2.8 = 𝟏𝟔 𝒄𝒎, logo, 𝑆𝑚á𝑥 = 16 𝑐𝑚
26
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Assim, o espaçamento adotado será de 9 cm.
𝐶𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 0,25. 𝑙𝑚 = 0,25.230 = 57,5 𝑐𝑚
Considerando que a laje a esquerdaseja de mesmo tamanho, então multiplica-se por
2 o comprimento da barra.
Distribuindo em ly=500 cm, tem-se:
500
9
= 55,55 , logo, 56 barras.
Portanto, 56 N1 Ø 5,0 – C/9 – 138 cm
27
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
▪ As=1,20 cm²/m
𝑆𝑚á𝑥 ≤
Para ∅ = 5 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠 𝐴𝑠∅ = Τ1,20 0,196 = 6,12 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
Para ∅ = 6,3 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠 𝐴𝑠∅ = Τ1,20 0,312 = 3,85 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
O diâmetro da barra a ser utilizado será de 5,0 mm:
𝑆 = Τ100 𝑁º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = Τ100 6,12 = 16,34 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
2. ℎ = 2.8 = 𝟏𝟔 𝒄𝒎, logo, 𝑆𝑚á𝑥 = 16 𝑐𝑚
28
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Assim, o espaçamento adotado será de 16 cm.
Para uma distribuição no comprimento ly= 5 m = 500 cm, tem-se:
500
16
= 31,25 , logo, 32 barras.
Portanto, 32 N2 Ø 5,0 – C/16 – 256 cm (cobrimento de 2 cm)
29
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
▪ Armadura de Distribuição
𝐴𝑠,𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 = Τ𝐴𝑠𝑦 5 = Τ1,20 5 = 0,24 𝑐𝑚
2/𝑚
As, dist, mín=0,90 cm²/m
Para ∅ = 5 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠,𝑑𝑖𝑠𝑡 𝐴𝑠∅ = Τ0,90 0,196 = 4,59 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
O diâmetro da barra a ser utilizado será de 5,0 mm:
𝑆 = Τ100 𝑁º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = Τ100 4,59 = 21,79 𝑐𝑚
30
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Assim, o espaçamento adotado será de 21 cm.
Para uma distribuição no comprimento lx= 2,30 m = 230 cm, tem-se:
230
21
= 10,95 , logo, 11 barras.
Portanto, 11 N3 Ø 5,0 – C/21 – 526 cm (cobrimento de 2 cm)
31
Exemplo
DETALHAMENTO DA ARMADURA
NEGATIVA
32
Exemplo
56 N1 Ø 5,0 – C/9 – 138 cm
LAJE L2
8 cm
LAJE L1
8 cm
5,00 m
0,15 m
0,15 m
2,30 m0,15 m 2,30 m 0,15 m0,15 m
DETALHAMENTO DA ARMADURA
POSITIVA
33
Exemplo
1
1
N
3
 Ø
 5
,0
–
C
/2
1
–
5
2
6
 cm
LAJE L2
8 cm
LAJE L1
8 cm
32 N2 Ø 5,0 – C/16 – 256 cm
5,00 m
0,15 m
0,15 m
2,30 m0,15 m 2,30 m 0,15 m0,15 m
DETALHAMENTO DA ARMADURA
34
Exemplo
1
1
N
3
 Ø
 5
,0
–
C
/2
1
–
5
2
6
 cm
LAJE L2
8 cm
LAJE L1
8 cm
32 N2 Ø 5,0 – C/16 – 499 cm
5,00 m
0,15 m
0,15 m
2,30 m0,15 m 2,30 m 0,15 m0,15 m
56 N1 Ø 5,0 – C/9 – 138 cm
LAJES – DIMENSIONAMENTO EM DUAS 
DIREÇÕES
35
LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
Os métodos mais usados para a determinação dos esforços solicitantes são: Marcus,
Koni, Grelhas e Kalmanok.
Na disciplina, adotaremos as tabelas de Kalmanok com algumas alterações
desenvolvidas por Araújo.
Determinação dos esforços:
▪ Determinar o carregamento total “gt” em kN/m²
▪ Para a determinação dos esforços solicitantes (momentos fletores) usam-se
tabelas de dimensionamento;
▪ Essas tabelas fornecem coeficientes em função de lx/ly ou ly/lx.
▪ Os coeficientes fornecidos são: mx, my, mxe e mye. 36
MOMENTOS FLETORES PARA LAJES
ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
37
MOMENTOS FLETORES PARA LAJES
ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
▪ Se a tabela usada é lx/ly , usa-se lx:
▪ Se a tabela usada é ly/lx, usa-se ly.
𝑀𝑥 = 0,001.𝑚𝑥. 𝑔𝑡. 𝑙𝑥
2
𝑀𝑦 = 0,001.𝑚𝑦 . 𝑔𝑡. 𝑙𝑥
2
𝑀𝑥𝑒 = 0,001.𝑚𝑥𝑒 . 𝑔𝑡. 𝑙𝑥
2
𝑀𝑦𝑒 = 0,001.𝑚𝑦𝑒 . 𝑔𝑡. 𝑙𝑥
2
𝑀𝑥 = 0,001.𝑚𝑥. 𝑔𝑡. 𝑙𝑦
2 𝑀𝑦 = 0,001.𝑚𝑦 . 𝑔𝑡. 𝑙𝑦
2
𝑀𝑥𝑒 = 0,001.𝑚𝑥𝑒 . 𝑔𝑡. 𝑙𝑦
2 𝑀𝑦𝑒 = 0,001.𝑚𝑦𝑒 . 𝑔𝑡. 𝑙𝑦
2
38
ATENÇÃO PARA AS DIREÇÕES
39
ATENÇÃO PARA AS DIREÇÕES
40
EXEMPLO
Exemplo 1: Dimensione uma laje retangular simplesmente apoiada em todo o
seu contorno que apresenta carga uniformemente distribuída (conforme
ilustrado abaixo).
Considere os seguintes dados:
▪ Carregamento gt=5 kN/m²;
▪ d´=3 cm.
L1
41
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
1º Verificar se a laje é armada em uma ou em duas direções:
𝑉ã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑉ã𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
=
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
4,0
3,0
= 𝟏, 𝟑𝟑 < 2, portanto, a laje é armada em duas direções.
2º Cálculo das Flechas
Considerando lx=3 m e ly=4 m, temos:
Relação
𝑙𝑥
𝑙𝑦
=
3,0
4,0
= 𝟎, 𝟕𝟓 𝒎 Dessa forma, utilizaremos o lx=3 m para o cálculo dos
esforços solicitantes.
42
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Como a laje é simplesmente apoiada em todo o seu contorno e apresenta carga
uniformemente distribuída, utilizaremos a Tabela A2.1.
43
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Pela Tabela A2.1, obtemos os seguintes valores para os
coeficientes:
▪ 𝑤𝑐 = 6,62;
▪ 𝑚𝑥 = 68,3;
▪ 𝑚𝑦 = 44,2.
45
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Cálculo da Flecha Máxima:
Para laje apoiada, a flecha máxima (𝑊𝑚á𝑥) é igual à Τ
𝒍
𝟐𝟓𝟎, onde 𝑙 é o menor vão (em
mm):
𝑊𝑚á𝑥 =
3.1000
250
= 𝟏𝟐𝒎𝒎, logo, a flecha máxima é 12 mm.
Cálculo das Flechas:
𝐸𝑐𝑠 = 0,85.21500.
𝑓𝑐𝑘 + 8
10
ൗ1 3
= 0,85.21500.
25 + 8
10
ൗ1 3
= 27207,92 𝑀𝑃𝑎
Transformando em kN/m², temos: 27207920 kN/m²
46
Exemplo
Módulo de deformação longitudinal secante
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
𝐷 =
𝐸𝑐𝑠. ℎ
3
12. 1 − 𝑣2
=
27207920. 0,083
12. 1 − 0,22
= 𝟏𝟐𝟎𝟗, 𝟐𝟒 𝒌𝑵.𝒎
𝑊𝑐 = 0,001. 𝑤𝑐 .
𝑝. 𝑙𝑥
4
𝐷
= 0,001.6,62.
5. 34
1209,24
= 2,22𝑥10−3𝑚 = 𝟐, 𝟐𝟐𝒎𝒎
Como 𝑊𝑐 < 𝑊𝑚á𝑥 (2,22 mm < 12 mm) Ok!
47
Exemplo
Rigidez à flexão da laje
Flecha no centro da laje
Flecha máxima
Flecha no centro da laje
Usar 0,2
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
3º Cálculo dos Esforços Solicitantes (Momentos Fletores)
Com os coeficientes 𝒎𝒙 = 𝟔𝟖, 𝟑 e𝒎𝒚 = 𝟒𝟒, 𝟐, calculo Mx e My:
𝑀𝑥 = 0,001.𝑚𝑥. 𝑔𝑡. 𝑙𝑥
2
𝑀𝑥 = 0,001.68,3.5. 3
2
𝑀𝑥 = 3,07 𝑘𝑁.𝑚
𝑀𝑦 = 0,001.𝑚𝑦 . 𝑔𝑡. 𝑙𝑥
2
𝑀𝑦 = 0,001.44,2.5. 3
2
𝑀𝑦 = 1,99 𝑘𝑁.𝑚
48
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
4º Cálculo das Áreas de Aço
a. Para o Momento Mx
Dados conhecidos:
𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 = 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50,0 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑑′ = 3 𝑐𝑚
ℎ = 8 𝑐𝑚
𝑏 = 100 𝑐𝑚
𝑀𝑘 = 3,07 𝑘𝑁.𝑚 = 307 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑑 = 5 𝑐𝑚
𝑓𝑐𝑑 = Τ𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐 = Τ2,5 1,4 = 1,789 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑑 = Τ𝑓𝑦𝑘 𝛾𝑠 = Τ50 1,15 =43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑀𝑑 = 𝑀𝑘 . 𝛾𝑓 = 307.1,4 = 429,8 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑀𝑑 = 0,68. 𝑏𝑤. 𝑑
2. 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4. 𝛽𝑥
429,8 = 0,68.100. 52. 𝛽𝑥 . 1,786. 1 − 0,4. 𝛽𝑥
0,142 = 𝛽𝑥 − 0,4. 𝛽𝑥
2
0,4. 𝛽𝑥
2 − 𝛽𝑥 + 0,142 = 0
𝛽𝑥 =
− −1 ± −1 2 − 4.0,4.0,142
2.0,4
𝛽𝑥′ = 2,349
𝛽𝑥′′ = 𝟎, 𝟏𝟓1
49
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
0,68. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝛽𝑥. 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠. 𝜎𝑠 = 0
0,68.100.5.0,151.1,786 − 𝐴𝑠. 43,478 = 0
𝐴𝑠 = 𝟐, 𝟏𝟏 𝒄𝒎
2/𝒎
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝑏𝑤. ℎ =
0,15
100
. 100.8 = 𝟏, 𝟐𝟎 𝒄𝒎2/𝒎
Logo, 𝑨𝒔𝒙 = 𝟐, 𝟏𝟏 𝒄𝒎
𝟐/𝒎
50
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
b. Para o Momento My
Dados conhecidos:
𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 = 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50,0 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑑′ = 3 𝑐𝑚
ℎ = 8 𝑐𝑚
𝑏 = 100 𝑐𝑚
𝑀𝑘 = 1,99 𝑘𝑁.𝑚 = 199 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑑 = 5 𝑐𝑚
𝑓𝑐𝑑 = Τ𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐 = Τ2,5 1,4 = 1,789 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑑 = Τ𝑓𝑦𝑘 𝛾𝑠 = Τ50 1,15 =43,478 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑀𝑑 = 𝑀𝑘 . 𝛾𝑓 = 199.1,4 = 278,6 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑀𝑑 = 0,68. 𝑏𝑤. 𝑑
2. 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4. 𝛽𝑥
278,6 = 0,68.100. 52. 𝛽𝑥 . 1,786. 1 − 0,4. 𝛽𝑥
0,092 = 𝛽𝑥 − 0,4. 𝛽𝑥
2
0,4. 𝛽𝑥
2 − 𝛽𝑥 + 0,092 = 0
𝛽𝑥 =
− −1 ± −1 2 − 4.0,4.0,092
2.0,4
𝛽𝑥′ = 2,404
𝛽𝑥′′ = 𝟎, 𝟎𝟗𝟔
51
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
0,68. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝛽𝑥. 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠. 𝜎𝑠 = 0
0,68.100.5.0,096.1,786 − 𝐴𝑠. 43,478 = 0
𝐴𝑠 = 𝟏, 𝟑𝟒 𝒄𝒎
2/𝒎
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝑏𝑤. ℎ =
0,15
100
. 100.8 = 𝟏, 𝟐𝟎 𝒄𝒎²/m
Logo, 𝑨𝒔𝒚 = 𝟏, 𝟑𝟒 𝒄𝒎
2/𝒎
52
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
6º Detalhamento das Armaduras
▪ Asx=2,11 cm²/m
𝑆𝑚á𝑥 ≤
Para ∅ = 5 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠𝑥 𝐴𝑠∅ = Τ2,11 0,196 = 10,77 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
Para ∅ = 6,3 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠𝑥 𝐴𝑠∅ = Τ2,11 0,312 = 6,76 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
O diâmetro da barra a ser utilizado será de 6,3 mm:
𝑆 = Τ100 𝑁º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = Τ100 6,76 = 14,79 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
2. ℎ = 2.8 = 𝟏𝟔 𝒄𝒎, logo, 𝑆𝑚á𝑥 = 16 𝑐𝑚
53
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Assim, o espaçamento adotado será de 14 cm.
Distribuindo em ly= 4 m = 400 cm, tem-se:
400
14
= 28,57 , logo, 29 barras.
Portanto, 29 N1 Ø 6,3 – C/14 – 326 cm (cobrimento de 2 cm)
54Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
▪ Asy=1,34 cm²/m
𝑆𝑚á𝑥 ≤
Para ∅ = 5 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠𝑦 𝐴𝑠∅ = Τ1,34 0,196 = 6,84 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
Para ∅ = 6,3 𝑚𝑚, tem-se:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 = Τ𝐴𝑠 𝐴𝑠∅ = Τ1,34 0,312 = 4,29 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
O diâmetro da barra a ser utilizado será de 5,0 mm:
𝑆 = Τ100 𝑁º 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = Τ100 6,84 = 14,62 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
2. ℎ = 2.8 = 𝟏𝟔 𝒄𝒎, logo, 𝑆𝑚á𝑥 = 16 𝑐𝑚
55
Exemplo
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
Assim, o espaçamento adotado será de 14 cm.
Para uma distribuição no comprimento lx= 3 m = 300 cm, tem-se:
300
14
= 21,43, logo, 22 barras.
Portanto, 22 N2 Ø 5,0 – C/14 – 426 cm (cobrimento de 2 cm)
56
Exemplo
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
POSITIVAS
22 N2 Ø 5,0 – C/14 – 426 cm
2
9
 N
1
 Ø
 6
,3
 –
C
/1
4
 –
3
2
6
 cm
LAJE L1
8 cm
3,00 m
4,00 m 57
Exemplo
0,15 m 0,15 m
0,15 m
0,15 m
EXERCÍCIO
Exercício 1: Calcular as lajes abaixo considerando os seguintes dados:
▪ Classe de agressividade II;
▪ Ambiente: sala de um edifício comercial;
▪ Revestimento de mármore;
▪ Não possui alvenaria sobre a laje.
LAJE L1
h= cm
LAJE L2
h= cm
400 cm
300 cm
58
12 cm
12 cm
300 cm
12 cm 12 cm
12 cm
12 cm
REFERÊNCIAS
59
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto –
Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
DE ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. Editora Dunas: v. 2, 2 ed. Rio Grande, 2003.
MARANGON, E. Lajes - Introdução. Notas de aula, 2015.
MARANGON, E. Lajes –Dimensionamento em uma direção. Notas de aula, 2015.
MARANGON, E. Lajes –Dimensionamento em duas direções. Notas de aula, 2015.