Lista de Exercícios PO 2

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Lista de Exercícios PO 2 – P1 
A. Cadeias de Markov 
1. Suponha que três fabricantes de automóveis através de uma pesquisa conseguiram os 
seguintes dados com respeito a compra de clientes. A tabela a seguir apresenta a 
probabilidade de um cliente que agora (𝑛 = 0) possui um Ford, Chevrolet ou Fiat, 
comprar no ano que vem (𝑛 = 1) um Ford, Chevrolet ou Fiat. Com base na tabela, 
determine: 
𝐹𝑜𝑟𝑑
𝐶ℎ𝑒𝑣
𝐹𝑖𝑎𝑡
 [
0,4 0,3 0,3
0,2 0,5 0,3
0,25 0,25 0,5
] 
a) Escreva o diagrama de transição. 
b) Escreva a matriz de transição para daqui 5 anos. 
c) Seja o vetor 𝑥0 = [0,15 0,65 0,20] o vetor de probabilidades do cliente ter um dos 
três carros, quais são as probabilidades para daqui 5 anos? 
Solução. 
Dada a tabela de probabilidade: 
𝐹𝑜𝑟𝑑
𝐶ℎ𝑒𝑣
𝐹𝑖𝑎𝑡
 [
0,4 0,3 0,3
0,2 0,5 0,3
0,25 0,25 0,5
] 
a. Diagrama de transição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,40 
0,30 0,30 
0,20 
0,50 
0,30 
0,25 
0,25 
0,50 
Ford 
Chev Fiat 
Ford Fiat 
Chev 
0,40 
0,30 
0,30 
0,20 
0,50 
0,30 
0,25 
0,25
0 
0,50 
b. A matriz de transição (agora) é: 
𝑃 = [
0,40 0,30 0,30
0,20 0,50 0,30
0,25 0,25 0,50
] 
𝑃2 = [
0,40 0,30 0,30
0,20 0,50 0,30
0,25 0,25 0,50
] [
0,40 0,30 0,30
0,20 0,50 0,30
0,25 0,25 0,50
] = [
0,295 0,345 0,360
0,255 0,385 0,360
0,275 0,325 0,400
] 
𝑃3 = [
0,40 0,30 0,30
0,20 0,50 0,30
0,25 0,25 0,50
] [
0,295 0,345 0,360
0,255 0,385 0,360
0,275 0,325 0,400
] = [
0,277 0,351 0,372
0,269 0,359 0,372
0,275 0,345 0,380
] 
𝑃4 = [
0,40 0,30 0,30
0,20 0,50 0,30
0,25 0,25 0,50
] [
0,277 0,351 0,372
0,269 0,359 0,372
0,275 0,345 0,380
] = [
0,2740 0,3516 0,3744
0,2724 0,3532 0,3744
0,2740 0,3500 0,3760
] 
𝑃5 = [
0,40 0,30 0,30
0,20 0,50 0,30
0,25 0,25 0,50
] [
0,2740 0,3516 0,3744
0,2724 0,3532 0,3744
0,2740 0,3500 0,3760
] = [
0,27352 0,35160 0,37488
0,27320 0,35192 0,37488
0,27360 0,35120 0,37520
] 
 
A matriz de transição para daqui 5 anos será: 
𝑃5 = [
0,27352 0,35160 0,37488
0,27320 0,35192 0,37488
0,27360 0,35120 0,37520
] 
 
c. Considere 𝑥0 = [0,15 0,65 0,20] o vetor de probabilidades do cliente ter um dos três 
carros. As probabilidades para daqui 5 anos será: 
[0,15 0,65 0,20] [
0,27352 0,35160 0,37488
0,27320 0,35192 0,37488
0,27360 0,35120 0,37520
] = [0,273328 0,351728 0,374944] 
 
2. Um produto é processado em duas máquinas sequencias I e II. A inspeção ocorre após 
uma unidade de produto ser concluída em uma máquina. Há 5% de chance de a unidade 
ser descartada antes da inspeção. Após a inspeção, há 3% de chance de a unidade ser 
descartada e 7% de chance de ser devolvida à mesma máquina para retificação. Caso 
contrário, uma unidade que passa pela inspeção nas duas máquinas é considerada boa. 
Sendo assim, determine: 
a. O diagrama de transição para o modelo. 
b. A matriz de transição do modelo. 
c. Determine o número médio de passagens em cada estação para uma peça que sai da 
máquina I. 
d. Se um lote de 1000 unidades for iniciado na máquina I, quantas unidades boas serão 
produzidas? 
Solução. 
a. O processo tem 6 estados: 
M1: Início na máquina I 
I1: Inspeção após a máquina I 
M2: Início na máquina II 
I2: Inspeção após a máquina II 
D: Descarte depois de passar a máquina I ou depois de passar a máquina II 
A: Aceitação após passar a máquina II. 
 
Unidades entrando em D ou A são estados terminais, logo D e A são absorventes. 
 Uma unidade entrando em M1 pode ser descartada ou passar a inspeção I1. 
 Uma unidade após inspeção I1 pode voltar a máquina M1, ser descartada ou passar 
à máquina M2. 
 Uma unidade entrando em M2 pode ser descartada ou passar a inspeção I2. 
 Uma unidade após inspeção I2 pode voltar a máquina M2, ser descartada ou ser 
aceitada em A. 
 
 
 
 
 
 
 
b. Dados: 
 5% de chance que a unidade ser descartada antes da inspeção, logo há uma chance 
de 95% que a unidade passe ao processo de inspeção: 
𝑀1 → 𝐼1: 0,95;𝑀1 → 𝐷: 0,05; 
𝑀2 → 𝐼2: 0,95;𝑀2 → 𝐷: 0,05 
 3% de chance que a unidade ser descartada: 
𝐼1 → 𝐷: 0,03; 
𝐼2 → 𝐷: 0,03 
 7% de chance de ser devolvida à máquina para retificação: 
𝐼1 → 𝑀1: 0,07 
𝐼2 → 𝑀2: 0,07 
 Pelos dois itens anteriores: 
𝐼1 → 𝑀2: 1 − (0,07 + 0,03) = 0,90 
𝐼2 → 𝐴: 1 − (0,07 + 0,03) = 0,90 
 
Portanto a matriz de transição é: 
𝑃 =
𝑀1 𝐼1 𝑀2 𝐼2 𝐷 𝐴 
𝑀1
𝐼1
𝑀2
𝐼2
𝐷
𝐴 [
 
 
 
 
 
0
0,07
0
0
0
0
 
0,95
0
0
0
0
0
 
0
0,90
0
0,07
0
0
 
0
0
0,95
0
0
0
 
0,05
0,03
0,05
0,03
1
0
 
0
0
0
0,90
0
1
 
]
 
 
 
 
 
 
 
c. Considere: 
𝑁 = [
0
0,07
0
0
 
0,95
0
0
0
 
0
0,90
0
0,07
 
0
0
0,95
0
 ] ; 𝐴 = [
0,05
0,05
0,05
0,03
 
0
0
0
0,90
 ] 
Calculamos a matriz: 
(𝐼 − 𝑁)−1 = [
1
−0,07
0
0
 
−0,95
1
0
0
 
0
−0,90
1
−0,07
 
0
0
−0,95
1
 ]
−1
= [
1,071
0,075
0
0
 
1,018
1,071
0
0
 
0,981
1,033
1,071
0,075
 
0,932
0,981
1,018
1,071
 ] 
A primeira linha da matriz anterior representa o número médio de passagens em cada 
estação para uma peça que começa na máquina I. 
M1 M2 A 
D 
I1 I2 
𝑀1
 
 𝑀1 𝐼1 𝑀2 𝐼2 
[1,071 1,018 0,981 0,932 ]
 
Intepretação: 
 Uma peça que começa na máquina I passa 1,071 vezes pela máquina I; isto devido 
à retificação. 
 Uma peça que começa na máquina I passa 1,018 vezes pela inspeção I; isto devido 
à nova inspeção. 
 Uma peça que começa na máquina I passa 0,981 vezes pela máquina II; isto devido 
a que algumas peças são descartadas antes de chegar à máquina II. 
 Uma peça que começa na máquina I passa 0,932 vezes pela inspeção II. 
 
d. Calculamos a matriz: 
(𝐼 − 𝑁)−1𝐴 = [
1,071
0,075
0
0
 
1,018
1,071
0
0
 
0,981
1,033
1,071
0,075
 
0,932
0,981
1,018
1,071
 ] [
0,05
0,05
0,05
0,03
 
0
0
0
0,90
 ] = [
0,181
0,138
0,084
0,036
 
0,839
0,882
0,916
0,964
 ] 
A primeira linha da matriz anterior representa o a probabilidade de uma peça ser 
descartada: 
𝐷
0,181
 
𝐴
0,839
 
Isso significa que 1000(0,839) = 839 peças serão concluídas de um lote inicial de 1000 
unidades. 
 
B. Teorias das filas 
1. Em uma cabine telefônica (com apenas um telefone), usuários chegam conforme um 
processo M/M/1, com taxa de 10 usuários por hora. O tempo médio de conversação é 
de 5 minutos por usuário. Sendo assim, determine: 
a) O número médio de usuários na fila e no sistema (fila e cabine). 
b) O tempo médio de permanência dos usuários na fila e no sistema. 
c) Qual a probabilidade de o sistema estar vazio. 
d) Qual a probabilidade de o sistema estar com dois ou mais usuários. 
Solução. 
Dados: 
𝜆 =
10
60
=
1
6
 (Taxa média de chegada) 
𝜇 =
1
5
 (Taxa de serviço média) 
a. Número médio de usuários na fila: 
𝐿𝑞 =
𝜆2
𝜇(𝜇 − 𝜆)
=
1
36
1
5
(
1
5
−
1
6
)
=
1
36
1
150
=
25
6
≈ 4,167 usuários 
Número médio de usuários no sistema: 
𝐿 =
𝜆
𝜇 − 𝜆
=
1
6
1
5
−
1
6
=
1
6
1
30
= 5 usuários 
b. Tempo médio de permanência dos usuários na fila: 
𝑊𝑞 =
𝜆
𝜇(𝜇 − 𝜆)
=
1
6
1
5
(
1
5
−
1
6
)
=
1
6
1
150
= 25 𝑚𝑖𝑛 
Tempo médio de permanência dos usuários no sistema: 
𝑊 =
1
𝜇 − 𝜆
=
1
1
5
−
1
6
=
1
1
30
= 30 𝑚𝑖𝑛 
c. A probabilidade de o sistema estar vazio. 
𝑃0 = 1 −
𝜆
𝜇
= 1 −
1
6
1
5
=
1
6
= 0,1667 = 16,67 % 
d. A probabilidade de o sistema estar com dois ou mais usuários. 
𝑃𝑛 = (1 −
𝜆
𝜇
) (
𝜆
𝜇
)
𝑛
= (1 −
1
6
1
5
)(
1
6
1
5
)
𝑛
=
1
6
(
5
6
)
𝑛
=
5𝑛
6𝑛+1
 
2. Determine o número mínimo de servidores paralelos necessários em cada uma das 
seguintes situações para garantir que a operação do sistema se mantenha estável 
(𝜌 < 1): 
a) Clientes chegam a cada 5 minutos e são atendidos à taxa de 10 clientes por hora. 
b) O intervalo de tempo médio entre chegadas é de 2 minutos e o tempo médio de 
serviço é 6 minutos. 
c) A taxa de chegada é 30 clientes por hora e a taxa de atendimento é 40 clientes por 
hora. 
Solução. 
Considerando o modelo M/M/S: 
a. Dados: 
𝜆 =
1
5𝜇 =
10
60
=
1
6
 
𝜌 =
𝜆
𝑠𝜇
< 1 ⟹
𝜆
𝜇
< 𝑠 ⟹
1
5
1
6
=
6
5
< 𝑠 ⟹ 𝑠𝑀𝐼𝑁 = 2 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 
b. Dados: 
1
𝜆
= 2 → 𝜆 =
1
2
 
1
𝜇
= 6 → 𝜇 =
1
6
 
𝜌 =
𝜆
𝑠𝜇
< 1 ⟹
𝜆
𝜇
< 𝑠 ⟹
1
2
1
6
= 3 < 𝑠 ⟹ 𝑠𝑀𝐼𝑁 = 4 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 
c. Dados: 
𝜆 =
30
60
=
1
2
 
𝜇 =
40
60
=
2
3
 
𝜌 =
𝜆
𝑠𝜇
< 1 ⟹
𝜆
𝜇
< 𝑠 ⟹
1
2
2
3
=
3
4
< 𝑠 ⟹ 𝑠𝑀𝐼𝑁 = 2 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 
 
C. Confiabilidade de sistemas e produtos 
1. Cada uma das seis válvulas de um receptor de rádio tem uma duração de vida (em anos) 
que pode ser considerada como uma variável aleatória. Suponha que essas válvulas 
funcionem independentemente uma da outra. Qual será a probabilidade de que 
nenhuma válvula tenha de ser substituída, durante os dois primeiros meses de serviço 
se: 
a) A fdp da duração até falhar for 𝑓(𝑡) = 50𝑡𝑒−25𝑡
2
, 𝑡 > 0. 
b) A fdp da duração até falhar for 𝑓(𝑡) = 25𝑡𝑒−25𝑡
2
, 𝑡 > 0. 
Solução. 
a. Considere a fdp como sendo: 
𝑓(𝑡) = 50𝑡𝑒−25𝑡
2
, 𝑡 > 0 
Logo: 
𝑃 (𝑇 <
1
6
) = (1 − 𝑅(𝑡))
6
= [∫ 50𝑡𝑒−25𝑡
2
𝑑𝑡
1
6
0
]
6
= ([−𝑒−25𝑡
2
]
0
1
6)
6
= (1 − 𝑒−
25
36)
6
 
𝑃 (𝑇 <
1
6
) = (0,5006482114)6 = 0,0157469 ≈ 1,5747 % 
 
b. Considere a fdp como sendo: 
𝑓(𝑡) = 25𝑡𝑒−25𝑡
2
, 𝑡 > 0 
Logo: 
𝑃 (𝑇 <
1
6
) = (1 − 𝑅(𝑡))
6
= [∫ 25𝑡𝑒−25𝑡
2
𝑑𝑡
1
6
0
]
6
= ([−
𝑒−25𝑡
2
2
]
0
1
6
)
6
= (
1 − 𝑒−
25
36
2
)
6
 
𝑃 (𝑇 <
1
6
) = (0,2503241057)6 = 0,000246045 ≈ 0,0246045 % 
 
 
2. Três componentes, que funcionem independentemente, são ligados em um sistema 
único, como está indicado na figura a seguir. Suponha que a confiabilidade de cada um 
dos componentes, para um período de operação de 𝑡 horas, seja dada por 𝑅(𝑡) =
𝑒−0,03𝑡 . 
 
Se 𝑇 for a duração até falhar do sistema completo (em horas), qual será a fdp de 𝑇? Qual 
será a confiabilidade do sistema? 
Solução. 
Suponha 𝑇 como sendo a duração até falhar do sistema completo (em horas). Dado o 
sistema série-paralelo (𝐶1 ∪ 𝐶2) ∩ 𝐶3, e dado que a confiabilidade de cada um dos 
componentes é 𝑅(𝑡) = 𝑒−0,03𝑡 , então a confiabilidade de todo o sistema será: 
𝑅𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎(𝑡) = (1 − (1 − 𝑅1(𝑡))(1 − 𝑅2(𝑡))) 𝑅3(𝑡) 
𝑅𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎(𝑡) = (1 − (1 − 𝑒
−0,03𝑡)(1 − 𝑒−0,03𝑡))𝑒−0,03𝑡 
𝑅𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎(𝑡) = (1 − (1 − 𝑒
−0,03𝑡)2)𝑒−0,03𝑡 
𝑅𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎(𝑡) = (1 − (1 − 2𝑒
−0,03𝑡 + 𝑒−0,06𝑡))𝑒−0,03𝑡 
𝑅𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎(𝑡) = (2𝑒
−0,03𝑡 − 𝑒−0,06𝑡)𝑒−0,03𝑡 
𝑅𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎(𝑡) = (2 − 𝑒
−0,03𝑡)𝑒−0,06𝑡 
Considere a distribuição de probabilidade 𝐹: 
𝐹(𝑡) = 1 − 𝑅𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎(𝑡) = 1 − (2 − 𝑒
−0,03𝑡)𝑒−0,06𝑡 
Logo a função de densidade de probabilidade 𝑓 é: 
𝑓(𝑡) =
𝑑𝐹
𝑑𝑡
(𝑡) = −(0,03𝑒−0,03𝑡𝑒−0,06𝑡 − 0,06(2 − 𝑒−0,03𝑡)𝑒−0,06𝑡) 
𝑓(𝑡) = −(−0,12𝑒−0,06𝑡 + 0,09𝑒−0,09𝑡) 
𝑓(𝑡) = 0,12𝑒−0,06𝑡 − 0,09𝑒−0,09𝑡 
𝑓(𝑡) = 0,03(4 − 3𝑒−0,03𝑡)𝑒−0,06𝑡