Econometria II

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2019
1a Edição
EconomEtria ii
Prof. Vanderlei Kleinschmidt
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Prof. Vanderlei Kleinschmidt
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
K64e
 Kleinschmidt, Vanderlei
 Econometria II. / Vanderlei Kleinschmidt. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.
 213 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0308-9
 1. Econometria. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 330.015195
III
aprEsEntação
Prezado acadêmico, a econometria clássica pode ser dividida em duas 
vertentes. A primeira delas, que você teve a oportunidade de estudar em 
Econometria 1, encarrega-se dos assuntos relacionados à microeconometria. 
A segunda, que é tema das Unidades 1 e 2 desse livro didático, refere-se aos 
temas macroeconométricos.
Você deve lembrar da Econometria 1 que o estudo econométrico é 
cumulativo, no sentido de que tudo aquilo que você aprendeu antes, continuará 
valendo para os novos temas a serem estudados. Assim, conceitos como variável 
dependente e explicativa, significância estatística, entre outros, continuarão a 
aparecer no texto que está a nossa disposição nessa fase de estudos.
Ao elaborar esse material, tivemos o cuidado para que você pudesse 
ter acesso a um conteúdo moderno e principalmente prático, em linha 
com o que é necessário saber sobre cada tema abordado em Econometria 
2. Mesmo que alguns assuntos necessitem de mais aprofundamento, o que 
você encontrará a seguir é suficiente para lhe garantir o entendimento sobre 
cada tema abordado.
Para isso, estruturamos a disciplina em três unidades. Na Unidade 
1 nos preocuparemos em estudar as séries temporais, os principais conceitos 
relacionados a esse tipo muito especial de dados. Aqui queremos entender os 
fatores determinantes do comportamento das variáveis macroeconômicas ao 
longo do tempo, seus fatores impulsionadores, ou que afetam a sua trajetória. 
Você aprenderá novos conceitos, novas expressões e se familiarizará com técnicas 
mais recentes, muito empregadas por formuladores de políticas econômicas.
Na Unidade 2 abordamos os aspectos dinâmicos de alguns modelos 
econométricos, à luz da teoria das expectativas. Além disso, veremos como 
resolver e utilizar os sistemas de equações simultâneas para estudar modelos 
econométricos formados por mais de uma equação, e, portanto, mais de uma 
variável dependente. Essa unidade é finalizada com a análise da precedência na 
econometria, tendo como principal técnica a causalidade no sentido de Granger.
A última unidade traz na primeira parte os modelos painel, juntando 
os dados de corte, que vimos em Econometria 1 e os dados de séries temporais, 
que estudamos até então em Econometria 2. Na segunda parte veremos 
modelos cuja variável dependente é uma dummy, ou seja, uma variável 
que tem apenas dois valores possíveis, zero ou um. Na Econometria 1 essa 
variável estava do lado direito do sinal de igualdade, como uma variável 
explicativa. Agora a deslocamos para o lado esquerdo, funcionando como 
uma variável explicativa.
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Encerramos os estudos de Econometria 2 analisando os temas que 
estão na vanguarda do estudo econométrico. Primeiramente uma técnica 
avançada de estimação, o método de máxima verossimilhança. Depois, 
veremos um pouco sobre a econometria bayesiana, que é uma abordagem 
controversa, mas que está na moda atualmente entre os econometristas 
aplicados. E finalmente, teremos uma breve introdução ao Big Data Analytics, 
que é uma área de atuação para os economistas que conseguem desenvolver 
a competência da econometria e outras em paralelo, como por exemplo a 
programação direcionada a objetos.
Não encare essa matéria como mais uma a ser aprovado no curso de 
ciências econômicas. Procure encará-la como uma competência a ser adquirida 
e desenvolvida por você. Dedique-se aos estudos da econometria e você terá 
um grande diferencial no seu currículo, frente aos demais profissionais que 
não tiveram o privilégio de estudar o que você verá nessa disciplina.
Bons estudos!
Prof. Vanderlei Kleinschmidt
V
VI
VII
UNIDADE 1 – ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS .............................................................1
TÓPICO 1 – CONCEITOS PRELIMINARES .......................................................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 ALGUNS CONCEITOS RELATIVOS ÀS SÉRIES TEMPORAIS .................................................3
3 ESTACIONARIEDADE E NÃO ESTACIONARIEDADE, RUÍDO BRANCO E 
 ERGODICIDADE ................................................................................................................................. 10
4 PASSEIO ALEATÓRIO E TENDÊNCIA .......................................................................................... 14
5 PROCESSOS INTEGRADOS, RAIZ UNITÁRIA E REGRESSÃO ESPÚRIA ......................... 19
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 24
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 25
TÓPICO 2 – ANÁLISE UNIVARIADA ............................................................................................... 27
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 27
2 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS ......................................................................................................... 27
3 PROCESSOS AUTOREGRESSIVOS (AR) ...................................................................................... 39
4 PROCESSOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA) ..................................................................................... 41
5 PROCESSOS AUTOREGRESSIVOS E DE MÉDIAS MÓVEIS (ARMA) ................................. 42
6 APLICAÇÃO DO MÉTODO BOX, JENKINS E REINSEL (2008) PARA IDENTIFICAÇÃO
 DO PROCESSO ARMA(p,q) ...............................................................................................................44
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 56
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 57
TÓPICO 3 – ANÁLISE MULTIVARIADA .......................................................................................... 61
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 61
2 COINTEGRAÇÃO ................................................................................................................................ 61
3 VETOR AUTOREGRESSIVO (VAR) ................................................................................................ 75
4 VETOR DE CORREÇÃO DE ERROS (VECM) ............................................................................... 84
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 85
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 88
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 89
UNIDADE 2 – MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE
 EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS .................................................................................... 91
TÓPICO 1 – MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS ........................................................ 93
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 93
2 MODELOS COM DEFASAGENS DISTRIBUÍDAS...................................................................... 94
3 MODELOS AUTORREGRESSIVOS ................................................................................................ 97
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................106
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................107
sumário
VIII
TÓPICO 2 – MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ........................................................109
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................109
2 OS MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ......................................................................109
3 A IDENTIFICAÇÃO ...........................................................................................................................110
4 A ESTIMAÇÃO ...................................................................................................................................116
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................123
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................124
TÓPICO 3 – PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA ..............................................................................125
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................125
2 CAUSALIDADE DE GRANGER .....................................................................................................126
3 ESTIMAÇÃO BASEADA EM SIMULAÇÃO ...............................................................................134
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................141
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................143
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................144
UNIDADE 3 – MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA 
 QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA ......................147
TÓPICO 1 – MODELOS PAINEL .......................................................................................................149
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................149
2 MODELOS COM DADOS EMPILHADOS ..................................................................................152
3 MODELOS DE EFEITOS FIXOS .....................................................................................................158
4 MODELOS DE EFEITOS ALEATÓRIOS .......................................................................................163
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................171
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................172
TÓPICO 2 – MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA ...........................175
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................175
2 O MODELO DE PROBABILIDADE LINEAR ..............................................................................176
3 O MODELO LOGIT ...........................................................................................................................182
4 O MODELO PROBIT .........................................................................................................................187
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................193
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................194
TÓPICO 3 – TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA ...........................................................197
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................197
2 A ESTIMAÇÃO POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA ...........................................................198
3 ECONOMETRIA BAYESIANA ........................................................................................................199
4 BIG DATA ANALYTICS ....................................................................................................................201
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................206
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................208
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................209
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................211
1
UNIDADE 1
ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• diferenciar série temporal estacionária de não estacionária;
• compreender os fatos estilizados do comportamento das séries temporais;
• conhecer a natureza dos modelos de séries temporais;
• mostrar como esses modelos caracterizam aestrutura estocástica do 
processo subjacente que gerou uma série particular; 
• construir, estimar e interpretar modelos de regressão que utilizam dados 
de séries temporais.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITOS PRELIMINARES
TÓPICO 2 – ANÁLISE UNIVARIADA
TÓPICO 3 – ANÁLISE MULTIVARIADA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITOS PRELIMINARES
1 INTRODUÇÃO
A econometria de séries temporais aborda o estudo da macroeconometria. 
Seria possível dedicar uma disciplina inteira para estudar esse ramo da 
econometria e ainda assim não esgotaríamos todas as possibilidades.
Pensando nisso, nessa primeira unidade, trabalhamos exclusivamente 
com séries temporais, buscando dar uma visão geral, sem um aprofundamento 
técnico excessivo, mas com aplicações práticas suficientes de tal forma que você 
possa compreender de forma intuitiva as novas técnicas e competências que 
deverá desenvolver a partir de agora.
Nesse primeiro tópico faremos uma breve introdução à econometria das séries 
temporais, desenvolvendo um vocabulário diferente do que estávamos habituados 
a ver em Econometria 1. Falaremos sobre os componentes das séries temporais, 
definiremos o processo estacionário, diferenciando do processo não estacionário. 
Veremos que o processo gerador de uma série particular pode ser um 
passeio aleatório, ou um processo integrado, cuja definição será útil na sequência 
dessa unidade, assim como a definição de raiz unitária, característica presente em 
muitas séries de dados. E, finalmente, compreenderemos o sentido de regressão 
espúria ou resultado espúrio, que tem origem na combinação de séries temporais 
que não demos o devido tratamento estatístico, removendo os componentes que 
alteram a trajetória das séries ao longo do tempo.
2 ALGUNS CONCEITOS RELATIVOS ÀS SÉRIES TEMPORAIS
Os economistas estão sempre interessados em entender o comportamento 
de algumas variáveis tais como as vendas do comércio varejista, a safra agrícola, 
o preço dos combustíveis, o preço das ações, as taxas de juros, a inflação, a 
volatilidade da taxa de câmbio, entre outras tantas. Podemos tomar qualquer 
uma dessas variáveis, coletar os seus valores e agrupá-los em um banco de dados 
listando em frequência intradiária, diária, mensal, trimestral, anual etc.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
4
Após construir o banco de dados, estaremos interessados em visualizar 
a trajetória das séries ao longo do tempo, através de um gráfico simples, como o 
gráfico a seguir. Nele podemos ver a venda de fertilizantes no Brasil, de janeiro 
de 1998 até novembro de 2017. Percebam o seu comportamento nesse período, 
notem que, em determinados momentos, as vendas são mais altas e em outros 
elas são bem menores. Percebam o padrão e vejam que, apesar de subir e descer 
com frequência, há uma clara tendência de alta nessa série.
GRÁFICO 1 – VENDA DE FERTILIZANTES NO BRASIL, EM TONELADAS,
JAN/1998 A NOV/2017
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 9 abr. 2019.
Esse gráfico mostra dois dos principais componentes de uma série 
temporal, a sazonalidade e a tendência. A sazonalidade é fácil de identificar, 
refere-se ao padrão que se repete periodicamente dentro de cada ano, com 
movimentos de baixa acentuada nos meses de março e abril e de alta expressiva 
nos meses de setembro e outubro. 
A outra componente é a tendência, que é perceptível visualmente 
mostrando a trajetória ascendente da série. Obviamente a tendência não tem um 
comportamento exclusivamente ascendente, ela pode ser decrescente também e 
não necessariamente precisa ser linear.
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
5
Além dos componentes sazonal e de tendência, há um terceiro elemento 
que podemos observar nas séries temporais mais longas, característica marcante 
dos dados macroeconômicos. Estamos falando dos ciclos de negócios, cujo padrão 
se repete com certa regularidade. O que diferencia o comportamento sazonal do 
cíclico é que eles não ocorrem com a mesma periodicidade. Se por um lado é 
possível observar o movimento sazonal dentro de um ano, em momentos mais ou 
menos conhecidos, o movimento cíclico ocorre em períodos não fixos.
Nos Estados Unidos, o NBER, que é uma organização privada dedicada 
ao desenvolvimento de estudos e pesquisas econômicas aplicadas, é famoso pelos 
seus trabalhos relacionados aos ciclos de negócios. Sugerimos que você navegue 
pelo site deles e veja as suas publicações, por exemplo, os relatórios sobre ciclos 
de negócios dos Estados Unidos desde 1854, disponível em: <http://www.nber.
org/cycles.html>. Acesso em: 10 abr. 2019. 
O último elemento que compõe uma série temporal é o componente 
irregular. Ele não tem um padrão bem definido, é puramente aleatório. Para 
exemplificar esse componente e os demais, tornando mais claro o que foi dito até 
agora, vamos supor uma variável Yt, formada pela seguinte equação:
Yt = 0,83Yt-1 + µt 1.1
Suponha ainda que o termo µt seja extraído de forma individual e 
independente a partir de uma série de números aleatórios com distribuição 
normal, média zero e variância 1, ou seja, µt ~ i.i.d.N(0,1). Para tornar o nosso 
exercício ainda mais completo, vamos supor que a base de dados tenha 70 
observações, e vamos usar o Gretl para simular essa base. 
Começamos abrindo o Gretl e no menu “Ferramentas”. Você deve 
selecionar a opção “Console Gretl”. Digite a sequência de comandos a seguir, 
pressionando o “Enter” do seu teclado ao final de cada linha:
nulldata 70
setobs 1 1 --special-time-series
series u = normal(0,1)
series Y = 0
Y = 0.83*Y(-1) + u
gnuplot Y --time-series --with-lines
A primeira linha de comando cria um banco de dados vazio com tamanho 
de 70 observações. Na segunda linha de comandos, você informa ao Gretl que 
esse conjunto de dados é de séries temporais, que possui uma sequência especial, 
iniciando no número 1 e evoluindo de 1 em 1 até o final da série. Depois você 
extrai uma sequência de números aleatórios com distribuição normal, média zero 
e variância 1, nomeando-o como u.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
6
GRÁFICO 2 – SIMULAÇÃO DE SÉRIE TEMPORAL IRREGULAR
FONTE: O autor com o uso do Gretl
Na quarta linha, criamos a série Y, com inicial zero para todas as 
observações. Isso nos permite construir, a partir da quinta linha, a Equação 1.1, 
prestando atenção ao fato de que o Gretl separa os decimais por pontos ao invés 
de vírgula. E, finalmente, na última linha, damos um comando para que o Gretl 
plote o gráfico de série temporal, que reproduzimos no gráfico anterior.
Para ficar bem claro como o Gretl reproduziu a Equação 1.1, observe o quadro 
a seguir. Ele traz as primeiras 10 observações dessa série de dados. Perceba que ao 
digitar o comando séries “Y = 0”, estamos definindo a primeira realização dessa 
série como Y1 = 0. Depois que executamos o comando da quinta linha, escrevendo 
a equação, temos Y2 = Y1 + u2 = 0 + (–1,742257) = –1,742257. Na terceira realização, 
temos Y3 = Y2 + u3 = –1,742257 + (–0,731363) = –2,177436, e assim sucessivamente.
QUADRO 1 – BASE DE DADOS SIMULADA
FONTE: O autor com o uso do Gretl
Obs ut Yt
1 0,625275 0,0000
2 -1,742257 -1,742257
3 -0,731363 -2,177436
4 -2,158987 -3,966258
5 1,673001 -1,618993
6 1,123592 -0,220172
7 0,452724 0,269981
8 -0,070856 0,153228
9 -1,524995 -1,397815
10 0,173102 -0,987084
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
7
Como a base dessa série de dados é uma sequência de números aleatórios, 
é provável que você encontre números diferentes dos que apresentamos no quadro 
anterior. Note que aocriar a série de dados, o Gretl gerou uma variável chamada 
index. Se você abrir essa variável, verá que é uma sequência de números começando 
em 1 e terminando em 70. Usaremos essa variável para criar uma série de tendência, 
supondo que a tendência temporal possa ser desenhada pela Equação 1.2.
Tt = 1 + 0,1indext 1.2
Além dessa série de tendência, construiremos um conjunto de dados que 
tenha um comportamento sazonal, seguindo a Equação 1.3.
1,8seno
6t t
S index π  =      1.3
Para isso, digite a sequência de comandos a seguir no “Console Gretl”. 
Quando a linha começa com #, significa que se trata de um comentário e que esse 
comentário não será interpretado pelo Gretl como sendo um comando executável.
# Primeiro geramos uma série de tendência:
series T = 1 + 0.1*index
gnuplot T --time-series --with-lines
# Para gerar uma série sazonal, utilizamos o seguinte comando:
series S = 1.8*sin(index*($pi/6))
gnuplot S --time-series --with-lines
O comando “gnuplot” é usado para plotar o gráfico, em que “time-series” 
indica que é um gráfico de série temporal e “with-lines” informa ao Gretl que 
queremos que o desenho do gráfico seja feito com linhas.
Para finalizar, iremos supor uma série temporal Z, gerada a partir de 
um processo com tendência temporal, somada a um componente sazonal e um 
componente irregular. Dito de outra forma, vamos juntar todas as variáveis 
criadas anteriormente e ver como é uma série temporal que tenha componentes 
cíclicos, de tendência e errático. Para isso, no “Console Gretl”, digite a seguinte 
sequência de comandos:
series Z
Z = Y + T + S
gnuplot Z --time-series --with-lines
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
8
FIGURA 1 – SIMULANDO OS COMPONENTES DE UMA SÉRIE TEMPORAL
FONTE: o autor
A figura anterior apresenta o conjunto de gráficos gerados a partir das 
séries simuladas com o uso do Gretl. Quando analisamos cada um dos gráficos 
gerados, conseguimos visualizar os componentes das séries temporais de forma 
isolada. Por outro lado, o gráfico da variável “Z” contém os elementos de tendência, 
aleatório e sazonal. Perceba que, ao simular essas séries, informamos exatamente 
qual a é equação ou o seu processo gerador. Na prática, buscamos séries temporais 
como a do Gráfico 1 e tentamos isolar cada um desses componentes que aparecem 
na figura anterior o que nos permite prever o seu comportamento futuro.
Isolar os componentes de uma série temporal em tendência, irregular 
e sazonal não é uma tarefa difícil hoje em dia. Atualmente, os diversos pacotes 
de software econométrico trazem em suas rotinas diversos filtros. No caso do 
Gretl, ele traz no menu “Variável” e “Filtro” pelo menos 7 opções, sendo o filtro 
HP, desenvolvido por Hodrick e Prescott (1997), o mais famoso deles. A figura a 
seguir traz os dados do Gráfico 1 decomposto com o uso do filtro HP.
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
9
FONTE: o autor
FIGURA 2 – VENDA DE FERTILIZANTES DECOMPOSTA PELO FILTRO HP
O filtro HP estima a tendência de longo prazo da série e mostra sua 
flutuação cíclica. Ele é construído a partir da equação 1.4.
Σt=1(yt – gt)2 + λΣt=2 [(gt+1 – gt) – (gt – gt–1)]2 1.4
Em que a série Yt é decomposta em tendência (ou componente de 
crescimento) gt, e componente cíclico ct. Assim, yt = gt + ct, com t = 1, 2, ..., T. 
Ainda em relação à equação 1.4, o parâmetro de suavização λ assume valor igual 
a 1.600 no trabalho de Hodrick e Prescott (1997), penalizando a incorporação das 
flutuações na componente de tendência. 
Lembre-se de que os padrões de comportamento encontrados nas 
séries temporais, tais como tendência (a série segue uma determinada direção), 
sazonalidade (padrões que se repetem com uma certa periodicidade), ciclo 
(semelhante à sazonalidade, só que com periodicidade maior que um ano), e o 
comportamento errático (puramente aleatório) não necessariamente ocorrem de 
forma isolada. Muitas séries de tempo apresentam alguma combinação de dois 
ou mais desses padrões de comportamento.
T T–1
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
10
Já vimos um pouco sobre séries temporais, mas ainda não formalizamos 
sua definição. Podemos dizer que uma série temporal é uma sequência de 
observações ordenadas no tempo. Assim, o Produto Interno Bruto trimestral dos 
últimos 10 anos, a inflação mensal medida pelo IPCA entre os anos de 2010 e 
2018, a cotação diária da taxa de câmbio expressa em R$/US$ e o preço de uma 
determinada ação, obtida a cada 15 minutos no home broker, são exemplos de 
séries de dados ordenados no tempo.
Vimos que as séries temporais apresentam alguns padrões específicos 
de comportamento, mas há casos em que esse padrão não é observado. Estamos 
falando dos processos estocásticos, que são coleções de variáveis aleatórias 
ordenadas no tempo (GUJARATI; PORTER, 2011).
Parece estranho falarmos em uma coleção de variáveis aleatórias, mas 
pense no preço daquela ação que você vem acompanhando há algum tempo. 
Imagine que no final do pregão de ontem ela fechou em um determinado patamar. 
Você consegue dizer com precisão qual é o preço que essa ação fechará hoje? A 
menos que você tenha inventado uma máquina capaz de lhe transportar para o 
passado e para o futuro, o preço dessa ação no final do dia de hoje poderá assumir 
qualquer valor e esse valor é totalmente desconhecido por você.
O mesmo acontece com o preço dessa ação durante a próxima semana 
e a cada novo pregão. Se dissermos que Y é o preço dessa ação, e que hoje ela 
fechou em Y1, o preço dela amanhã será Y2. Nos próximos dias, essa mesma ação 
assumirá os valores de Y4, Y5, ..., YT, em que esse subscrito 1, 2, ..., T representa 
o dia 03/12/2018, 04/12/2018, e assim sucessivamente. Como você pôde verificar, 
cada uma dessas observações pode ser encarada como uma variável aleatória, ou 
estocástica, porque pode assumir qualquer valor desconhecido.
No entanto, quando esse valor se torna conhecido, deixamos de chamar 
de variável aleatória e passamos a chamá-la de realização. Neste ponto, você deve 
se lembrar da econometria 1, quando tínhamos uma população de dados e dessa 
população extraíamos uma amostra. Em séries temporais, o processo estocástico 
ou aleatório é o equivalente à população que vimos em dados de corte, enquanto 
as realizações são análogas à amostragem. Para entender o comportamento do 
processo estocástico subjacente, é necessário utilizar a realização dessas séries, 
assim como fazíamos com as amostras em econometria 1.
3 ESTACIONARIEDADE E NÃO ESTACIONARIEDADE, RUÍDO 
BRANCO E ERGODICIDADE
Um dos conceitos mais importantes da econometria de séries temporais 
é o da estacionariedade. Para entendê-lo, considere um processo estocástico {Yt}, 
que para ser estacionário não deve apresentar tendência e tanto a sua variação 
quanto o padrão dessa variação devem ser constantes no tempo. Dito de outra 
forma, para todo s, j,
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
11
( ) ( )t t sE Y E Y µ−= =
( ) ( )2 2t t sE Y E Yµ µ− − = − 
( )( ) ( )( ) ( )( )t t s t j t j s t t kE Y Y E Y Y E Y Yγ µ µ µ µ µ µ− − − − −    = − − = − − = − −    
1.5
1.6
1.7
Em 1.5 temos a média do processo estocástico, µ, que não varia ao longo 
do tempo, e o mesmo acontece com a variância em 1.6. Isso nos faz pensar que 
seria possível deduzir se uma série temporal é estacionária ou não simplesmente 
visualizando um gráfico como o da figura a seguir.
FIGURA 3 – EXEMPLO DE SÉRIE TEMPORAL NÃO ESTACIONÁRIA E ESTACIONÁRIA
FONTE: <www.b3.com.br>. Acesso em: 9 abr. 2019
O IBOV se refere ao valor de fechamento diário do índice do Ibovespa,em pontos, enquanto o Ribov é a taxa de retorno do fechamento do Ibovespa. 
Analisando o IBOV, vemos que nos primeiros 70 pregões o valor do fechamento 
tem uma média mais ou menos constante ao longo do período enquanto que essa 
média passa a variar a partir daí. Esse comportamento é característico de séries 
que não são estacionárias.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
12
Por outro lado, ao observarmos o gráfico do retorno, ou seja, do Ribov, 
vemos um processo estacionário. Mesmo que a média pareça variar ao longo 
do tempo, não vemos uma tendência clara de queda ou de crescimento como 
tínhamos no caso do IBOV. O fato é que apenas olhar um gráfico e a partir daí 
concluir que a série é estacionária ou não, não é seguro do ponto de vista técnico. 
Mais adiante veremos as estatísticas de teste que devemos empregar para nos 
certificar de que a série é estacionária ou não.
Um exemplo clássico de uma série estacionária é o ruído branco. Uma 
sequência {εt} é um ruído branco se a sua média for igual a zero, a variância for 
constante e a autocorrelação for nula. Dito de outra forma,
( ) 0; tE tε = ∀
( )2 2; tE tε σ= ∀
( ), 0; 0t t jE jε ε − = ∀ ≠
O termo ruído branco vem da física e é análogo à função da sua densidade 
espectral como no caso da luz branca e das ondas eletromagnéticas, cujas 
alterações na série produzem ruídos semelhantes à sintonização de um rádio.
Você pode simular o ruído branco no Gretl. Para isso, abra o programa 
e selecione o menu “Ferramentas” e “Console Gretl”, digitando a sequência de 
comandos a seguir:
1.8
1.9
1.10
nulldata 100
series RB = normal(0,1)
setobs 1 1 --special-time-series
gnuplot RB --time-series --with-lines
O gráfico a seguir reproduz o resultado dessa sequência de comandos e 
mostra a série de ruído branco simulada no computador. Muitos econometristas, 
ao fazerem seus estudos, costumam olhar o gráfico das séries temporais antes 
de estimar os modelos econométricos. Fazendo assim eles comparam os gráficos 
gerados com o de uma série de ruído branco. Caso os dados apresentem um 
desenho parecido com o do gráfico a seguir, eles têm indícios de que a série em 
questão é estacionária.
Por outro lado, se o desenho não for parecido com o do gráfico a seguir, 
eles têm elementos suficientes para acreditar que a série em questão não é 
estacionária. Neste caso precisam apenas confirmar se estão diante de um passeio 
aleatório com ou sem deslocamento, ou se a série apresenta alguma tendência 
estocástica ou determinística. 
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
13
GRÁFICO 3 – SÉRIE DE RUÍDO BRANCO
FONTE: o autor
Mas por que a questão da estacionariedade de uma série temporal é tão 
importante? Porque queremos entender o comportamento passado dessa série 
para assim podermos projetar a sua trajetória futura. Imagine que sua empresa 
está elaborando o planejamento estratégico do próximo ano. Supondo que o 
produto que vocês comercializam é uma commoditie agrícola e você tem a tarefa 
de fazer uma projeção da cotação desse produto para o próximo ano.
Se você conseguir, com base no histórico das cotações, criar uma equação 
que modele a trajetória passada dessa variável, você poderá construir um cenário 
possível para o preço dessa commoditie. Porém, se você não isolar o efeito sazonal 
e eliminar a tendência, a sua projeção poderá ter um viés que compromete todo o 
planejamento estratégico da sua empresa para o próximo período.
Dito de outra forma, estamos interessados em entender o comportamento 
puro das séries temporais, sem a influência dos outros componentes. Deixando a 
série estacionária, podemos fazer isso com segurança, porém, a estacionariedade 
apenas não é suficiente, como alerta Bueno (2008), sendo necessário também 
satisfazer a propriedade da ergodicidade.
Segundo Morettin (2016, p.13), 
[...] um processo é ergódico se pudermos estimar características de 
interesse (média, autocovariância etc.) a partir de uma única trajetória do 
processo. Assim, um processo é ergódico na média se a média amostral 
convergir, em probabilidade, para a média verdadeira do processo.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
14
1.11
Uma maneira de entender o que isso significa é imaginar uma série {yt} 
qualquer e uma realização dessa série, s. Se a média é dada por:
( ) ( )
1
1 Ts s
t
t
y y
T =
= ∑
Se y(s) convergir para E(yt), dizemos que existe ergodicidade, e, portanto, 
a série é estacionária.
4 PASSEIO ALEATÓRIO E TENDÊNCIA
Um passeio aleatório, como o próprio nome diz, é uma sequência de dados 
que assume qualquer valor no tempo, sem tendência definida, ou ainda, como 
define Ferreira (2018, s.p.), “[...] é um processo composto pela soma de choques 
aleatórios, que pode ser representada pela soma cumulativa de ruídos brancos”. 
Um exemplo de passeio aleatório é o preço das ações, como mostra o gráfico 
(a) da figura a seguir. O desenho da trajetória do preço de fechamento dessa ação 
não se parece com o ruído branco que vimos no Gráfico 3. Na verdade, o gráfico (b) 
da figura a seguir tem uma imagem mais parecida com um ruído branco. 
O gráfico (b) expressa a taxa de retorno diário dessa ação, dado por rt 
= log( ), e, ao se parecer com um ruído branco, podemos supor que se trata 
de uma série estacionária. Por outro lado, o gráfico (a) parece ser composto por 
uma tendência ascendente ao longo do tempo, um componente estacionário, e 
um ruído branco, como descrito na Equação 1.12.
yt = tendência + componente estacionário + ruído branco 1.12
P
P
FIGURA 4 – PREÇO DE FECHAMENTO E RETORNO DA AÇÃO BBAS3 
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
15
FONTE: <www.b3.com.br>. Acesso em: 9 abr. 2019.
Em resumo, um passeio aleatório, como em 1.12 ou o gráfico (a) da figura 
anterior, é um processo não estacionário. 
Imagine agora que você queira projetar o preço dessa ação para o dia de 
amanhã, e para isso você supõe que:
 yt = yt–1 + ut 1.13
Em que ut é um ruído branco. Chamamos 1.13 de passeio aleatório sem 
deslocamento (porque não tem uma constante na equação), e note que não somos 
capazes de prever o preço da ação amanhã, t, usando como base o preço da ação 
de hoje, t–1, justamente por causa do componente aleatório (ruído branco). Se o 
preço da ação de amanhã fosse igual ao preço dela hoje, não faria o menor sentido 
aplicar em ações, porque não haveria variação no preço.
A Equação 1.13 também é conhecida como um processo AR(1), porque o 
valor de y no tempo 𝑡 é igual a seu valor no tempo (𝑡−1) mais um choque aleatório. E 
como fica a média e a variância no caso de um passeio aleatório sem deslocamento?
Para responder a essa pergunta vamos reescrever 1.13 um período à frente:
yt+1 = yt + ut+1 1.14
Se avançarmos mais um período, teremos:
yt+2 = yt+1 + ut+2 = yt + ut+1 + ut+2 1.15
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
16
Avançando ainda mais um período, chegamos a:
yt+3 = yt+2 + ut+3 = yt + ut+1 + ut+2 + ut+3 1.16
Se continuarmos avançando no tempo, veremos que tudo se resume a:
yt = y0 + Σt=1 ut 1.17
E(yt) = E(y0 + Σt=1 ut) = y0 1.18
var(yt) = tσ21.19
Em 1.18 vemos que a média de yt é igual a sua condição inicial, y0, e 
esse valor é constante no tempo. Por outro lado, em 1.19, vemos que a variância 
aumenta indefinidamente à medida que avançamos no tempo t, o que viola a 
condição de estacionariedade, tornando o passeio aleatório sem deslocamento 
em um processo estocástico não estacionário.
Você pode simular um passeio aleatório abrindo o menu “Ferramentas” 
no Gretl e escolhendo “Console Gretl”. Ao abrir a janela, digite a sequência de 
comandos a seguir:
q
q
nulldata 600
setobs 1 1 --special-time-series
series u = normal()
series Y1 = 0
Y1 = Y1(-1)+u
gnuplot Y1 --time-series --with-lines
Vamos acrescentar um parâmetro de deslocamento δ a esse modelo de 
passeio aleatório e ver o que acontece. Em linguagem de séries temporais, muitas 
vezes, você lerá a expressão “drift”, que deve ser interpretada como deslocamento. 
Reescrevemos a Equação 1.13 da seguinte forma:
yt = δ + yt-1 + ut 1.20
Para ver o que acontece na prática, volte ao Console Gretl e digite a 
seguinte sequência de comandos, considerando δ = 2:
series Y2 = 0 
Y2 = 2 + Y2(-1) + u 
gnuplot Y2 --time-series --with-lines
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
17
Você deve ter em mente que não importa se o modelo é com ou sem 
deslocamento, em ambos os casos, a série será não estacionária. Para tornar a 
série estacionária, é preciso tirar a primeira diferença, tanto em 1.13 quanto em 
1.20. Para a equação sem deslocamento fazemos:
yt = yt-1 + ut 1.21
yt – yt-1 = ∆yt = ut 1.22
yt = δ +yt-1 + ut 1.23
yt – yt-1 = ∆yt = δ + ut 1.24
Vemos que ambas as séries em 1.22 e 1.24 são estacionárias, porque no 
caso do passeio aleatório sem deslocamento, o que resta após a diferenciação é 
um ruído branco, ut. Por outro lado, no caso da série com deslocamento, resta o 
parâmetro de deslocamento δ, que é uma constante, e o ruído branco, que por 
definição é estacionário. Assim vemos que um passeio aleatório é não estacionário 
em nível, mas é estacionário em primeira diferença.
Há ainda algumas séries temporais que flutuam em torno de uma 
tendência determinística e modelos com essa característica são chamados de 
tendência estacionária. Para entender como esses modelos funcionam, vamos 
analisar o seguinte modelo de regressão:
yt = β1 + β2t + ut 1.25
A série {Yt} pode se tornar estacionária se removermos essa tendência 
determinística através da estimação do modelo 1.25, ou seja, fazendo ut = β1 – β2t, 
ou tirando a primeira diferença, como em 1.26.
yt = β1 + β2t + ut 1.26
Diferenciando obtemos uma série estacionária em diferenças:
yt – yt-1 = Δyt = β1 + β2t + ut 1.27
Vamos compreender melhor esses conceitos simulando duas séries 
temporais, uma tendência estocástica, ou seja, totalmente imprevisível, e outra 
tendência determinística, totalmente previsível. A série de tendência estocástica 
será gerada pelo processo,
yt = 0,5 + yt-1 + ut 1.28
Enquanto a série de tendência determinística tem como processo gerador 
da série a equação 1.29,
Xt = 0,5t + ut 1.29
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
18
nulldata 700
setobs 1 1 --special-time-series
series u = normal()
series Y = 1
Y = 0.5 + Y(-1) + u
genr time
series X = 0
X = 0.5*time + u
gnuplot Y X --time-series --with-lines
O gráfico a seguir apresenta o resultado dessa simulação. Devemos 
destacar que no caso da tendência determinística, sabemos com facilidade qual a 
tendência temporal da série, porque ela não varia ao longo do tempo. Por outro 
lado, no caso da tendência estocástica, não temos como prever o comportamento 
da tendência temporal, porque ela é totalmente imprevisível, em função do 
componente aleatório ut, que é um dos componentes dessa série.
GRÁFICO 4 – TENDÊNCIA ESTOCÁSTICA E TENDÊNCIA DETERMINÍSTICA
FONTE: o autor
Abra o Gretl, selecione o menu “Ferramentas” e depois “Console Gretl”, 
digitando a seguinte sequência de comandos:
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
19
5 PROCESSOS INTEGRADOS, RAIZ UNITÁRIA E REGRESSÃO 
ESPÚRIA
Quando temos que tirar a primeira diferença de uma série temporal, {yt} 
por exemplo, fazendo Δyt = yt – yt-1, dizemos que a série é integrada de ordem 1 e 
a representamos como I(1). Da mesma forma, se ao diferenciar a série, uma vez 
ela não se tornar estacionária, mas, ao diferenciar uma segunda vez, ela se tornar 
estacionária, fazendo ΔΔyt = Δ(yt – yt–1), dizemos que a série {yt} é integrada de 
ordem 2, e representamos como I(2).
Assim, se tivermos uma série que, para se tornar estacionária teremos que 
diferenciá-la "d" vezes, dizemos que a série é integrada de ordem "d", ou I(d), mas se 
não precisarmos diferenciá-la para torná-la estacionária, ou seja, se for estacionária 
em nível, dizemos que a série em questão é I(0), ou integrada de ordem zero.
Em seu livro, Gujarati e Porter (2011) enumeram uma lista de propriedades 
das séries temporais integradas, onde relacionam três séries, Xt, Yt e Zt, conforme 
transcrevemos a seguir:
1. Se Xt ~ I(0) e Yt~I(1), então Zt = (Xt + Yt) = I(1).
2. Se Xt ~I(d), então Zt = (a + bXt) = I(d).
3. Se Xt~I(d1) e Yt~I(d2) , então Zt = (aXt + bYt)~I(d2).
4. Se Xt~I(d) e Yt~I(d), então Zt = (aXt + bYt)~I(d).
Na primeira propriedade, temos uma combinação linear de duas séries, 
sendo a primeira delas estacionária em nível enquanto a segunda, para ser 
estacionária, deverá ser diferenciada uma vez. O resultado dessa combinação 
é uma série que não é estacionária. A segunda propriedade mostra que uma 
combinação linear de séries temporais, onde a série precisa ser diferenciada d 
vezes para se tornar estacionária, gera como resultado uma série integrada 
de ordem d. Isso implica dizer que se a combinação Zt for feita com uma série 
estacionária, I(0), o resultado também será uma série I(0).
As propriedades 3 e 4 informam que combinações de séries temporais 
integradas de ordem diferente geram séries temporais combinadas cuja ordem de 
integração será a da série original que tiver a ordem maior. Assim, se uma série é 
estacionária, I(0) e a outra é I(1), o resultado de sua combinação será uma série I(1).
Como vemos, é importante sabermos a ordem de integração das séries 
temporais, ou seja, quantas vezes precisamos diferenciá-las para que se tornem 
estacionárias. O problema é que apenas olhando para um gráfico de série 
temporal, muitas vezes, teremos a convicção de que estamos diante de uma série 
não estacionária, mas não saberemos de qual ordem. A saída é fazerum teste 
estatístico na série, como veremos no Tópico 2, chamado de teste de raiz unitária.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
20
Devemos empregar testes de raiz unitária nos nossos dados porque, como 
alerta Ferreira (2018, s.p.), “Para uma série que apresenta não estacionariedade 
devido à presença de raiz unitária, a remoção de tendência não a torna estacionária”
Bueno (2008, p. 95) é bem enfático quando diz que: “É proibido diferenciar 
uma série que é tendência estacionária, porque isso adiciona ruído à série original. 
Da mesma forma, é proibido estimar uma série que é tendência estocástica usando 
tendência determinística, porque isso não elimina a tendência estocástica”. 
Como já dissemos, a simples visualização de um gráfico não nos 
permite distinguir uma série com tendência estocástica de uma com tendência 
determinística. Para fazer isso, empregaremos os testes de raiz unitária. Mas o 
que é raiz unitária afinal de contas?
É comum uma série temporal macroeconômica apresentar raiz unitária. 
Para entender o que isso significa, considere o seguinte modelo econométrico 
autorregressivo:
yt = yt–1 + ut 1.30
Suponha ainda que ut é um ruído branco. Em 1.30 o valor presente de yt 
depende do seu valor ocorrido no período anterior, yt-1 mais um choque aleatório, 
ut. Se em t + 1 ocorrer um choque não antecipado, isso terá reflexo em yt+1. Esse 
choque impactará em yt+2, yt+3, ..., yt+T, se traduzindo em um choque permanente.
Se por outro lado o modelo fosse,
yt = αyt–1 + ut 1.31
E se |α| < 1, o efeito do choque se dissipa no tempo, porque diferentemente 
de 1.30, quando um choque em t + 1 se torna permanente, em 1.31 apenas uma 
proporção α desse choque impactará a trajetória da série {yt}, e esse efeito será 
cada vez menor à medida que se avança no tempo.
Segundo Maddala (2003), o que temos que observar em 1.31 é se α < 
1 ou se α = 1. No primeiro caso, a série é estacionária e no segundo caso não, 
caracterizando o que chamamos na econometria de raiz unitária.
Teremos a oportunidade de voltar a esse tema mais adiante nesse material. 
Por enquanto queremos que você encare os termos não estacionário, passeio aleatório, 
raiz unitária, tendência estocástica e integrado de ordem 1, I(1), como sinônimos.
E o que acontece se rodarmos uma regressão na qual as séries são não 
estacionárias? Nesse caso o resultado obtido será o de uma regressão espúria. 
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
21
Imagine que todos os anos há uma concessão especial na época de natal 
para que pessoas que estão presas possam passar o Natal e o ano novo junto 
com seus familiares. Por motivos que não sabemos explicar, ao invés de serem 
liberados apenas os presos com bom comportamento e que já estão em estágio 
avançado no processo de ressocialização, alguns criminosos perigosos também 
são soltos, que acabam cometendo vários delitos como assaltos a residências.
Digamos também que nos finais de ano a temperatura está mais alta 
do que a média dos meses anteriores, e que as pessoas busquem se refrescar 
tomando sorvete, fazendo a média do consumo de sorvetes se elevar acima da 
média dos meses anteriores.
Imagine agora que um economista ficou intrigado com a elevação no 
consumo do sorvete e dos assaltos às casas, e decidiu testar essas duas variáveis 
e ver se elas estão correlacionadas. 
Após coletar os dados de vários anos, chegou à conclusão de que o 
consumo de sorvete é responsável pelo aumento da criminalidade. Você concorda 
com essa conclusão? Você acha que isso realmente faz algum sentido?
Considere que ocorre uma elevação nos assaltos justamente no período 
em que há maior consumo de sorvetes. Obviamente, se olharmos um gráfico 
dessas duas variáveis, observaríamos que elas seguem na mesma direção, como 
se o comportamento de uma delas dependesse da outra. Isso leva o pesquisador 
a aceitar uma relação entre variáveis que é apenas numérica, e que não tem 
nenhum sentido econômico. Chamamos esse resultado de espúrio, porque não é 
verdadeiro, não condiz com a realidade.
Vamos simular essa relação espúria, adaptando o exemplo dado por 
Gujarati e Porter (2011). Para isso abra o Gretl e selecione o menu “Ferramentas” 
e depois “Console Gretl”, digitando os seguintes comandos:
nulldata 800
setobs 1 1 --special-time-series
series u1 = normal(0,1)
series Y = 0
Y = Y(-1)+u1
series u2 = normal(0,1)
series X = 0
X = X(-1)+u2
gnuplot Y X --time-series --with-lines
Observe que no último passo você plota um gráfico comparando as duas 
variáveis no tempo. Esse resultado é reproduzido no gráfico a seguir.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
22
GRÁFICO 5 – EXEMPLO DE REGRESSÃO ESPÚRIA
FONTE: O autor
Veja como as séries caminham em uma mesma direção. Note que esse 
resultado é obtido a partir de duas séries geradas ao acaso, a partir de sequências 
distintas de números aleatórios com média zero e variância 1. Podemos aproveitar 
que estamos com o console do Gretl aberto e digitar a expressão: ols Y const X. O 
resultado obtido está no quadro a seguir no qual tivemos o cuidado de colocar em 
negrito duas estatísticas que usamos em Econometria 1, e que vale a pena rever.
QUADRO 2 – RESULTADO DE UMA REGRESSÃO ESPÚRIA
FONTE: O autor
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-800
Variável dependente: Y
coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
---------------------------------------------------------
 const −12,6430 0,749794 −16,86 8,51e-055 ***
 X 1,72345 0,0515875 33,41 9,15e-154 ***
Média var. dependente −33,20564 D.P. var. dependente 18,74580
Soma resíd. quadrados 117054,8 E.P. da regressão 12,11137
R-quadrado 0,583097 R-quadrado ajustado 0,582575
F(1, 798) 1116,116 P-valor(F) 9,1e-154
Log da verossimilhança −3129,465 Critério de Akaike 6262,931
Critério de Schwarz 6272,300 Critério Hannan-Quinn 6266,530
rô 0,987346 Durbin-Watson 0,023943
TÓPICO 1 | CONCEITOS PRELIMINARES
23
Veja que os coeficientes estimados são estatisticamente significativos. Você 
pode perceber também que o R2 = 0,5831, o que indica que 58,31% das alterações em 
Y são explicadas por esse modelo de regressão. É como se 58,31% dos assaltos, Y, 
fossem explicados pelo consumo de sorvete, X, o que de fato não faz o menor sentido. 
Percebemos também que a estatística de Durbin-Watson é muito pequena, 
indicando a possiblidade da existência de autocorrelação de primeira ordem. 
Aqui vai uma dica valiosa para você. Sempre desconfie de um resultado no qual 
a estatística de Durbin-Watson é menor que o R2. Esse é um forte indicativo de 
uma regressão espúria.
QUADRO 3 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DA REGRESSÃO COM
AS VARIÁVEIS EM DIFERENÇA
FONTE: O autor
Modelo 2: MQO, usando as observações 2-800 (T = 799)
Variável dependente: d_Y
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor
 --------------------------------------------------------
 const −0,0904887 0,0344396 −2,627 0,0088 ***
 d_X 0,0277220 0,0364310 0,7609 0,4469 
Média var. dependente −0,091710 D.P. var. dependente 0,972174
Soma resíd. quadrados 753,6607 E.P. da regressão 0,972431
R-quadrado 0,000726 R-quadrado ajustado -0,000528
F(1, 797) 0,579037 P-valor(F) 0,446915
Log da verossimilhança −1110,394 Critério de Akaike 2224,787
Critério de Schwarz2234,154 Critério Hannan-Quinn 2228,386
rô 0,021239 Durbin-Watson 1,953878
Obs.: Para tirar a primeira diferença das séries, basta fazer ∆Y
t
 = Y
t
 – Y
t-1
, e ∆X
t
 – X
t-1
. No 
Gretl você seleciona as variáveis, escolhe o menu “Acrescentar” e depois “Primeiras 
diferenças das séries selecionadas”.
Esse resultado espúrio ocorre porque essas séries apresentam o problema de 
raiz unitária, ou seja, não são estacionárias. Se tirarmos a primeira diferença e fizermos 
a estimação, obteremos os resultados realistas, como vemos no quadro anterior.
O resultado agora é mais coerente com a realidade, em que o coeficiente 
angular não é estatisticamente significativo, indicando a inexistência de uma 
correlação entre as variáveis. Da mesma forma, a estatística de Durbin-Watson 
é bem próxima de 2, indicando a ausência de autocorrelação de primeira ordem.
24
Nesse tópico você aprendeu que:
• Uma série temporal é uma sequência de observações ordenadas no tempo. 
• Uma série temporal pode ser formada por um componente errático, de 
tendência, sazonal e cíclico, sendo que um ou mais desses componentes sempre 
estarão presentes nessas séries.
• É possível simular séries temporais e seus componentes usando o Gretl.
• Para isolar os componentes de uma série temporal em tendência, irregular e 
sazonal, podemos aplicar os filtros disponíveis no Gretl, tais como o filtro HP, 
desenvolvido por Hodrick e Prescott (1997).
• Em séries temporais, o processo estocástico ou aleatório é o equivalente à 
população que vimos em dados de corte, enquanto as realizações são análogas 
à amostragem.
• Os termos não estacionário, passeio aleatório, raiz unitária, tendência estocástica 
e integrado de ordem 1, I(1), devem ser interpretados como sinônimos.
• Um resultado espúrio é obtido a partir da estimação de duas séries temporais 
cuja combinação não faz o menor sentido econômico. Uma maneira de 
verificar se o resultado da regressão é espúria é comparar a estatística de 
Durbin-Watson com o R2. Se o R2 for menor que o Durbin-Watson, há sérios 
indícios de um resultado espúrio.
RESUMO DO TÓPICO 1
25
1 Sobre os conceitos preliminares relativos às séries temporais, avalie as 
afirmações a seguir respondendo V para verdadeiro e F para falso.
a) ( ) As séries temporais apresentam alguns padrões de comportamento, tais 
como tendência, sazonalidade e ciclo.
b) ( ) É importante ressaltar que estas componentes ocorrem de forma isolada, 
ou seja, se uma série apresenta um componente de tendência, não terá 
um componente de ciclo ou sazonal embutido na mesma série.
c) ( ) A distinção entre o processo estocástico e sua realização é parecida 
com a distinção entre a população e a amostra de dados em cortes 
transversais. Do mesmo modo que utilizamos as amostras de dados para 
extrair inferências sobre a população, utilizamos, em séries temporais, a 
realização para extrair inferências sobre o processo estocástico subjacente.
d) ( ) Um processo de série temporal é estacionário se apresentar tendências 
aparentes, e média variante ao longo do tempo. 
e) ( ) Uma sequência {εt} é um ruído branco se cada valor nela tiver média zero, 
variância constante e não for correlacionado com qualquer realização da 
própria série (autocorrelação igual a zero).
2 Dê o significado dos seguintes termos:
a) Estacionariedade.
b) Regressão espúria.
c) Série temporal.
AUTOATIVIDADE
26
27
TÓPICO 2
ANÁLISE UNIVARIADA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No Tópico 1 fizemos uma breve introdução aos principais conceitos 
relativos às séries temporais. Agora vamos aprofundar mais esse tema através da 
análise univariada. Basicamente, o que faremos aqui é analisar uma única variável 
e tentar encontrar uma equação capaz de replicar o comportamento dessa série.
Antes de construir essa equação, precisamos saber se a série é estacionária. 
Para isso, empregaremos um teste informal, a visualização do gráfico de série 
temporal, e depois os testes formais, como o correlograma e o teste de raiz unitária.
Se estivermos diante de uma série estacionária, sem a influência dos 
componentes sazonal, cíclico e de tendência, restando apenas o componente 
aleatório, poderemos construir um modelo capaz de reproduzir o comportamento 
dessa série e projetar o seu comportamento futuro.
A metodologia utilizada para esse fim é a desenvolvida e aprimorada por 
Box, Jenkins e Reinsel (2008), que consiste em um procedimento que segue alguns 
passos, sendo o primeiro deles a verificação da estacionariedade, depois se busca 
identificar a equação que melhor descreve o comportamento temporal da série, a 
estimação, os testes de diagnóstico e a aplicação para fins de previsão e controle.
2 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Quando se está diante de uma série temporal não estacionária, é muito 
difícil estimar o processo gerador dessa série. Um dos motivos é a dificuldade 
em se calcular a média, variância e covariância da série, dificultando a adoção de 
procedimentos de inferência estatística (BUENO, 2008).
O primeiro passo quando se decide estimar o processo gerador de uma 
série temporal consiste em verificar se ela é estacionária. Vamos dar uma olhada 
no gráfico a seguir, que traz o EMBI+, sigla para Emerging Markets Bond Index 
(Índice de Títulos da Dívida de Mercados Emergentes), criado pelo JPMorgan em 
1992, que é utilizado como uma medida de risco para o país.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
28
Mesmo um pesquisador experiente terá dificuldades em analisar um 
gráfico e determinar se a série em questão é estacionária ou não. Por isso a 
visualização do gráfico como técnica a ser empregada deve ser vista com cautela. 
Claramente a série EMBI+ apresenta um caminho descendente ao longo 
do tempo, mostrando certa tendência. Por esse motivo podemos levantar certa 
suspeita de que estamos diante de uma série não estacionária, mas só podemos 
afirmar com certeza após a aplicação de algum teste estatístico.
GRÁFICO 6 – EMBI+ DIÁRIO PARA O BRASIL, JANEIRO DE 2016 ATÉ JULHO/2018
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 9 abr. 2019. 
Os econometristas costumam usar testes formais para detectar a 
estacionariedade de uma série. Um deles é a análise do correlograma. Para 
construir esse teste, primeiramente, precisamos obter a função de autocorrelação 
dessa série, na defasagem k. Essa função é obtida por:



0
k
k
γ
ρ
γ
=
 2.1
Onde,

( )( )t t k
k
Y Y Y Y
n
γ +
∑ − −
= 2.2
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
29

( )2
0
tY Y
n
γ
∑ −
= 2.3
Em que, ρk é a autocorrelação na defasagem k, yk é a autocovariância na 
defasagem k, definida em 2.2 e y0 é a variância amostral da série, definida em 2.3. O 
correlograma da série EMBI+ é mostrado na figura a seguir, que é composta pela 
Função de Autocorrelação, FAC e pela Função de Autocorrelação Parcial, FACP. 
Esse teste é obtido no Gretl a partir do menu “Variável” e depois “Correlograma”.
FIGURA 5 – CORRELOGRAMA DA SÉRIE EMBI+
FONTE: O autor
Nesse momento o que interessa é apenas a parte de cima da figura 
anterior, ou seja, a Função de Autocorrelação. Nela percebemos que há um eixo 
horizontal no qual é estabelecido o número zero, e todas as hastes vermelhas estão 
fora do intervalo de confiança de 95% dado por ±1,96( ), conforme metodologia 
desenvolvida por Bartlett (1946).
Além da figura anterior, o Gretl também gera uma tabela com os dados do 
correlograma, como pode ser visto no quadro a seguir. É possível verificardessa 
forma o valor das autocorrelações em cada uma das defasagens.
1
√T
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
30
QUADRO 4 – CORRELOGRAMA DA SÉRIE EMBI+
FONTE: O autor
Função de autocorrelação para EMBI
***, **, * indicam significância aos níveis de 1%, 5% e 10%
usando erro padrão 1/T^0,5
 Defas. FAC FACP Estat. Q [p-valor]
 1 0,9889 *** 0,9889 *** 657,1560 [0,000]
 2 0,9794 *** 0,0687 * 1302,7553 [0,000]
 3 0,9697 *** -0,0132 1936,4861 [0,000]
 4 0,9611 *** 0,0491 2560,0284 [0,000]
 5 0,9535 *** 0,0452 3174,6230 [0,000]
 6 0,9468 *** 0,0458 3781,5581 [0,000]
 7 0,9395 *** -0,0201 4380,1466 [0,000]
 8 0,9306 *** -0,0816 ** 4968,2510 [0,000]
 9 0,9220 *** 0,0069 5546,3821 [0,000]
 10 0,9121 *** -0,0549 6113,1050 [0,000]
 11 0,9020 *** -0,0370 6668,1186 [0,000]
 12 0,8920 *** -0,0070 7211,7683 [0,000]
 13 0,8811 *** -0,0616 7742,9580 [0,000]
 14 0,8706 *** 0,0052 8262,3678 [0,000]
 15 0,8619 *** 0,0820 ** 8772,2924 [0,000]
 16 0,8523 *** -0,0420 9271,7039 [0,000]
 17 0,8434 *** 0,0260 9761,4612 [0,000]
 18 0,8347 *** 0,0175 10241,8328 [0,000]
 19 0,8260 *** 0,0086 10712,9661 [0,000]
 20 0,8165 *** -0,0195 11174,1197 [0,000]
 21 0,8074 *** -0,0019 11625,7442 [0,000]
 22 0,7972 *** -0,0579 12066,6789 [0,000]
 23 0,7871 *** -0,0003 12497,2090 [0,000]
 24 0,7769 *** -0,0282 12917,3001 [0,000]
 25 0,7676 *** 0,0241 13327,9568 [0,000]
 26 0,7569 *** -0,0653 * 13727,9313 [0,000]
 27 0,7463 *** -0,0299 14117,3195 [0,000]
 28 0,7354 *** -0,0065 14496,0274 [0,000]
Um fato importante em relação ao resultado apresentado pelo Gretl é que 
as autocorrelações são altas, próximas de 1 nas primeiras defasagens, e decaem 
lentamente. Essa é uma característica típica de séries não estacionárias. 
Séries estacionárias, como o caso do ruído branco, apresentam correlograma 
semelhante à da figura a seguir. Nela podemos perceber que nenhuma das hastes 
vermelhas estão fora do intervalo de confiança de ±1,96 ( ).1√T
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
31
FIGURA 6 – CORRELOGRAMA DE UMA SÉRIE DE RUÍDO BRANCO
FONTE: o autor
Esse resultado é corroborado pelo quadro a seguir, que apresenta as 
autocorrelações da série de ruído branco. Perceba que os valores são baixos, muito 
próximos de zero, oscilando entre negativo e positivo. Podemos testar também a 
significância da estatística conjunta das autocorrelações até a defasagem k. Para 
isso, Box e Pierce (1970) desenvolveram a da estatística Q, definida como:
Q = n Σk=1 ρk 2.4
Onde n é o tamanho da amostra e m é o tamanho da defasagem. Essa 
estatística tem distribuição Qui-Quadrado com m graus de liberdade, e o seu valor 
estimado é comparado aos valores dessa tabela de distribuição. Se o valor calculado 
da estatística Q em uma certa defasagem é maior que o da tabela, dizemos que pelo 
menos algumas aucorrelações são estatisticamente diferentes de zero.
Alternativamente, podemos analisar o p – valor associado a essa estatística na 
defasagem k, como mostram os Quadros 4 e 5. A título de comparação, no Quadro 
4, temos na defasagem 14, uma autocorrelação de 0,8706, com Q = 8262,3678, e p – 
valor = 0,0000. Assim, rejeitamos a hipótese nula de que todas as autocorrelações até 
a defasagem 14 são estatisticamente iguais a zero, aceitando a hipótese alternativa 
de que algumas dessas autocorrelações são diferentes de zero.
2m
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
32
QUADRO 5 – CORRELOGRAMA DE UMA SÉRIE DE RUÍDO BRANCO
FONTE: O autor
Função de autocorrelação para Y
***, **, * indicam significância aos níveis de 1%, 5% e 10%
usando erro padrão 1/T^0,5
 Defas. FAC FACP Estat. Q [p-valor]
 1 -0,0028 -0,0028 0,0057 [0,940]
 2 -0,0058 -0,0058 0,0294 [0,985]
 3 0,0354 0,0354 0,9136 [0,822]
 4 -0,0420 -0,0419 2,1616 [0,706]
 5 0,0151 0,0154 2,3228 [0,803]
 6 -0,0206 -0,0224 2,6241 [0,854]
 7 -0,0153 -0,0122 2,7909 [0,904]
 8 0,0350 0,0319 3,6595 [0,886]
 9 -0,0352 -0,0327 4,5406 [0,872]
 10 -0,0436 -0,0445 5,8971 [0,824]
 11 -0,0286 -0,0322 6,4824 [0,839]
 12 0,0235 0,0281 6,8755 [0,866]
 13 -0,0023 -0,0039 6,8791 [0,908]
 14 -0,0269 -0,0262 7,3968 [0,918]
 15 0,0100 0,0063 7,4688 [0,943]
 16 0,0128 0,0119 7,5871 [0,960]
 17 0,0346 0,0358 8,4470 [0,956]
 18 0,0499 0,0500 10,2424 [0,924]
 19 -0,0551 -0,0551 12,4292 [0,866]
 20 0,0312 0,0234 13,1346 [0,872]
 21 -0,0056 -0,0081 13,1575 [0,903]
 22 0,0120 0,0236 13,2618 [0,926]
 23 0,0078 0,0006 13,3064 [0,945]
 24 0,0578 0,0625 * 15,7389 [0,897]
 25 -0,0419 -0,0488 17,0143 [0,881]
 26 0,0458 0,0511 18,5434 [0,855]
 27 0,0477 0,0547 20,2076 [0,822]
 28 -0,0038 0,0051 20,2182 [0,856]
Por outro lado, a autocorrelação na defasagem 14 do ruído branco 
é de –0,0269, com Q = 7,3968 e p – valor = 0,918, o que nos leva a aceitar a 
hipótese nula de que as autocorrelações conjuntas até a defasagem 14 são 
estatisticamente iguais a zero.
Há outros testes estatísticos que podemos empregar para verificar se uma 
série é estacionária. Trata-se dos testes de raiz unitária. Para entender melhor a esses 
testes, considere o seguinte processo autorregressivo de primeira ordem, AR(1):
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
33
yt = ϕ yt-1 + ut 2.5
Onde ut é um ruído branco, e se |ϕ| < 1, um choque não antecipado em 
ut não terá efeito permanente sobre yt, diferentemente se estivéssemos diante 
de um processo do tipo yt = yt-1 + ut, onde um choque não antecipado em ut 
teria efeito permanente sobre yt.
Para verificar se yt é um processo estacionário, podemos aplicar o 
teste de raiz unitária desenvolvido por Dickey e Fuller (1979), e para isso, 
subtraímos yt-1 de 2.5 para obter:
Δyt = (ϕ – 1)yt-1 + ut 2.6
Δyt = αyt-1 + ut 2.7
Em 2.7, α = ϕ – 1 e testamos H0:α = 0. Aceitar a hipótese nula nesse caso 
significa admitir que ϕ = 1, de onde vem o nome de raiz unitária. O problema 
é que as tabelas de distribuição estatísticas que estamos habituados a usar não 
servem para esse teste, porque yt não é estacionário. A saída adotada por Dickey 
e Fuller foi desenvolver uma tabela própria baseada em experimentos de Monte 
Carlo, chamada de estatística τ (Tau). 
O teste de Dickey e Fuller pode ser estimado de três formas, passeio 
aleatório sem deslocamento e sem tendência determinística, passeio aleatório 
com deslocamento e sem tendência determinística e passeio aleatório com 
deslocamentoe com tendência determinística.
Δyt = αyt-1 + ut 2.8
Δyt = µ + αyt-1 + ut 2.9
Δyt = µ + δt + αyt-1 + ut 2.10
A hipótese nula do teste é H0:α = 0, ou seja, existe raiz unitária o que 
significa que a série não é estacionária. A hipótese alternativa, H1:α = 1, implicando 
em dizer que a série é estacionária.
O problema desse teste, segundo Bueno (2008), é a suposição de que ut é 
um ruído branco, o que na prática nem sempre se observa. A saída encontrada 
por Dickey e Fuller (1979) foi adicionar a variável Δyt no lado direito do sinal de 
igualdade das equações 2.8, 2.9 e 2.10, o que ficou conhecido como teste de Dickey 
e Fuller Aumentado, ou ADF. Na prática se deve incluir “... termos suficientes 
para que o termo de erro [...] seja serialmente não correlacionado...” Gujarati e 
Porter (2011, p. 751). Conseguimos assim obter um estimador não tendencioso de 
α nas equações do teste.
As equações 2.11, 2.12 e 2.13, respectivamente, representam o teste ADF 
para passeio aleatório sem deslocamento e sem tendência determinística, passeio 
aleatório com deslocamento e sem tendência determinística e passeio aleatório 
com deslocamento e com tendência determinística.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
34
Δyt = αyt-1 + Σi=1 Δyt-i + ut 2.11
Δyt = µ + αYt-1 + Σi=1 Δyt-1 + ut 2.12
Δyt = µ + δt + αyt-1 + Σi=1 Δyt-i + ut 2.13
A hipótese nula do teste ADF é o mesmo que o do teste de Dickey e Fuller, 
ou seja, H0: α = 0 , a série tem raiz unitária e não é estacionária, contra a hipótese 
alternativa, H1: α < 1, onde Yt não tem raiz unitária e, portanto, é estacionária. 
Ferreira (2018) faz um alerta em relação ao pequeno poder estatístico 
do teste. Deve-se tomar cuidado ao interpretar o seu resultado, uma vez que se 
identificarmos uma série com raiz unitária e buscarmos a correção através da 
diferenciação, poderemos diferenciar uma série que já é estacionária, o que criaria 
um viés de especificação.
Existem outros testes de raiz unitária, tais como o KPSS, Phillips-Perron, 
Zivot-Andrews, além de testes de mudança estrutural. Para um aprofundamento 
em relação a esses testes, veja o Capítulo 4 da obra Econometria de séries temporais 
de Bueno (2008); o Capítulo 21, da obra Econometria básica de Gujarati e Porter 
(2011) e o Capítulo 3 da obra Análise de séries temporais em R: curso introdutório 
de Ferreira (2018). Para os nossos estudos aplicaremos apenas o teste ADF que é o 
teste mais utilizado ainda hoje na literatura econométrica para verificação de raiz 
unitária nas séries temporais.
Vamos ver na prática a aplicação dos testes de raiz unitária, usando dados 
mensais sobre passageiros de companhias aéreas internacionais. Esses dados 
foram extraídos de Box, Jenkins e Reinsel (2008), e podem ser acessados a partir 
do Gretl no menu “Arquivo”, depois “Abrir dados”, na sequência “Arquivo de 
exemplos” e na janela seguinte, escolha a aba “Gretl” e procure pelo arquivo “bjg.
gdt”, dando um duplo click para abrir o arquivo.
A variável de interesse é gt, medida em milhares de passageiros, com 
dados mensais iniciando em janeiro de 1949 até dezembro de 1960, ilustrado no 
gráfico a seguir. Você seria capaz de dizer se essa série temporal é estacionária 
apenas observando o gráfico? Percebemos claramente o componente sazonal da 
série, o de tendência ascendente e presumir que essa série não é estacionária. 
Porém, devemos sempre aplicar os testes de estacionariedade para termos certeza 
das conclusões que chegamos.
p
p
p
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
35
GRÁFICO 7 – PASSAGEIROS DE COMPANHIAS AÉREAS INTERNACIONAIS
FONTE: Adatado de Box, Jenkins e Reinsel (2008, p. 676)
Vamos começar com o correlograma, conforme figura e quadro a seguir. 
Selecione o menu “Variável” e depois a opção “Correlograma”, deixando a 
defasagem de acordo com o que é sugerido pelo Gretl.
FIGURA 7 – CORRELOGRAMA DOS DADOS SOBRE PASSAGEIROS DE
COMPANHIAS AÉREAS INTERNACIONAIS
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
36
Perceba que a função de autocorrelação da figura anterior vai decaindo 
lentamente, o que é próprio de series temporais não estacionárias, corroborando 
com a nossa suspeita. Quando analisamos os dados do quadro a seguir, vemos 
que a estatística Q, discutida anteriormente, é estatisticamente significativa para 
as várias defasagens calculadas, indicando que a autocorrelação em todas as 
defasagens não é nula, fato observado em séries temporais não estacionárias.
QUADRO 6 – PASSAGEIROS DE COMPANHIAS AÉREAS INTERNACIONAIS
FONTE: O autor
Função de autocorrelação para Passageiros
***, **, * indicam significância aos níveis de 1%, 5% e 10%
usando erro padrão 1/T^0,5
 Defas. FAC FACP Estat. Q [p-valor]
 1 0,9480 *** 0,9480 *** 132,1415 [0,000]
 2 0,8756 *** -0,2294 *** 245,6462 [0,000]
 3 0,8067 *** 0,0381 342,6748 [0,000]
 4 0,7526 *** 0,0938 427,7387 [0,000]
 5 0,7138 *** 0,0736 504,7966 [0,000]
 6 0,6817 *** 0,0077 575,6019 [0,000]
 7 0,6629 *** 0,1256 643,0386 [0,000]
 8 0,6556 *** 0,0900 709,4845 [0,000]
 9 0,6709 *** 0,2325 *** 779,5912 [0,000]
 10 0,7027 *** 0,1661 ** 857,0686 [0,000]
 11 0,7432 *** 0,1713 ** 944,3903 [0,000]
 12 0,7604 *** -0,1354 1036,4819 [0,000]
 13 0,7127 *** -0,5397 *** 1117,9917 [0,000]
 14 0,6463 *** -0,0266 1185,5529 [0,000]
 15 0,5859 *** 0,0908 1241,5038 [0,000]
 16 0,5380 *** 0,0250 1289,0371 [0,000]
 17 0,4997 *** 0,0325 1330,3811 [0,000]
 18 0,4687 *** 0,0734 1367,0416 [0,000]
 19 0,4499 *** 0,0484 1401,0809 [0,000]
 20 0,4416 *** -0,0455 1434,1489 [0,000]
 21 0,4572 *** 0,0458 1469,8818 [0,000]
Vamos agora aplicar o teste ADF, para sabermos se a série possui raiz 
unitária. O procedimento, apesar de simples, requer um pouco de atenção quando 
da parametrização do teste no Gretl.
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
37
Comece selecionando o menu “Variável” e escolha na sequência “Testes 
de raiz unitária” e finalmente, “Teste de Dickey-Fuller aumentado”. Na janela 
que é apresentada, o primeiro item a ser observado é a ordem de defasagem para 
o teste ADF, ou seja, quantas vezes defasaremos o termo Δgt-i, para tornar os erros 
não correlacionados. Essa escolha requer a análise dos critérios de informação e 
por isso, você deve deixar selecionada a caixa “testar para baixo a partir da ordem 
máxima de defasagem”. Logo a seguir estão os critérios, AIC (Akaike), Schwarz 
(BIC) e estatística t. Como temos mais de 100 observações, usaremos o critério de 
Schwarz (BIC). A figura a seguir mostra a janela de configuração do teste.
FIGURA 8 – TESTE ADF
FONTE: O autor
As outras caixinhas a serem selecionadas são as que estão marcadas na 
figura anterior, ou seja, “teste sem constante”, “com constante” e “com constante 
e tendência”, a fim de verificar se estamos diante de um passeio aleatóriosem 
deslocamento e sem tendência determinística, passeio aleatório com deslocamento 
e sem tendência determinística e passeio aleatório com deslocamento e com 
tendência determinística (ver equações 2.11, 2.12 e 2.13).
É interessante selecionar a opção para “mostrar resultados da regressão”, 
conforme conversaremos mais adiante. O quadro a seguir mostra o resultado do 
teste, suprimindo algumas informações conforme explicado a seguir.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
38
Quando configuramos o teste, selecionamos as opções teste sem constante, 
com constante e com constante e tendência. Por isso, a leitura deve começar pelo 
modelo estimado com constante e tendência, verificando se a variável tendência 
(time) é estatisticamente significativa. Caso não seja, descartamos esse resultado 
e analisamos o modelo estimado com constante e sem tendência. Se a constante 
nesse segundo modelo estimado é estatisticamente significativa, avaliamos o 
resultado desse teste ADF, caso contrário, o abandonamos e partimos para o 
modelo sem constante e sem tendência.
QUADRO 7 – RESULTADO DO TESTE DE RAIZ UNITÁRIA
FONTE: O autor
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para g
testar para baixo a partir de d 13efasagens, critério BIC
tamanho da amostra: 130
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 com constante e tendência 
 incluindo 13 defasagens de (1-L)g
 modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e
 valor estimado de (a - 1): -0,189255
 estatística de teste: tau_ct(1) = -2,10078
 p-valor assintótico 0,5448
 coeficiente de 1ª ordem para e: 0,015
 diferenças defasadas: F(13, 114) = 84,428 [0,0000]
Regressão aumentada de Dickey-Fuller
MQO, usando as observações 1950:03-1960:12 (T = 130)
Variável dependente: d_g
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 -----------------------------------------------------------
 const 16,8242 6,37259 2,640 0,0094 ***
 g_1 −0,189255 0,0900878 −2,101 0,5448 
 d_g_1 −0,282575 0,116360 −2,428 0,0167 **
 d_g_2 −0,0986518 0,109765 −0,8988 0,3707 
 d_g_3 −0,0103247 0,107427 −0,09611 0,9236 
 d_g_4 −0,119633 0,102278 −1,170 0,2446 
 d_g_5 −0,0194375 0,100067 −0,1942 0,8463 
 d_g_6 −0,147522 0,0920281 −1,603 0,1117 
 d_g_7 −0,0862825 0,0903529 −0,9550 0,3416 
 d_g_8 −0,253822 0,0860949 −2,948 0,0039 ***
 d_g_9 −0,0772300 0,0880980 −0,8766 0,3825 
 d_g_10 −0,244526 0,0829954 −2,946 0,0039 ***
 d_g_11 −0,0966961 0,0842458 −1,148 0,2535 
 d_g_12 0,759606 0,0808675 9,393 7,21e-016***
 d_g_13 0,403763 0,0974372 4,144 6,59e-05 ***
 time 0,533476 0,240984 2,214 0,0288 **
 AIC: 999,78 BIC: 1045,66 HQC: 1018,42
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
39
13
Uma vez verificado que o teste ADF deve ser com constante e tendência, 
podemos ler o resumo do resultado que aparece no início do quadro anterior. 
O primeiro termo reproduzido pelo Gretl é a hipótese nula de raiz unitária: a = 
1 . Na linha seguinte, ele informa que esse teste é com constante e tendência, e 
nos diz que incluiu 13 defasagens de (1 – L)g, apresentando na sequência uma 
representação do modelo estimado, que em termos matemáticos é Δgt = µ + δt + 
αgt-1 + Σi=1 Δgt-1 + µt.
O Gretl apresenta o valor estimado de (a – 1) = –0,189255, com estatística 
de teste tau_ct(1) = –2,10078, e p-valor assintótico 0,5448. Essas informações são 
suficientes para tirarmos nossa conclusão acerca da existência ou não de raiz 
unitária na série {gt}.
Como o Gretl apresenta o p-valor, não precisamos procurar em uma 
tabela de distribuição ADF o valor crítico da estatística τ, basta avaliar o p-valor 
e concluir se com esse número nós devemos aceitar ou rejeitar a hipótese nula. 
Um p-valor de 0,5448 leva-nos a aceitar a hipótese nula de que a = 1, ou seja, que 
a série apresenta raiz unitária, e, portanto, não é estacionária.
Para tornar uma série estacionária, precisamos determinar a natureza da 
não estacionariedade. Se a não estacionariedade for gerada pela presença de uma 
tendência determinística, ou seja, se a série flutuar em torno de uma tendência 
determinística, sem jamais se distanciar de tal tendência, basta subtrair essa 
tendência e teremos um componente estacionário.
Primeiro estimamos o modelo:
yt = β0 + δt + ut 2.14
Depois é só extrair a tendência fazendo:
ut = yt – β0 – δt 2.15
 
Ou seja, os resíduos da regressão 2.14 são estacionários, e são conhecidos 
como “[...] série temporal (linearmente) sem tendência” (GUJARATI; PORTER, 
2011, p. 754).
Se não for esse o caso, ou seja, se a série possuir raiz unitária, a 
estacionariedade é obtida mediante a diferenciação da série.
3 PROCESSOS AUTOREGRESSIVOS (AR)
Quando falamos em análise de séries temporais estacionárias e análise 
univariada, estamos falando da abordagem de Box e Jenkins (1970), atualizada por 
Box, Jenkins e Reinsel (2008). Trata-se de um procedimento com poucos passos, mas 
com resultados poderosos, utilizados para estimar modelos de séries temporais como:
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
40
yt = ϕ0 + ϕ1yt-1 + ... + ϕpyt-p + ut + θ ut-1 + ... + θqut-q 2.16
Em uma forma reduzida podemos escrever 2.16 como:
yt = ϕ0 + Σi=1 ϕiyt-i + Σi=0 θi ut-i 2.17
Em 2.17 temos um modelo de séries temporais autorregressivo integrado de 
médias móveis, ARIMA. Para estimar um modelo deste tipo, seguimos a metodologia 
Box, Jenkins e Reinsel (2008), ou seja, primeiro identificamos a ordem das defasagens 
do processo autorregressivo (p) e de médias móveis (q), depois estimamos o modelo 
e verificamos se os resíduos são ruído branco. Caso os resíduos não sejam ruído 
branco, tentamos outro modelo alterando a ordem das defasagens p e q, e fazemos 
esse procedimento repetidas vezes até chegar a um modelo que seja parcimonioso e 
tenha resíduos que sejam ruído branco. Daí, podemos usar o modelo para prever o 
comportamento futuro da série em análise.
Para um processo autorregressivo de primeira ordem AR(1), teremos:
yt = ϕ0 + ϕ1yt-1 + ut 2.18
Com ut~i.i.d.(0,σ2), ou seja, é um ruído branco. Para estimar a série {yt} em 2.18, 
é necessário que |ϕ1| < 1, garantindo assim a estabilidade com E(yt) = . Além disso, 
como a variância é dada por:
var(y) = ϕ var(yt-1) + var(ut) + 2ϕ1cov(yt-1, ut) 2.19
Como ut~i.i.d., a var(yt) = var(yt-1), logo var(yt) = e cov(yt-1,ut) = 0.
Dessa forma, se |ϕ| < 1, então, o efeito de um choque hoje será menor quanto 
mais próximo de zero estiver |ϕ1|, ou seja, o sistema é estável ou convergente. Por 
outro lado, quando |ϕ| > 1, os efeitos serão crescentes, tendendo à explosão, e quando 
|ϕ1| = 1, o choque será permanente, refletindo-se totalmente no futuro.
Vamos simular um AR(1), com o seguinte processo gerador, sem a constante:
 
yt = 0,87 yt-1 + ut2.20
Para isso, abra o Gretl, no menu “Ferramentas” e “Console Gretl” digite os 
seguintes comandos:
p q
ϕ₀
1–ϕ₁
1
2
nulldata 100
setobs 1 1 --special-time-series
phi = 0.87
series u = normal()
series y = 0
y = phi * y(-1) + u
gnuplot y --time-series --with-lines
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
41
O gráfico a seguir apresenta o processo AR(1) simulado. Perceba que, por 
ser um processo autorregressivo de primeira ordem, yt depende do valor observado 
em t–1 mais um valor totalmente aleatório e as mudanças observadas em ut não tem 
efeito duradouro na trajetória da série, perdendo o seu efeito ao longo do tempo.
GRÁFICO 8 – PROCESSO AR(1) SIMULADO
FONTE: O autor
4 PROCESSOS DE MÉDIAS MÓVEIS (MA)
Vamos considerar agora um modelo de médias móveis, ou seja, um 
modelo em que
yt = ϕ0 + Σi=0 θi ut-1 2.21
Para o nosso exemplo, consideramos umm modelo MA(1), em que:
yt = ϕ0 + ut + θut-1 2.22
Onde ut é um ruído branco, e yt depende do erro contemporâneo, ut, e uma 
proporção do erro do período imediatamente anterior. Um processo como esse tem 
como média E(yt) = ϕ0 + E(ut) + θE(ut-1) = ϕ0, a variância é dada por var(yt) = E(yt–ϕ0)2 
= (1 + θ2)σ2 e a covariância dada por cov(yt–ϕ0)(yt-1 – ϕ0) = σ2θ. No caso do modelo 
de médias móveis, independentemente do valor de θ, o processo será estacionário.
Vamos simular um processo MA(1) e para simplificar vamos supor que o 
processo gerador da série {yt} seja,
q
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
42
Yt = ut + 0.6ut-1 2.23
Para isso, digite a seguinte sequência de comandos no console Gretl:
nulldata 100
setobs 1 1 --special-time-series
theta = -0.6
series u = normal()
series y = 0
y = u + theta * u(-1)
gnuplot y --time-series --with-lines
O gráfico a seguir apresenta o processo MA(1) simulado. É possível 
perceber claramente a estabilidade e estacionariedade da série simulada.
GRÁFICO 9 – PROCESSO MA(1) SIMULADO
FONTE: o autor
5 PROCESSOS AUTOREGRESSIVOS E DE MÉDIAS MÓVEIS 
(ARMA)
Se combinarmos o processo autorregressivo com o de médias móveis, 
teremos o chamado processo autorregressivo de médias móveis, ARMA(p,q), em 
que p representa a ordem do processo autorregressivo e q representa a ordem do 
processo de médias móveis que compõe a série temporal.
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
43
Podemos escrever um processo ARMA(p,q) geral da seguinte forma:
yt = ϕ0 + Σi=1 ϕiYt–1 + Σj=0 ujεt–j 2.24
A estabilidade e a estacionariedade dos processos ARMA(p,q) são 
demonstrados por Enders (2004) e Bueno (2008), e implicam que as raízes das 
equações características do processo autorregressivo e do processo de médias 
móveis, que compõe a série, devem estar ao mesmo tempo fora do círculo unitário.
Vamos simular agora um processo ARMA(1, 1), com a seguinte característica:
1 10,87 0,6t t t ty y u u− −= + − 2.25
Abra o Gretl e escreva a sequência de comandos a seguir no Console:
nulldata 100
setobs 1 1 --special-time-series
phi = 0.87
theta = -0.6
series u = normal()
series y = 0
y = phi * y(-1) + u + theta * u(-1)
gnuplot y --time-series --with-lines
O gráfico a seguir apresenta o resultado dessa simulação. Essa série {yt} 
apresenta as características do processo AR(1) e MA(1) simulados anteriormente. 
Percebe-se a estabilidade ao longo do tempo da série, em que mudanças não 
antecipadas não são permanentes, justamente porque geramos essa série a partir 
de uma equação estável, com ϕ1 < 1 para o processo AR(1), e das características 
discutidas anteriormente para o processo MA(1).
GRÁFICO 10 – PROCESSO ARMA(1,1) SIMULADO
FONTE: O autor
p q
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
44
6 APLICAÇÃO DO MÉTODO BOX, JENKINS E REINSEL (2008) 
PARA IDENTIFICAÇÃO DO PROCESSO ARMA(p,q)
Agora que já conhecemos os processos autorregressivos, de médias 
móveis e a combinação de autorregressivos com médias móveis, podemos utilizar 
o método Box, Jenkins e Reinsel (2008) em dados econômicos a fim de identificar 
qual é o processo gerado de uma série particular.
O primeiro passo do método consiste na verificação da estacionariedade 
da série temporal em análise. Caso não seja, deve-se torná-la estacionária através 
da diferenciação. Para uma aplicação prática desse método, considere os dados 
do quadro a seguir. Trata-se do Índice de Preços ao Consumidor Amplo, IPCA, 
medida oficial de inflação do Brasil e parâmetro utilizado no regime de metas de 
inflação do Banco Central brasileiro.
QUADRO 8 – ÍNDICE DE PREÇOS AO CONSUMIDOR AMPLO, BRASIL, JANEIRO
DE 2005 A DEZEMBRO DE 2017
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 9 abr. 2019.
Mês/Ano 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Janeiro 0,58 0,59 0,44 0,54 0,48 0,75 0,83 0,56 0,86 0,55 1,24 1,27 0,38
Fevereiro 0,59 0,41 0,44 0,49 0,55 0,78 0,80 0,45 0,60 0,69 1,22 0,90 0,33
Março 0,61 0,43 0,37 0,48 0,20 0,52 0,79 0,21 0,47 0,92 1,32 0,43 0,25
Abril 0,87 0,21 0,25 0,55 0,48 0,57 0,77 0,64 0,55 0,67 0,71 0,61 0,14
Maio 0,49 0,10 0,28 0,79 0,47 0,43 0,47 0,36 0,37 0,46 0,74 0,78 0,31
Junho -0,02 -0,21 0,28 0,74 0,36 0,00 0,15 0,08 0,26 0,40 0,79 0,35 -0,23
Julho 0,25 0,19 0,24 0,53 0,24 0,01 0,16 0,43 0,03 0,01 0,62 0,52 0,24
Agosto 0,17 0,05 0,47 0,28 0,15 0,04 0,37 0,41 0,24 0,25 0,22 0,44 0,19
Setembro 0,35 0,21 0,18 0,26 0,24 0,45 0,53 0,57 0,35 0,57 0,54 0,08 0,16
Outubro 0,75 0,33 0,30 0,45 0,28 0,75 0,43 0,59 0,57 0,42 0,82 0,26 0,42
Novembro 0,55 0,31 0,38 0,36 0,41 0,83 0,52 0,60 0,54 0,51 1,01 0,18 0,28
Dezembro 0,36 0,48 0,74 0,28 0,37 0,63 0,50 0,79 0,92 0,78 0,96 0,30 0,44
Soma 5,69 3,14 4,46 5,90 4,31 5,91 6,50 5,84 5,91 6,41 10,70 6,29 2,95
Média 0,46 0,26 0,36 0,48 0,35 0,48 0,53 0,47 0,48 0,52 0,85 0,51 0,24
Vamos utilizar essa série de dados para projetar a inflação brasileira para 
os quatro primeiros meses de 2018, e depois vamos comparar a nossa projeção 
com os valores efetivamente realizados. Se formos competentes na identificação 
do processo gerador da série temporal, teremos condições de fazer uma boa 
projeção para essa variável macroeconômica chave.
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
45
Começamos com uma visualização do gráfico a seguir, da série do IPCA. 
Não é possível identificar um padrão constante de comportamento ao longo 
do tempo. Há momentos em que a série oscila mais e outros em que ela cresce 
demasiadamente. Em outro período, ela decai de forma brusca. Se compararmos 
com o processo de ruído branco, veremos características semelhantes, o que nos 
leva a pensar que essa série é estacionária.
GRÁFICO 11 – ÍNDICE DE PREÇOS AO CONSUMIDOR AMPLO, BRASIL,
JANEIRO DE 2005 A DEZEMBRO DE 2017
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 9 abr. 2019.
Porém, a simples inspeção visual de um gráfico não nos permite tirar 
conclusões precisas e para isso recorremos ao teste de raiz unitária, ADF. Com os 
dados devidamente impostados no Gretl, selecione o menu “Variável”, “Testes de 
raiz unitária”, “Teste de Dickey-Fuller Aumentado”. Na janela de configuração, 
altere o critério de informação para Schwarz (BIC), selecione as opções de teste 
com e sem constante, com constante e tendência, e escolha a opção de mostrar o 
resultado da regressão.
Quando você obtémo resultado do teste, a primeira coisa a verificar é se 
a variável “time” é estatisticamente significativa na última regressão da janela 
de resultados. Você perceberá que não rejeitamos a H0: time = 0, o que nos leva 
a descartar a hipótese de que se trata de um passeio aleatório em torno de uma 
tendência determinística. Depois analisamos se a constante, no teste com constante, 
é estatisticamente significativa. Neste caso, vemos que sim, o que permite que nos 
concentremos nessa equação. O quadro a seguir apresenta o resultado do teste 
ADF com constante para o IPCA.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
46
Só para lembrar, a hipótese nula do teste é a da existência de raiz unitária, 
enquanto a alternativa é de que a série é estacionária. Para uma tomada de decisão 
rápida, podemos olhar o p-valor destacado no quadro a seguir. Com base nesse 
resultado, rejeitamos a hipótese nula e, portanto, concluímos que a série é estacionária, 
permitindo-nos partir para o passo 2 do método Box, Jenkins e Reinsel (2008).
QUADRO 9 – RESULTADO DO TESTE ADF PARA O IPCA
FONTE: O autor
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para IPCA
testar para baixo a partir de d 13efasagens, critério BIC
tamanho da amostra: 155
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 teste com constante 
 incluindo 0 defasagens de (1-L)IPCA
 modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e
 valor estimado de (a - 1): -0,336334
 estatística de teste: tau_c(1) = -5,56758
 p-valor 0,0000
 coeficiente de 1ª ordem para e: 0,012
Para identificar o processo gerador da série, Box, Jenkins e Reinsel (2008), 
sugere a análise dos gráficos da função de autocorrelação e de autocorrelação 
parcial, gerados a partir do correlograma. Nesse gráfico buscaremos identificar o 
padrão descrito no quadro a seguir.
QUADRO 10 – PADRÕES DAS FUNÇÕES DE AUTOCORRELAÇÃO E AUTOCORRELAÇÃO 
PARCIAL DOS MODELOS ARMA (p,q)
FONTE: Adaptado de Gujarati e Porter (2011, p. 775) e Box, Jenkins e Reinsel (2008, p. 199)
Modelo  AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
Função de 
autocorrelação
Decai 
exponencialmente
Coeficiente da 
defasagem “q” é 
estatisticamente 
significativo
Decai 
exponencialmente
Função de 
autocorrelação 
parcial
Coeficiente da 
defasagem “p” é 
estatisticamente 
significativo
Decai 
exponencialmente
Decai 
exponencialmente
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
47
Implementamos o teste a partir do menu “Variável” no Gretl, selecionando 
a opção “Correlograma”. Como o Gretl seleciona a defasagem máxima para a 
série, basta dar um “ok” na janela de teste e analisar os resultados. A figura a 
seguir apresenta o correlograma para a série do IPCA.
FIGURA 9 – CORRELOGRAMA PARA A SÉRIE DO IPCA
FONTE: O autor
Analisamos primeiro a função de autocorrelação (FAC) na parte superior 
da figura e depois a função de autocorrelação parcial (FACP) na parte inferior da 
figura. Perceba que a FAC decai exponencialmente enquanto a única defasagem 
significativa na FACP é a primeira, indicando que temos em mãos um processo 
AR(1). Algebricamente falando, o modelo AR(1) a ser estimado será:
0 1 1t t tIPCA IPCA uφ φ −= + + 2.26
Onde uτ~i.i.d.(0,σ2), ou seja, é um ruído branco.
Sugerimos a você que pegue as séries que simulamos anteriormente, ou 
seja, os processos AR(1), MA(1) e ARMA(1,1) e veja o correlograma dessas séries 
comparando com a descrição do quadro 10, a fim de fixar esses conceitos. 
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
48
Uma vez identificado que o IPCA segue um processo AR(1), o próximo 
passo é estimar o modelo de regressão. Para isso, selecione no Gretl o menu 
“Modelo”, depois escolha “Série temporal” e na sequência escolha “ARIMA”. A 
figura a seguir mostra como é a janela de especificação do modelo. A primeira 
coisa a fazer é definir a variável dependente, e neste caso, como só temos a variável 
IPCA, essa é a nossa escolha.
Depois especificamos o processo ARMA(p,q), informando a ordem do 
AR, neste caso ele assume o valor 1, o MA assume valor zero assim como o I. 
Esse termo I, do ARIMA, é o grau de integração da série, ou seja, quantas vezes 
precisamos defasar a série para torná-la estacionária. No caso do IPCA, como ela 
é estacionária em nível, ele assume valor zero.
FIGURA 10 – JANELA DE ESPECIFICAÇÃO DO MODELO ARMA
FONTE: O autor
O resultado do modelo AR(1) estimado está no quadro a seguir. Note que 
estimamos o modelo com constante. Fizemos isso porque no teste ADF a constante 
foi estatisticamente significativa, e porque não haviam razões teóricas para omiti-la.
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
49
QUADRO 11 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO AR(1) PARA A SÉRIE DO IPCA
FONTE: O autor
Funções calculadas: 22
Cálculos de gradientes: 5
Modelo 1: ARMA, usando as observações 2005:01-2017:12 (T = 156)
Estimado usando o filtro de Kalman (Máxima verossimilhança exata)
Variável dependente: IPCA
Erros padrão baseados na hessiana
 coeficiente erro padrão z p-valor 
 ---------------------------------------------------------
 const 0,462592 0,0469830 9,846 7,14e-023 ***
 phi_1 0,660289 0,0594239 11,11 1,10e-028 ***
Média var. dependente 0,461410 D.P. var. dependente 0,270785
Média de inovações −0,000497 D.P. das inovações 0,201813
Log da verossimilhança 28,02405 Critério de Akaike −50,04809
Critério de Schwarz −40,89852 Critério Hannan-Quinn −46,33193
 Real Imaginária Módulo Frequência
 -----------------------------------------------------------
 AR
 Raiz 1 1,5145 0,0000 1,5145 0,0000
 -----------------------------------------------------------
O Gretl estima o modelo ARMA através do método de máxima verossimilhança 
exata. Não empregamos o método de mínimos quadrados ordinários que estávamos 
habituados em econometria 1. Por estar além do escopo desse manual, aos estudantes 
avançados no tema, nós sugerimos a leitura do Capítulo 7 do livro intitulado Time 
series analysis: forecasting and control de Box, Jenkins e Reinsel (2008); Capítulo 3 da 
obra Econometria de séries temporais de Bueno (2008) e o Capítulo 2, do livro intitulado 
Applied econometric time series de Enders (2004).
Como podemos ver no Quadro 11, tanto a constante quanto ϕ1 são 
estatisticamente significativos. Por ser um AR(1), significa que apenas a inflação 
do período anterior influencia a inflação presente, sendo o repasse de cerca de 
66%. Mas será que o modelo estimado é estável?
O próximo passo da metodologia Box, Jenkins e Reinsel (2008) é verificar 
a estabilidade do modelo e fazer alguns testes de diagnóstico. Basicamente o 
que fazemos é:
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
50
1) Verificamos se os coeficientes estimados são estatisticamente significativos.
2) Devemos observar se ϕ1 < 1, garantindo assim a primeira condição de estabilidade 
do modelo.
3) A outra condição de estabilidade do modelo é a raiz característica que deve ser 
maior do que um em módulo. 
4) Devemos testar também os resíduos para ver se são de fato ruído branco.
A significância estatística dos coeficientes estimados já constatamos. Como 
ϕ1 = 0,66, ou seja, menor do que 1, garantimos a primeira condição de estabilidade. 
A outra condição é fácil de observar porque o Gretl gera essa informação na parte 
de baixo da janela de resultados, grifada no Quadro 11. Trata-se da raiz unitária 
que no modelo AR(1) estimado para o IPCA é igual a 1,5145, ou seja, maior do 
que 1, garantindo a segunda condição de estabilidade.
A verificação dos resíduos, se são autocorrelacionados, pode ser feita 
através da janela do resultado do modelo estimado selecionando o menu “Gráficos” 
e depois “Correlograma dos resíduos”. Senão forem autocorrelacionados, 
esperamos que todas as barras projetadas estejam dentro do intervalo de confiança.
Veja na figura a seguir que quase todas as barras estão dentro do intervalo de 
confiança, com apenas duas exceções, uma na defasagem 12 e outra na defasagem 
18. Se olharmos o quadro a seguir e analisarmos a estatística Q, veremos que, a 
partir da nona defasagem, a estatística Q deixa de ser estatisticamente igual a zero 
com 10% de significância estatística e a partir da décima segunda defasagem, os 
coeficientes estimados, em conjunto, são estatisticamente significativos, violando 
a hipótese de não autocorrelação.
Nesse caso, como alerta Bueno (2008, p. 68), “[...] há informação ainda 
não captada pelo econometrista, que pode gerar previsões pobres”. Quais seriam 
essas informações? Para responder a essa pergunta, precisaríamos fazer uma 
série de testes e tratamento dos dados utilizados, como por exemplo a aplicação 
de algum filtro, HP, X12 ARIMA, Análise Tramo, entre outros.
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
51
FIGURA 11 – CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS
FONTE: O autor
A especificação do modelo também pode ser investigada. Podemos 
estimar várias especificações para o ARMA(p,q), como por exemplo um AR(2), 
MA(1), MA(2), ARMA(1,1), ARMA(2,1), ou até mesmo um ARIMA(1,1,1), entre 
outras tantas especificações. A regra aqui é encontrar um desses modelos que 
passe nos testes de diagnóstico, seja estável e produza erros que são ruídos branco 
e não são autocorrelacionados.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
52
QUADRO 12 – FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO DOS RESÍDUOS
Função de autocorrelação dos resíduos
***, **, * indicam significância aos níveis de 1%, 5% e 10%
usando erro padrão 1/T^0,5
 Defas. FAC FACP Estat. Q [p-valor]
 1 0,0158 0,0158 
 2 -0,0005 -0,0007 0,0399 [0,842]
 3 0,1088 0,1089 1,9477 [0,378]
 4 -0,0861 -0,0907 3,1508 [0,369]
 5 -0,1316 -0,1302 5,9760 [0,201]
 6 0,0111 0,0042 5,9963 [0,307]
 7 -0,1534 * -0,1382 * 9,8880 [0,129]
 8 -0,1121 -0,0921 11,9824 [0,101]
 9 0,0984 0,0822 13,6055 [0,093]
 10 0,0892 0,1088 14,9495 [0,092]
 11 0,1296 0,1374 * 17,8028 [0,058]
 12 0,2705 *** 0,2236 *** 30,3266 [0,001]
 13 0,0333 0,0168 30,5181 [0,002]
 14 -0,0225 -0,0369 30,6061 [0,004]
 15 0,0699 0,0287 31,4610 [0,005]
 16 -0,1015 -0,0499 33,2734 [0,004]
 17 -0,0832 0,0064 34,5012 [0,005]
 18 -0,2150 *** -0,2147 *** 42,7551 [0,001]
 19 -0,1106 -0,0500 44,9562 [0,000]
 20 -0,0386 -0,0196 45,2261 [0,001]
 21 -0,0278 -0,0912 45,3667 [0,001]
FONTE: O autor
A última análise é de normalidade dos resíduos, e para isso nós 
selecionamos o menu “Testes” na janela de resultado da estimação e depois 
escolhemos “Normalidade dos resíduos”. O resultado está na figura a seguir.
O resultado do teste indica que os resíduos são distribuídos como normal, o 
que é uma ótima notícia. Chegamos a essa conclusão analisando a estatística de teste 
para normalidade, Qui-quadrado = 0,442. Entre colchetes, está o p-valor associado a 
uma hipótese nula de normalidade. Neste caso, não rejeitamos essa hipótese, o que 
nos leva a concluir que de fato os resíduos são distribuídos como normal.
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
53
FIGURA 12 – TESTE DE NORMALIDADE DOS RESÍDUOS
FONTE: O autor
Terminados os testes estatísticos, a próxima etapa é o uso do modelo 
para fins de previsão. Muitas vezes os pesquisadores utilizam uma suba mostra 
menor do que a coletada, deixando algumas observações para se fazer a previsão 
dentro da amostra. Em outras vezes, como no nosso caso, utiliza-se o modelo 
para projetar os valores futuros, fora da amostra.
Para fazer a previsão referente aos quatro primeiros meses de 2018, 
selecionamos o menu “Análise” a partir da janela de resultado do modelo AR(1) 
estimado, e depois escolhemos “Previsões”. O Gretl abrirá uma janela informando 
que “Não existem observações fora da amostra para previsão”. Ele também 
permitirá acrescentar novas observações. Neste caso, informe o número 4 no campo 
de “Número de observações a acrescentar” e clique em “OK” para confirmar.
A figura a seguir apresenta a janela de previsão do Gretl. Basta manter as 
opções previamente selecionadas e confirmar ou, caso queira fazer algum ajuste, 
você poderá escolher o botão “Ajuda” para obter mais detalhes sobre essa janela.
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
54
FIGURA 13 – JANELA DE PREVISÃO DO GRETL
FONTE: O autor
FONTE: O autor
O resultado da previsão está no gráfico e quadro a seguir, em que 
omitimos parte das observações por questão de espaço. Percebam no quadro 
a seguir que há uma previsão, que podemos chamar de cenário base, e um 
intervalo de confiança no qual os limites inferior e superior podem ser 
chamados de cenário otimista e o outro de pessimista.
GRÁFICO 12 – PREVISÃO PARA O IPCA NOS QUATRO PRIMEIROS MESES DE 2018
TÓPICO 2 | ANÁLISE UNIVARIADA
55
A título de comparação ou de capacidade de previsão do nosso modelo, 
nos primeiros quatro meses de 2018, a inflação medida pelo IPCA registrou em 
janeiro 0,29%, em fevereiro 0,32%, em março 0,09% e em abril 0,22%. Nos quatro 
meses projetados, o IPCA ficou mais próximo do cenário base do que dos limites 
estabelecidos pelo intervalo de confiança, exceto em março que esteve mais 
próximo do limite inferior do intervalo do que do valor projetado.
QUADRO 13 – PREVISÃO PARA O IPCA NOS QUATRO PRIMEIROS MESES DE 2018
FONTE: O autor
Para intervalos de confiança de 95%, z(0,025) = 1,96
 IPCA previsão erro padrão intervalo a 95%
2011:08 0,37 0,26
2011:09 0,53 0,40
2011:10 0,43 0,51
2011:11 0,52 0,44
2011:12 0,50 0,50
.
.
.
2017:09 0,16 0,28
2017:10 0,42 0,26
2017:11 0,28 0,43
2017:12 0,44 0,34
2018:01 0,45 0,202 0,05 - 0,84
2018:02 0,45 0,242 -0,02 - 0,93
2018:03 0,46 0,257 -0,05 - 0,96
2018:04 0,46 0,264 -0,06 - 0,98
56
RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse tópico, você aprendeu que:
• Na análise univariada, usamos a metodologia desenvolvida e aprimorada 
por Box, Jenkins e Reinsel (2008), que consiste em um procedimento em que 
verificamos a estacionariedade da série de dados, depois se busca identificar a 
equação que melhor descreve o comportamento temporal da série, estimamos 
o modelo, empregamos testes de diagnóstico e aplicamos o modelo para fins 
de previsão e controle.
• O teste de estacionariedade mais empregado na literatura é o Dickey e Fuller 
Aumentado, ADF, cuja hipótese nula é da existência de raiz unitária.
• Uma série temporal pode seguir um processo AutoRegressivo, AR, de Médias 
Móveis, MA, ou um processo AutoRegressivo e de Médias Móveis, ARMA.
• Para identificar qual é o processo que gerou determinada série, recorremos ao 
correlograma, analisando o gráfico da função de autocorrelação e o gráfico da 
função de autocorrelação parcial.
• Após estimar o modelo, devermos aplicar testes de diagnósticos, tais como a 
verificação da significância estatística dos coeficientes estimados, verificamos 
se ϕ1 < 1 e se a raiz característica é maior do que um em módulo, garantindo 
assim a estabilidade do modelo. Finalmente, testamos os resíduos para ver se 
são de fato ruído branco.
57
1 A abordagem padrão para análise de séries temporaisestacionárias é a 
metodologia Box-Jenkins (1970). Essa abordagem permite que valores 
futuros de uma série sejam previstos tomando por base apenas seus valores 
presentes e passados. O primeiro passo dessa abordagem consiste em 
identificar as ordens p e q do modelo.
Com base nessa metodologia, relacione a coluna da direita com a 
coluna da esquerda:
2 Com base na metodologia Box-Jenkins, responda às questões a seguir:
a) Raiz unitária: com base em uma simulação contendo 300 observações, 
gerou-se uma série temporal Yt. O teste ADF foi rodado sobre a série Yt 
a fim de apurar se há problemas de raiz unitária nessa série. O resultado 
apurado foi o seguinte:
Com base no resultado do teste ADF, informe se a série é estacionária.
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para Y
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 teste sem constante 
 estatística de teste: tau_nc(1) = -8,46556
 p-valor 0,0000
Regressão de Dickey-Fuller
MQO, usando as observações 2-300 (T = 299)
Variável dependente: d_Y
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 Y_1 −0,387829 0,0458126 −8,466 9,02e-015 ***
AUTOATIVIDADE
1) ( )
Função de autocorrelação: truncada na defasagem q.
Função de autocorrelação parcial: declina 
exponencialmente.
2) ( ) ARMA (1, 1)
3) ( ) MA (1) 
4) Modelo AR(p) ( ) AR (1)
5) Modelo MA(q) ( )
Função de autocorrelação: declina 
exponencialmente.
Função de autocorrelação parcial: truncada na 
defasagem p.
1t t tY c Yφ ε−= + +
1t t tY µ ε θε −= + +
1 1 1 1t t t tY c Yφ θ ε ε− −= + + +
58
b) Identificação da ordem do processo ARMA(p,q): outra série temporal foi gerada, 
dessa vez com 200 observações. A série Xt apresentou o seguinte correlograma:
Com base no correlograma acima, identifique qual o processo 
ARMA(p,q) gerou a série Xt e justifique a sua resposta.
c) Uma série Zt foi gerada através de uma simulação. Verificou-se que a série não 
tem problemas de raiz unitária e que foi gerada através de um processo AR(1).
Com base nessa série, estimou-se o modelo AR(1), cujo resultado 
encontra-se a seguir:
Funções calculadas: 18
Cálculos de gradientes: 6
Modelo 1: ARMA, usando as observações 1-500
Estimado usando o filtro de Kalman (Máxima verossimilhança exata)
Variável dependente: Z
Erros padrão baseados na hessiana
 coeficiente erro padrão z p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const −0,0158780 0,132509 −0,1198 0,9046 
 phi_1 0,682088 0,0325622 20,95 1,99e-097 ***
Média var. dependente −0,017399 D.P. var. dependente 1,297107
Média de inovações −0,000022 D.P. das inovações 0,945999
Log da verossimilhança −682,0256 Critério de Akaike 1370,051
Critério de Schwarz 1382,695 Critério Hannan-Quinn 1375,013
 Real Imaginária Módulo Frequência
 -----------------------------------------------------------
 AR
 Raiz 1 1,4661 0,0000 1,4661 0,0000
 -----------------------------------------------------------
59
Em relação às condições de estabilidade, informe se o modelo AR(1) 
estimado é estável. Para isso, considere o resultado do modelo estimado e 
as seguintes informações:
Teste da normalidade dos resíduos -
Hipótese nula: o erro tem distribuição Normal
Estatística de teste: Qui-quadrado(2) = 2,02159 com p-valor = 0,36393
60
61
TÓPICO 3
ANÁLISE MULTIVARIADA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Quando estimamos relações entre variáveis com base em dados de séries 
temporais, precisamos verificar se as séries são estacionárias em nível, ou se será 
necessário diferenciar a série para torná-la estacionária.
No Tópico 3 da Unidade 1, veremos que estimar relações econométricas 
entre séries não estacionárias pode gerar o fenômeno da regressão espúria, 
ocasião na qual verificamos uma relação puramente estatística entre as variáveis, 
sem haver de fato sentido econômico.
Veremos também que há certas situações em que ao estimar uma regressão 
entre séries não estacionárias gera um resultado válido. É o caso das séries 
cointegradas, quando temos uma relação estável de longo prazo entre as variáveis.
Finalizaremos este tópico e a Unidade 1 com os modelos VAR, que 
ganharam grande impulso a partir de 1980, e que até hoje vêm sendo utilizados 
por muitos bancos centrais ao redor do mundo para prever o comportamento de 
variáveis macroeconômicas chaves. O relatório de inflação publicado pelo Banco 
Central do Brasil em junho de 2004 divulgou pela primeira vez os modelos VAR 
utilizados pelo BACEN para previsão da inflação. Teremos a oportunidade de 
estudar o funcionamento dessa modelagem que é de grande utilidade para quem 
pretende aprofundar-se nos estudos sobre políticas monetária e fiscal.
2 COINTEGRAÇÃO
Na análise univariada de séries temporais, para determinar o processo 
gerador de uma série particular, dissemos que era necessário que essa série fosse 
estacionária. Caso isso não ocorresse, deveríamos diferenciá-la a fim de torná-
la estacionária. Naquele momento, estávamos a fim de encontrar uma equação 
capaz de modelar e reproduzir o comportamento dessa série específica.
Sabemos, porém, que há diversos fatores que afetam a trajetória de 
uma série econômica, como por exemplo a inflação, que é influenciada pela 
expectativa a respeito do seu comportamento futuro, a taxa real de juros, o hiato 
do produto e taxa de desemprego. 
62
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
A fim de evitar uma relação espúria entre duas variáveis, devemos verificar 
se elas são estacionárias antes de estimar uma regressão. Caso não sejam, as 
diferenciamos e então rodamos a regressão estabelecendo uma relação estatística 
entre elas. Se elas forem cointegradas, não precisamos diferenciar as séries, basta 
estimar a regressão, estabelecendo uma relação de longo prazo entre as variáveis. 
Chamamos isso de cointegração, conforme definido por Engle e Granger (1987).
A ideia da cointegração está relacionada ao movimento conjunto das séries 
ao longo do tempo, em torno de uma tendência estocástica. É como se houvesse 
um elo entre as duas séries não estacionárias que proporcionasse um equilíbrio 
de longo prazo entre elas. 
Para entender melhor, suponha duas séries temporais {yt} e {xt}, e suponha 
que ambas sejam l(1), ou seja, possuem raiz unitária em nível e após diferenciar 
uma vez se tornam estacionárias. Se rodarmos uma regressão entre essas duas 
variáveis em nível, corremos o risco de gerar um resultado espúrio. Porém, se os 
resíduos resultantes da regressão forem l(0), estacionários em nível, dizemos que 
as duas séries cointegram e possuem uma relação estável de longo prazo.
Engle e Granger (1987) estabeleceram um teste para verificar a existência de 
cointegração entre séries temporais, seguindo um procedimento simples de apenas 
três passos. O primeiro deles consiste em verificar o grau de integração das séries, 
ou seja, verificamos se elas são l(1). O segundo passo é estimar uma relação de longo 
prazo, rodando a regressão com as variáveis em nível e o terceiro passo consiste em 
aplicar o teste ADF nos resíduos. Assim, H0: raiz unitária para os resíduos equivale a 
uma hipótese nula de não existência de cointegração entre as variáveis.
Vamos a um exemplo prático para entender melhor o conceito e sua 
aplicação. Considere os dados do quadro a seguir, obtidos no site do Ipeadata 
<www.ipeadata.gov.br>. O período escolhido vai do primeiro trimestre de 2006 
até o terceiro trimestre de 2017, totalizando 87 observações. Para a variável 
dependente, usamos o consumo final das famílias, em R$ milhões. Para a variável 
explicativa, optamos por uma proxy da renda e neste caso escolhemos o PIB a 
preços demercado, em R$ milhões.
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
63
QUADRO 14 – CONSUMO E RENDA, BRASIL, 1º TRIMESTRE 1996
ATÉ 3º TRIMESTRE 2017
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 9 abr. 2019.
Período Consumo Renda Período Consumo Renda Período Consumo Renda
1996 T1 125.685 189.323 2003 T2 260.277 418.987 2010 T3 596.732 997.935
1996 T2 132.511 204.611 2003 T3 267.445 439.350 2010 T4 628.475 1.057.370
1996 T3 142.658 221.513 2003 T4 277.306 462.372 2011 T1 623.585 1.016.530
1996 T4 156.087 239.316 2004 T1 274.159 444.783 2011 T2 648.649 1.086.712
1997 T1 147.808 219.117 2004 T2 284.833 481.795 2011 T3 668.612 1.112.334
1997 T2 154.447 232.890 2004 T3 301.881 505.252 2011 T4 696.969 1.160.806
1997 T3 157.598 246.178 2004 T4 317.821 525.920 2012 T1 694.702 1.129.478
1997 T4 161.954 253.904 2005 T1 308.544 499.710 2012 T2 718.127 1.183.130
1998 T1 157.103 235.701 2005 T2 321.752 535.557 2012 T3 753.551 1.230.448
1998 T2 159.194 251.936 2005 T3 332.896 552.859 2012 T4 790.454 1.271.703
1998 T3 163.447 258.043 2005 T4 350.104 582.458 2013 T1 777.708 1.241.600
1998 T4 163.187 256.671 2006 T1 345.002 554.270 2013 T2 805.980 1.322.567
1999 T1 164.893 250.668 2006 T2 355.817 581.977 2013 T3 833.145 1.354.127
1999 T2 170.252 268.709 2006 T3 368.734 617.848 2013 T4 873.589 1.413.324
1999 T3 178.811 274.126 2006 T4 386.663 655.355 2014 T1 873.851 1.386.074
1999 T4 189.576 294.208 2007 T1 384.999 631.423 2014 T2 888.412 1.422.374
2000 T1 176.025 276.927 2007 T2 400.751 670.655 2014 T3 912.055 1.462.111
2000 T2 189.996 292.789 2007 T3 410.354 691.846 2014 T4 964.086 1.508.394
2000 T3 200.012 308.896 2007 T4 432.652 726.339 2015 T1 936.462 1.456.588
2000 T4 208.493 320.481 2008 T1 433.753 712.055 2015 T2 938.505 1.479.994
2001 T1 203.369 312.470 2008 T2 456.473 769.525 2015 T3 959.604 1.508.188
2001 T2 210.284 323.724 2008 T3 480.468 812.603 2015 T4 1.000.621 1.551.016
2001 T3 211.486 332.524 2008 T4 486.816 815.620 2016 T1 969.945 1.497.569
2001 T4 218.362 347.038 2009 T1 474.264 756.127 2016 T2 982.033 1.555.783
2002 T1 215.913 342.297 2009 T2 504.220 803.578 2016 T3 1.010.775 1.574.470
2002 T2 225.796 367.363 2009 T3 534.397 852.843 2016 T4 1.044.578 1.631.406
2002 T3 233.655 379.795 2009 T4 552.152 920.491 2017 T1 1.001.845 1.585.039
2002 T4 246.172 399.333 2010 T1 546.392 886.397 2017 T2 1.021.076 1.630.940
2003 T1 257.432 397.242 2010 T2 568.567 944.145 2017 T3 1.048.827 1.641.368
A ideia é estimar o seguinte modelo de regressão:
Consumot = β1 + β2Rendat + ut 3.1
Estamos supondo que ut seja uma variável aleatória distribuída como 
normal, com média zero e variância constante.
64
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
O gráfico a seguir mostra a trajetória temporal dessas duas séries. Observe 
que elas parecem caminhar na mesma direção seguindo alguma certa tendência 
conjunta. Aparentemente, as duas variáveis são correlacionadas, no sentido de 
que o movimento de uma afeta o movimento da outra. Por outro lado, antes de 
qualquer decisão acerca da relação entre elas, é preciso avaliar se de fato há um 
componente de equilíbrio de longo prazo nessa relação ou se o que vemos no 
gráfico a seguir não passa de mero comportamento coincidente.
GRÁFICO 13 – CONSUMO E RENDA, BRASIL, 1º TRIMESTRE 1996
ATÉ 3º TRIMESTRE 2017
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 9 abr. 2019. 
O teste de Engle e Granger (1987) requer uma análise em três procedimentos 
conforme comentado anteriormente. Para nossa felicidade o Gretl inclui uma 
rotina pronta do teste, economizando um bom tempo, abrindo espaço para nos 
dedicarmos mais à análise e interpretação dos resultados.
Para proceder com o teste, escolha no Gretl o menu “Modelo”, depois 
“Série temporal”, na sequência selecione “Multivariado” e escolha “Teste de 
cointegração (Engle-Granger)”. A figura a seguir mostra a janela de configuração 
do teste. Deixe que o Gretl sugira a ordem de defasagem e marque a opção “Testar 
para baixo a partir da defasagem de maior ordem”, e faça o teste com constante 
(a menos que haja razões teóricas suficientemente fortes para que a regressão seja 
estimada sem a constante). O resultado do teste está nos quadros 1, 2 e 3. Optei 
por apresentar o resultado dessa forma para poder discutir cada passo envolvido. 
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
65
FIGURA 14 – TESTE DE COINTEGRAÇÃO DE ENGLE E GRANGER (1987)
FONTE: O autor
No Quadro 15 seguir temos o teste de estacionariedade das séries. O Gretl 
emprega o teste ADF em cada variável. Perceba pelo resultado obtido que tanto o 
consumo quanto a renda possuem raiz unitária. Dessa forma, a menos que sejam 
cointegradas, regredir o consumo contra a renda proporcionará um resultado espúrio.
O Quadro 16 apresenta a regressão de cointegração, ou a relação de 
longo prazo entre a variável dependente e a variável explicativa. Veja que a 
constante tem sinal negativo, o que não faz o menor sentido econômico, mas 
também não é estatisticamente significativo, enquanto o coeficiente angular 
é estatisticamente significativo e seu valor indica uma propensão marginal a 
consumir de longo prazo de 0,6279.
66
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
QUADRO 15 – TESTE DE RAIZ UNITÁRIA NAS VARIÁVEIS
FONTE: o autor
Passo 1: teste para uma raiz unitária em Consumo
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para Consumo
testar para baixo a partir de d 4efasagens, critério AIC
tamanho da amostra: 82
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 teste com constante 
 incluindo 4 defasagens de(1-L)Consumo
 modelo:(1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
 valor estimado de (a - 1): 0,000282356
 estatística de teste: tau_c(1) = 0,0592453
 p-valor assintótico 0,9626
 coeficiente de 1ª ordem para e: 0,012
 diferenças defasadas: F(4, 76) = 50,881 [0,0000]
Passo 2: teste para uma raiz unitária em Renda
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para Renda
testar para baixo a partir de d 4efasagens, critério AIC
tamanho da amostra: 82
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 teste com constante 
 incluindo 4 defasagens de (1-L)Renda
 modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
 valor estimado de (a - 1): 0,00349805
 estatística de teste: tau_c(1) = 0,694969
 p-valor assintótico 0,9921
 coeficiente de 1ª ordem para e: 0,096
 diferenças defasadas: F(4, 76) = 60,033 [0,0000]
Finalmente, o Quadro 17 apresenta o resultado do teste de raiz unitária 
para os resíduos da regressão de cointegração.
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
67
QUADRO 16 – REGRESSÃO DE COINTEGRAÇÃO ENTRE CONSUMO E RENDA
FONTE: O autor
Passo 3: regressão de cointegração
Regressão de cointegração -
MQO, usando as observações 1996:1-2017:3 (T = 87)
Variável dependente: Consumo
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 -------------------------------------------------------------
 const −4902,52 3041,04 −1,612 0,1106 
 Renda 0,627914 0,00338398 185,6 1,18e-112 ***
Média var. dependente 475915,5 D.P. var. dependente 297417,7
Soma resíd. quadrados 1,87e+10 E.P. da regressão 14845,96
R-quadrado 0,997537 R-quadrado ajustado 0,997508
Log da verossimilhança −958,1130 Critério de Akaike 1920,226
Critério de Schwarz 1925,158 Critério Hannan-Quinn 1922,212
rô 0,774641 Durbin-Watson 0,459036
Quero chamar sua atenção para a parte final do resultado do teste de 
Engle e Granger. O Gretl nos indica como fazer a interpretação dos resultados 
obtidos e está destacado em negrito no Quadro 17.
QUADRO 17 – TESTE DE RAIZ UNITÁRIA PARA OS RESÍDUOS
DA REGRESSÃO DE COINTEGRAÇÃO
FONTE: O autor
Passo 4: teste para uma raiz unitária em uhat
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para uhat
testar para baixo a partir de d 4efasagens, critério AICtamanho da amostra: 82
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 modelo: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e
 valor estimado de (a - 1): -0,133621
 estatística de teste: tau_c(2) = -2,10889
 p-valor assintótico 0,4709
 coeficiente de 1ª ordem para e: 0,107
 diferenças defasadas: F(4, 77) = 15,654 [0,0000]
Existe evidência de uma relação de cointegração se:
(a) A hipótese de raiz unitária não é rejeitada para as variáveis 
individuais e;
(b) A hipótese de raiz unitária é rejeitada para os resíduos 
(uhat) da 
 regressão de cointegração.
68
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Notem que há duas condições para haver cointegração. A primeira delas 
é haver raiz unitária para as variáveis em nível e a segunda é que os resíduos não 
possuam raiz unitária. No nosso exemplo, os resíduos da regressão de cointegração 
possuem raiz unitária, portanto as séries não cointegram, ou seja, o resultado de 
uma regressão entre essas variáveis sem o devido tratamento é espúrio.
Por que chegamos a esse resultado se faz todo o sentido econômico 
haver uma relação entre essas variáveis? Volte ao Gráfico 13 e observe o forte 
componente sazonal das séries. Obviamente não podemos desprezar esse fato. 
Quando nos deparamos com uma situação como essa, a saída pode ser aplicar 
um filtro nas séries de dados, afim de remover o componente sazonal.
Falamos sobre o filtro HP no Tópico 1 e o aplicaremos nas séries de 
consumo e renda, a fim de remover esse componente sazonal. Ao utilizar o filtro 
proposto por Hodrick e Prescott (1997), queremos estimar a tendência de longo 
prazo da série. Com isso, supomos que as séries são formadas por uma tendência 
e um elemento estacionário. Fazemos isso aplicando o seguinte modelo na série 
de consumo e da renda:
Σt=1 (yt – gt)2 + λ Σt=2[(gt+1–gt) – (gt – gt–1)]2 3.2
Para implementar o filtro no Gretl, selecionamos o menu “Variável”, 
depois “Filtro” e seleciona “Hodrick-Prescott”. A figura a seguir apresenta a janela 
de configuração do filtro. A primeira definição é para o valor do λ da equação 3.2. 
Hodrick e Prescott (1997) sugerem o valor de 1.600, que é assumido como padrão 
pelo Gretl. Para aplicações mais avançadas, sugerimos a leitura do artigo original 
e a busca por outras fontes derivadas daquele trabalho.
FIGURA 15 – CONFIGURAÇÃO DO FILTRO HP
FONTE: O autor
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
69
Você pode selecionar todas as outras caixas dessa janela por curiosidade 
a fim de verificar o que elas geram. Para o nosso trabalho nos interessa apenas a 
opção “Salvar a série suavizada como”. Faça o mesmo procedimento para as duas 
séries, consumo e renda, e depois aplique o teste de Engle e Granger (1987).
O gráfico a seguir mostra as séries originais e com filtro, enquanto os 
quadros 4, 5 e 6 apresentam o resultado do teste de Engle e Granger (1987).
GRÁFICO 14 – SÉRIES DE CONSUMO E RENDA COM APLICAÇÃO DO FILTRO HP
FONTE: O autor
Não podemos rejeitar a hipótese de raiz unitária para ambas as séries 
após a aplicação do filtro HP. Com isso, o primeiro passo do teste de Engle e 
Granger está cumprido.
70
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
QUADRO 18 – TESTE DE RAIZ UNITÁRIA NAS VARIÁVEIS
FONTE: O autor
Passo 1: teste para uma raiz unitária em hpt_Consumo
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para hpt_Consumo
testar para baixo a partir de d 4efasagens, critério AIC
tamanho da amostra: 83
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 teste com constante 
 incluindo 3 defasagens de (1-L)hpt_Consumo
 modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
 valor estimado de (a - 1): -2,72411e-005
 estatística de teste: tau_c(1) = -1,58746
 p-valor assintótico 0,489
 coeficiente de 1ª ordem para e: -0,000
 diferenças defasadas: F(3, 78) = 5489598,022 [0,0000]
Passo 2: teste para uma raiz unitária em hpt_Renda
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para hpt_Renda
testar para baixo a partir de d 4efasagens, critério AIC
tamanho da amostra: 83
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 teste com constante 
 incluindo 3 defasagens de (1-L)hpt_Renda
 modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
 valor estimado de (a - 1): -1,72421e-005
 estatística de teste: tau_c(1) = -1,36179
 p-valor assintótico 0,6026
 coeficiente de 1ª ordem para e: -0,004
 diferenças defasadas: F(3, 78) = 3810706,423 [0,0000]
O quadro a seguir mostra o resultado da regressão de cointegração. 
Como podemos ver, a constante continua com o sinal errado, porém agora ela é 
estatisticamente significativa ao nível de 5%. A propensão marginal a consumir 
também é significativa e um pouco maior do que antes da aplicação do filtro.
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
71
FONTE: O autor
QUADRO 19 – REGRESSÃO DE COINTEGRAÇÃO ENTRE CONSUMO E RENDA
Passo 3: regressão de cointegração
Regressão de cointegração -
MQO, usando as observações 1996:1-2017:3 (T = 87)
Variável dependente: hpt_Consumo
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 --------------------------------------------------------------
 const −5196,09 2385,24 −2,178 0,0321 **
 hpt_Renda 0,628297 0,00265608 236,6 1,33e-121 ***
Média var. dependente 475915,5 D.P. var. dependente 296702,3
Soma resíd. quadrados 1,15e+10 E.P. da regressão 11622,95
R-quadrado 0,998483 R-quadrado ajustado 0,998465
Log da verossimilhança −936,8201 Critério de Akaike 1877,640
Critério de Schwarz 1882,572 Critério Hannan-Quinn 1879,626
rô 0,996528 Durbin-Watson 0,007310
O quadro a seguir apresenta o resultado do teste de raiz unitária para os resíduos 
da regressão de cointegração. Ao nível de 10% de significância, podemos rejeitar a 
hipótese nula de raiz unitária para os resíduos, aceitando a hipótese da existência de 
uma relação estável de longo prazo entre essas variáveis, ou seja, elas cointegram.
QUADRO 20 – TESTE DE RAIZ UNITÁRIA PARA OS RESÍDUOS
DA REGRESSÃO DE COINTEGRAÇÃO
FONTE: O autor
Passo 4: teste para uma raiz unitária em uhat
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para uhat
testar para baixo a partir de d 4efasagens, critério AIC
tamanho da amostra: 83
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
 modelo: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e
 valor estimado de (a - 1): -0,000270325
 estatística de teste: tau_c(2) = -3,29189
 p-valor assintótico 0,0559
 coeficiente de 1ª ordem para e: 0,095
 diferenças defasadas: F(3, 79) = 1378987,634 [0,0000]
Existe evidência de uma relação de cointegração se:
(a) A hipótese de raiz unitária não é rejeitada para as variáveis 
individuais e;
(b) A hipótese de raiz unitária é rejeitada para os resíduos (uhat) da 
 regressão de cointegração.
72
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Se duas variáveis são cointegrados, podemos dizer que deve existir uma 
relação de longo prazo, ou de equilíbrio entre elas. No entanto, no curto prazo, 
essa relação também será de equilíbrio? Vamos simular duas séries temporais de 
forma que sejam cointegradas para ver o que acontece com a relação de equilíbrio 
no curto prazo. Para isso, digite os seguintes comandos no Gretl:
nulldata 300
setobs 1 1 --time-series
series e = normal(0,9)
series Z = 0
Z = Z(-1) + e
series u = normal(0,1)
series Y = 0
Y = 0.4*Y(-1) + Z + u
series v = normal(0,4)
series X = 0
X = 0.4*X(-1) + Z + v
Você poderá verificar através do teste de Engle e Granger (1987) que 
essas duas séries são cointegradas, estabelecendo um equilíbrio de longo prazo. 
Quando temos uma situação assim, de cointegração, podemos aplicar o teorema 
de representação de Granger, que diz que “[...] se duas variáveis Y e X são 
cointegradas, a relação entre as duas pode ser expressa como um mecanismo de 
correção de erro” (GUJARATI; PORTER, 2011,p. 758).
Para verificar se o teorema é válido, estimamos a regressão:
Yt = β1 + β2Xt + ut 3.3 
Salvamos os resíduos, ût, defasamos um período e estimamos a equação 
em diferenças 3.4.
∆Yt = α0 + α1ΔXt + α2ût-1 + εt 3.4
Em 3.4 temos o chamado mecanismo de correção de erros, em que os 
resíduos estimados por 3.3 e inseridos em 3.4 representam o termo de erro de 
equilíbrio. Assim, caso as variáveis Yt e Xt sejam cointegradas, â2,que mede a 
velocidade do ajustamento, será negativo e estatisticamente significativo.
Como eu construí as variáveis Yt e Xt de forma a serem cointegradas, vou 
deixar para você fazer o teste de Engle e Granger (1987) e certificar-se que as 
séries simuladas são de fato cointegradas.
Após confirmar a existência de cointegração entre as séries, o próximo 
passo é estimar 3.3 por Mínimos Quadrados Ordinários e salvar os resíduos. O 
procedimento de estimação você aprendeu em Econometria 1 e os resultados se 
encontram no quadro a seguir.
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
73
QUADRO 21 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO MODELO 3.3 POR MQO
FONTE: O autor
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-300
Variável dependente: Y
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor
 ---------------------------------------------------------
 const −0,353003 0,667671 −0,5287 0,5974 
 X 0,999917 0,00219879 454,8 0,0000 ***
Média var. dependente 278,5518 D.P. var. dependente 120,2958
Soma resíd. quadrados 6225,924 E.P. da regressão 4,570816
R-quadrado 0,998561 R-quadrado ajustado 0,998556
F(1, 298) 206804,0 P-valor(F) 0,000000
Log da verossimilhança −880,5857 Critério de Akaike 1765,171
Critério de Schwarz 1772,579 Critério Hannan-Quinn 1768,136
rô 0,426504 Durbin-Watson 1,146928
A constante não é estatisticamente significativa e o coeficiente angular 
é muito próximo de 1 e estatisticamente diferente de zero. Apesar de termos 
problemas de autocorrelação de primeira ordem, como podemos ver pela 
estatística de Durbin-Watson, vamos ignorar esse problema no presente exercício, 
passando para o próximo passo.
Devemos salvar a série de resíduos estimados, fazendo ût = Yt – β1 – β2Xt, ou, 
através do Gretl, na janela do modelo estimado, você seleciona o menu “Salvar” e 
depois “Resíduos”. O Gretl gerará uma série com o nome “uhat1”, chamando de 
“resíduo do modelo 1”.
Para estimar o mecanismo de correção de erros, modelo 3.4, devemos 
tirar a primeira diferença das séries Yt e Xt. Para isso, na tela inicial do Gretl 
você seleciona cada uma das variáveis, escolhe o menu “Acrescentar” e depois 
escolhe “Primeiras diferenças das variáveis selecionadas”. Feito isso você deve 
selecionar o menu “Modelo” e depois “Mínimos quadrados ordinários”. A 
variável dependente agora é d_Y e a variável explicativa deve ser d_X. Além da 
variável d_X, você deve incluir a variável what1 e clicar no botão “defasagens” na 
janela de especificação do modelo.
74
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
FIGURA 16 – JANELA DE SELEÇÃO DA ORDEM DE DEFASAGEM
FONTE: O autor
A figura anterior apresenta a janela de seleção da ordem de defasagem para 
as variáveis incluídas no modelo. Você deve informar uma defasagem para what1, 
conforme a figura anterior e confirmar. O Gretl retorna à janela de especificação do 
modelo com a variável what1 defasada um período. Agora é só confirmar e ver o 
resultado do modelo estimado, que reproduzimos no quadro a seguir.
QUADRO 22 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO MODELO 3.4 POR MQO
FONTE: O autor
Modelo 2: MQO, usando as observações 2-300 (T = 299)
Variável dependente: d_Y
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const 0,109162 0,229614 0,4754 0,6348 
 d_X 0,880328 0,0219926 40,03 1,81e-121 ***
 uhat1_1 −0,498083 0,0520196 −9,575 4,28e-019 ***
Média var. dependente 0,906672 D.P. var. dependente 9,986453
Soma resíd. quadrados 4631,007 E.P. da regressão 3,955413
R-quadrado 0,844175 R-quadrado ajustado 0,843122
F(2, 296) 801,7844 P-valor(F) 3,2e-120
Log da verossimilhança −833,9055 Critério de Akaike 1673,811
Critério de Schwarz 1684,912 Critério Hannan-Quinn 1678,254
rô 0,074284 Durbin-Watson 1,828516
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
75
O resultado da regressão mostra que o coeficiente â2 é negativo e 
estatisticamente significativo, e seu valor indica que 49,80% da discrepância 
entre o Yt de longo prazo e o de curto prazo é corrigido em um período. Se Yt 
estiver abaixo do seu valor de equilíbrio, ele começará a cair no próximo período 
para corrigir o erro de equilíbrio. A influência de Xt sobre Yt no curto prazo é de 
0,880328, enquanto a influência de longo prazo é de 0,999917. 
3 VETOR AUTOREGRESSIVO (VAR)
Estamos acostumados a lidar com modelos com uma variável dependente, 
ou endógena, e outra variável explicativa, ou exógena. Muitas aplicações que 
fizemos até agora acrescentamos múltiplas variáveis exógenas, melhorando 
assim a nossa capacidade de prever o comportamento da variável endógena.
Em um estudo no qual queremos estimar uma função de resposta do 
Banco Central ao processo inflacionário, tendo como variável alvo a taxa de juros, 
teríamos como variáveis explicativas, por exemplo, a diferença entre a inflação 
presente e a sua expectativa formada ex-ante, o hiato do produto (diferença entre 
o PIB corrente e o PIB potencial) e diferença entre a taxa de desemprego e a 
taxa natural de desemprego (taxa essa que não acelera a inflação). Um modelo 
possível, com εt~N(0,σ2), seria:
( ) ( ) ( )0 1 2 3e p nt t t t t ti Y Y U Uα α π π α α ε= + − + − + − + 3.5
Observe que em 3.5, apesar da variável it, a taxa de juros definida pelo 
Banco Central, ser endógena, ou seja, explicada pelo modelo de regressão, 
poderíamos usar essa mesma variável para explicar todas as demais. Afinal, 
tanto a inflação observada quanto a sua expectativa depende da taxa de juros 
praticada pelo Banco Central, e pode ser explicada pelo hiato do produto, e 
pelo desemprego. Da mesma forma, o PIB (potencial ou realizado) depende da 
taxa de desemprego, taxa de juros e taxa de inflação, entre outras variáveis. E o 
desemprego é a mesma coisa.
O que vemos em 3.5 é um modelo de regressão no qual todas as variáveis 
do modelo são endógenas, ou seja, são capazes de serem definidas dentro de 
um sistema de equações de forma simultânea. O problema é que a técnica 
econométrica que aprendemos até agora só é aplicada quando temos apenas uma 
variável endógena e outras variáveis exógenas ao mesmo tempo. Modelos como 
o de 3.5 não pode ser estimado usando as técnicas tradicionais.
Para resolver essa questão, Sims (1980) desenvolveu o modelo VAR 
(Vetores AutorRegressivos), que considera um sistema de equações simultâneas 
em que todas as variáveis são endógenas, ou seja, os coeficientes estimados são 
definidos dentro do próprio sistema de equações.
Seguindo Bueno (2008), podemos escrever um modelo VAR bivariado da 
seguinte maneira:
76
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
10 12 11 1 12 1
20 21 21 1 12 1
t t t t y yt
t t t t z zt
y b a z b y b z
z b a y b y b z
σ ε
σ ε
− −
− −
= − + + +
= − + + + 3.6
Os termos de erro em um modelo VAR são chamados de impulsos, 
inovações ou choques. O problemaem 3.6 é que Yt e εyt, assim como Zt e εzt são 
correlacionados, conforme Bueno (2008, p. 162) “Isso ocorre porque cada uma 
dessas variáveis depende contemporaneamente da outra (efeito feedback)”. 
Podemos reescrever 3.6 na forma estrutural para torná-la mais intuitiva.
  
0 1
10 112 11 12
20 121 21 22
1 0
1 0
t t
t t yty
t t ztz
X BA B B
y b ya b b
z b za b b
ε
εσ
εσ
−
−
≡ ≡ ≡≡ ≡ ≡
            
= + +            
            
  
 3.7
0 1 1t t tAX B B X Bε−= + + 3.8
Pré-multiplicando ambos os lados de 3.8 por A-1 , obtemos:
1 1 1
0 1 1t t tX A B A B X A Bε
− − −
−= + + 3.9
Fazendo ϕ0 = A-1 B0, ϕ1 = A-1 B1 e Aet = Bεt, obtemos o modelo na forma reduzida:
0 1 1t t tX X eφ φ −= + + 3.10
Para compreender como um VAR é estimado, vamos procurar identificar as 
relações entre as decisões sobre a taxa básica de juros por parte do BACEN, a expectativa 
de inflação para os próximos 12 meses e a inflação acumulada nos últimos 12 meses.
Suponha o seguinte modelo tri variado:
1
1 1
2
1 1
3
1 1
 
 
k k
t i t i i t i t
i i
k k
t i t i i t i t
i i
k k
t i t i i t i i
i i
Selic Eipca ipca u
Eipca Selic ipca u
IPCA Eipca Selic u
ω α β
ψ δ β
ϕ α δ
− −
= =
− −
= =
− −
= =
= + + +
= + + +
= + + +
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
 3.11
Os dados são mensais, estão disponíveis no quadro a seguir e se referem ao 
período entre 2002 e 2008. Estimar um modelo VAR implica em seguir alguns passos:
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
77
1- Verificar se as séries são estacionárias.
2- Se as variáveis não forem estacionárias, modificamos o modelo a fim de 
incorporar as séries em primeira diferença. 
3- Escolher o grau de defasagem das séries no modelo. 
4- Estimamos o modelo VAR na defasagem escolhida no passo 3.
QUADRO 23 – TAXA DE JUROS, INFLAÇÃO E EXPECTATIVAS DE INFLAÇÃO, BRASIL JANEIRO 
DE 2002 ATÉ JULHO DE 2008
FONTE: <www.bcb.gov.br>. Acesso em: 9 abr. 2019. 
Período EIPCA IPCA SELIC Período EIPCA IPCA SELIC
jan/02 4,968 8,23 19,00 maio/05 5,07389 8,60 19,75
fev/02 5,38711 8,01 18,75 jun/05 5,22078 8,03 19,75
mar/02 5,59734 8,16 18,50 jul/05 5,11609 7,54 19,75
abr/02 5,05211 8,61 18,50 ago/05 5,15793 6,75 19,75
maio/02 4,90567 8,21 18,50 set/05 5,01153 6,39 19,50
jun/02 5,03074 8,22 18,50 out/05 4,86519 6,83 19,00
jul/02 4,61451 8,94 18,00 nov/05 4,5939 6,95 18,50
ago/02 4,71902 8,21 18,00 dez/05 4,44806 6,60 18,00
set/02 5,49354 8,23 18,00 jan/06 4,44793 6,31 17,25
out/02 8,6225 9,34 21,00 fev/06 4,13635 6,13 17,25
nov/02 10,33784 11,72 22,00 mar/06 3,82534 5,96 16,50
dez/02 11,59085 13,26 25,00 abr/06 3,72187 5,54 15,75
jan/03 11,34641 15,06 25,50 maio/06 3,99102 4,74 15,25
fev/03 11,23661 16,26 26,50 jun/06 4,53135 4,01 15,25
mar/03 10,59816 17,27 26,50 jul/06 4,90678 4,23 14,75
abr/03 9,48352 17,70 26,50 ago/06 4,86519 4,02 14,25
maio/03 9,13751 17,48 26,50 set/06 4,48971 4,06 14,25
jun/03 8,1683 17,06 26,00 out/06 4,38566 4,04 13,75
jul/03 6,88808 16,80 24,50 nov/06 4,44795 3,59 13,25
ago/03 6,69705 15,82 22,00 dez/06 4,01167 3,51 13,25
set/03 6,29436 15,97 20,00 jan/07 3,74232 3,60 13,00
out/03 6,10416 15,48 19,00 fev/07 3,24726 3,44 13,00
nov/03 5,61944 14,37 17,50 mar/07 3,10319 3,40 12,75
dez/03 5,6825 11,60 16,50 abr/07 2,81555 3,21 12,50
jan/04 6,04001 10,13 16,50 maio/07 2,89751 3,29 12,50
fev/04 5,59806 8,36 16,50 jun/07 3,18542 3,47 12,00
mar/04 5,66116 7,19 16,25 jul/07 3,59781 3,94 11,50
abr/04 5,85071 6,28 16,00 ago/07 4,01176 4,23 11,50
maio/04 6,4208 5,80 16,00 set/07 4,17778 4,36 11,25
jun/04 6,86548 5,90 16,00 out/07 4,17778 4,46 11,25
jul/04 6,485 7,03 16,00 nov/07 4,26076 4,51 11,25
ago/04 6,56976 7,55 16,00 dez/07 4,30195 4,96 11,25
set/04 6,3578 7,54 16,25 jan/08 4,13586 5,02 11,25
out/04 6,35761 7,18 16,75 fev/08 3,70129 5,07 11,25
nov/04 6,01939 7,60 17,25 mar/08 3,74266 5,12 11,25
dez/04 5,76651 8,16 17,75 abr/08 3,97041 5,30 11,75
jan/05 5,95588 8,22 18,25 maio/08 4,55226 5,87 11,75
fev/05 5,74551 8,04 18,75 jun/08 5,32551 6,36 12,25
mar/05 5,70337 8,04 19,25 jul/08 5,55651 6,62 13,00
abr/05 5,59808 8,47 19,50
78
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Para verificar a estacionariedade, aplicamos o teste ADF, cujo resultado 
sintetizado está no quadro a seguir.
QUADRO 24 – RESULTADO DO TESTE ADF NAS SÉRIES DE DADOS
FONTE: O autor
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para EIPCA
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
teste com constante 
valor estimado de (a - 1): -0,0674433
estatística de teste: tau_c(1) = -2,86641
p-valor assintótico 0,04937
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para SELIC
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
com constante e tendência 
valor estimado de (a - 1): -0,117373
estatística de teste: tau_ct(1) = -3,88424
p-valor assintótico 0,01266
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para IPCA
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
com constante e tendência 
valor estimado de (a - 1): -0,0944858
estatística de teste: tau_ct(1) = -3,84999
p-valor assintótico 0,01411
Considerando 5% de significância estatística, podemos rejeitar a hipótese 
nula de raiz unitária, portanto, usaremos as séries em nível. O próximo passo 
é verificar o grau de defasagem das variáveis no modelo 3.11. Para isso, na tela 
inicial do Gretl, selecione a opção “Modelo”, depois escolha “Série temporal”, na 
sequência “Multivariado” e finalmente “Seleção de defasagens VAR”. Preencha 
as informações como na figura a seguir e clique em “OK” para obter o resultado 
que está transcrito no Quadro 25.
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
79
FIGURA 17 – SELEÇÃO DE DEFASAGENS VAR
FONTE: O autor
A ideia é que o número de defasagens do modelo VAR gere ruídos 
brancos. Para isso, usamos os critérios de informação, escolhendo um número de 
defasagens que torne o modelo parcimonioso. Dito de outra forma, tome cuidado 
ao selecionar as defasagens porque quanto mais defasagens mais coeficientes são 
estimados, reduzindo o número de graus de liberdade do modelo e influenciando 
na sua capacidade de previsão.
QUADRO 25 – SELEÇÃO DE DEFASAGENS VAR
FONTE: O autor
Sistema VAR, máximo grau de defasagem 11
Os asteriscos abaixo indicam os melhores (isto é, os mínimos) valores
dos respectivos critérios de informação. AIC = critério de Akaike,
BIC = critério Bayesiano de Schwarz, e HQC = critério de Hannan-Quinn.
defas. log.L p(LR) AIC BIC HQC
 1 -117,37707 3,805208 4,196886 3,960403 
 2 -79,75408 0,00000 2,963355 3,648792* 3,234946 
 3 -64,66895 0,00041 2,784381 3,763575 3,172368 
 4 -49,12099 0,00029 2,591794 3,864747 3,096177*
 5 -39,22810 0,01928 2,565532 4,132244 3,186311 
 6 -26,33140 0,00221 2,450923 4,311393 3,188099 
 7 -24,39975 0,92018 2,658816 4,813044 3,512387 
 8 -18,39218 0,21246 2,746829 5,194815 3,716796 
 9 -8,34507 0,01734 2,716031 5,457776 3,802395 
 10 19,55891 0,00000 2,160032 5,195535 3,362791 
 11 31,58918 0,00421 2,070906* 5,400168 3,390062
80
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Pelo critério de Schwarz, selecionamos duas defasagens, o que significa 
que o modelo a ser estimado será:
Selict = ω + α1Elipcat-1 + α2Elipcat-2 + β11ipcat-1 + β2ipcat-2 + u1t
Elipcat = Ψ + δ1Selict-1 + δ2Selict-2 + β1ipcat-1 + β2ipcat-2 + u2t3.12
IPCAt = φ + α1Elipcat-1 + α2Elipcat-2 + δ1Selict-1 + δ2Selict-2 + u3i
A estimação é feita selecionando o menu “Modelo”, depois escolha “Série 
temporal”, na sequência “Multivariado” e selecione “VAR”, preenchendo as 
informações conforme a Figura 18. 
O resultado, com algumas omissões por questão de espaço, está no 
Quadro 26. Começamos com a equação 1, que avalia a expectativa em relação ao 
IPCA. Veja que nessa estimação, apenas os valores defasados da expectativa do 
IPCA são estatisticamente significativos, e há uma mudança de sinal da primeira 
defasagem para a segunda. Isso indica que no período analisado as expectativas 
são modificadas ou adaptadas à medida que a inflação se realiza.
A equação 2 avalia o IPCA. Nesse caso, vemos que a inflação é influenciada 
pelas expectativas e pelos seus valores observados (que são as variáveis 
estatisticamente significativas). Em síntese, os agentes econômicos, ao decidirem 
sobre os preços que serão praticados, olham a inflação ocorrida nos últimos dois 
meses, atribuindo um peso maior a essa variável, e olham as expectativas dos 
demais agentes em relação à inflação.
FIGURA 18 – ESTIMANDO O MODELO VAR
FONTE: O autor
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
81
A equação número 3 avalia as decisões do Banco Central em relação à taxa de 
juros. É como se fosse uma função resposta do Bacen às mudanças na inflação e nas 
expectativas sobre a inflação. Perceba que nesse caso o Bacen olha as expectativas dos 
agentes em relação à inflação e não considera os preços passados na hora de decidir 
sobre a trajetória da taxa de juros, além da própria taxa de juros do período anterior.
QUADRO 26 – RESULTADO DO MODELO VAR
FONTE: O autor
Sistema VAR, grau de defasagem 2
Estimativas MQO, observações 2002:03-2008:07 (T = 77)
Equação 1: EIPCA
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 -----------------------------------------------------------
 const 0,463395 0,317028 1,462 0,1483 
 EIPCA_1 1,55710 0,124057 12,55 1,37e-019 ***
 EIPCA_2 −0,700804 0,118549 −5,912 1,12e-07 ***
 IPCA_1 0,0797939 0,100338 0,7953 0,4292 
 IPCA_2 −0,0439390 0,0883047 −0,4976 0,6203 
 SELIC_1 −0,00191888 0,112848 −0,01700 0,9865 
 SELIC_2 0,00475427 0,114217 0,04162 0,9669 
Média var. dependente 5,532041 D.P. var. dependente 1,960283
Soma resíd. quadrados 14,79561 E.P. da regressão 0,459745
R-quadrado 0,949338 R-quadrado ajustado 0,944996
F(6, 70) 218,6180 P-valor(F) 2,78e-43
rô −0,064875 Durbin-Watson 2,122548
Equação 2: IPCA
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const −0,530280 0,292406 −1,814 0,0740 *
 EIPCA_1 0,464443 0,114422 4,059 0,0001 ***
 EIPCA_2 −0,371475 0,109342 −3,397 0,0011 ***
 IPCA_1 1,41515 0,0925449 15,29 5,24e-024 ***
 IPCA_2 −0,500485 0,0814466 −6,145 4,34e-08 ***
 SELIC_1 0,0995946 0,104084 0,9569 0,3419 
 SELIC_2 −0,0593472 0,105347 −0,5634 0,5750 
Média var. dependente 7,861299 D.P. var. dependente 4,047641
Soma resíd. quadrados 12,58666 E.P. da regressão 0,424039
R-quadrado 0,989891 R-quadrado ajustado 0,989025
F(6, 70) 1142,461 P-valor(F) 9,53e-68
rô 0,039219 Durbin-Watson 1,917627
Equação 3: SELIC
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const 0,0806493 0,395120 0,2041 0,8389 
 EIPCA_1 0,454770 0,154616 2,941 0,0044 ***
 EIPCA_2 −0,301115 0,147751 −2,038 0,0453 **
 IPCA_1 0,0965416 0,125053 0,7720 0,4427 
 IPCA_2 −0,146834 0,110057 −1,334 0,1865 
 SELIC_1 1,22129 0,140646 8,683 1,01e-012 ***
 SELIC_2 −0,255554 0,142352 −1,795 0,0769 *
Média var. dependente 16,97403 D.P. var. dependente 4,231886
Soma resíd. quadrados 22,98251 E.P. da regressão 0,572993
R-quadrado 0,983114 R-quadrado ajustado 0,981667
F(6, 70) 679,2582 P-valor(F) 5,92e-60
rô −0,135451 Durbin-Watson 2,268629
82
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Os resultados devem ser analisados com ressalvas. É importante ter em 
mente que o que fizemos aqui é apenas um exercício com o objetivo de verificar 
os procedimentos de estimação de um VAR, sem querer esgotar a pesquisa sobre 
as relações entre expectativas, inflação e taxa de juros.
Mesmo assim, esses resultados são válidos e devem ser interpretados de 
acordo com o período amostral. Se atualizarmos as informações e agregarmos mais 
variáveis, certamente obteremos resultados diferentes, o que nos permite avaliar 
inclusive as decisões do Banco Central brasileiro em relação à taxa de juros em 
governos diferentes, a fim de avaliar qual a variável que um determinado Banco 
Central atribuiu mais peso, comparativamente ao Banco Central de outro governo.
Precisamos nos certificar de que o modelo é estável e para isso usamos 
a condição de estabilidade de Lütkepohl (2005). Para que o modelo seja estável, 
as raízes da inversa do VAR (os autovalores da matriz de coeficientes) deve 
estar dentro do círculo unitário. A partir da janela de resultado do Gretl, você 
deve selecionar o menu “Gráfico” e depois escolher “Inversas das raízes VAR”. 
O gráfico gerado está na figura 6, onde podemos ver que em relação ao círculo 
unitário, todas as raízes do VAR estão dentro daquele círculo, garantindo a 
estabilidade do modelo estimado.
FIGURA 19 – INVERSA DAS RAÍZES DO VAR
FONTE: O autor
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
83
A estabilidade do processo VAR garante também a sua estacionariedade, 
como mostra Lütkepohl (2005, p. 25). Além da estabilidade e da estacionariedade, 
buscamos resíduos que sejam ruídos branco. Para verificar essa suposição, a partir 
da janela de resultado do modelo estimado, você seleciona no menu “Testes” e 
depois “Autocorrelação”. Basta definir as defasagens e clicar em “OK” para obter 
o resultado do teste de Multiplicador de Lagrange, cuja hipótese nula é de que os 
resíduos não são autocorrelacionados.
Você verificará que o resultado do teste do nosso exemplo apresenta 
presença de autocorrelação de segunda ordem, como mostra o quadro a seguir. 
A autocorrelação não é o único problema. Esperávamos encontrar resíduos 
distribuídos como normal, mas, como vemos no quadro a seguir, a hipótese nula 
de normalidade é rejeitada pelo teste de Doornik e Hansen (1994).
QUADRO 27 – TESTE DE AUTOCORRELAÇÃO E NORMALIDADE PARA OS RESÍDUOS
FONTE: O autor
Teste para autocorrelação até a ordem 2
 Rao F Approx dist. p-value
lag 1 2,612 F(9, 158) 0,0077
lag 2 2,082 F(18, 175) 0,0082
Teste para normalidade dos resíduos, seguindo Doornik e Hansen (1994)
Matriz de correlação dos resíduos, C (3 x 3)
 1,0000 0,050133 0,59613 
 0,050133 1,0000 -0,050687 
 0,59613 -0,050687 1,0000 
Autovalores de C
 0,395458
 1,00841
 1,59613
Teste de Doornik-Hansen
 Qui-quadrado(6) = 58,4843 [0,0000]
Com o modelo estimado, e considerando que tenha passado pelas 
condições de estabilidade e estacionariedade, e pelos diagnósticos dos resíduos, 
podemos extrair ainda duas importantes estatísticas: a função de resposta a 
impulsos e a decomposição da variância. Ambas as estatísticas estão disponíveis 
no menu “Análise” da janela de resultados do Gretl, e são de interpretaçãointuitivamente simples.
84
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
A decomposição da variância mostra o percentual de mudanças na variância 
de uma variável explicada pelas mudanças na variância da outra variável. O gráfico 
da função de resposta a impulsos mostra o efeito de um choque não antecipado um 
período sobre os resíduos correntes e valores futuros das variáveis. Dito de outra 
forma, um choque na i – éstima variável afeta não apenas diretamente a i – éstima 
variável, mas também é transmitido para todas as outras variáveis endógenas pela 
estrutura dinâmica do VAR (COTTRELL; LUCCHETTI, 2018).
4 VETOR DE CORREÇÃO DE ERROS (VECM)
O modelo VECM é um caso especial do VAR, cujo desenvolvimento 
ganhou notoriedade através do trabalho de (CAMPBELL; PERRON, 1991). A 
vantagem em utilizar essa abordagem é preservar várias características presentes 
nas séries não estacionárias, e ausentes nas séries integradas, e maior facilidade 
de interpretação teórica (BUENO, 2008). 
Além disso, reduz significativamente problemas de multicolineariedade 
e de correlação serial, algo típico dos modelos de séries temporais, e permite 
distinguir efeitos de curto e longo prazo, tornando a interpretação dos resultados 
do modelo VEC mais intuitivos e verdadeiros (JUSELIUS, 2006).
Podemos escrever o VEC da seguinte forma:
ΔXt = ϕXt–1 + ΣΛiΔXt–i + δdt + et 3.13
Onde ϕ = αβ' em que β é a matriz que tem r vetores de cointegração e α é 
a matriz de ajustamento, com r vetores de ajustamento, por isso ϕXt-1 representa 
a relação de ajustamento de longo prazo, ou a relação de cointegração dada entre 
as variáveis endógenas. O segundo componente Σi=1ΛiΔXt-1 representa os fatores 
de curto prazo, obtido da mesma forma que o da equação do VAR, entretanto, 
usando-se as variáveis em primeira diferença (BUENO, 2008). 
Como critério de estimação do VECM, todas as variáveis precisam ter 
a mesma ordem de integração para que possam ser cointegradas, e devem ser 
estacionárias em suas diferenças. Além disso, espera-se que os termos de erro 
sejam um ruído branco (BUENO, 2008).
p–1
i=1
p–1
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
85
LEITURA COMPLEMENTAR
NOBEL DE ECONOMIA 2011 VAI PARA
THOMAS SARGENT E CHRISTOPHER SIMS
10/10/2011
Os pesquisadores norte-americanos Thomas Sargent e Christopher Sims 
foram os escolhidos para o Nobel de economia 2011, informou nesta segunda-
feira (10) a Academia Real das Ciências da Suécia.
Eles foram premiados pela "pesquisa empírica sobre a causa e o efeito na 
macroeconomia", informou a Academia.
Com o prêmio, os dois receberão cerca de US$ 1,5 milhão.
O anúncio do Nobel de Economia fecha a edição de 2011 destes prestigiados 
prêmios, que começou na segunda-feira passada com o de Medicina, dividido 
entre o americano Bruce Beutler, o franco-luxemburguês Jules Hoffmann e o 
canadense Ralph Steinman, morto dias antes da divulgação da premiação.
Hoje, os métodos desenvolvidos por Sargent e Sims são ferramentas 
essenciais na análise macroeconômica", destaca a academia em seu comunicado.
SOBRE O ESTUDO
De acordo com a Academia, o trabalho dos dois é importante para ajudar 
a distinguir o que é causa e o que é efeito na economia em relação às políticas 
macroeconômicas adotadas pelo governo, já que muitas vezes a diferença entre 
o que são choques (eventos inesperados da economia) e o que são efeitos de 
medidas é difícil de ser percebido separadamente.
Por exemplo: o banco central decide elevar a taxa de juros porque prevê 
que os consumidores irão aumentar os gastos e gerar inflação; ao mesmo tempo, 
os investidores decidem gastar mais ou menos com base em como esperam que o 
banco central irá agir. É uma relação recíproca.
De acordo com a Academia, as pesquisas sobre causa e efeito na 
macroeconomia de Sims e Sargent ajudaram a entender os efeitos de mudanças 
sistemáticas de políticas macroeconômicas, enquanto Sims focou em como os 
choques na economia (eventos inesperados, como a alta do petróleo) se espalham.
"Uma dificuldade em entender como a economia funciona é que as relações 
são muitas vezes recíprocas. É a política adotada pelo governo que influencia o 
desenvolvimento econômico ou há uma relação causal reversa?
86
UNIDADE 1 | ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
De acordo com a Academia, os laureados desenvolveram métodos para 
responder a perguntas como as seguintes:
"Como o PIB e a inflação são afetados por uma alta temporária na taxa 
de juros ou um corte de impostos? O que acontece se o banco central fizer uma 
mudança permanente em sua meta de inflação ou se o governo alterar sua meta 
para o orçamento"?
Sargent e Sims, ambos com 68 anos, realizaram suas pesquisas de modo 
independente, nos anos 1970 e 1980.
Thomas J. Sargent, nascido em 1943, em Pasadena, Califórnia, é professor 
na Universidade de Nova York.
Christopher A. Sims nasceu em 1942 em Washington e é professor na 
Universidade de Princeton.
O prêmio de Economia, oficialmente denominado o Prêmio Sveriges 
Riksbank de Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel, foi estabelecido 
em 1968. Não integrava o grupo original de prêmios definido no testamento de 
Alfred Nobel, o magnata da dinamite, em 1895.
RESPOSTA PARA A CRISE
Ao telefone com o comitê do Nobel, instantes após o anúncio, Sims disse que 
o prêmio foi inesperado e que estava dormindo quando recebeu a ligação anunciando 
a premiação. "Estava dizendo às pessoas que eu não deveria levar", disse.
Questionado sobre como seu trabalho poderia ser usado para ajudar a 
resolver a crise financeira global, Sims, foi cauteloso: "Se eu tivesse uma resposta 
simples para isso estaria espalhando para o mundo. Não há resposta simples".
Em entrevista ao diretor editorial do Nobel, pouco após o anúncio, Thomas 
Sargent afirmou que ele e seu colega laureado apenas "olham os números e tentam 
descobrir o que está acontecendo". De acordo com ele, os modelos desenvolvidos 
são usados para prever melhor os papéis e limites das intervenções na economia. 
"Tentamos experimentar nos nossos modelos antes de quebrar o mundo", afirmou.
THOMAS SARGENT
• Sargent nasceu em julho de 1943 e se formou bacharel em 1964 na Universidade 
da Califórnia, em Berkeley, e tornou-se PhD em 1968 da Universidade Harvard.
• Ele se especializou no campo da macroeconomia, economia monetária e 
econometria de séries temporais. Ele é conhecido como 'um dos líderes 
da revolução de expectativas racionais' e autor de numerosos artigos que 
romperam barreiras.
TÓPICO 3 | ANÁLISE MULTIVARIADA
87
• Em uma série de artigos escritos durante os anos 1970, Sargent mostrou 
como os modelos macroeconômicos estruturais podem ser construídos, 
resolvidos e estimados. Sua abordagem acabou sendo particularmente útil 
na análise de política econômica, mas também é utilizada em outras áreas de 
macroeconometria e pesquisa econômica.
• Sargent mostrou como a macroeconometria estrutural pode ser utilizada para 
analisar mudanças permanentes na política econômica. Esse método pode ser 
aplicado para estudar relações macroeconômicas quando famílias e empresas 
ajustam suas expectativas simultaneamente com os desenvolvimentos econômicos.
• Atualmente, ele é professor de Economia e Negócios na Universidade de Nova York.
CRISTOPHER SIMS
• Sims nasceu em outubro de 1942 e tornou-se PhD em Economia em 1968 na 
Universidade de Harvard. Ele foi professor em Harvard, na Universidade de 
Minnesota, Universidade de Yale e, desde 1999, em Princeton.
• Sims é membro da Academia Nacional de Ciências (desde 1989) e da Academia 
Americana de Artes e Ciências (desde 1988).
• Em seu artigo 'Macroeconomia e Realidade' (1980), Sims introduziu uma nova 
maneira de analisar dados macroeconômicos. Ele também concordou com 
Sargent na ênfase da importânciadas expectativas.
• Sims propôs um novo método de identificar e interpretar choques econômicos 
em dados históricos e analisar como tais choques são gradualmente transmitidos 
para diferentes variáveis econômicas.
• Sims desenvolveu um método baseado na chamada autorregressão vetorial 
para analisar como a economia é afetada por mudanças temporárias na política 
econômica e outros fatores.
• Atualmente, ele é Professor de Economia e Bancos na Universidade Princeton.
(Com informações da Reuters e da AFP)
FONTE: <http://g1.globo.com/economia/noticia/2011/10/nobel-de-economia-2011-vai-para-tho-
mas-sargent-e-christopher-sims.html>. Acesso em: 21 abr. 2019.
88
RESUMO DO TÓPICO 3
Nesse tópico, você aprendeu que:
• Na análise multivariada com dados de séries temporais, da mesma forma que 
na análise univariada, é necessário observar se as séries são estacionárias antes 
de rodar uma regressão.
• Estimar uma regressão com séries que apresentam raiz unitária gera resultados 
espúrios. Exceto quando os resíduos da regressão são estacionários, neste caso 
dizemos que as séries são cointegradas.
• Engle e Granger (1987) estabeleceram um teste para verificar e existência de 
cointegração entre séries temporais. O teste inicia verificando se as séries são 
integradas de ordem 1, I(1). Se ambas são integradas da mesma ordem, rodamos 
uma regressão com as variáveis em nível e aplicamos o teste ADF nos resíduos, 
sob hipótese nula de não existência de cointegração entre as variáveis.
• Caso as variáveis cointegrem, podemos expressar essa relação através de um 
mecanismo de correção de erros, conforme o teorema de representação de Granger.
• Quando o modelo econométrico possuir apenas variáveis dependentes 
podemos estimar uma relação entre as variáveis através de um sistema de 
equações simultânea, desenvolvido por Sims (1980), chamado de modelo VAR 
(Vetores AutorRegressivos).
89
1 Considere o modelo de regressão linear: Ct = a1 + a2 Yt + ut, t = 1, ..., T, em 
que: Ct é o consumo pessoal em t, Yt é a renda pessoal em t, e ut é o termo 
de erro aleatório.
É correto afirmar que:
a) ( ) Se Ct e Yt são I(1), então ut será obrigatoriamente estacionário.
b) ( ) Se o Ct e Yt são integradas, mas com ordens de integração diferentes, 
então a regressão será inválida.
c) ( ) Se Ct e Yt são I(1), então um teste de raiz unitária aplicado aos resíduos 
da regressão poderá identificar a presença de cointegração entre as 
variáveis.
d) ( ) Se Ct e Yt são I(1), mas os resíduos são I(0), então há cointegração entre 
as variáveis.
e) ( ) Se Ct e Yt são I(1) e os resíduos também são I(1), então a regressão de ΔCt 
em ΔYt é inválida.
2 Quais os passos para estimar um modelo VAR?
3 Por que incluímos defasagens das variáveis no modelo VAR? Como 
definimos a quantidade de defasagens a ser empregada?
4 Após a estimação do VAR, quais os testes de diagnóstico devemos empregar?
AUTOATIVIDADE
90
91
UNIDADE 2
MODELOS ECONOMÉTRICOS 
DINÂMICOS E MODELOS DE 
EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• construir modelos econométricos que incluem não apenas os valores 
correntes das variáveis explanatórias, mas também valores defasados;
• estabelecer uma relação multidisciplinar entre as disciplinas de 
econometria e macroeconomia, desenvolvendo na prática os conceitos 
relativos às teorias sobre expectativas;
• investigar as relações de causalidade ou precedência entre variáveis;
• estimar modelos com múltiplas equações, identificando e distinguindo as 
variáveis endógenas das exógenas em um sistema de equações simultâneas.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS
TÓPICO 2 – MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
TÓPICO 3 – PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
92
93
TÓPICO 1
MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na Unidade 2 continuamos os estudos iniciados na Unidade 1 sobre 
econometria com dados de séries temporais, avançando na análise multivariada, 
concentrando a atenção na macroeconometria.
Inicialmente abordamos os modelos com defasagens distribuídas, que são 
modelos em que a variável explicativa Xt se relaciona com a variável dependente 
Yt de forma contemporânea, no tempo t, e com defasagens, em t – k. Esses modelos 
nos ajudam a compreender, por exemplo, os mecanismos de transmissão da 
política monetária sobre a economia real, entre outras aplicações.
A título de exemplo considere um caso no qual há uma desoneração fiscal 
sobre bens de consumo duráveis, cuja quantidade vendida pode ser definida como 
Yt, e a desoneração (redução nos impostos sobre produtos industrializados) como Xt. 
Sabemos que o primeiro impacto imediato dessa medida será o aumento 
nas vendas de Y em t, e que em t + 1, t + 2, ..., t + k ainda haverá impacto dessa 
decisão tomada em t, mas em menor escala. A influência da desoneração ao longo 
do tempo sobre as vendas de produtos industrializados perderá forças, até o 
momento que ela cessa definitivamente.
O outro modelo abordado na Unidade 2 é o modelo autorregressivo. 
Nesse caso, a variável Yt é afetada pelas mudanças em Xt e nas mudanças de Y 
em períodos anteriores. Imagine que Yt seja o preço da gasolina nas bombas de 
combustível e Xt o preço da gasolina nas refinarias. 
Uma mudança na estrutura de custos em t, como por exemplo a cotação do 
barril de petróleo ou variações na taxa de câmbio, altera o preço da gasolina nas 
refinarias, X no período t. Se uma determinada rede de postos de combustíveis 
ainda tem gasolina ao preço antigo, a mudança do preço X em t, terá um impacto 
somado ao preço do estoque de combustíveis no momento do reajuste. Assim, a 
própria variável Y, preço da gasolina, em períodos anteriores, t – 1, t – 2, ..., t – k, 
afeta o preço nas bombas de combustível.
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
94
No Tópico 2 veremos os modelos de equações simultâneas que, 
diferentemente da Unidade 1, têm na sua composição tanto variáveis endógenas 
quanto variáveis exógenas. Nesse caso, os modelos VAR dão lugar ao método de 
estimação desenvolvido especificamente para esse fim.
Terminamos a Unidade 2 falando sobre a existência de precedência na 
economia. Dizemos que uma variável precede a outra quando o seu comportamento 
presente é capaz de alterar a trajetória futura de outra variável. Dito de outra forma, 
o caminho seguido por uma variável é precedido pela direção que a outra toma.
2 MODELOS COM DEFASAGENS DISTRIBUÍDAS
Sabemos que a dinâmica econômica é complexa. Mudanças em 
determinadas variáveis econômicas são sentidas na economia real com alguma 
defasagem. Além disso, esse impacto pode ser percebido ainda em períodos 
futuros. Para compreender melhor, considere o seguinte modelo de regressão:
0 1 1 2 2t t t t k t k tY X X X X uα β β β β− − −= + + + +…+ + 1.1
Suponha que Yt seja o consumo das famílias e que Xt seja a renda familiar. 
Se considerarmos ainda que o tempo é medido em meses, podemos dizer que 
no modelo 1.1 o consumo presente das famílias depende da renda presente e da 
renda recebida nos meses anteriores ao consumo.
Esse modelo faz sentido se você imaginar que um agente econômico racional 
abre mão de uma parcela do consumo presente a fim de poupar recursos para 
consumir no futuro. Assim, em 1.1, as famílias que pouparam estão consumindo a 
parcela de sua renda que deixaram de consumir em t – 1, t – 2, ..., t – k.
Gujarati e Porter (2011, p. 615) chamam o coeficiente β0 de multiplicador 
de impacto de curto prazo. Esse coeficiente expressa a proporção da variação de 
X que afetaY contemporaneamente.
Se somarmos os coeficientes β subsequentes, teremos os multiplicadores de 
impacto intermediários, e da mesma forma, somando todos os coeficientes β, obtemos 
o multiplicador de defasagens de longo prazo ou total. A partir da obtenção do 
multiplicador de defasagens total é possível obter os multiplicadores proporcionais, 
ou seja, a proporção do impacto de longo prazo sentido em determinado período.
Há dois grandes problemas relacionados aos modelos de defasagens 
distribuídas. O primeiro deles é a definição do número de defasagens da variável 
explicativa e o outro processo de estimação dos parâmetros.
TÓPICO 1 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS
95
Uma das formas de estimar o modelo 1.1 é pelo método de mínimos quadrados 
ordinários. Neste caso, rodamos a regressão sequencialmente, adicionando em cada 
estimativa uma nova defasagem. Fazemos isso até que “[...] os coeficientes de regressão 
das variáveis defasadas começam a tornar-se estatisticamente insignificantes e/ou o 
coeficiente de pelo menos uma das variáveis muda o sinal de positivo para negativo 
ou vice-versa” (GUJARATI; PORTER, 2011, p. 620).
Para compreender esse procedimento, considere o caso da lei de Okun, 
que mostra uma relação negativa entre desemprego e PIB. Para maiores detalhes, 
consulte uma obra de referência de macroeconomia, por exemplo, o Capítulo 9, 
da obra Maroeconomia, de Makiw (2008). Os dados que usaremos estão no quadro 
a seguir e se referem à economia americana para o período entre o segundo 
trimestre de 1985 e o segundo trimestre de 1991.
QUADRO 1 – TAXA DE DESEMPREGO E CRESCIMENTO ECONÔMICO
FONTE: <http://www.learneconometrics.com/gretl/POE4_data.zip>.
Acesso em: 11 abr. 2019.
Período gt ut Período gt ut Período gt ut Período gt ut
1985 T2 1,40 7,30 1991 T3 1,20 6,90 1997 T4 1,10 4,70 2004 T1 1,60 5,70 
1985 T3 2,00 7,20 1991 T4 1,00 7,10 1998 T1 1,10 4,60 2004 T2 1,60 5,60 
1985 T4 1,40 7,00 1992 T1 1,60 7,40 1998 T2 1,10 4,40 2004 T3 1,50 5,40 
1986 T1 1,50 7,00 1992 T2 1,70 7,60 1998 T3 1,70 4,50 2004 T4 1,60 5,40 
1986 T2 0,90 7,20 1992 T3 1,50 7,60 1998 T4 2,00 4,40 2005 T1 1,90 5,30 
1986 T3 1,50 7,00 1992 T4 1,60 7,40 1999 T1 1,30 4,30 2005 T2 1,10 5,10 
1986 T4 1,20 6,80 1993 T1 0,80 7,10 1999 T2 1,10 4,30 2005 T3 1,80 5,00 
1987 T1 1,50 6,60 1993 T2 1,20 7,10 1999 T3 1,60 4,20 2005 T4 1,40 4,90 
1987 T2 1,60 6,30 1993 T3 1,00 6,80 1999 T4 2,20 4,10 2006 T1 2,10 4,70 
1987 T3 1,70 6,00 1993 T4 1,90 6,60 2000 T1 1,10 4,00 2006 T2 1,20 4,70 
1987 T4 2,50 5,80 1994 T1 1,50 6,60 2000 T2 2,50 3,90 2006 T3 0,80 4,60 
1988 T1 1,30 5,70 1994 T2 1,90 6,20 2000 T3 0,70 4,00 2006 T4 1,20 4,40 
1988 T2 2,20 5,50 1994 T3 1,20 6,00 2000 T4 1,10 3,90 2007 T1 1,40 4,50 
1988 T3 1,70 5,50 1994 T4 1,60 5,60 2001 T1 0,30 4,20 2007 T2 1,50 4,50 
1988 T4 2,10 5,30 1995 T1 0,80 5,50 2001 T2 1,30 4,40 2007 T3 1,30 4,70 
1989 T1 2,10 5,20 1995 T2 0,70 5,70 2001 T3 0,00 4,80 2007 T4 1,10 4,80 
1989 T2 1,70 5,20 1995 T3 1,30 5,70 2001 T4 0,70 5,50 2008 T1 0,30 4,90 
1989 T3 1,50 5,20 1995 T4 1,20 5,60 2002 T1 1,20 5,70 2008 T2 0,90 5,40 
1989 T4 0,90 5,40 1996 T1 1,30 5,50 2002 T2 1,00 5,80 2008 T3 0,30 6,10 
1990 T1 2,30 5,30 1996 T2 2,10 5,50 2002 T3 0,90 5,70 2008 T4 -1,40 6,90 
1990 T2 1,60 5,30 1996 T3 1,20 5,30 2002 T4 0,60 5,90 2009 T1 -1,20 8,10 
1990 T3 0,90 5,70 1996 T4 1,70 5,30 2003 T1 1,10 5,90 2009 T2 -0,20 9,30 
1990 T4 -0,10 6,10 1997 T1 1,40 5,20 2003 T2 1,10 6,10 2009 T3 0,80 9,60 
1991 T1 0,60 6,60 1997 T2 1,70 5,00 2003 T3 2,20 6,10 
1991 T2 1,40 6,80 1997 T3 1,60 4,90 2003 T4 1,40 5,80 
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
96
Nesse modelo, a mudança na taxa de desemprego entre dois períodos 
depende da taxa de crescimento do produto da economia:
ut – ut–1 = – Y(gt – gN) 1.2
Onde a variável gt representa a mudança percentual no Produto Nacional 
Bruto, ajustado sazonalmente, e a variável ut representa a taxa de desemprego civil, 
ajustado sazonalmente, e gN é a taxa normal de crescimento da economia americana.
Para fins de estimação, modificaremos o modelo da seguinte forma:
10 1 2 2t t t t k t k t
u g g g g eα β β β β− −∆ = + + + +…+ + 1.3
Onde Δ é o operador de diferenças, α = yGN , e β0 = –y. Adicionalmente 
temos o termo de erro com as características padrão.
O primeiro passo é estimar o modelo de regressão 1.3 com k=0, ou seja, sem 
defasagem, depois, adicionamos k defasagens até que o coeficiente estimado na 
defasagem k não seja estatisticamente significativo ou mude de sinal. O resultado 
está sintetizado no quadro a seguir.
QUADRO 2 – ESTIMAÇÃO DA LEI DE OKUN
FONTE: O autor
1.
Δut = 0,4213 – 0,3118gt
 (0,0000) (0,0000)
2.
Δut = 0,5458 – 0,2173gt – 0,1912gt–1
 (0,0000) (0,0000) (0,0000)
3.
Δut = 0,5836 – 0,2020gt – 0,1653gt–1 – 0,0700gt–2
 (0,0000) (0,0000) (0,0000) (0,0371)
4.
Δut = 0,5810 – 0,2021gt – 0,1645gt–1 – 0,0716gt–2 + 0,0033gt–3
 (0,0000) (0,0000) (0,0000) (0,0456) (0,9276)
OBS.: Entre parêntesis o p-valor.
Aplicando a técnica desenvolvida por Alt (1942), se considerarmos um 
nível e significância estatística de 5%, devemos selecionar o modelo com duas 
defasagens, modelo 3. O modelo 4 apresenta um coeficiente estimado para a 
terceira defasagem com sinal trocado e estatisticamente não significativo.
TÓPICO 1 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS
97
O problema do método de Alt (1942) é que, ao estimar um modelo com 
muitas defasagens, perdemos graus de liberdade, o que pode fazer muita falta se 
a base de dados não for suficientemente grande. Além disso, a escolha equivocada 
da quantidade de defasagens pode gerar um viés de especificação, ou ainda 
problemas relacionados à colinearidade entre as defasagens.
3 MODELOS AUTORREGRESSIVOS
A saída para esses problemas é a transformação de Koyck (1954). Com 
a transformação de Koyck, iniciamos em um modelo de defasagens da variável 
explicativa distribuídas ao longo do tempo e terminamos, após a transformação, 
em um modelo autorregressivo. Gujarati e Porter (2011) descrevem essa 
transformação começando com o seguinte modelo de regressão:
Yt = α + β0Xt + β1Xt–1 + β2Xt–2 + ... + βkXt–k + ut 1.4
Em 1.4 supomos que todos os β têm o mesmo sinal, e que eles declinam 
geometricamente como βk = β0λk, com k = 0,1, ..., onde λ mede a taxa de declínio 
da defasagem distribuída e 1 – λ a velocidade do ajustamento. Isso garante 
que à medida que avançamos no tempo, os efeitos da variável explicativa X vai 
perdendo o seu poder de influência sobre a variável dependente Y.
Imagine uma firma que produza um determinado bem e venda para clientes 
varejistas. A empresa produtora manterá um estoque de produtos acabados para 
atender à demanda de seus clientes e esse estoque dependerá dos pedidos feitos 
por eles. Assim, supondo que os pedidos sejam feitos com certa antecedência, a 
manutenção dos estoques variará em razão dos pedidos feitos em t, t – 1, t – 2, ..., 
t – k. Dito de outra forma, os pedidos recentes têm mais influência sobre a decisão 
de quanto manter em estoque do que os pedidos recebidos no passado distante.
Espera-se que as rendas atuais e do passado recente afetem de forma mais 
intensa as despesas de consumo do que as rendas recebidas no passado distante.
Se analisarmos 1.4 com atenção e considerarmos o λ < 1, entenderemos 
melhor o que foi dito no parágrafo anterior. À medida que avançamos no tempo, 
o βk mais distante terá menor peso do que o βk mais recente sobre a variável 
dependente. Além disso, eliminamos a mudança de sinal ao supor que λ ≥ 0.
Vamos acrescentar esse parâmetro λ em 1.4 e prosseguir com a transformação:
Yt = α + β0Xt+ β0λXt–1 + β0λ2Xt–2 + ... + ut 1.5
Defasamos um período e multiplicamos o resultado por λ para obtermos:
Yt–1 = α + β0Xt–1 + β0λXt–2 + β0λ2Xt–3 + ... + ut–1 1.6
λYt–1 = λα + λβ0Xt–1 + β0λ2Xt–2 + β0λ3Xt–3 + ... λut–1 1.7
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
98
Agora podemos subtrair 1.7 de 1.5 para obter:
Yt – λYt–1 = α(1 – λ) + β0Xt + (ut – λut–1) 1.8
Resolvendo para Yt:
Yt = α(1 – λ) + β0Xt + λYt–1 + νt 1.9
Onde νt = (ut – λut–1) é uma média móvel de ut e ut–1. Se em 1.5 tínhamos uma 
quantidade enorme de parâmetros para estimar, agora, em 1.9 precisamos estimar 
apenas a constante α, o coeficiente β0 e o λ, escapando inclusive dos problemas de 
colinearidade que poderiam surgir em um modelo de defasagens distribuídas. 
Apesar dessas vantagens, o problema em 1.9 é que o termo de erro, νt 
depende dos erros presente e passado, o que implica autocorrelação. Outro 
problema é que Yt–1 também está correlacionado com νt através de ut–1. Com 
isso, a estimação de 1.9 por mínimos quadrados ordinários gera parâmetros 
tendenciosos e inconsistentes, como demonstra Hill, Judge e Griffiths (2010).
A saída apresentada por Hill, Judge e Griffiths (2010, p. 381) é estimar o 
modelo 1.9 por Mínimos Quadrados em Dois Estágios. O procedimento inicia 
com a estimação de:
Yt–1 = a0 + a1Xt–1 + et 1.10
Substituímos Yt–1 em 1.9 por Yt–1 = â0 + â1Xt–1:
Yt = α(1 – λ) + β0Xt + λYt–1 + νt 1.11
O quadro a seguir traz dados sobre o consumo pessoal per capita, DCPCt e 
renda pessoal disponível per capita, RPDPDt, dos Estados Unidos para o período 
entre 1959 e 2006. Veremos como funciona na prática a transformação de Koyck, 
estimando a seguinte função consumo de curto prazo, que é uma adaptação de 
Gujarati e Porter (2011):
DCPCt = α(1 – λ) + β0RPDpct + λDCPDCt–1 + νt 1.12
TÓPICO 1 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS
99
QUANDRO 3 – DESPESAS DE CONSUMO PESSOAL E RENDA PESSOAL DISPONÍVEL PER 
CAPITA, EUA, 1959 A 2006
FONTE: <https://www.govinfo.gov/content/pkg/ERP-2007/xls/ERP-2007-table31.xls>. Acesso 
em: 11 abr. 2019.
Data DCPC RPDPC Data DCPC RPDPC Data DCPC RPDPC
1959 8.776 9.685 1975 13.320 15.291 1991 18.848 21.109
1960 8.837 9.735 1976 13.919 15.738 1992 19.208 21.548
1961 8.873 9.901 1977 14.364 16.128 1993 19.593 21.493
1962 9.170 10.227 1978 14.837 16.704 1994 20.082 21.812
1963 9.412 10.455 1979 15.030 16.931 1995 20.382 22.153
1964 9.839 11.061 1980 14.816 16.940 1996 20.835 22.546
1965 10.331 11.594 1981 14.879 17.217 1997 21.365 23.065
1966 10.793 12.065 1982 14.944 17.418 1998 22.183 24.131
1967 10.994 12.457 1983 15.656 17.828 1999 23.050 24.564
1968 11.510 12.892 1984 16.343 19.011 2000 23.862 25.472
1969 11.820 13.163 1985 17.040 19.476 2001 24.215 25.697
1970 11.955 13.563 1986 17.570 19.906 2002 24.629 26.235
1971 12.256 14.001 1987 17.994 20.072 2003 25.060 26.553
1972 12.868 14.512 1988 18.554 20.740 2004 25.778 27.254
1973 13.371 15.345 1989 18.898 21.120 2005 26.430 27.318
1974 13.148 15.094 1990 19.067 21.281 2006 26.828 28.005
Para estimar o modelo 1.12 por mínimos quadrados em dois estágios no 
Gretl, você deve selecionar o menu “Modelo”, depois seleciona a opção “Variáveis 
instrumentais” e escolhe a opção “Mínimos Quadrados em Dois Estágios”. 
Preencha a janela de configuração do modelo conforme a figura a seguir.
Comece informando a variável dependente DCPCt, depois informe a 
variável explicativa R e, como instrumentos, informe a constante e a variável 
RPDPCt. Na parte de baixo da janela de configuração, você seleciona o botão 
“defasagens” e preenche conforme a Figura 2.
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
100
FIGURA 1 – ESPECIFICAÇÃO DO MODELO 1.12 POR MQ2E
FONTE: O autor
O resultado da estimação está no Quadro 4. A partir desse resultado é 
possível obter o valor de λ = 0,8045. A partir daí é possível obter os valores da 
defasagem mediana e defasagem média através de:
( )
( )
22 3,1864
0,8045
loglogDefasagemmediana
log logλ
= − = − = 1.13
0,8045 4,1151
1 1 0,8045
Defasagemmédia λ
λ
= = =
− −
 1.14
A defasagem mediana indica que 50% da mudança de uma unidade da 
renda leva cerca de 3,18 anos para fazer efeito sobre o consumo, e a defasagem 
média é de 4,11 anos.
TÓPICO 1 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS
101
FIGURA 2 – CONFIGURAÇÃO DAS DEFASAGENS DO MODELO 1.12
FONTE: o autor
QUADRO 4 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO MODELO 1.12 POR MQ2E
FONTE: O autor
Modelo 1: MQ2E, usando as observações 1960-2006 (T = 47)
Variável dependente: DCPC
Instrumentos: const RPDPC DCPC_1 
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const −247,400 159,022 −1,556 0,1269 
 RPDPC 0,207116 0,0696508 2,974 0,0048 ***
 DCPC_1 0,804550 0,0721253 11,15 2,06e-014 ***
Média var. dependente 16696,94 D.P. var. dependente 5216,096
Soma resíd. quadrados 2279833 E.P. da regressão 227,6278
R-quadrado 0,998178 R-quadrado ajustado 0,998096
F(2, 44) 12055,26 P-valor(F) 5,37e-61
Log da verossimilhança −320,2425 Critério de Akaike 646,4851
Critério de Schwarz 652,0355 Critério Hannan-Quinn 648,5738
rô 0,504212 h de Durbin 3,976895
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
102
Dividindo o resultado do modelo de curto prazo por 1 – λ, obtemos o 
modelo de longo prazo:
DCPCt = –1.265,47 + 1,0594RPDPCt 1.15
Notem que em 1.15 a propensão marginal a consumir de longo prazo é 
de 1,05. Isso significa que se a renda pessoal disponível aumentar em US$ 1,00, a 
despesa de consumo pessoal per capita aumentará aproximadamente US$ 1,05. 
No curto prazo esse aumento é de apenas US$ 0,20.
Podemos empregar a transformação de Koyck, com algumas adaptações, 
para construir um modelo de expectativas adaptativas. Segundo Pindyck e Rubinfeld 
(2004, p. 267), “O modelo de expectativas adaptativas postula que mudanças em Y 
se relacionam a mudanças no nível ‘esperado’ da variável explanatória X”.
Para entender como isso funciona, considere novamente os dados sobre 
despesas de consumo e renda per capita do Quadro 3 e o modelo a seguir:
DCPCt = β0 + β1RPDCt + ut 1.16
Onde DCPCt representa as despesas de consumo pessoal per capita, 
RPDPCt a renda pessoal disponível per capita esperada e ut é o termo de erro.
A título de exercício, suponha que as expectativas em relação ao nível de 
renda são alteradas a cada período como se o indivíduo recebesse uma remuneração 
variável. Dessa forma, ele altera as expectativas em relação a sua renda a cada período 
de tempo, ajustando o valor corrente da renda ao valor esperado anteriormente.
RPDPCt – RPDPCt–1 = Y(RPDPCt – RPDPCt–1) 1.17
Resolvendo para RPDPCt obtemos,RPDPCt = YRPDPCt + (1 – Y)RPDPCt–1 1.18
Onde 0 < Y < 1 e, se Y = 1, RPDPCt = YRPDPCt, significando que o valor 
esperado da renda é igual ao seu valor atual, e portanto, não há expectativas de 
mudança na renda futura.
Podemos substituir 1.18 em 1.16, defasar o resultado um período, multiplicar 
o resultado por 1 – Y e, após manipulações algébricas, chegamos a uma forma do 
modelo estimável por regressão:
DCPCt = Yβ0 + Yβ1RPDPCt + (1 – Y)DCPCt–1 + νt 1.19
Com νt = ut – (1 – Y)ut–1.
*
*
*
*
* *
*
TÓPICO 1 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS
103
Em síntese, os indivíduos aprendem com seus erros e adaptam as suas 
expectativas olhando o passado. Como você deve ter percebido, o modelo 1.19 é 
semelhante ao modelo 1.12, com pequenas diferenças. A estimação de 1.19 se dá 
por mínimos quadrados em dois estágios e o resultado é o mesmo do Quadro 4, 
reproduzido em 1.20 com p-valor entre parêntesis, mas com interpretação diferente.
DCPCt = –247,400 + 0,2071RPDPCt + 0,8045DCPCt–1 1.20
 (0,1269) (0,0048) (0,0000)
Em 1.20, Yβ0 = –247,4; Yβ1 = 0,2071 e (1 – y) = 0,8045. Com isso, o coeficiente 
de expectativas é Y ≈ 0,1955. Podemos dizer que cerca de 19% da discrepância 
entre o DCPC efetivo e o esperado são eliminados em um ano.
O método de Koyck pode ser empregado também para estimar modelos de 
ajustamento parcial e o de expectativas racionais. Ambos têm uma configuração 
semelhante a 1.12 e 1.19, e o método de estimação é por mínimos quadrados 
em dois estágios, mas o de ajustamento parcial pode ser estimado também por 
mínimos quadrados ordinários.
UNI
Para um aprofundamento sobre esses modelos, você pode consultar, na literatura 
econométrica, o Capítulo 18, do livro intitulado Introdução à econometira: uma abordagem 
moderna de Wooldridge (2016); Capítulo 9 da obra Econometria: modelos e previsões de 
Pindyck e Rubinfeld (2004); Capítulo 10, da obra Introdução à econometria de Maddala (2003) 
e Capítulo 17, do livro intitulado Econometria básica de Gujarati e Porter (2011).
IMPORTANT
E
Leia este artigo com atenção para ampliar o conhecimento sobre o assunto. 
O QUE OS ECONOMISTAS AINDA NÃO ENTENDERAM SOBRE A CRISE DE 2008
Noah Smith, Bloomberg, 5 de agosto de 2018
 A macroeconomia tende a avançar – ou, pelo menos, a mudar – a cada crise. A 
Grande Depressão desacreditou a ideia de que as economias se corrigiam sozinhas e as décadas 
seguintes viram o desenvolvimento da teoria keynesiana e o uso dos estímulos orçamentais.
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
104
A estagflação dos anos 1970 levou ao desenvolvimento de verdadeiros modelos 
de ciclo de negócios, que consideravam que as recessões faziam parte do funcionamento 
eficiente da economia e que a intromissão de um banco central provavelmente só 
causaria inflação. As dolorosas recessões do início dos anos 1980 provocaram uma 
transição para os chamados modelos neokeynesianos, nos quais a política monetária é 
a principal força estabilizadora da economia.
A bolha imobiliária que atingiu o pico em 2006, a crise financeira de 2008 e a Grande 
Recessão que veio depois constituem outra crise. Contudo, até agora ela produziu principalmente 
evolução, mais do que revolução, na concepção dos economistas sobre o ciclo de negócios.
A bolha e a crise que se seguiu convenceram os macroeconomistas de que as 
recessões muitas vezes emanam do sector financeiro – uma ideia muitas vezes rejeitada ou 
negligenciada anteriormente. Houve então uma enxurrada imediata de actividade, porque os 
economistas se apressaram em incluir as finanças nos seus modelos-padrão. Alguns acreditam 
agora que a adição das finanças permitirá que os modelos neokeynesianos prevejam as crises 
antes que elas aconteçam; outros mostram-se, compreensivelmente, cépticos.
Outro "insight" importante da Grande Recessão foi que a política monetária 
tradicional nem sempre é suficiente para estabilizar a economia – quando as taxas de 
juro chegam a zero, são necessárias outras medidas. Pode ser a flexibilização quantitativa, 
orientação futura [forward guidance, que consiste na comunicação de indicações explícitas 
sobre a orientação futura da política monetária] ou estímulo orçamental.
Como o pioneiro da nova escola keynesiana Jordi Galí observou num estudo 
recente, muito trabalho foi feito para descobrir como os modelos neokeynesianos podem 
lidar com taxas de juro zero. Muito trabalho também foi feito para tornar os modelos mais 
realistas, levando em consideração as grandes diferenças entre consumidores e empresas.
Essas inovações são importantes e abordam deficiências gritantes nos modelos pré-
2008. Mas elas não parecem constituir uma grande ruptura em relação ao status quo. Mais 
importante ainda, a noção básica de que as recessões são impulsionadas pelas reacções de 
intervenientes racionais a acontecimentos repentinos e imprevisíveis – ou choques, como 
os economistas lhes chamam – continua em vigor.
Isso seria uma surpresa chocante para muitos de fora dos círculos acadêmicos. 
Para muitas pessoas, parece óbvio que a crise de 2008 passou muito tempo a desenvolver-
se, que foi produto de anos de loucura financeira e regulatória. Em geral, a noção de 
que os booms econômicos provocam crises, em vez de serem eventos aleatórios e não 
relacionados – uma ideia desenvolvida pelo economista independente Hyman Minsky – 
parece ter muito mais adeptos fora do âmbito acadêmico do que dentro dele.
Mas pelo menos alguns economistas estão a trabalhar em algo mais revolucionário 
– uma nova interpretação de recessões, booms e mercados financeiros que se aproxima mais 
da noção popular de que os ciclos econômicos são previsíveis e movidos pela irracionalidade.
Os fundamentos dessa nova ideia estão dispostos numa apresentação de Nicola 
Gennaioli e Andrei Shleifer – dois especialistas em finanças comportamentais que se 
aventuram pelo campo da macroeconomia. Gennaioli e Shleifer baseiam-se em vários 
artigos recentes que sugerem que é possível prever recessões com anos de antecedência, 
bastando para isso prestar atenção às variáveis certas.
TÓPICO 1 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS
105
Um deles é um artigo de 2013 de Robin Greenwood e Samuel Hanson que mostra 
que quando a emissão de títulos de grau especulativo aumenta e os spreads de crédito 
diminuem, uma crise de crédito tende a ocorrer dois ou três anos depois. Outro é um artigo 
de 2016 de Matthew Baron e Wei Xiong, que apresenta um resultado semelhante para os 
empréstimos bancários, em vez de títulos corporativos.
Um terceiro artigo recente, de David López-Salido, Jeremy C. Stein e Egon Zakrajšek, 
adiciona spreads a prazo à lista de previsões de Greenwood e Hanson e conclui que, juntos, 
esses indicadores dão uma boa dose de advertência sobre recessões que acontecerão 
dois ou três anos depois. Outros documentos encontram uma correlação entre o rápido 
crescimento do crédito e o aumento do risco de recessão.
Todos esses documentos têm uma coisa em comum – usam a dívida para prever 
recessões com anos de antecedência. Isso condiz com a sabedoria popular que surgiu 
depois da crise de que os problemas nos mercados de crédito são a fonte tanto dos colapsos 
financeiros como das desacelerações econômicas que vêm depois.
Gennaioli e Shleifer explicam esses padrões voltando-se para a sua própria teoria 
preferida da irracionalidade humana – a teoria das expectativas extrapolativas. Basicamente, 
essa teoria sustenta que quando os preços dos activos sobem – o valor de casas, acções 
etc. – de modo ininterrupto, os investidores começam a acreditar que essa tendência 
representa um novo normal. Eles então acumulam esse activo, o que eleva aindamais o 
preço e, aparentemente, confirma a ideia de que a tendência nunca vai acabar. Mas, quando 
o dinheiro dos investidores extrapolativos se esgota, a realidade instala-se e ocorre uma 
queda. Gennaioli, Shleifer e os seus coautores foram apenas uma das várias equipes de 
acadêmicos a investigar essa ideia e as suas implicações nos últimos anos.
Quando as expectativas extrapolativas são combinadas com um sistema financeiro 
inerentemente frágil, o resultado é um ciclo previsível de booms e crises. Em algum momento 
durante os tempos de prosperidade econômica, o entusiasmo irracional ganha força e empurra 
os preços das acções, dos imóveis ou de ambos para a estratosfera. Quando eles inevitavelmente 
caem, os bancos entram em colapso, arrastando o resto da economia com eles.
Esta hipótese, se se tornar o modelo padrão do ciclo de negócios, representará 
uma verdadeira revolução na macroeconomia. Ela descarta dois pilares do pensamento 
macroeconómico recente – expectativas racionais e recessões imprevisíveis, impulsionadas 
por choques. Isso representaria um triunfo para as ideias de Minsky e também para aqueles 
de fora do âmbito acadêmico que há muito tempo pedem que os macroeconomistas 
prestem mais atenção aos mercados da dívida e à psicologia humana. E se o código de 
booms e crises finalmente puder ser decifrado, pode haver maneiras de os bancos centrais, 
reguladores ou outros formuladores de políticas evitarem crises antes de elas começarem, 
em vez de enfrentarem as consequências depois.
Até agora, a hipótese de Gennaioli e Shleifer não está perto de ser dominante na 
macroeconomia. Mas, de todas as ideias que têm estado a ser apresentadas no campo, esta 
parece ser a mais interessante de acompanhar.
FONTE: <https://www.jornaldenegocios.pt/economia/detalhe/o-que-os-economistas-ainda-
-nao-entenderam-sobre-a-crise-de-2008>. Acesso em: 30 jan. 2019.
106
RESUMO DO TÓPICO 1
Nesse tópico, você aprendeu que:
• Podemos modelar o comportamento dinâmico da economia através dos 
modelos de defasagens distribuídas e autorregressivos.
• Estimamos o modelo com defasagens distribuídas através do método 
de mínimos quadrados ordinários, seguindo Alt (1942) em que rodamos 
regressões sequenciais em busca de coeficientes estimados estatisticamente 
não significativos e mudança de sinal.
• Com a transformação de Koyck (1954), saímos de um modelo com 
defasagens distribuídas e terminamos em um modelo autorregressivo, o 
que nos permite estimar modelos de expectativas adaptativas, racionais e 
de ajustamento de estoques.
107
AUTOATIVIDADE
1 Sobre modelos econométricos dinâmicos (autorregressivos e com defasagens 
distribuídas), avalie as afirmações a seguir informando V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas.
a) ( ) O modelo de Koyck não fará muito sentido se alguns dos coeficientes 
defasados forem positivos e outros negativos.
b) ( ) Tecnicamente não é possível converter um modelo de defasagens 
distribuídas em um modelo autorregressivo.
c) ( ) Na abordagem de Koyck e no modelo de expectativas adaptativas, o 
método de mínimos quadrados ordinários não é o mais indicado para 
a estimação dos coeficientes.
d) ( ) Por outro lado, o método de mínimos quadrados ordinários é 
perfeitamente aplicável ao modelo de ajustamento parcial.
2 Imagine o seguinte modelo de expectativas adaptativas:
Yt = β0 + β1Xt + ut
 onde Yt representa os gastos em investimentos em instalações e 
equipamentos fixos na indústria de transformação, Xt as vendas desejadas, 
e ut o termo de erro. Suponha também que as expectativas das vendas 
sejam formadas da seguinte forma:
Xt = yXt + (1 – y)Xt–1
Com base na hipótese das expectativas adaptativas, considerando a 
forma econometricamente estimável do modelo Yt = yβ0 + yβ1Xt + (1 – y)
Yt–1 + νt, com νt = ut – (1 – y)ut–1, e dados obtidos no Economic Report of the 
President para o período 1970-1991, obteve-se os seguintes resultados:
Yt = 15,1040 + 0,6293Xt + 0,2717Yt–1
 (–3,194) (6,433) (2,365)
Onde todos os coeficientes estimados são estatisticamente significativos.
*
*
* *
108
São corretas as afirmativas:
a) ( ) Se, ao invés de estimar um modelo de expectativas adaptativas, 
tivéssemos estimado um modelo de Koyck, a taxa de declínio da 
defasagem distribuída seria 0,2717.
b) ( ) No caso do modelo de expectativas adaptativas, o coeficiente de 
expectativas é igual a 0,2717, o que significa que aproximadamente 
27% da discrepância entre os gastos de investimentos previstos e o 
esperado desaparecerá em um ano.
c) ( ) Se o resultado se referisse a um modelo de ajustamento parcial, 
poderíamos dizer que, a relação entre investimentos e vendas de 
longo prazo seria Yt = –20,738 + 0,864Xt.
d) ( ) Como o modelo de expectativas adaptativas foi estimado por mínimos 
quadrados ordinários, podemos dizer que os coeficientes estimados 
são não apenas viesados, mas também não são consistentes.
e) ( ) Uma alternativa seria estimar o modelo de regressão pelo método de 
variáveis instrumentais.
109
TÓPICO 2
MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na Unidade 1 tivemos o primeiro contato com os modelos de séries 
temporais com equações simultâneas, em que todas as variáveis que entravam na 
equação eram endógenas. Para estimar aquele tipo específico de modelo, usamos 
o método de Vetores Autorregressivos, VAR.
Veremos agora outro tipo de modelos com múltiplas equações, só que 
desta vez separamos as variáveis endógenas das exógenas e predeterminadas, 
antes de rodar a regressão e estimar conjuntamente os parâmetros do modelo. 
Veremos que nesses modelos temos um fluxo de mão dupla, no sentido de que o 
comportamento das variáveis dependentes é determinado conjuntamente.
Primeiramente veremos alguns conceitos relativos a esses modelos, dando 
uma atenção especial à técnica de identificação. Precisamos saber se é possível 
resolver um sistema de equações simultâneas, ou seja, se conseguimos obter 
solução única para cada parâmetro do modelo.
Empregaremos um teste estatístico para verificar se de fato há 
simultaneidade entre as equações do modelo, e se houver, aplicaremos os métodos 
econométricos mais indicados para estimar esses modelos.
2 OS MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
A forma mais clássica de se entender os sistemas de equações simultâneas 
é através dos modelos de oferta e demanda, em que determinamos conjuntamente 
o preço e a quantidade de que um determinado bem deve ser vendido para se 
atingir o equilíbrio nesse mercado particular.
Nesse sentido, Adkins (2014) traz um exemplo de oferta e demanda por trufas. 
Imagine que você está na França, e que decide estudar o funcionamento desse tipo 
específico de mercado. Para isso, considere o seguinte modelo de oferta e demanda:
qi = α1 + α2pi + α3psi + α4dii + ei 2.1
qi = β1 + β2pi + β3pfi + ei 2.2
d
s
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
110
A equação 2.1 representa a demanda e qi é a quantidade de trufas 
comercializadas em um determinado mercado. pi é o preço de mercado das trufas, 
psi é o preço de mercado dos bens substitutos, dii é a renda per capita disponível. 
A equação 2.2 representa a oferta e a variável pfi é o preço do fator de produção, 
ou seja, o custo associado à produção e consequente oferta de trufas. Você pode 
imaginar como custo associado à produção de trufas a locação de porcos trufeiros, 
utilizados pelos caçadores para localizar em baixo da terra a raiz dessa iguaria 
culinária. Tanto em 2.1 quanto em 2.2 i = 1, 2, ..., N.
Para obter o preço e a quantidade que equilibram esse mercado,igualamos 
a oferta e a demanda e solucionamos a equação resultante. Como tanto o preço 
quanto a quantidade são obtidos através da igualdade entre as equações 2.1 e 2.2, 
dizemos que essas duas variáveis são endógenas, no sentido de serem explicadas 
ou obtidas de dentro desse sistema de equações.
Sistemas de equações como os modelos 2.1 e 2.2 são comuns na 
microeconomia e na macroeconomia e por isso é importante que você saiba como 
estimá-los. Além disso, há um emprego para os sistemas de equações simultâneas 
extremamente importante. Trata-se de modelos de simulação, em que o pesquisar 
pode construir uma economia artificial usando vários sistemas de equações, 
capturando toda a dinâmica econômica e assim simular os efeitos de mudança 
em uma variável sobre a economia como um todo.
O problema em relação à estimação do sistema composto pelas equações 
2.1 e 2.2 é que o método de mínimos quadrados ordinários só pode ser aplicado 
se os resíduos não forem correlacionados com as variáveis explicativas e cada 
modelo de regressão. Isso gera estimadores tendenciosos e inconsistentes.
3 A IDENTIFICAÇÃO
Precisamos identificar parâmetros consistentes para os sistemas de 
equações simultâneas. Para isso considere o seguinte conjunto de equações:
Qt = α0 + α1Pt + u1t 2.3
Qt = β0 + β1Pt + u2t 2.4
Com α1 < 0 para a função demanda (2.3) e β1 > 0 para a função oferta (2.4). 
A condição de equilíbrio implica em Qt = Qt.
Em 2.3 e 2.4 temos quatro parâmetros a serem estimados, α0, α1, β0 e β1. 
Eles são chamados de parâmetros estruturais e são obtidos através das equações 
na forma reduzida. Para entender como obtê-los, considerando a condição de 
equilíbrio, temos Qt = Qt, e igualando as equações 2.3 e 2.4:
α0 + α1Pt + u1t = β0 + β1Pt + u2t 2.5
d
d
d
o
o
o
TÓPICO 2 | MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
111
Resolvendo 2.5 para Pt obtemos:
α1Pt – β1Pt = β0 – α0 + u2t – u1t 2.6
Pt(α1 – β1) = β0 – α0 + u2t – u1t 2.7
0 0 2 1
1 1 1 1
t t
t
u uP β α
α β α β
− −
= +
− −
 2.8
Fazendo �
0
0 0
1 1
�
�
�
� �
� �
 e 2 1
1 1
t t
t
u uv
α β
−
=
−
, obtemos:
Pt = Π0 + νt 2.9
0 0 2 1
0 1 2
1 1 1 1
t t
t t
u uQ uβ αβ β
α β α β
 − −
= + + + − − 
 2.10
Após manipulações algébricas, obtemos a quantidade de equilíbrio:
1 0 1 0 1 2 1 1
1 1 1 1
t t
t
u uQ α β β α α β
α β α β
− −
= +
− −
 2.11
Fazendo 1 0 1 01
1 1
α β β α
α β
−
Π =
−
 e 1 2 1 1
1 1
t t
t
u uw α β
α β
−
=
−
, obtemos:
Qt = Π1 + wt 2.12
Temos agora quatro coeficientes estruturais nas equações 2.3 e 2.4 e para 
obtê-los, estimamos dois coeficientes na forma reduzida através das equações na 
forma reduzida, que são Π0 e Π1 nas equações 2.9 e 2.12.
Sabemos da álgebra que, para estimar quatro incógnitas estruturais (α0, 
α1,β0 e β1 de 2.3 e 2.4), precisamos de quatro equações, ou seja, quatro coeficientes da 
forma reduzida. Como nas equações 2.9 e 2.12, temos apenas dois coeficientes na 
forma reduzida, dizemos que esse sistema de equações 2.3 e 2.4 é subidentificado.
Vamos adicionar mais duas variáveis ao nosso sistema de equações para 
ver o que acontece. Na equação da demanda, incluiremos a variável renda do 
consumidor, representada por It. Na equação da oferta, incluiremos uma variável 
predeterminada, o preço do período anterior, Pt–1.
Qt = α0 + α1 Pt + α2It + u1t 2.13
Qt = β0 + β1Pt + β2Pt–1 + u2t 2.14
Com α1 < 0, α2 > 0, β1 > 0, β2 > 0 e a condição de equilíbrio é Qt = Qt.d o
Π
Π
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
112
Recorrendo a condição de equilíbrio, temos:
α0 + α1Pt + α2It + u1t = β0 + β1Pt + β2Pt–1 + u2t 2.15
Resolvendo para Pt obtemos:
0 0 2 12 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1
t t
t t t
u uP I Pβ α α β
α β α β α β α β−
− −
= − + +
− − − −
 2.16
Fazendo 0 00
1 1
β α
α β
−
Π =
−
, 21
1 1
α
α β
Π = −
−
, 22
1 1
β
α β
Π =
−
 e 2 1
1 1
t t
t
u uv
α β
−
=
−
,
obtemos a equação na forma reduzida para o preço:
Pt = Π0 + Π1It + Π2Pt–1 + νt 2.17
Substituindo 2.16 em 2.13, obtemos:
0 0 2 12 2
0 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
t t
t t t t t
u uQ I P I uβ α α βα α α
α β α β α β α β−
 − −
= + − + + + + − − − − 
 2.18
Após manipulações algébricas, encontramos:
1 0 0 1 1 2 1 12 1 1 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1
t t
t t t
u uQ I Pα β α β α βα β α β
α β α β α β α β−
− −
= − + +
− − − −
 2.19
Fazendo 1 0 0 13
1 1
α β α β
α β
−
Π =
−
, 2 14
1 1
α β
α β
Π = −
−
, 1 25
1 1
α β
α β
Π =
−
 e 
1 2 1 1
1 1
t t
t
u uw α β
α β
−
=
−
, obtemos a equação na forma reduzida para a quantidade:
Qt = Π3 + Π4It + Π5Pt–1 + wt 2.20
Notem que, nesse sistema de equações, temos seis parâmetros estruturais 
para serem estimados, α0, α1, α2, β0, β1 e β2, e seis equações para estimá-los, ou seja, 
Π0, Π1, Π2, Π3, Π4 e Π5. Dessa forma dizemos que o sistema de equações formada 
por 2.13 e 2.14 é exatamente identificado, porque conseguimos obter estimações 
únicas para cada parâmetro estrutural a partir das equações na forma reduzida.
Se incluirmos mais uma variável na equação de demanda, digamos a riqueza 
do consumidor, representada por Rt, teremos o seguinte sistema de equações:
Qt = α0 + α1 Pt + α2It + α3Rt + u1t 2.21
Qt = β0 + β1Pt + β2Pt–1 + u2t 2.22
d
o
Π
Π Π Π
Π Π
Π Π Π
TÓPICO 2 | MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
113
d oNaturalmente, a condição de equilíbrio é Qt = Qt o que resulta em:
α0 + α1Pt + α2It + α3Rt + u1t = β0 + β1Pt + β2Pt–1 + u2t 2.23
Resolvendo para Pt, obtemos após alguns algebrismos:
0 0 3 2 12 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
t t
t t t t
u uP I R Pβ α αα β
α β α β α β α β α β−
− −
= − − + +
− − − − −
 2.24
Fazendo 0 00
1 1
β α
α β
−
Π =
−
, 21
1 1
α
α β
Π = −
−
, 32
1 1
α
α β
Π = −
−
, 
2
3
1 1
β
α β
Π =
− e
2 1
1 1
t t
t
u uv
α β
−
=−
, obtemos a equação na forma reduzida para a equação do preço:
Pt = Π0 + Π1It + Π2Rt + Π3Pt–1 + νt 2.25
Substituindo 2.24 em 2.21, obtemos:
0 0 3 2 12 2
0 1 1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 t tt t t t t t t
u uQ I R P I R uβ α αα βα α α α
α β α β α β α β α β−
 − −
= + − − + + + + + − − − − − 
 2.26
Após transformações algébricas, obtemos:
1 0 0 1 3 1 1 2 1 12 1 1 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
t t
t t t t
u uQ I R Pα β α β α β α βα β α β
α β α β α β α β α β−
− −
= − − + +
− − − − −
 2.27
Fazendo 1 0 0 14
1 1
α β α β
α β
−
Π =
−
, 2 15
1 1
α β
α β
Π = −
−
, 3 16
1 1
α β
α β
Π = −
−
, 1 27
1 1
α β
α β
Π =
−
e 1 2 1 1
1 1
t t
t
u uw α β
α β
−
=
−
, obtemos a equação na forma reduzida para a quantidade:
Qt = Π4 +Π5It + Π6Rt + Π7Pt–1 + wt 2.28
Agora temos sete coeficientes estruturais, α0, α1, α2, α3, β0, β1, β2, e há oito 
equações para estimá-los, Π0, Π1, Π2, Π3, Π4, Π5, Π6 e Π7. Com isso, não é possível 
obter uma estimativa única para todos os parâmetros do modelo. Por exemplo, 
para obter o β1 temos:
6
1
2
β
Π
=
Π
 2.29
5
1
1
β
Π
=
Π
 2.30
Π Π Π Π
Π Π Π Π
Π
Π
Π
Π
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
114
Há duas estimativas para o coeficiente do preço na equação de oferta 
e não há garantia de que esses dois valores ou soluções sejam idênticos. Há, 
portanto, informação em excesso para identificar todos os parâmetros do sistema 
de equações simultâneas.
Identificar os parâmetros do sistema de equações através das equações 
na forma reduzida é um processo extremamente cansativo. Maddala (2003) 
apresenta uma alternativa mais interessante. Trata-se da condição de ordem que 
funciona da seguinte maneira:
1. Verificamos quantas variáveis endógenas há no sistema como um todo e 
chamamos de g.
2. Verificamos quantas variáveis endógenas e exógenas há no sistema como um todo.
3. Em cada equação contamos quantas variáveis (endógenas e exógenas) estão 
ausentes, e chamamos de k.
4. Em síntese, tomamos a decisão da seguinte forma:
Se k = g – 1, a equação é exatamente identificada. 
Se k > g – 1, a equação é superidentificada. 
Se k < g – 1, a equação é sub identificada. 
Voltemos aos sistemas que analisamos anteriormente para verificar se 
chegamos aos mesmos resultados. Primeiro, o sistema de equações 2.3 e 2.4, que 
verificamos ser subidentificada.
Qt = α0 + α1Pt + u1t 2.3
Qt = β0 + β1Pt + u2t 2.4
Nesse sistema o número de variáveis endógenas é g = 2. O número total 
de variáveis endógenas e exógenas também é igual a 2, porque só temos P e Q de 
variáveis no sistema.
Para a equação 2.3, g – 1 = 2 – 1 = 1, enquanto k, o número de variáveis 
ausentes nessa equação é zero, porque as duas variáveis estão presentes. Dessa 
forma, como k < g – 1, concluímos que 2.3 é subidentificada.
Para a equação 2.4, g – 1 = 2 – 1 =1, e k = 0 novamente k < g – 1, concluímos 
que 2.4 é subidentificada.
E quanto às equações 2.13 e 2.14? Anteriormente, vimos que elas eram 
exatamente identificadas.
Qt = α0 + α1Pt + α2It + u1t 2.13
Qt = β0 + β1Pt + β2Pt–1 + u2t 2.14
d
o
d
o
TÓPICO 2 | MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
115
d
o
d
o
o
d
Aplicando a condição de ordem para a equação 2.13, vemos que g – 1 
= 2 – 1, porque temos apenas duas variáveis endógenas no sistema, P e Q. Em 
relação à k, como o número total de variáveis (endógenas e exógenas) no sistema 
é igual a 4, porque temos Pt, Qt, It e Pt–1, e temos apenas três variáveis naquela 
equação, concluímos que k = 1, porque esse é o número de variáveis endógenas e 
exógenas ausente nessa equação. Assim, para 2.13, k = g – 1, portanto, a equação 
é exatamente identificada.
Finalmente, voltamos a nossa atenção para o sistema composto pelas 
equações 2.21 e 2.22.
Qt = α0 + α1Pt + α2It + α3Rt + u1t 2.21
Qt = β0 + β1Pt + β2Pt–1 + u2t 2.22
O sistema tem duas variáveis endógenas, P e Q, portanto, g – 1 = 2 – 1 
= 1. O número total de variáveis no sistema como um todo é 5, Qt, Pt, It, Rt e 
Pt–1. Para a equação 2.21, temos quatro variáveis, portanto, k = 1. Como k = g – 1, 
dizemos que essa equação é exatamente identificada, contrariando o resultado 
que obtivemos anteriormente, quando dissemos que o sistema como um todo 
é superidentificado. Em relação à 2.22, k > g – 1, porque faltam duas variáveis 
naquela equação e portanto, k = 5 – 3 = 2, e a equação é superidentificada.
A identificação através das equações na forma reduzida além de complexa 
mostra-se ineficiente. Ela revela a identificação do sistema como um todo, mas 
não das equações do sistema de forma individual. Nesse sentido, a condição de 
ordem é melhor porque analisa cada uma das equações do sistema. O problema é 
que ela é uma condição necessária, mas não suficiente para identificação.
Maddala (2003) apresenta a condição de posto para identificação. Essa condição 
é suficiente para verificar se um sistema de equações é identificado. Para ver como 
funciona, considere novamente o sistema formado pelas equações 2.13 e 2.14.
Qt = α0 + α1Pt + α2It + u1t 2.13
Qt = β0 + β1Pt + β2Pt–1 + u2t 2.14
Em duas oportunidades, dissemos que esse sistema de equações é exatamente 
identificado e, pela condição de ordem, verificamos que cada equação é individualmente 
identificada. Para aplicar a condição de posto, fazemos:
Qt – α0 – α1Pt – α2It = u1t 2.31
Qt – β0 – β1Pt – β2Pt–1 = u2t 2.32
Devemos tabular as equações 2.31 e 2.32 da seguinte forma:
Equação Constante Qt Pt Pt–1 It
2.31 –α0 1 –α1 0 –α2
2.32 –β0 1 –β1 –β2 0
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
116
Como vamos analisar a primeira equação, eliminamos a primeira linha 
e todas as colunas cujas entradas da primeira linha sejam diferentes de zero e 
calculamos o determinante da matriz que restou:
Det(2.31) = [–β2] ≠ 0, portanto, a equação em questão é identificada.
Se fizermos o mesmo procedimento para a equação 2.32 , concluiremos que:
Det(2.32) = [–α2] ≠ 0, portanto, a equação em questão é identificada.
Confirmamos assim, pela condição de posto, ambas as equações no sistema 
são identificadas. Em resumo, os passos para identificação pela condição de posto, 
conforme Gujarati e Porter (2011, p. 696) são:
1. Escreva o sistema em forma tabular.
2. Cancele os coeficientes da linha na qual aparece a equação em apreço.
3. Cancelar, também, as colunas correspondentes aos coeficientes do passo 2 que 
são diferentes de zero.
4. As entradas que restam na tabela nosapresentam somente os coeficientes das 
variáveis incluídas no sistema, mas não na equação em pauta.
5. Com essas entradas formamos todas as matrizes possíveis, de ordem M – 1, e 
obtemos os determinantes correspondentes.
6. Se pudermos encontrar pelo menos um determinante diferente de zero, a 
equação em pauta é identificada.
Veremos a seguir que cada equação dentro de um sistema possui uma 
técnica econométrica específica, dependendo da equação ser identificada, 
subidentificada ou superidentificada.
4 A ESTIMAÇÃO
Antes de estimar um sistema de equações simultâneas, é preciso saber 
se existe ou não simultaneidade. A escolha da técnica econométrica adequada 
depende desse conhecimento, porque aplicar o método errado pode gerar 
estimadores inconsistentes.
Para resolver isso, Hausman (1978) desenvolveu um teste estatístico em 
dois estágios. O primeiro deles consiste em transformar o modelo estrutural na 
forma reduzida e o segundo, estimar essa regressão e aplicar o teste.
Para entender com mais clareza, considere os dados da tabela a seguir. 
Nosso interesse é calcular a propensão marginal a consumir para o Brasil, no 
período do 1º trimestre de 1995 até o 2º trimestre de 2008. Para isso, queremos 
estimar o seguinte modelo de regressão:
TÓPICO 2 | MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
117
Ct = β0 + β1Yt + ut 2.33
Yt = Ct + It 2.34
Onde Yt é o PIB a preços de mercado, em milhões de reais, escolhido como 
uma proxy para a renda. It é a formação bruta de capital fixo, em milhões de reais, 
escolhida como proxy para o investimento. Ct é o consumo final das famílias, em 
milhões de reais, escolhido como proxy para o consumo.
QUADRO 5 – PIB, FORMAÇÃO BRUTA DE CAPITAL FIXO E CONSUMO DAS FAMÍLIAS, BRASIL, 1º 
TRIMESTRE DE 1995 ATÉ 2º TRIMESTRE DE 2008
Período Y I C Período Y I C
1995 T1 156.929,5 24.624,1 100.056,9 2001 T4 346.071,7 55.720,2 210.103,4
1995 T2 170.781,3 33.927,6 104.893,1 2002 T1 337.949,6 57.432,8 214.452,0
1995 T3 180.259,6 29.423,3 115.703,7 2002 T2 369.980,7 70.719,1 224.911,2
1995 T4 197.670,4 39.233,5 120.058,2 2002 T3 372.498,4 60.923,9 232.579,6
1996 T1 185.695,9 28.253,0 120.118,3 2002 T4 397.393,3 50.275,2 240.115,2
1996 T2 202.822,5 36.658,2 128.474,5 2003 T1 390.604,8 55.876,6 256.905,9
1996 T3 216.436,2 31.595,5 146.746,1 2003 T2 420.010,5 68.301,3 259.489,6
1996 T4 239.011,1 47.305,4 150.396,3 2003 T3 430.015,2 70.931,0 265.329,1
1997 T1 213.530,4 30.531,3 142.194,4 2003 T4 459.317,5 72.986,1 271.034,4
1997 T2 232.514,5 40.112,3 150.219,3 2004 T1 447.385,5 76.616,1 276.123,5
1997 T3 240.814,9 38.464,5 161.136,8 2004 T2 486.398,9 95.200,7 286.646,5
1997 T4 252.286,8 54.549,8 155.743,0 2004 T3 489.706,6 86.498,3 293.647,6
1998 T1 228.583,4 30.440,2 151.556,3 2004 T4 518.006,9 74.017,8 304.193,4
1998 T2 249.212,0 46.812,8 155.386,5 2005 T1 496.528,9 80.788,1 308.035,2
1998 T3 249.543,5 38.103,4 166.424,8 2005 T2 535.250,2 97.242,6 319.827,6
1998 T4 251.936,8 51.398,2 156.626,9 2005 T3 541.998,6 91.210,7 327.445,9
1999 T1 242.803,6 32.600,5 159.893,7 2005 T4 573.461,2 78.734,6 338.921,3
1999 T2 266.224,3 49.700,9 166.939,2 2006 T1 543.254,2 88.911,6 338.623,9
1999 T3 265.162,8 34.931,0 180.571,6 2006 T2 570.130,2 103.334,6 346.536,3
1999 T4 290.809,0 57.179,5 181.971,6 2006 T3 593.032,6 105.670,2 355.008,0
2000 T1 268.751,4 47.980,1 171.759,2 2006 T4 626.518,5 95.948,2 367.772,1
2000 T2 291.383,8 53.938,4 187.026,7 2007 T1 598.847,9 104.195,6 370.152,3
2000 T3 301.081,2 53.242,0 199.997,0 2007 T2 635.159,7 120.608,9 382.751,7
2000 T4 318.265,6 60.096,5 200.158,2 2007 T3 645.231,0 125.699,6 390.452,8
2001 T1 307.314,4 57.185,8 199.394,5 2007 T4 679.582,7 108.351,4 414.187,1
2001 T2 324.108,9 61.288,7 207.174,3 2008 T1 665.726,4 133.278,7 412.358,3
2001 T3 324.641,0 60.559,3 209.795,8 2008 T2 716.921,3 150.883,5 429.627,1
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 11 abr. 2019. 
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
118
O primeiro passo consiste em obter a equação na forma reduzida para a 
renda. Esse procedimento é bem simples, e basta escrever o modelo como uma 
função de todas as variáveis exógenas e pré-determinadas existentes no sistema 
de equações simultâneas. Neste caso temos:
Yt = Π3 + Π4It + νt 2.35
Como o consumo e a renda são endógenas, ou seja, são variáveis determinadas 
dentro do sistema de equações, a única variável exógena é o investimento. A estimação 
do modelo por mínimos quadrados ordinários está no quadro a seguir.
QUADRO 6 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO MODELO 2.35 POR MQO
FONTE: o autor
Modelo 1: MQO, usando as observações 1995:1-2008:2 (T = 54)
Variável dependente: Y
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 -----------------------------------------------------------
 const 46127,7 15307,7 3,013 0,0040 ***
 I 5,08793 0,212303 23,97 9,10e-030 ***
Média var. dependente 380658,5 D.P. var. dependente 158713,3
Soma resíd. quadrados 1,11e+11 E.P. da regressão 46168,56
R-quadrado 0,916978 R-quadrado ajustado 0,915381
F(1, 52) 574,3396 P-valor(F) 9,10e-30
Log da verossimilhança −655,5666 Critério de Akaike 1315,133
Critério de Schwarz 1319,111 Critério Hannan-Quinn 1316,667
rô 0,200426 Durbin-Watson 1,546508
Agora nós precisamos salvar Yt e os resíduos νt e reestimar a função 
consumo com a seguinte configuração:
Ct = β0 + β1Yt + δ1νt + ut 2.36
Depois é só testar a H0:δ1 = 0, ou seja, testamos a hipótese de que não há 
simultaneidade. Se aceitarmos a hipótese nula, estamos dizendo que a estimação 
por mínimos quadrados ordinários para a equação da renda gera resultados 
consistentes. A hipótese alternativa é que existe simultaneidade e nesse caso não 
podemos aplicar o método de mínimos quadrados ordinários.
Para salvar Yt e os resíduos νt, você deve selecionar o menu “Salvar” 
na janela de resultados e depois escolher “Valores ajustados” e depois escolhe 
“Resíduos”. O resultado da estimação do modelo 2.36 está no quadro a seguir.
TÓPICO 2 | MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
119
FONTE: o autor
QUADRO 7 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DE 2.36 POR MQO
Modelo 2: MQO, usando as observações 1995:1-2008:2 (T = 54)
Variável dependente: C
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 -------------------------------------------------------------
 const 15064,6 2387,06 6,311 6,66e-08 ***
 yhat1 0,579608 0,00583128 99,40 4,65e-060 ***
 uhat1 0,582820 0,0193797 30,07 4,03e-034 ***
Média var. dependente 235697,2 D.P. var. dependente 92251,24
Soma resíd. quadrados 2,12e+09 E.P. da regressão 6452,000
R-quadrado 0,995293 R-quadrado ajustado 0,995108
F(2, 51) 5392,033 P-valor(F) 4,52e-60
Log da verossimilhança −548,7753 Critério de Akaike 1103,551
Critério de Schwarz 1109,517 Critério Hannan-Quinn 1105,852
rô −0,092466 Durbin-Watson 2,168188
Como δ1 ≠ 0, rejeitamos a H0 de que não existe simultaneidade, a favor da 
hipótese alternativa de que as estimações por MQO não são consistentes. A saída 
é estimar esse modelo com o uso das técnicas discutidas a seguir.
O primeiro método empregado para estimarum sistema de equações 
simultâneas é o de mínimos quadrados ordinários. Esse método, no entanto, só 
deve ser usado se não houver interdependência entre o termo de erro e a variável 
endógena. Por esse motivo, aplicamos o teste de Hausman antes de estimar o 
sistema, afim de evitar estimadores viesados e inconsistentes.
Se estivermos diante de uma equação exatamente identificada, devemos 
aplicar o método de mínimos quadrados indiretos, que envolve a obtenção da 
equação na forma reduzida e sua estimação, e a partir do resultado se obtém o 
valor dos parâmetros estruturais.
Lembre-se de que uma equação exatamente identificada é aquela em que 
temos o mesmo número de parâmetros a serem definidos e de equações para sua 
obtenção. Para ver como funciona o método de mínimos quadrados indiretos, 
usaremos o exemplo do Gujarati e Porter (2011), cujos dados estão no Quadro 8.
Com base nesses dados, vamos estimar as relações entre o índice de produção 
de safra Q, o índice de preço da safra recebido por produtores Y, e a despesa real de 
consumo pessoal per capita X. O sistema de equações simultâneas é formado por:
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
120
Qt = α0 + α1Pt + α2Xt + u1t 2.37
Qt = β0 + β1 + u2t 2.38
A equação 2.37 é a função demanda e 2.38 é a função oferta. A condição 
de equilíbrio é Qt = Qt. Podemos verificar que a equação da demanda não é 
identificada enquanto a da oferta é exatamente identificada.
Pelo primeiro passo, obtemos as equações na forma reduzida:
Pt = Π0 + Π1Xt + wt 2.39
Qt = Π2 + Π3Xt + νt 2.40
Onde, 0 00
1 1
β α
α β
−
Π =
−
, 21
1 1
α
α β
Π = −
−
 e 2 1
1 1
t t
t
u uw
α β
−
=
−
, 1 0 0 12
1 1
α β α β
α β
−
Π =
−
,
2 1
3
1 1
α β
α β
Π = −
−
 e 1 2 1 1
1 1
 t tu uv α β
α β
−
=
−
.
d
d
o
o
Os resultados da estimação das regressões na forma reduzida são:
Pt = 90,9601 + 0,000735879Xt 2.41
Qt = 59,7618 + 0,00197254Xt 2.42
QUADRO 8 – PRODUÇÃO E PREÇO DE SAFRA E GASTOS DE CONSUMO
PER CAPITA, EUA, 1975 ATÉ 2004
Ano Q P X Ano Q P X
1975 66 88 4.789 1990 90 103 15.349
1976 67 87 5.282 1991 90 101 15.722
1977 71 83 5.804 1992 96 101 16.485
1978 73 89 6.417 1993 91 102 17.204
1979 78 98 7.073 1994 101 105 18.004
1980 75 107 7.716 1995 96 112 18.665
1981 81 111 8.439 1996 100 127 19.490
1982 82 98 8.945 1997 104 115 20.323
1983 71 108 9.775 1998 105 107 21.291
1984 81 111 10.589 1999 108 97 22.491
1985 85 98 11.406 2000 108 96 23.862
1986 82 87 12.048 2001 108 99 24.722
1987 84 86 12.766 2002 107 105 25.501
1988 80 104 13.685 2003 108 111 26.463
1989 86 109 14.546 2004 112 117 27.937
FONTE: <https://www.govinfo.gov/app/details/ERP-2007/context>. Acesso em: 11 abr. 2019. 
Π Π Π
Π
TÓPICO 2 | MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
121
Podemos verificar que os coeficientes estimados das equações estruturais 
podem ser obtidos das relações 0 2 1 0ˆ ˆˆ ˆβ β= Π − Π e 31
1
ˆˆ
ˆβ
Π
=
Π
.
Onde, 0 90,9601Π = , 1 0,000735879Π = − , 2 59,7618Π = , 
3 0,00197254Π = − . Substituindo obtemos os coeficientes estruturais da equação 
da oferta:
3
1
1
0,00197254 2,6805
0,000735
ˆ
9
ˆ
ˆ 87
β
Π −
= = =
−Π
( )0 2 1 0 59,7618 2,6805 90,9601 184,0567ˆ ˆˆ ˆβ β= Π − Π = − × = −
Ou seja, 5ˆ 184,0 67 2,6805ot tQ P= − +
A vantagem de usar mínimos quadrados indiretos nas equações exatamente 
identificadas é que eles geram estimadores consistentes e eficientes em amostras 
grandes. A desvantagem é que em amostras pequenas os estimadores são tendenciosos.
O método de mínimos quadrados em dois estágios é empregado para 
estimar equações superidentificadas. Vimos esse método de estimação no Tópico 1 
desta unidade e pode ser empregado inclusive para estimar equações exatamente 
identificadas, gerando resultados idênticos aos de mínimos quadrados indiretos 
visto anteriormente. Neste caso MQI e MQ2E darão estimativas idênticas, como 
podemos ver no quadro a seguir.
QUADRO 9 – ESTIMAÇÃO DA EQUAÇÃO DE OFERTA POR MQ2E
FONTE: O autor
Modelo 1: MQ2E, usando as observações 1975-2004 (T = 30)
Variável dependente: Q
Instrumentado: P 
Instrumentos: const X 
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor
 --------------------------------------------------------
 const −184,059 91,2304 −2,018 0,0533 *
 P 2,68052 0,892762 3,003 0,0056 ***
Média var. dependente 89,53333 D.P. var. dependente 14,05588
Soma resíd. quadrados 16725,89 E.P. da regressão 24,44081
R-quadrado 0,242502 R-quadrado ajustado 0,215449
F(1, 28) 9,015052 P-valor(F) 0,005583
Log da verossimilhança −231,3850 Critério de Akaike 466,7700
Critério de Schwarz 469,5724 Critério Hannan-Quinn 467,6665
rô 0,542435 Durbin-Watson 0,904685
Teste de Hausman -
 Hipótese nula: as estimativas por MQO são consistentes
 Estatística de teste assintótica: Qui-quadrado(1) = 349,708
 com p-valor = 4,90631e-078
Π
Π
Π
Π Π
Π Π Π
Π Π Π
Π
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
122
O resultado do Quadro 9, usando o método de mínimos quadrados em 
dois estágios traz o teste de Hausman, que nos informa que a estimação por MQO 
não é consistente, motivo pelo qual usamos MQ2E.
Há uma série de outros métodos de estimação que pode ser usada em 
sistemas de equações simultâneas, tais como o método das variáveis instrumentais, 
a estimação por máxima verossimilhança (com informação completa e com 
informação limitada), regressões aparentemente não relacionadas (SUR), mínimos 
quadrados em três estágios, entre outros. 
Todas essas técnicas possuem rotinas prontas no Gretl, por isso, para 
um aprofundamento nessas técnicas, procure as obras citadas nas referências 
deste livro didático.
123
RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse tópico, você aprendeu que:
• Alguns modelos econômicos requerem a utilização de modelos de equações 
simultâneas para a determinação conjunta dos parâmetros das variáveis.
• Para estimar um sistema de equações simultâneas pelo método de mínimos 
quadrados ordinários, os resíduos não podem ser correlacionados com as 
variáveis explicativas em cada equação do sistema, pois, caso haja correlação, 
os estimadores serão tendenciosos e inconsistentes.
• A identificação consiste em identificar parâmetros consistentes para os sistemas 
de equações simultâneas. 
• Uma equação de um determinado sistema pode ser subidentificada, exatamente 
identificada ou superidentificada.
• Uma forma de saber se a equação é identificada é obter a estimação da equação 
na forma reduzida e a partir daí deduzir os parâmetros estruturais. 
• Identificar os parâmetros do sistema de equações através das equações na forma 
reduzida é complexo e ineficiente. Uma alternativa mais rápida é a condição de 
ordem, que é uma condição necessária, mas não suficiente para a identificação.
• A condição de posto para identificação é uma condição suficiente para 
verificar se um sistema de equações é identificado. Para empregar essa técnica, 
recorremos à álgebra matricial, obtendo matrizes de ordem M – 1 e calculando 
os determinantes correspondentes. Se pudermos encontrar pelo menos um 
determinantediferente de zero, a equação em pauta é identificada.
• O emprego da técnica correta para estimação de uma equação pertencente a 
um sistema de equações simultâneas dependerá de a equação ser exatamente 
identificada ou superidentificada.
• Se a equação for exatamente identificada, podemos empregar o método de 
mínimos quadrados ordinários. Os estimadores obtidos por essa técnica serão 
consistentes e eficientes em amostras grandes, mas em amostras pequenas 
serão tendenciosos.
• Se a equação for superidentificada, podemos aplicar o método de mínimos 
quadrados em dois estágios ou o método de mínimos quadrados indiretos.
124
AUTOATIVIDADE
1 Em modelos de equações simultâneas, são corretas as afirmativas a seguir:
a) ( ) O problema da identificação precede o da estimação.
b) ( ) Se a condição de ordem for satisfeita, a condição de posto também será 
satisfeita. A condição de ordem é uma condição necessária, mas não 
suficiente para identificação.
c) ( ) Os estimadores de mínimos quadrados indiretos e os de mínimos 
quadrados em dois estágios são não tendenciosos e consistentes 
independentemente do tamanho da amostra. A não tendenciosidade 
dos estimadores de MQI em amostras pequenas não são válidas.
d) ( ) Se uma equação é exatamente identificada, os métodos de mínimos 
quadrados indiretos e de dois estágios produzem resultados idênticos. 
Pode ser empregado para estimar equações exatamente identificadas; 
neste caso MQI e MQ2E darão estimativas idênticas.
e) ( ) O método de mínimos quadrados indiretos pode ser aplicado tanto a 
equações exatamente identificados quanto a equações superidentificadas.
2 Considere o seguinte modelo de equações simultâneas:
Y1t = δ1Y2t + α11X1t + u1t (1)
Y2t = δ2Y3t + α22X2t + u2t (2)
Y3t = δ3Y2t + α31X1t + α32X2t + u3t (3)
 Em que Y1t, Y2t e Y3t são variáveis endógenas, X1t e X2t são variáveis 
exógenas, e u1t, u2t e u3t são os termos de erro.
 Indique se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira (V) ou falsa (F):
a) ( ) A condição de ordem para identificação de equações simultâneas é 
satisfeita pelas equações (1) e (2), mas não é satisfeita pela equação (3).
b) ( ) A equação (2) será identificada, pela condição de ordem, caso 
acrescentemos a variável X1t naquela equação.
c) ( ) Suponha que a condição de ordem afirmasse que a equação (1) é 
identificada, enquanto a condição de posto afirmasse que ela não 
é identificada. Neste caso, devemos sempre confiar na condição de 
ordem, que é uma condição suficiente para a identificação.
d) ( ) Podemos estimar a equação (3) por Mínimos Quadrados Indiretos (MQI).
e) ( ) A equação (2) pode ser estimado por Mínimos Quadrados Ordinários.
125
TÓPICO 3
PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Estamos habituados a rodar regressões com o intuito de verificar se uma 
variável tem influência sobre a outra em termos estatísticos. No entanto, essas 
estimativas nos oferecem apenas uma correlação matemática e estatística, mas se 
quisermos saber se uma variável causa a outra, no sentido estrito da palavra, é na 
teoria econômica que teremos que nos apoiar, e não na estatística.
O que queremos dizer é que se estamos estudando as relações entre renda 
e consumo, sabemos por experiência própria que se tivermos um aumento na 
nossa renda nominal, inevitavelmente estaremos propensos a aumentar o nosso 
consumo, mas não na mesma proporção desse aumento da renda. Essa é, em 
síntese, o que prega a teoria keynesiana sobre a propensão marginal a consumir.
Se rodarmos uma regressão, tendo como variável dependente o consumo 
e relacionando a renda como explicativa, descobriremos, após o tratamento 
estatístico apropriado, a medida dessa proporção do aumento da renda que 
se converte em consumo. No entanto, esse resultado não nos diz o quanto do 
consumo é causado pela renda, apenas mede o grau de dependência do consumo 
em relação à renda, ou seja, uma dependência meramente estatística.
Imagine agora que a autoridade monetária está interessada em manter 
o poder de compra da moeda e para isso ela controla a taxa básica de juros da 
economia. Ao alterar a taxa, os agentes econômicos esperam que a inflação no futuro 
se reduza, mas entendem que um efeito colateral possível é a redução da demanda. 
Da mesma forma, sabemos que uma redução na demanda afeta a expectativa em 
relação aos preços futuros, e consequentemente em relação à taxa de juros.
Aqui não falamos em causalidade no sentido estrito da palavra, mas sim 
no comportamento de uma variável que é capaz de afetar a trajetória temporal 
de outra variável. Por isso, em econometria, o termo causalidade na maioria 
das vezes é empregado no sentido de Granger (1969), que tem mais a ver com o 
conceito de precedência do que causalidade propriamente dita.
126
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
O que faremos na primeira parte desse tópico é analisar a causalidade no 
sentido de Granger (1969) e na segunda parte aprenderemos sobre uma técnica 
especialmente importante dentro da econometria. Trata-se da análise de regressão 
usando grande quantidade de amostragens aleatórias através de simulações, 
conhecido como experimentos de Monte Carlo.
2 CAUSALIDADE DE GRANGER
A ideia por traz do estudo da causalidade desenvolvida por Granger 
(1969) é que o futuro não pode causar o presente nem o passado. Quando o 
passado causa o presente ou o futuro, é chamada de causalidade estrita e somente 
em processos estocásticos é possível se estabelecer uma relação de causalidade 
(GRANGER; NEWBOLD, 1977, p. 225).
Granger (1969) estava interessado em jogar luz sobre as relações entre 
certas classes de modelos econométricos envolvendo feedbacks como vimos 
acontecer nos modelos de equações simultâneas estudados anteriormente.
Existem três situações possíveis:
1. Uma causalidade unidirecional, no sentido de que Y causa no sentido de 
Granger X, mas X não causa no sentido de Granger Y.
2. Feedback ou causalidade bilateral, em que tanto Y causa no sentido de Granger 
X, quanto X causa no sentido de Granger Y.
3. E, finalmente, a independência, quando não há efeito causal no sentido de 
Granger entre as variáveis.
Para entender como funciona o teste de Granger na prática, vamos usar 
os dados do Quadro 10. Os dados utilizados foram obtidos no site do Ipeadata e 
a amostra é constituída de dados trimestrais abrangendo o primeiro trimestre de 
1996 até o terceiro trimestre de 2014.
Utilizamos a série do Produto Interno Bruto (PIB) a preços de mercado, 
como proxy, para o investimento agregado, utilizamos a soma da formação 
bruta de capital fixo com a variação de estoques e, para a poupança agregada, 
utilizamos a poupança nacional bruta. Todas as séries são em milhões de reais e 
tem como referência o ano de 2010.
Muitas vezes, a análise dos dados diretamente não gera resultados 
desejáveis, porque, como vimos na Unidade 1, as séries temporais são compostas 
por componentes sazonal, cíclico, de tendência e errático. É necessário limpar as 
séries desses componentes para podermos extrair as relações corretas entre elas.
Tendo isso em mente, fiz o seguinte tratamento dos dados: primeiro, obtive 
os valores nominais das séries de investimento agregado, poupança agregada e 
PIB, e os deflacionei pelo Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna (IGP-
DI, agosto de 1994 = 100), utilizando a seguinte fórmula:
TÓPICO 3 | PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
127
:
i
i j j
i
PPR I
I
 
= × 
 
3.1
Onde PRi:j é o valor real da variável do período i em relação ao valor do 
período j, Pi é o valor nominal da variável no período i, Ii é o IGP-DI no período i 
e Ij é o IGP-DI no período j.
O próximo passo consistiu em pegar as séries transformadas pelo 
passo anterior e ajustá-las sazonalmente pelo métodoX-12-ARIMA, que é um 
programa utilizado para ajustamento sazonal desenvolvido pelo www.census.
gov. O Gretl tem a rotina pronta para esse método de dessazonalização, porém, 
é preciso que você o baixe no site: <http://sourceforge.net/projects/gretl/files/
x12a/x12a_install.exe/download>.
O investimento bruto e a poupança nacional bruta são apresentados como 
a razão da poupança nacional bruta pelo PIB e a razão do investimento bruto pelo 
PIB, respectivamente.
QUADRO 10 – POUPANÇA E INVESTIMENTO COMO PROPORÇÃO DO PIB. BRASIL, 1º 
TRIMESTRE DE 1996 ATÉ 3º TRIMESTRE DE 2014
Período Poupança Investimento Período Poupança Investimento
1996 T1 0,184035 0,187601 2005 T3 0,167324 0,169458
1996 T2 0,171025 0,18019 2005 T4 0,162179 0,163511
1996 T3 0,156049 0,166452 2006 T1 0,175274 0,177693
1996 T4 0,140983 0,159182 2006 T2 0,166166 0,177258
1997 T1 0,156506 0,187275 2006 T3 0,176379 0,175922
1997 T2 0,137086 0,164917 2006 T4 0,172967 0,181211
1997 T3 0,155061 0,179434 2007 T1 0,185736 0,200238
1997 T4 0,185497 0,180544 2007 T2 0,177455 0,195672
1998 T1 0,160495 0,181506 2007 T3 0,173416 0,199397
1998 T2 0,165634 0,18583 2007 T4 0,171692 0,1974
1998 T3 0,14754 0,182607 2008 T1 0,187902 0,224368
1998 T4 0,144771 0,181216 2008 T2 0,190171 0,22331
1999 T1 0,151895 0,179331 2008 T3 0,181763 0,21565
1999 T2 0,161824 0,18439 2008 T4 0,172608 0,202085
1999 T3 0,116092 0,156945 2009 T1 0,156337 0,188394
1999 T4 0,130654 0,181465 2009 T2 0,149133 0,175984
2000 T1 0,158848 0,211898 2009 T3 0,147506 0,179421
2000 T2 0,12489 0,18105 2009 T4 0,165578 0,206939
128
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 11 abr. 2019.
2000 T3 0,138554 0,184526 2010 T1 0,173395 0,219599
2000 T4 0,13346 0,186401 2010 T2 0,169075 0,217602
2001 T1 0,141221 0,203327 2010 T3 0,17312 0,223099
2001 T2 0,132511 0,18608 2010 T4 0,16768 0,21464
2001 T3 0,13599 0,189788 2011 T1 0,174089 0,225976
2001 T4 0,128173 0,174889 2011 T2 0,167607 0,220358
2002 T1 0,146599 0,188217 2011 T3 0,162823 0,21433
2002 T2 0,149945 0,190759 2011 T4 0,151953 0,216373
2002 T3 0,15124 0,168603 2012 T1 0,1555 0,226467
2002 T4 0,138081 0,15552 2012 T2 0,139444 0,218067
2003 T1 0,148326 0,16456 2012 T3 0,124251 0,210492
2003 T2 0,146622 0,156145 2012 T4 0,118961 0,205931
2003 T3 0,159458 0,167126 2013 T1 0,131382 0,226805
2003 T4 0,173845 0,182727 2013 T2 0,131746 0,2188
2004 T1 0,191381 0,190471 2013 T3 0,124291 0,218223
2004 T2 0,192647 0,180583 2013 T4 0,116479 0,206926
2004 T3 0,17722 0,174589 2014 T1 0,116825 0,21932
2004 T4 0,172224 0,171178 2014 T2 0,110844 0,202761
2005 T1 0,1842 0,179363 2014 T3 0,112433 0,20183
2005 T2 0,173984 0,176771
Vamos verificar se as variações na poupança como proporção do PIB 
influenciam as variações nos investimentos, como proporção do PIB ou se são as 
variações nos investimentos agregados que influenciam a poupança.
Para isso, considere o seguinte modelo:
Poupt = Σi=1 αiInvt–1 + Σj=1 βjPoupt–j + u1t 3.2
Invt = Σi=1 λiInvt–1 + Σj=1 δjPoupt–j + u2t 3.3
Para que o investimento cause no sentido de Granger a poupança, é 
necessário que αi ≠ 0. Da mesma forma, a poupança causará o investimento no 
sentido de Granger se δj ≠ 0. Caso αi = δj ≠ 0, dizemos que a relação de causalidade 
no sentido de Granger é bidirecional ou de feedback. A independência é obtida 
para os conjuntos de coeficientes de St e It estatisticamente iguais a zero, αi = δj = 0.
n
n n
n
TÓPICO 3 | PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
129
Seguindo Gujarati e Porter (2011, p. 649), os seguintes passos deverão ser 
empregados para rodar o teste:
1. Calcule a regressão da poupança contra todos os termos da poupança 
defasados e outras variáveis, se houver, mas não inclua as defasagens da 
variável investimento nessa regressão. Chamaremos o resultado de regressão 
restrita e salvaremos a soma dos quadrados dos resíduos, SQRR.
2. No segundo passo, devemos rodar a regressão da poupança incluindo as 
demais variáveis e inclusive os termos da variável investimento defasados. 
Chamaremos o resultado de regressão irrestrita e salvaremos a soma de 
quadrados dos resíduos irrestritos, SQRUR.
3. Construímos o teste de hipótese, declarando que H0:αi = 0 para todo i = 1,2, ..., n, 
ou seja, os termos da variável investimento defasados não pertencem à regressão.
4. Aplique o teste 
/
/
R IR
IR
SQR SQR mF
SQR n k
−
=
− , onde m é o número de termos da variável 
investimento defasados e k é o número de parâmetros estimados na regressão 
sem restrição.
5. Se o F calculado for maior que o F da tabela nos níveis de significância 
estabelecidos, rejeitamos a H0, e neste caso, investimento causa no sentido de 
Granger a variação da poupança.
6. Repita para a equação do investimento a fim de verificar se a poupança causa 
no sentido de Granger o investimento.
Não se assuste com a quantidade de passos. O Gretl ajudará a resolver 
esse problema. Abra o menu “Arquivo”, depois selecione “Arquivos de script”, 
na sequência selecione “Novo script” e depois escolha “Script gretl”, conforme 
a figura a seguir.
FIGURA 3 – SCRIPT DE COMANDOS DO GRETL
FONTE: O autor
130
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
Após abrir o arquivo de script do Gretl, digite a seguinte sequência de 
comandos para testar a hipótese nula de que o investimento não causa no sentido 
de Granger a poupança:
# Esse script tem como H0: Investimento não causa no sentido de 
Granger a Poupança
# Teste com uma defasagem
ols Poup Poup(-1)
scalar SQR_R1 = $ess
ols Poup Inv(-1) Poup(-1)
scalar SQR_IR1 = $ess
# Teste F com m = 1 e n-k = 74-2=72
genr Fstat1 = ((SQR_R1-SQR_IR1)/1)/(SQR_IR1/72)
#P-Valor para a estatística F com 1 e 72 graus de liberdade
pvalue F 1 72 Fstat1
#
# Teste com duas defasagens
ols Poup Poup(-1) Poup(-2)
scalar SQR_R2 = $ess
ols Poup Inv(-1) Inv(-2) Poup(-1) Poup(-2)
scalar SQR_IR2 = $ess
# Teste F com m = 2 e n-k = 73-4=69
genr Fstat2 = ((SQR_R2-SQR_IR2)/2)/(SQR_IR2/69)
#P-Valor para a estatística F com 2 e 69 graus de liberdade
pvalue F 2 69 Fstat2
#
# Teste com três defasagens
ols Poup Poup(-1) Poup(-2) Poup(-3)
scalar SQR_R3 = $ess
ols Poup Inv(-1) Inv(-2) Inv(-3) Poup(-1) Poup(-2) Poup(-3)
scalar SQR_IR3 = $ess
# Teste F com m = 3 e n-k = 72-6=66
genr Fstat3 = ((SQR_R3-SQR_IR3)/3)/(SQR_IR3/66)
#P-Valor para a estatística F com 3 e 66 graus de liberdade
pvalue F 3 66 Fstat3
#
# Teste com quatro defasagens
ols Poup Poup(-1) Poup(-2) Poup(-3) Poup(-4)
scalar SQR_R4 = $ess
ols Poup Inv(-1) Inv(-2) Inv(-3) Inv(-4) Poup(-1) Poup(-2) Poup(-3) 
Poup(-4)
scalar SQR_IR4 = $ess
# Teste F com m = 4 e n-k = 71-8=63
genr Fstat4 = ((SQR_R4-SQR_IR4)/4)/(SQR_IR4/63)
#P-Valor para a estatística F com 4 e 63 graus de liberdade
pvalue F 4 63 Fstat4
Após digitar os comandos, pressione as teclas “Control R” ou clique no 
botão executar, conforme ilustrado na figura a seguir.
TÓPICO 3 | PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
131
FIGURA 4 – JANELA DE SCRIPT DE COMANDO DO GRETL
FONTE: O autor
Esse mesmo procedimento deve ser feito para testar a hipótese nula de 
que a poupança não causa o investimento e neste caso você substitui a variável 
dependente Poup por Inv e ajusta o modelo restrito para conter apenas a variável 
Inv defasada. O Gretl executará cada linha de comando digitado e reportará o 
resultado de cada ação. 
De todo o resultado, apenas algumas informações interessam-nos. Eu 
sintetizei as informações mais importantes no quadro a seguir e relacionei o 
resultado tanto da hipótese nula de que o investimento não causa a poupança 
quanto a hipótese nula de que a poupança não causa o investimento.
132
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS EMODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
QUADRO 11 – RESULTADO DO TESTE DE GRANGER
Variável 
dependente Hipótese Nula Defasagens Obs Estatística F p-valor
Poupança
Investimento não causa a 
poupança
1 74 0,0741 0,7862
Poupança
Investimento não causa a 
poupança
2 73 0,4073 0,6671
Poupança
Investimento não causa a 
poupança
3 72 0,3942 0,7575
Poupança
Investimento não causa a 
poupança
4 71 0,3690 0,8298
Investimento
Poupança não causa o 
investimento
1 74 0,0533 0,8181
Investimento
Poupança não causa o 
investimento
2 73 0,9821 0,3797
Investimento
Poupança não causa o 
investimento
3 72 1,1902 0,3203
Investimento
Poupança não causa o 
investimento
4 71 1,3468 0,2626
FONTE: O autor 
Percebam que nenhum resultado permite-nos rejeitar a hipótese nula, o que 
nos leva a concluir que as variáveis investimento e poupança real, como proporção 
do PIB, são independentes no tempo para o caso brasileiro, no período entre 1996 e 
2014. Obviamente esse resultado não esgota o tema, até mesmo porque, a literatura 
econômica diz que essas variáveis são correlacionadas o que abre espaço para muita 
discussão, dado a relevância delas na dinâmica do crescimento econômico.
Um dos fatores que pode alterar os resultados do teste é a necessidade 
das séries serem estacionárias. Esse problema superamos e ainda eliminamos o 
componente sazonal, o que valida o resultado obtido. Caso as séries não passem 
em um teste de raiz unitária, você deve tirar a primeira diferença ou aplicar um 
filtro como fizemos nesse exemplo.
O outro problema do teste é a sua sensibilidade a defasagens. Note que 
rodamos o teste para quatro defasagens. Esse procedimento é trabalhoso, mesmo 
com o auxílio da janela de scripts do Gretl. Uma alternativa que vem sendo 
utilizada em diversos trabalhos é usar como critério de seleção do número de 
defasagens a rotina de seleção de defasagens do VAR, que já vem pronta no Gretl, 
no menu “Modelo”, “Série temporal”, “Multivariado” e “Seleção de defasagens 
VAR”. Lembre-se de desmarcar a opção de “Incluir uma constante” e deixar que 
o Gretl sugira o número máximo de defasagens. 
O quadro a seguir apresenta o resultado da seleção de defasagens. Note 
que a seleção de defasagens segue os critérios de informação já conhecidos por nós. 
Neste caso, os critérios Schwarz e Hannan-Quin indicam que o número máximo de 
defasagens é 1, enquanto o critério de Akaike informa que devemos usar 7 defasagens.
TÓPICO 3 | PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
133
QUADRO 12 – SELEÇÃO DE DEFASAGENS VAR
FONTE: O autor
Sistema VAR, máximo grau de defasagem 8
Os asteriscos abaixo indicam os melhores (isto é, os mínimos) 
valores
dos respectivos critérios de informação. AIC = critério de Akaike,
BIC = critério Bayesiano de Schwarz, e HQC = critério de Hannan-
Quinn.
defas. log.L p(LR) AIC BIC HQC
 1 431,74563 -12,768526 -12,636903* -12,716443*
 2 435,89022 0,08154 -12,772842 -12,509596 -12,668675 
 3 438,10616 0,35070 -12,719587 -12,324716 -12,563336 
 4 440,54665 0,29973 -12,673034 -12,146541 -12,464700 
 5 442,51646 0,41424 -12,612432 -11,954314 -12,352013 
 6 446,92026 0,06609 -12,624485 -11,834745 -12,311983 
 7 456,22802 0,00094 -12,782926* -11,861562 -12,418340 
 8 460,09808 0,10158 -12,779047 -11,726060 -12,362377
Utilizar essa rotina pronta antes de rodar o teste poupa-nos um tempo 
considerável e ainda podemos estimar o modelo VAR e obter a partir da janela 
de resultado o teste de causalidade de Granger, cujos resultados resumidos para 
uma defasagem estão no quadro a seguir.
QUADRO 13 – RESULTADO DO TESTE DE CAUSALIDADE DE GRANGER PARA
UMA DEFASAGEM USANDO O RESULTADO DO VAR
FONTE: o autor
Sistema VAR, grau de defasagem 1
Estimativas MQO, observações 1996:2-2014:3 (T = 74)
Equação 1: Poup
Testes-F com zero restrições:
Todas as defasagens de Poup F(1, 72) = 259,82 [0,0000]
Todas as defasagens de Inv F(1, 72) = 0,074093 [0,7862]
Equação 2: Inv
Testes-F com zero restrições:
Todas as defasagens de Poup F(1, 72) = 0,053308 [0,8181]
Todas as defasagens de Inv F(1, 72) = 423,74 [0,0000]
134
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
Compare os resultados do Quadro 13 com os do Quadro 11 para uma 
defasagem. Você perceberá que chegamos ao mesmo resultado, só que com 
menos esforço, mitigando o risco de digitarmos um comando errado em uma 
das linhas de script.
Você será convidado a rodar o teste de Granger para 7 defasagens no 
exercício no final desse tópico e perceberá a importância de se definir um critério 
para a seleção de defasagens, porque, com 7 defasagens, rejeitamos a hipótese 
nula de que o investimento não causa a poupança o sentido de Granger, com 5% 
de significância estatística.
3 ESTIMAÇÃO BASEADA EM SIMULAÇÃO
Veremos agora uma das aplicações econométricas que mais tem crescido 
nos últimos anos em razão da evolução computacional. Trata-se da estimação 
baseada em simulação. Na Unidade 1, você teve a oportunidade de fazer diversas 
simulações. Naquela oportunidade estávamos interessados em entender o padrão 
de comportamento de séries temporais específicas, para podermos saber o que 
esperar encontrar na prática ao analisar o comportamento de séries como ruído 
branco, processo autorregressivo, passeio aleatório, entre outros.
Ainda na Unidade 1, vimos o teste de raiz unitária de Dickey e Fuller, 
que não utilizam as tabelas estatísticas conhecidas, como t, F ou X2, mas sim a 
distribuição t, desenvolvida pelos autores com base em simulações de Monte 
Carlo. Aliás, não é apenas o teste de raiz unitária, mas também os demais testes 
estatísticos e tabelas de distribuição são obtidos através de simulações como os 
experimentos de Monte Carlo.
A expressão experimentos de Monte Carlo devem-se ao fato de que este tipo 
de simulação envolve a geração de números aleatórios ou resultados aleatórios, 
como os que são obtidos nos jogos de cassino. Na época em que as simulações por 
computador se tornaram possíveis, como relata Davidson e Mackinnon (2003), o 
cassino mais famoso estava em Monte Carlo, mas se o desenvolvimento dessas 
simulações computacionais ocorresse mais tarde, provavelmente se chamariam 
experimentos de Las Vegas!
Kennedy (2009, p. 19) define um experimento de Monte Carlo como “[...] 
um exercício de simulação por computador projetado para dar luz às propriedades 
de amostra pequena dos estimadores para determinado problema de estimação”.
Maddala (2003, p. 318) resume rapidamente os procedimentos preliminares 
do método de Monte Carlo nos seguintes passos:
1. Escolha do modelo.
2. Determina o tamanho da amostra N.
3. Fixa os parâmetros em certos valores.
4. Retira amostras repetidas da distribuição do termo de erro.
TÓPICO 3 | PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
135
A partir daí você dispõe de N dados que utilizará para estimar os 
parâmetros e repetirá esse procedimento M vezes. Dessas repetições você extrai a 
distribuição amostral das estimativas dos parâmetros da amostra de tamanho N, 
e irá comparar com a distribuição assintótica.
Para um exemplo simples, considere o seguinte modelo de regressão
Yt = βxt + ut 3.4
Onde ut~N(0, σ2), o tamanho da amostra, N = 50, σ2 = 1 e o parâmetro β = 4,0.
Para rodar esse experimento, abrimos o Console Gretl e digitamos a 
sequência de comados a seguir.
# Criação de um banco de dados vazio com tamanho 50
nulldata 50
# Geramos a série x com um operador condicional ternário (atenção para 
digitar os espaços corretamente). Um operador condicionalternário tem 
três partes. A primeira delas está à esquerda do ponto de interrogação, 
"?", a segunda está entre o ponto de interrogação e os dois pontos e a 
terceira parte está do lado direito dos dois pontos. Como se trata de uma 
condicional, se a primeira parte for verdadeira, ou seja, se os valores 
de "index" forem maiores do que 20, então assumirão valor igual a 20, 
caso contrário, para valores de "index" menores que 20, a série assumirá 
valores iguais a 10.
series x = (index>20) ? 20 : 10
# Como definimos os valores para o parâmetro beta, podemos gerar o modelo 
3.4 da seguinte forma:
series ys = 4.0*x
# Usaremos agora o comando loop, para abrir um modo especial dentro 
do Gretl, que permitirá parametrizar comandos que serão executados 
repetidamente. Especificamente falando, repetiremos o experimento 1000 
vezes e salvaremos todos esses parâmetros beta simulados em um arquivo 
chaado "coef.gdt".
loop 1000 --progressive --quiet
y = ys + normal(0,1)
ols y x
scalar betha = $coeff(x)
scalar sig2 = $sigma^2
print betha sig2
store "@workdir\coef.gdt" betha sig2
endloop
# Na sequência o Gretl irá abrir o arquivo "coef.gdt", mostrar as 
estatísticas desccritivas dos betas estimados e plotar um gráfico testando 
a distribuição normal para os betas estimados.
open "@workdir\coef.gdt"
summary
freq betha ––normal
136
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
Ao fazer esse experimento, você constatará que em média, os valores 
estimados para o β convergem para 4,0, como havíamos estabelecido no começo 
da nossa simulação. Isso demonstra a consistência do estimador obtido pelo 
método de mínimos quadrados ordinários.
Esse exemplo básico foi usado para chamar a sua atenção para o fato de 
que existe uma estrutura a ser seguida dentro de uma simulação de Monte Carlo. 
Veja o quadro a seguir.
QUADRO 14 – ESTRUTURA BÁSICA DE UMA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO NO GRETL
FONTE: Adaptado de Adkins (2010, p. 9)
# Abra um banco de dados para usar como base da simulação ou
# crie valores para os regressores usando uma sequência de 
números aleatórios
# defina uma “semente” para obter o mesmo resultado cada vez que 
você rodar a simulação (opcional)
# defina os valores dos parâmetros
# algumas simulações dependem das condições iniciais, as quais 
devem ser inseridas neste momento
# inicie o “loop”, indicando o número desejado de amostragens
# use o comando “—progressive” para fazer a simulação de Monte 
Carlo e use o comando “—quiet” para interromper as iterações no 
loop, formando:
loop NMC --progressive --quiet
# gere a série de erros aleatórios
# gere a média condicional da variável dependente
# estime o modelo
# compute e salve as estatísticas desejadas
# use o comando “print” para imprir os resultados
# armazene os resultados em um arquivo para análise futura
# encerre com o comando “endloop”
Para outros exemplos de simulação de Monte Carlo, acesse: <http://
learneconometrics.com/pdf/MCgretl/>. Neste site você poderá inclusive baixar 
arquivos do Gretl com scripts prontos para intervalo de confiança, modelos com 
defasagens distribuídas com autocorrelação, heteroscedasticidade, variáveis 
instrumentais, modelos de escolha binária e mínimos quadrados não lineares.
Outra técnica de simulação que vem sendo muito utilizada nos últimos 
anos é a técnica de bootstrapping. Conforme Greene (2012, p. 651, tradução 
livre), “[...] a técnica de bootstrapping é empregada para obter uma descrição das 
propriedades amostrais dos estimadores empíricos usando os próprios dados da 
amostra, ao invés de resultados teóricos”.
TÓPICO 3 | PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
137
Essa técnica foi introduzida por Efron (1979) e é um método baseado em 
computador utilizado para obter estimativas estatísticas mais precisas. A ideia 
é bastante simples e conforme Efron (1979, p. 3), pode ser sintetizada em três 
passos apresentados a seguir:
1. Construa a distribuição de probabilidade amostral F, distribuindo 1/n da 
amostra em cada ponto x1, x2, x3, ... xn.
2. Com F fixado, extraia uma amostra aleatória de tamanho n de F, como:
 Xi = xi,Xt~indF 3.5
3. Chamamos isso de amostra bootstrap, com X* = (X1,X2, ..., Xn), x* = (x1,x2, ..., xn).
4. Aproximar a distribuição amostral de R(X,F) pela distribuição de bootstrap de
R* = R(X*,F) 3.6
A distribuição de R* induzida pelo processo aleatório 3.5, com F mantido 
fixo nos seus valores observados.
Como você já deve ter percebido, o problema do método de bootstrap 
é justamente calcular a sua distribuição de probabilidade. Efron (1979) sugere 
três métodos, sendo o primeiro deles o cálculo teórico direto, o segundo através 
de simulação de Monte Carlo e o terceiro usando o método de expansão de 
séries de Taylor.
Para um estudo avançado sobre as técnicas de bootstrapping, veja Efron 
e Tibishirani (1993), Davidson e Mckinnon (2003), Enders (2004) e Greene 
(2012). No Gretl, na janela de resultado do modelo econométrico estimado, é 
possível utilizar a técnica de bootstrapping através do menu “Análise” e depois 
“Bootstrap”. Na janela que será aberta é possível construir um intervalo de 
confiança para os coeficientes estimados usando essa técnica de reamostragem, o 
que torna o resultado mais preciso, além de obter o p-valor mais preciso através 
de amostragem repetida.
Vamos ver como funciona com uma aplicação prática. Considere os dados 
do quadro a seguir. Os dados já foram utilizados anteriormente na Unidade 1, 
Tópico 3. Naquela oportunidade estimamos a regressão e os resultados não 
cointegraram, motivo pelo qual tivemos que aplicar o filtro HP. Os dados do 
quadro a seguir são apresentados com os valores filtrados.
Para a variável dependente, usamos o consumo final das famílias, em R$ 
milhões. Para a variável explicativa, optamos por uma proxy da renda e neste caso 
escolhemos o PIB a preços de mercado, em R$ milhões. O modelo a ser estimado é:
Consumot = β1 + β2Rendat + ut 3.7
* *
* * * * * *
138
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
QUADRO 15 – CONSUMO E RENDA, BRASIL, 1º TRIMESTRE 1996 ATÉ 3º TRIMESTRE 2017
Período Consumo Renda Período Consumo Renda Período Consumo Renda
1996T1 132.056 200.198 2003T2 257.628 418.187 2010T3 601.027 990.344
1996T2 135.278 205.479 2003T3 264.697 430.955 2010T4 618.927 1.018.502
1996T3 138.497 210.755 2003T4 272.012 444.116 2011T1 637.106 1.046.865
1996T4 141.705 216.016 2004T1 279.579 457.663 2011T2 655.525 1.075.359
1997T1 144.901 221.262 2004T2 287.407 471.600 2011T3 674.140 1.103.891
1997T2 148.090 226.507 2004T3 295.502 485.923 2011T4 692.901 1.132.374
1997T3 151.280 231.765 2004T4 303.867 500.634 2012T1 711.755 1.160.726
1997T4 154.482 237.050 2005T1 312.511 515.748 2012T2 730.652 1.188.885
1998T1 157.712 242.390 2005T2 321.451 531.295 2012T3 749.531 1.216.768
1998T2 160.991 247.820 2005T3 330.701 547.296 2012T4 768.322 1.244.287
1998T3 164.338 253.372 2005T4 340.275 563.772 2013T1 786.960 1.271.365
1998T4 167.772 259.080 2006T1 350.190 580.752 2013T2 805.391 1.297.941
1999T1 171.311 264.983 2006T2 360.468 598.272 2013T3 823.557 1.323.936
1999T2 174.970 271.115 2006T3 371.127 616.354 2013T4 841.400 1.349.285
1999T3 178.762 277.505 2006T4 382.183 635.009 2014T1 858.869 1.373.943
1999T4 182.694 284.177 2007T1 393.651 654.251 2014T2 875.931 1.397.905
2000T1 186.775 291.155 2007T2 405.547 674.103 2014T3 892.564 1.421.173
2000T2 191.018 298.469 2007T3 417.885 694.576 2014T4 908.752 1.443.765
2000T3 195.427306.139 2007T4 430.671 715.680 2015T1 924.494 1.465.724
2000T4 200.010 314.182 2008T1 443.912 737.420 2015T2 939.822 1.487.135
2001T1 204.774 322.618 2008T2 457.611 759.811 2015T3 954.775 1.508.074
2001T2 209.733 331.469 2008T3 471.769 782.850 2015T4 969.391 1.528.615
2001T3 214.899 340.753 2008T4 486.382 806.540 2016T1 983.712 1.548.833
2001T4 220.286 350.479 2009T1 501.456 830.905 2016T2 997.800 1.568.814
2002T1 225.903 360.656 2009T2 516.993 855.971 2016T3 1.011.707 1.588.613
2002T2 231.762 371.287 2009T3 532.981 881.721 2016T4 1.025.476 1.608.279
2002T3 237.865 382.365 2009T4 549.399 908.103 2017T1 1.039.150 1.627.850
2002T4 244.212 393.882 2010T1 566.227 935.047 2017T2 1.052.781 1.647.379
2003T1 250.800 405.825 2010T2 583.447 962.491 2017T3 1.066.401 1.666.892
FONTE: <www.ipeadata.gov.br>. Acesso em: 11 abr. 2019. 
Obs.: Dados extraídos pelo filtro HP.
Os resultados estão no quadro a seguir, em que vemos que os coeficientes 
estimados são estatisticamente significativos ao nível de 5% de significância 
estatística. O problema desse resultado é que, ao analisar a estatística de Durbin-
Watson, percebemos que há problema de autocorrelação de primeira ordem. 
Devemos recordar que na presença de autocorrelação, os parâmetros são não 
viesados, mas ineficientes e com variâncias viesadas.
TÓPICO 3 | PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
139
QUADRO 16 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO CONSUMO
FONTE: o autor
Modelo 1: MQO, usando as observações 1996:1-2017:3 (T = 87)
Variável dependente: hpt_Consumo
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 --------------------------------------------------------------
 const −5196,09 2385,24 −2,178 0,0321 **
 hpt_Renda 0,628297 0,00265608 236,6 1,33e-121 ***
Média var. dependente 475915,5 D.P. var. dependente 296702,3
Soma resíd. quadrados 1,15e+10 E.P. da regressão 11622,95
R-quadrado 0,998483 R-quadrado ajustado 0,998465
F(1, 85) 55956,20 P-valor(F) 1,3e-121
Log da verossimilhança −936,8201 Critério de Akaike 1877,640
Critério de Schwarz 1882,572 Critério Hannan-Quinn 1879,626
rô 0,996528 Durbin-Watson 0,007310
Como podemos ver, o sinal da constante não faz o menor sentido 
econômico, porque se não houver mudanças na renda, esse resultado indica que 
as famílias terão consumo negativo. Podemos utilizar o método de bootstrap para 
simular o p-valor para a constante e para isso você deve clicar no menu “Análise”, 
na janela de resultados do modelo e na sequência escolher “Bootstrap”. Preencha 
os campos conforme a figura a seguir.
FIGURA 5 – JANELA DE CONFIGURAÇÃO DE BOOTSTRAP
FONTE: O autor
140
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
O Gretl reportará o resultado como:
Para o coeficiente em const (estimativa pontual -5196,09):
 p-valor = 68 / 1000 = 0,068
Baseado em 1000 replicações, usando resíduos reamostrados
Esse resultado foi obtido após 1.000 reamostragens. Note que o p-valor 
através da técnica de bootstrap é 0,068 e não 0,0321 como vimos na estimação 
da regressão. Se antes poderíamos rejeitar a hipótese nula de que o coeficiente 
estimado é estatisticamente igual a zero ao nível de 5% de significância estatística, 
agora, o p-valor de bootstrap indica que não podemos rejeitar H0.
Apesar do resultado ser mais preciso, devemos lembrar que a técnica 
correta de estimação na presença de autocorrelação é por mínimos quadrados 
generalizados e não por mínimos quadrados ordinários. Neste caso específico, a 
estimação por Cochrane-Orcutt resolve o problema de autocorrelação, por outro 
lado, como estamos lidando com séries temporais, a questão da estacionariedade 
não deve ser desprezada, bem como a técnica de cointegração.
TÓPICO 3 | PRECEDÊNCIA EM ECONOMIA
141
LEITURA COMPLEMENTAR
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL É CAMPEÃ MUNDIAL DE XADREZ; 
QUANDO SERÁ PRÊMIO NOBEL?
Roberto Leal Lobo e Silva Filho 
O Fórum Econômico Mundial nos adverte que entramos no início de uma 
revolução que vai mudar fundamentalmente a forma como vivemos, trabalhamos e 
nos relacionamos uns com os outros. Na sua escala, escopo e complexidade, a quarta 
revolução industrial é muito diferente de tudo que a humanidade viveu antes.
Ainda precisamos nos acostumar com a velocidade e a amplitude dessa 
nova revolução.
Com o desenvolvimento de tecnologias, milhões de postos de trabalho 
tradicionais serão extintos, outros milhões que ainda não existem hoje 
serão criados, e exigirão novas habilidades que terão que ser desenvolvidas 
pelos sistemas educacionais. Um grande desafio para as nossas escolas e 
universidades: como preparar os cidadãos para serem relevantes e realizados 
na nova civilização que se aproxima aceleradamente.
Um exemplo dramático da rapidez das transformações dos sistemas 
digitais de Inteligência artificial (AI) é o que está acontecendo no jogo de xadrez 
por computadores.
Na década de 90, os computadores já se igualavam ao homem na sua 
capacidade de jogar xadrez. Em 1997, o computador DeepBlue venceu o campeão 
mundial Garry Kasparov.
Seguiu-se um período de colaboração com duplas formadas por 
humanos e computadores que se imaginava como uma combinação perfeita. 
Ledo engano. Os computadores se aperfeiçoaram rapidamente, dispensando 
a nossa colaboração nos jogos.
Em 2017, um marco novo: o computador AlphaZero bateu o computador 
campeão do ano anterior, Stockfish 8, num campeonato de 100 partidas – venceu 28 
e empatou 72. Não sofreu nenhuma derrota! Mas isso ainda é pouco. Enquanto o 
Scockfish 8 se baseia num enorme esforço computacional e um poderoso banco de 
dados com aberturas, estratégias etc., a abordagem dos criadores do AlphaZero foi 
a de oferecer as regras do jogo e fazer o computador jogar milhões de jogos contra 
ele mesmo e, assim, aprender consigo próprio, utilizando técnicas de Inteligência 
Artificial como redes neurais e simulações de Monte Carlo. Enquanto o Scockfish 
8 calculava 70 milhões de posições por segundo, o AlphaZero calculava “somente” 
80 mil. Alpha Zero levou menos de 4 horas para começar do zero, aprender as 
regras do jogo e ganhar do que havia de mais avançado! Para aprender de forma 
autodidata, jogou 44 milhões de partidas, nessas 4 horas, e foi aprendendo a 
interpretar as jogadas com maior chance de sucesso. Uma fantástica evolução.
Seria possível agora multiplicar o programa do AlphaZero e criar milhares 
de computadores campeões mundiais!
142
UNIDADE 2 | MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÂMICOS E MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
As novas tecnologias estão também penetrando na área da educação, 
tanto na gestão das instituições como no auxílio ao aprendizado que será mais 
flexível, descentralizado e individualizado, como previu Christensen Clayton, da 
Universidade de Harvard, anos atrás. Elas serão insubstituíveis, por exemplo, 
na educação continuada de professores e profissionais e na disponibilidade 
de montar estratégias individualizadas de sucesso para combater a evasão e 
melhorar desempenho acadêmico dos estudantes a partir das análises de Big 
Data e da riqueza da Inteligência Artificial, capaz de analisar estratégias, prever 
consequências, comparar resultados e modificar as propostas baseadas em 
milhões de informações. Será um universo novo de perspectivas e promessas de 
uma educação melhor e mais inclusiva.
Uma das ferramentas mais poderosas na educação dos próximos anos serão os 
laboratórios virtuais onde as novas tecnologias trarão um enorme desenvolvimento.
Um laboratório virtual é uma atividade baseada em computador onde 
os alunos interagem com um aparato experimental por meio de uma interface de 
computador. Há dois tipos basicamente: a simulação de um experimento programadoanteriormente ou um experimento controlado remotamente, em que o aluno interage 
com aparelhos reais, mas distantes dele, por meio de um link de computador.
É difícil prever como eles serão no ano 2025. Provavelmente, espetaculares 
utilizando a realidade virtual, robôs e as impressoras 3-D, apoiados na flexibilidade 
das tecnologias digitais e computação em nuvem que permitirá concretizar 
propostas de sofisticadas experiências a distância.
A simulação virtual de um experimento se baseia nas teorias existentes e 
nas equações e parâmetros oferecidos no software. É possível calcular o tempo de 
queda livre de um corpo sem considerar, como no caso real, a resistência do ar, 
rotação da terra e outros efeitos que ocorrem nas situações reais. A simulação só 
devolve o que se introduz na sua programação.
Por isso é que as simulações não poderão substituir as experiências reais 
em laboratórios físicos, uma vez que elas se utilizam das teorias já existentes 
e jamais poderão observar um fenômeno que viole os paradigmas da ciência 
do momento. Portanto, elas demonstram leis conhecidas, mas não rompem 
paradigmas (mesmo que desenvolvam combinações ainda desconhecidas destas 
mesmas leis e possam apresentar comportamentos inesperados).
No segundo caso – o das experiências reais que utilizam combinações das 
tecnologias mais poderosas disponíveis –, e lembrando o sucesso do AlphaZero, 
será possível a proposição e análise dessas experiências conduzidas por um 
sistema de Inteligência Artificial, que poderá verificar contradições entre as teorias 
e os resultados medidos e propor novas experiências até, quem sabe, desenvolver 
a sua própria teoria. Em breve poderemos ter “A Teoria Quântica da Gravidade 
segundo o Computador Beta3” ou coisa parecida! Por que não? Vamos ter que 
dar o Prêmio Nobel a um computador?
Teremos dias fantásticos e um pouco assustadores à frente.
FONTE: <https://educacao.estadao.com.br/blogs/roberto-lobo/inteligencia-artificial-e-campea-
mundial-de-xadrez-quando-sera-premio-nobel/>. Acesso em: 30 jan. 2019.
143
RESUMO DO TÓPICO 3
Nesse tópico, você aprendeu que:
• Em econometria, a causalidade não é tratada no sentido estrito da palavra, mas 
sim com um sentido de precedência. O teste de Granger (1969) verifica se uma 
variável causa, no sentido de Granger, alterações em outra variável.
• A causalidade pode ser unidirecional, bilateral ou de feedback, ou ausência de 
causalidade, também chamada de independência.
• Para rodar o teste de causalidade de Granger, é possível seguir um procedimento 
em vários estágios, o que se torna menos complexo com o auxílio do Gratl 
quando digitamos as linhas de comando e executamos o programa, ou através 
da janela de resultados do VAR.
• O teste de Granger é sensível a defasagens e neste caso a saída mais empregada 
na literatura é o uso dos critérios de seleção de defasagens do VAR. Além disso, 
as séries têm que ser estacionárias para que o resultado seja válido.
• Uma das técnicas que mais vem se desenvolvendo nos últimos anos, com o 
avanço das rotinas computacionais, é a simulação. Neste caso o experimento 
de Monte Carlo é o método clássico, mas atualmente vem ganhando destaque 
as técnicas de reamostragem, como o de bootstrap.
144
1 Retome os dados do Quadro 10 desse tópico para dar sequência no teste de 
causalidade de Granger. Naquela oportunidade, vimos que o teste de seleção 
de defasagens do VAR nos indicou que a defasagem ótima pelo critério de 
Akaike era de 7 períodos. Rode o teste de causalidade de Granger para 7 
defasagens, utilizando o resultado da estimação pelo VAR, sem constante e 
discuta o resultado obtido.
2 Outra forma de rodar o teste de causalidade de Granger é através da 
digitação das linhas de comando no console Gretl ou na janela de scripts. 
Escreva o script para o teste de Granger com 7 defasagens.
3 Para essa atividade, você utilizará os dados do quadro a seguir.
QUADRO 17 – MORTALIDADE INFANTIL E PNB PER CAPITA
FONTE: Gujarati e Porter (2011, p. 187)
AUTOATIVIDADE
Obs MI PNCpc Obs MI PNCpc Obs MI PNCpc
1 128 1870 23 126 560 45 37 1730
2 204 130 24 12 4240 46 103 780
3 202 30 25 167 240 47 67 1300
4 197 570 26 135 430 48 143 930
5 96 2050 27 107 3020 49 83 690
6 209 200 28 72 1420 50 223 200
7 170 670 29 128 420 51 240 450
8 240 300 30 27 19830 52 312 280
9 241 120 31 152 420 53 12 4430
10 55 290 32 224 530 54 52 270
11 75 1180 33 142 8640 55 79 1340
12 129 900 34 104 350 56 61 670
13 24 1730 35 287 230 57 168 410
14 165 1150 36 41 1620 58 28 4370
15 94 1160 37 312 190 59 121 1310
16 96 1270 38 77 2090 60 115 1470
17 148 580 39 142 900 61 186 300
18 98 660 40 262 230 62 47 3630
19 161 420 41 215 140 63 178 220
20 118 1080 42 246 330 64 142 560
21 269 290 43 191 1010
22 189 270 44 182 300
145
OBS.: MI = mortalidade infantil: número anual de óbitos de crianças menores 
de 5 anos por 1.000 nascidos vivos dos Estados Unidos.
PNBpc = PNB per capita em 1980 dos Estados Unidos.
Ao estimar a regressão MIi = α + βPNBpci + ui obtemos o seguinte 
resultado com os coeficientes estimados estatisticamente significativos ao 
nível de 1% de significância:
MIi = 157,402 – 0,0114PNCpci
Você deverá montar a seguinte simulação de Monte Carlo 
apresentando o script:
a) Gerar 10 conjuntos de 64 observações para o termo de erro, com distribuição 
normal, média zero e variância 70. Para isso, use o comando “series ui = 
normal(0,70)”, com i = 1, 2, ..., 10.
b) Simule uma variável dependente, ys = 157.402 – 0.0114 * PNCpc, atentando 
para o fato de que no Gretl, a vírgula separadora de casas decimais deve ser 
substituída por ponto.
c) Construa 10 variáveis y, sendo yi = ys + ui, para cada i = 1, 2, ..., 10.
d) Rode 10 regressões por mínimos quadrados ordinários, usando a expressão 
ols yi const PNCpc, onde i = 1, 2, ..., 10. Após cada regressão, você deve 
armazenar os coeficientes da constante e do PNCpc com os comandos: scalar 
ai = $coeff(const) para a constante, scalar bi = $coeff(PNCpc) para o coeficiente 
angular e scalar sigi = $sigma^2 para a variância, com i = 1, 2, ..., 10.
e) Liste todos os coeficientes estimados através do comando print ai bi sigi.
f) Com o uso de uma calculadora ou de uma planilha eletrônica, calcule as médias 
dos coeficientes estimados e da variância estimada e compare com os resultados 
obtidos a partir dos parâmetros utilizados para se construir a simulação.
4 Com base no Quadro 17 do exercício anterior, estime o modelo de regressão 
MIi = α + βPNBpci + ui por mínimos quadrados ordinários e simule um 
intervalo de confiança para o coeficiente β, através do método de bootstrap, 
simulando erros normais e com 10.000 repetições (reamostragem).
146
147
UNIDADE 3
MODELOS PAINEL, MODELOS 
DE REGRESSÃO DE RESPOSTA 
QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS 
EM ECONOMETRIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• compreender e utilizar modelos de regressão que combinam dados de 
corte com séries de tempo (modelos painel) para análise de políticas 
econômicas;
• construir modelos de resposta qualitativa, capazes de determinar a 
probabilidade de um indivíduo fazer uma determinada escolha quando 
outras opções lhe são apresentadas;
• conhecer outras técnicas de estimação e os últimos avanços da econometria, 
analisando a nova fronteira do conhecimento econométrico.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará auto atividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – MODELOS PAINEL
TÓPICO 2 – MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
TÓPICO 3 – TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
148
149
TÓPICO 1
MODELOS PAINEL
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Até agora nossos estudos se restringiram à análise de regressão usando 
uma única estrutura dedados. Em Econometria 1, essa estrutura é composta 
por dados de corte transversal e, na Econometria 2, começamos a estudar outra 
estrutura, o das séries de temporais.
No caso dos dados de corte, pegamos um dado momento no tempo e 
analisamos os indivíduos e suas interações naquele recorte temporal. Por 
exemplo, considere os gols marcados pelas equipes na temporada de 2018 do 
campeonato brasileiro de futebol. Você analisará apenas os gols marcados naquela 
temporada, e não na temporada de 2017 ou 2016, e muito menos em cada partida. 
O seu interesse é no total de gols marcados naquele ano. Você pode comparar 
a pontuação obtida com o número de gols sofridos naquela temporada e tentar 
estabelecer uma correlação entre ataque e a posição na tabela.
TABELA 1 – CLASSIFICAÇÃO DO CAMPEONATO BRASILEIRO, SÉRIE A,
TEMPORADA DE 2018
FONTE: <https://www.cbf.com.br/futebol-brasileiro/competicoes/campeonato-brasileiro-
serie-a>. Acesso em: 3 fev. 2019.
Obs.: J = jogos, V = vitórias, E = empates, D = derrotas, GP = gols pró, GC = gols contra, SG = 
saldo de gols, PTS = pontos ganhos.
Posição Equipe J V E D GP GC SG PTS
1 Palmeiras 38 23 11 4 64 26 38 80
2 Flamengo 38 21 9 8 59 29 30 72
3 Internacional 38 19 12 7 51 29 22 69
4 Grêmio 38 18 12 8 48 27 21 66
5 São Paulo 38 16 15 7 46 34 12 63
6 Atlético-MG 38 17 8 13 56 43 13 59
7 Athletico Paranaense 38 16 9 13 54 37 17 57
8 Cruzeiro 38 14 11 13 34 34 0 53
9 Botafogo 38 13 12 13 38 46 -8 51
10 Santos 38 13 11 14 46 40 6 50
11 Bahia 38 12 12 14 39 41 -2 48
12 Fluminense 38 12 9 17 32 46 -14 45
13 Corinthians 38 11 11 16 34 35 -1 44
14 Chapecoense 38 11 11 16 34 50 -16 44
15 Ceará 38 10 14 14 32 38 -6 44
16 Vasco da Gama 38 10 13 15 41 48 -7 43
17 Sport 38 11 9 18 35 57 -22 42
18 América-MG 38 10 10 18 30 47 -17 40
19 Vitória 38 9 10 19 36 63 -27 37
20 Paraná 38 4 11 23 18 57 -39 23
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
150
A Tabela 1 traz um exemplo de dados de corte, trata-se da classificação das 
equipes de futebol no campeonato brasileiro de 2018. Note que não comparamos 
essa classificação com as outras temporadas, analisamos apenas os indivíduos, 
equipes, no recorte temporal de 2018.
As séries temporais são a outra estrutura de dados que nos habituamos 
a analisar. Neste caso, acompanhamos os indivíduos ou categorias ao longo do 
tempo, como no caso da Tabela 2, na qual acompanhamos a pontuação e demais 
estatística do campeão brasileiro de futebol das temporadas 2012 até 2018. A análise 
é por equipe campeã e não por uma equipe específica, mas poderíamos selecionar 
uma das equipes e analisar o seu desempenho ao longo de vários anos também.
TABELA 2 – CAMPEÕES DO CAMPEONATO BRASILEIRO, SÉRIE A,
TEMPORADAS 2012 A 2018
Ano Equipe campeã J V E D GP GC SG PTS
2018 Palmeiras - SP 38 23 11 4 64 26 38 80
2017 Corinthians - SP 38 21 9 8 50 30 20 72
2016 Palmeiras - SP 38 24 8 6 62 32 30 80
2015 Corinthians - SP 38 24 9 5 71 31 40 81
2014 Cruzeiro - MG 38 24 8 6 67 38 29 80
2013 Cruzeiro - MG 38 23 7 8 77 37 40 76
2012 Fluminense - RJ 38 22 11 5 61 33 28 77
FONTE: <https://www.cbf.com.br/futebol-brasileiro/competicoes/campeonato-brasileiro-
serie-a>. Acesso em: 3 fev. 2019.
Obs. J = jogos, V = vitórias, E = empates, D = derrotas, GP = gols pró, GC = gols contra, SG= 
saldo de gols, PTS = pontos ganhos.
Se você fosse convidado pela CBF (Confederação Brasileira de Futebol) 
para fazer uma análise do desempenho das equipes e tentar descobrir qual a 
pontuação mínima para que um time seja campeão, precisaria de mais do que 
apenas sete anos para análise. Neste caso, apenas com as informações da Tabela 2 
você não conseguiria dar essa resposta àquela entidade.
Por outro lado, se uma equipe estiver preocupada com a classificação 
entre os quatro primeiros colocados e estabelecer esse objetivo em função da 
conquista de patrocinadores, você poderia coletar informações sobre os quatro 
primeiros colocados do brasileirão ao longo desses sete anos, totalizando 28 
observações como na Tabela 3.
Com base nessas informações seria possível estimar a pontuação mínima 
necessária para se chegar ao final do campeonato entre os quatro primeiros 
colocados e assim entrar diretamente na fase de grupos da Copa Libertadores da 
América e ainda conseguir mais patrocinadores.
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
151
A Tabela 3 é um exemplo de dados em painel porque ele agrega tanto os 
dados de corte da Tabela 1, quanto os dados de séries temporais da Tabela 2. A 
partir de agora, trabalharemos com modelos cujos dados serão agrupados como na 
Tabela 3, com as dimensões de corte transversal e série temporal ao mesmo tempo.
Para isso analisaremos primeiro o grupamento independente de dados 
de corte ao longo do tempo, dados empilhados como o caso da Tabela 3, depois 
abordaremos as técnicas de estimação para os dados em painel, começando com 
os modelos de efeitos fixos e os de efeitos aleatórios.
A aplicação dos modelos painel é muito extensa, vai desde a avaliação de 
políticas governamentais, análise da efetividade de políticas públicas, auxilia na 
tomada de decisão de empresas, entre outras aplicações.
TABELA 3 – PRIMEIROS COLOCADOS DO CAMPEONATO BRASILEIRO, SÉRIE A,
TEMPORADAS 2012 A 2018
Temporada Posição Equipe PTS J V E D GP GC SG
2018 1º Palmeiras – SP 80 38 23 11 4 64 26 38
2018 2º Flamengo – RJ 72 38 21 9 8 59 29 30
2018 3º Internacional – RS 69 38 19 12 7 51 29 22
2018 4º Grêmio – RS 66 38 18 12 8 48 27 21
2017 1º Corinthians – SP 72 38 21 9 8 50 30 20
2017 2º Palmeiras – SP 63 38 19 6 13 61 45 16
2017 3º Santos – SP 63 38 17 12 9 42 32 10
2017 4º Grêmio – RS 62 38 18 8 12 55 36 19
2016 1º Palmeiras – SP 80 38 24 8 6 62 32 30
2016 2º Santos – SP 71 38 22 5 11 59 35 24
2016 3º Flamengo – RJ 71 38 20 11 7 52 35 17
2016 4º Atlético – MG 62 38 17 11 10 61 53 8
2015 1º Corinthians – SP 81 38 24 9 5 71 31 40
2015 2º Atlético – MG 69 38 21 6 11 65 47 18
2015 3º Grêmio – RS 68 38 20 8 10 52 32 20
2015 4º São Paulo – SP 62 38 18 8 12 53 47 6
2014 1º Cruzeiro – MG 80 38 24 8 6 67 38 29
2014 2º São Paulo – SP 70 38 20 10 8 59 40 19
2014 3º Internacional – RS 69 38 21 6 11 53 41 12
2014 4º Corinthians – SP 69 38 19 12 7 49 31 18
2013 1º Cruzeiro – MG 76 38 23 7 8 77 37 40
2013 2º Grêmio – RS 65 38 18 11 9 42 35 7
2013 3º Atlético Paranaense – PR 64 38 18 10 10 65 49 16
2013 4º Botafogo – RJ 61 38 17 10 11 55 41 14
2012 1º Fluminense – RJ 77 38 22 11 5 61 33 28
2012 2º Atlético – MG 72 38 20 12 6 64 37 27
2012 3º Grêmio – RS 71 38 20 11 7 56 33 23
2012 4º São Paulo – SP 66 38 20 6 12 59 37 22
FONTE: <https://www.cbf.com.br/futebol-brasileiro/competicoes/campeonato-brasileiro-
serie-a>. Acesso em: 3 fev. 2019.
Obs.: J = jogos, V = vitórias, E = empates, D = derrotas, GP = gols pró, GC = gols contra, SG = 
saldo de gols, PTS = pontos ganhos.
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
152
2 MODELOS COM DADOS EMPILHADOS
Empilhar tem um sentido de desprezar as unidades individuais e colocar 
os dados uns sobre os outros, com o objetivo de montar uma grande base, como 
na Tabela 3. Naquela tabela estávamos interessados em analisar as estatísticas dos 
quatro primeiros colocados do campeonato brasileiro de futebol, desde 2012 até 
2018, não nos preocupando em acompanhar as equipes de forma individual, mas 
sim os primeiros quatro colocados, sejam eles quais forem.
Neste caso dizemos que se trata de um agrupamento independente de cortes 
transversais ao longo do tempo, porque não acompanhamos o indivíduo ao longo 
do tempo. Observe que os quatro primeiros colocados nem sempre são os mesmos. 
Desde 2012 tivemos 12 clubes se revezando nessas posições da tabela de classificação.
Se extrapolarmos essa ideia, analisando outros exemplos, podemos obter 
uma amostraaleatória de eleitores da eleição presidencial de 2014, questionando os 
entrevistados sobre as razões pelas quais eles optaram por votar em um candidato 
de direita ou de esquerda. Repetimos essa mesma entrevista em 2018, só que não 
com os mesmos eleitores, mas sim com outros de forma totalmente aleatória e 
independente. Esse é o sentido do agrupamento independente de indivíduos ao 
longo do tempo, porque não há conexão entre os entrevistados nas duas pesquisas.
Podemos fazer o mesmo com famílias, questionando sobre os seus gastos 
ou podemos analisar um grupo de indivíduos que tomou vacina contra a gripe 
em um ano e verificar quantos ficaram doentes, comparando os resultados com 
outros indivíduos distintos em outros períodos, a fim de verificar a eficácia da 
vacina da gripe em pessoas diferentes.
A ideia básica de agrupar os dados em painel é tornar a base de dados 
maior, aumentando os graus de liberdade e obtendo assim estimadores mais 
precisos para os parâmetros do modelo econométrico. Para entender como 
funcionam esses modelos, considere o modelo com a seguinte forma:
yit = X'itβ + Z'iα + uit 1.1
Que pode ser reescrito como:
yit = X'itβ + Ci + uit 1.2
Em 1.1 e 1.2, Xit é uma matriz com k regressores, não incluindo a constante 
que está inserida em Z'iα, que por sua vez captura a heterogeneidade dos 
indivíduos, ou seja, os efeitos individuais. Como características heterogêneas, 
podemos citar a região geográfica, o porte da empresa, a cor dos olhos, a 
nacionalidade, religião, entre outras características que distinguem um indivíduo 
dos demais e que são constantes no tempo.
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
153
Conforme Greene (2012, p. 386), se as características individuais, Z, forem 
identificáveis, podemos estimar os modelos 1.1 e 1.2 por mínimos quadrados 
ordinários. Dito de outra forma, se Z for observável e contiver apenas o termo 
constante, os estimadores de α e do vetor β, obtidos por mínimos quadrados 
ordinários serão consistentes e eficientes.
Como exemplo, considere novamente os dados da Tabela 3 e suponha que 
estamos interessados em verificar qual o peso de uma vitória sobre a pontuação 
para ranquear as equipes entre as quatro melhores classificadas no campeonato 
brasileiro, bem como saber se uma boa defesa é importante para a pontuação.
Para isso, estimamos o seguinte modelo de regressão:
PTS V GC uit it it it� � � �� � �1 2 1.3
Onde PTSit são os pontos obtidos pela equipe i no ano t, Vit é o número 
de vitórias da equipe i no ano t, e GCit são os gols sofridos pela equipe i no ano 
t. O termo de erro, uit, deve ter as mesmas características encontradas no modelo 
clássico de regressão linear, ou seja, média zero, variância constante, ausência de 
autocorrelação. Além disso, Vit e GCit devem ser exógenas.
Sugiro que você digite os dados da Tabela 3 em uma planilha eletrônica, 
como o Excel e depois importe os dados para o Gretl, atentando para a estrutura 
dos dados. Ao fazer a importação, o Gretl fará o seguinte questionamento: Os 
dados importados foram interpretados como não sendo datados (dados de corte). 
Pretende que sejam interpretados como sendo série temporal ou dados de painel?
Você deve selecionar a opção “Sim” e, na tela seguinte, da estrutura do 
conjunto de dados, escolha “Painel” e “Avançar”. Na última janela você será 
questionado sobre a organização dos dados no painel. No nosso exemplo, usamos 
“Séries temporais empilhadas”.
O resultado da estimação do modelo 1.3 por MQO está no quadro a seguir.
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
154
QUADRO 1 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO MODELO 1.3 POR MQO
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Modelo 1: MQO agrupado, usando 28 observações
Incluídas 4 unidades de corte transversal
Comprimento da série temporal = 7
Variável dependente: PTS
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const 26,6027 4,52254 5,882 3,88e-06 ***
 V 2,43953 0,170812 14,28 1,58e-013 ***
 GC −0,166771 0,0538019 −3,100 0,0047 ***
Média var. dependente 69,67857 D.P. var. dependente 6,055628
Soma resíd. quadrados 81,75014 E.P. da regressão 1,808316
R-quadrado 0,917433 R-quadrado ajustado 0,910828
F(2, 25) 138,8923 P-valor(F) 2,88e-14
Log da verossimilhança −54,73076 Critério de Akaike 115,4615
Critério de Schwarz 119,4581 Critério Hannan-Quinn 116,6833
rô −0,081231 Durbin-Watson 1,901769
Todos os coeficientes estimados são estatisticamente significativos e os 
sinais estão adequados ao que se esperava, ou seja, uma vitória positivamente 
relacionada aos pontos e gols sofridos negativamente relacionados. Se aplicarmos 
o teste de heteroscedasticidade de White, que não rejeitaremos a hipótese nula de 
ausência de heteroscedasticidade e, pela estatística de Durbin-Watson, podemos 
descartar a presença de autocorrelação de primeira ordem.
Vemos através desse resultado que a vitória tem peso decisivo na 
classificação entre os primeiros quatro colocados na tabela do campeonato 
brasileiro de futebol e, por outro lado, cada gol sofrido reduz a pontuação em 
0,17, o que representa 5,67% dos pontos obtidos em uma vitória e 17% do ponto 
obtido no caso de empate. 
Uma dúvida que fica em uma estimação como essa é se a regressão por 
mínimos quadrados é adequada. Podemos fazer o teste a partir da janela de 
resultados selecionando o menu “Testes” e depois “Diagnósticos de painel”. O 
resultado que nos interessa está no quadro a seguir.
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
155
QUADRO 2 – RESULTADO DO DIAGNÓSTICO DE PAINEL PARA MQO
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Diagnósticos: utilizando 4 unidades de corte transversal
Estimador de efeitos fixos permite diferenciar os interceptos por 
unidade de corte transversal
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const 28,9901 5,49332 5,277 2,70e-05 ***
 V 2,36993 0,195700 12,11 3,34e-011 ***
 GC −0,193874 0,0641768 −3,021 0,0063 ***
Variância residual: 75,6143/(28 - 6) = 3,43702
Significância conjunta da diferenciação das médias de grupo:
 F(3, 22) = 0,595071 com p-valor 0,624884
(Um p-valor baixo contraria a hipótese nula de que o modelo MQO 
agrupado (pooled) é adequado, validando a hipótese alternativa 
da existência de efeitos fixos.)
A primeira parte do diagnóstico de painel verifica a hipótese nula de que o 
modelo por MQO agrupado é adequado. Se rejeitarmos a H0, estaremos aceitando a 
existência de efeitos fixos, assunto que discutiremos mais adiante. Como podemos 
verificar, com um p-valor de 0,624884, não podemos rejeitar a hipótese nula e 
portanto, a estimação dos parâmetros do modelo 1.3 por MQO é válida. 
Wooldridge (2016) traz uma aplicação bem interessante para o uso de dados 
agrupados. Trata-se de um experimento natural que é aquele que ocorre quando um 
evento qualquer altera o ambiente onde os agentes econômicos atuam. Para aplicar 
esse experimento, precisamos definir um grupo de controle, que não será afetado 
pelo evento exógeno e um grupo de tratamento, que é afetado pela mudança.
Precisamos de informações relativas a doisperíodos de tempo, um deles 
antes do evento ocorrer e outro após a ocorrência do evento. Os grupos serão 
chamados de “𝐴”, para o grupo de controle e “𝐵” para o grupo de tratamento. A 
equação 1.4 resume esse experimento:
0 0 1 12 2it itY d dB d dB uβ δ β δ= + + + + 1.4
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
156
Onde dB = 1 para os dados do grupo de tratamento e zero para os dados 
do grupo de controle. d2 é uma variável dummy para o segundo período de 
tempo (após o evento exógeno acontecer). A variável dependente é Y e o efeito 
causado pelo evento é medido por δ1, conhecido como estimador de diferença em 
diferenças. δ0 verifica se os grupos são diferentes, independentemente do evento 
ocorrer. β1 é utilizado para verificar se a variável dependente muda no tempo, 
independentemente do evento exógeno ocorrer ou não.
A tabela a seguir ilustra os efeitos causados pelo evento sobre a variável 
dependente. Note que antes do evento ocorrer, o grupo de controle sofre um 
efeito equivalente a β0. Por outro lado, o grupo de tratamento é acrescido de β1. 
Após o evento ocorrer, o grupo de controle é afetado por β0 + δ0, enquanto o grupo 
de tratamento é afetado por β0 + δ0 + β1 + δ1. A última linha mostra que a diferença 
em diferenças entre os dois grupos é de δ1.
TABELA 4 – EFEITOS DE UM EVENTO EXÓGENO SOBRE A VARIÁVEL DEPENDENTE
FONTE: Adaptado de Wooldridge (2016)
Antes Após Após – Antes
Controle β0 β0 + δ0 δ0
Tratamento β0 + β1 β0 + δ0 + β1 + δ1 δ0 + δ1
Tratamento – Controle β1 β1 + δ1 δ1
Como exemplo prático, você precisará dos dados do livro do Wooldridge 
(2016). Caso ainda não tenha baixado, poderá fazê-lo através do site: <http://
ricardo.ecn.wfu.edu/pub/gretl/wooldridge_data.exe>. Após baixar, você deve 
executar o programa que irá extrair os dados do livro do Woldridge e disponibilizá-
los dentro do Gretl. Quando concluir a instalação, abra o Gretl e selecione o menu 
“Arquivo”, na sequência, escolha “Abrir dados”, e, depois, escolha “Arquivo de 
exemplos”. Selecione a aba “Woldridge” e procure pelo arquivo “INJURY”.
Esses dados são do artigo de Meyer, Viscusi e Durbin (1995), que estudaram 
o tempo em que um trabalhador acidentado recebe indenização trabalhista. Antes de 
tudo, você deve restringir a base de dados para mostrar apenas os dados do estado 
de Kentucky, porque em 1980 esse estado alterou as regras de concessão do benefício.
Para restringir os dados ao estado de Kentucky, você deve selecionar o menu 
“Amostra”, depois escolher a opção “Restringir, baseado em critérios...”, e, na tela 
seguinte, preencher conforme a Figura 1. Dessa forma, a amostra passa de 7.150 para 
5.626 observações semanais, deixando de fora os dados do estado de Michigan.
O benefício é pago para trabalhadores dentro de certa faixa de renda. A 
alteração na lei aumentou essa faixa de renda beneficiada, porém, isso não deve 
afetar os trabalhadores de baixa renda, porque já se enquadram no programa. 
Por outro lado, os trabalhadores de renda maior têm um incentivo a permanecer 
afastados do trabalho, recebendo indenização trabalhista. O que faremos aqui é 
testar essa afirmação e verificar se de fato isso ocorreu.
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
157
Por se tratar de um experimento natural, teremos um grupo de controle, 
representado pelos trabalhadores de baixa renda, porque eles não são afetados 
pela mudança no pagamento dos benefícios, e os trabalhadores de alta renda 
serão o grupo de tratamento porque são diretamente afetados.
FIGURA 1 – RESTRINGINDO AMOSTRA NO GRETL
FONTE: O autor
O modelo a ser estimado por mínimos quadrados ordinários é:
ldurat = β0 + δ0afchnge + β1highearn + δ1afh * igh + u 1.5
Onde ldurat é o logaritmo da extensão do tempo em semanas que 
um trabalhador acidentado recebe remuneração por conta de indenização 
trabalhista; afchnge é uma variável dummy representando a mudança na 
política de pagamentos, assumindo valor igual a 1 após o aumento do tempo 
de indenização; highearn é uma variável dummy indicando que se trata de um 
trabalhador de alta renda, é, portanto, uma variável de tratamento; e afhigh é 
usada para estimar o efeito médio de tratamento.
O resultado da estimação está no Quadro 3. Verificamos que os coeficientes 
estimados são todos positivos, mas a variável afchnge não é estatisticamente 
significativa. As demais variáveis são diferentes de zero ao nível de 1% de significância.
O coeficiente estimado de interesse é δ1 = 0,1906, ou seja, a mudança na 
regra de concessão do benefício aumenta o tempo médio em que os trabalhadores 
de alta renda permanecem sem trabalhar em cerca de 19,06%.
Outro coeficiente que nos interessa analisar é δ0 = 0,0077. Esse coeficiente 
mostra se há diferença entre o grupo de controle e de tratamento após a 
ocorrência do evento que estamos estudando. Neste caso, como este coeficiente 
não é estatisticamente significativo, podemos dizer que a alteração na regra de 
concessão do benefício não afeta os trabalhadores de baixa renda, como era a 
hipótese que estávamos trabalhando.
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
158
QUADRO 3 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DE 1.5 POR MQO
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística aos níveis de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-5626
Variável dependente: ldurat
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const 1,1256 0,0307368 36,62 0,0000 ***
 afchnge 0,0077 0,0447173 0,1712 0,8640 
 highearn 0,2565 0,0474464 5,406 0,0000 ***
 afhigh 0,1906 0,0685089 2,782 0,0054 ***
Média var. dependente 1,277745 D.P. var. dependente 1,282151
Soma resíd. quadrados 9055,934 E.P. da regressão 1,269174
R-quadrado 0,020663 R-quadrado ajustado 0,020140
F(3, 5622) 39,53958 P-valor(F) 2,81e-25
Log da verossimilhança −9321,997 Critério de Akaike 18651,99
Critério de Schwarz 18678,53 Critério Hannan-Quinn 18661,24
Log da verossimilhança para durat = −16510,6
Excluindo a constante, a variável com maior p-valor foi 2 (afchnge)
3 MODELOS DE EFEITOS FIXOS
Vamos voltar nossa atenção novamente para a equação 1.1. Nela temos 
o vetor Z', que captura as características individuais ou a heterogeneidade dos 
indivíduos, características essas que não variam ao longo do tempo. Conforme 
Greene (2012, p. 386), se Zi é não observável, mas correlacionado com a matriz 
de variáveis explicativas e, se estimarmos o modelo por mínimos quadrados 
ordinários, obteremos estimadores β viesados e inconsistentes. 
No caso do modelo 1.2, ci = Z'iα incorpora todos os efeitos observáveis e é 
chamado de efeitos fixos, no sentido de que não é correlacionado com Xit. A ideia 
aqui é controlar esses efeitos, permitindo que o intercepto varie entre indivíduos, 
mas seja invariante no tempo.
Para entender como isso funciona, considere o seguinte modelo painel, 
que por simplificação se refere a dois períodos apenas:
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
159
0 0 12it t it i ity d X c uβ δ β= + + + + 1.6
Onde Yit é a variável dependente; d2 é a variável dummy igual a 0 quando t 
= 1 e 1 quando t = 2; ci capta todos os fatores não observados, constantes no tempo, 
que afetam Y e que não mudam no tempo; e uit é o termo de erro idiossincrático 
porque ele representa fatores não observados que mudam ao longo do tempo e 
afetam Y. Para um exemplo prático, considere osdados da tabela a seguir.
TABELA 5 – TAXA DE CRIMINALIDADE EM 1982 E 1987
Obs Txcrim d87 desemp ano Obs txcrim d87 desemp Ano
1 74,6576 0 8,2 82 47 129,4239 0 20,3 82
2 70,1173 1 3,7 87 48 126,8054 1 8,4 87
3 92,9349 0 8,1 82 49 98,9079 0 6,5 82
4 89,9722 1 5,4 87 50 126,2094 1 5 87
5 83,6111 0 9 82 51 89,3637 0 6,8 82
6 77,1948 1 5,9 87 52 80,4368 1 5 87
7 88,9425 0 12,6 82 53 100,8048 0 10,4 82
8 84,041 1 5,7 87 54 118,7649 1 6 87
9 108,1728 0 12,6 82 55 108,1653 0 15,4 82
10 103,5638 1 7,4 87 56 126,2084 1 4,4 87
11 136,8923 0 13,9 82 57 79,3136 0 16,9 82
12 112,0923 1 5,7 87 58 76,8999 1 7,7 87
13 71,3133 0 9,3 82 59 73,3134 0 14,9 82
14 84,7643 1 5,4 87 60 63,699 1 7,7 87
15 96,8506 0 8,4 82 61 110,0845 0 10,1 82
16 75,5274 1 5,1 87 62 97,971 1 5,1 87
17 78,4676 0 8,8 82 63 87,7245 0 13,2 82
18 50,0192 1 5 87 64 73,1919 1 5,9 87
19 92,276 0 9,3 82 65 95,6975 0 15,7 82
20 84,1431 1 3,7 87 66 82,8355 1 7,3 87
21 70,7767 0 6,9 82 67 87,4361 0 10 82
22 72,519 1 6,2 87 68 91,4776 1 4,8 87
23 113,9252 0 7 82 69 126,3283 0 17 82
24 90,6406 1 6,2 87 70 108,3281 1 4,9 87
25 169,3155 0 9,1 82 71 89,8509 0 4,7 82
26 164,4824 1 2,4 87 72 126,9959 1 6,4 87
27 75,8719 0 5,9 82 73 130,0596 0 10,7 82
28 84,7473 1 5,5 87 74 165,7997 1 4,9 87
29 103,162 0 7 82 75 70,249 0 10,2 82
30 105,9149 1 4,6 87 76 79,2669 1 7,7 87
31 144,7336 0 12,3 82 77 96,0872 0 11,3 82
32 152,6686 1 5,8 87 78 120,0292 1 3,9 87
33 116,3118 0 5,3 82 79 84,7551 0 10,4 82
34 169,4747 1 4,6 87 80 96,7441 1 10,2 87
35 76,943 0 7,6 82 81 119,3706 0 6,2 82
36 107,4841 1 5,5 87 82 162,8323 1 6,9 87
37 131,7104 0 8,5 82 83 114,2051 0 8,3 82
38 172,6394 1 5,5 87 84 179,4173 1 6,9 87
39 129,1399 0 8,9 82 85 108,9385 0 8,7 82
40 155,5775 1 5 87 86 130,5876 1 5,9 87
41 75,0794 0 10,4 82 87 77,2256 0 7 82
42 63,4185 1 6,1 87 88 74,0985 1 6,3 87
43 75,6781 0 10,9 82 89 54,0636 0 5,5 82
44 67,8426 1 6,6 87 90 54,9833 1 6,3 87
45 85,413 0 9,2 82 91 71,0614 0 13,1 82
46 92,8074 1 10,4 87 92 82,9071 1 5,9 87
FONTE: Wooldridge (2016, s.p.)
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
160
O modelo a ser estimado será: 
txcrimit = β0 + δ0d87 + β1desempit + ci + uit 1.7
Em 1.7 estamos interessados em investigar a taxa de criminalidade 
em uma cidade americana nos anos de 1982 e 1987. Trata-se de um exemplo 
adaptado de Wooldridge (2016), onde txcrimit é a quantidade de crimes por 1.000 
habitantes, d87 representa uma variável dummy para 1987, desempit é a taxa de 
desemprego e ci representa fatores fixos nas cidades, que de alguma forma afetam 
a criminalidade, como por exemplo a região geográfica.
O problema com 1.7 é que ci não pode ser correlacionado com desempit, pois, 
se for correlacionado, não poderemos empregar o método de mínimos quadrados 
ordinários. Podemos supor que essas duas variáveis não são correlacionadas e 
assim reescrevemos 1.7 como:
0 0 187it it ittxcrim d desemp vβ δ β= + + + 1.8
Com νit = ci + uit. chamamos νit de erro composto porque é composto 
pelos fatores fixos somados ao termo de erro idiossincrático, uit. O problema da 
estimação de 1.8 é que se a suposição de que cit e desempit não são correlacionados 
não se confirmar, o estimador de MQO para β1 será viesado e inconsistente, 
devido à omissão da variável ci no modelo.
QUADRO 4 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DE 1.8 POR MQO
FONTE: o autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística aos níveis
de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-92
Variável dependente: txcrim
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const 93,4203 12,7395 7,333 9,92e-011 ***
 d87 7,94041 7,97532 0,9956 0,3221 
 desemp 0,426546 1,18828 0,3590 0,7205 
Média var. dependente 100,7908 D.P. var. dependente 29,84309
Soma resíd. quadrados 80055,78 E.P. da regressão 29,99172
R-quadrado 0,012212 R-quadrado ajustado -0,009986
F(2, 89) 0,550147 P-valor(F) 0,578814
Log da verossimilhança −441,9021 Critério de Akaike 889,8042
Critério de Schwarz 897,3696 Critério Hannan-Quinn 892,8577
Teste de White para a heteroscedasticidade -
 Hipótese nula: sem heteroscedasticidade
 Estatística de teste: LM = 8,1778
 com p-valor = P(Qui-quadrado(4) > 8,1778) = 0,0852781
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
161
O resultado da estimação de 1.8 por MQO está no Quadro 4. Note que os 
estimadores não são estatisticamente significativos, provavelmente por erro de 
especificação, afinal estamos supondo que ci não é correlacionado com desempit, quando 
na verdade deve ser correlacionado. Podemos verificar essa afirmação através do teste 
de heteroscedasticidade de White, reportado na parte de baixo do Quadro 4.
A saída é diferenciar a série, ou seja, subtrair os dados do ano de 1987 dos 
dados de 1982 e dessa forma estimamos:
(txcrimi,1987 – txcrimi,1982) = (β0 + δ0) – β0 + β1 (desempi,1987 – desempi,1982) + (ui,1987 – 
ui,1987) 1.9
Δtxcrimi = δ0 + β1Δdesempi + Δui 1.10
A equação 1.10 é uma equação em primeiras diferenças, onde Δ representa 
a mudança de 1982 para 1987. No entanto, só poderemos proceder dessa forma 
se os indivíduos i de 1982 forem os mesmos indivíduos i de 1987. Essa técnica, 
portanto, não se aplica a agrupamentos independentes de dados de corte ao 
longo do tempo. No nosso caso isso é fácil de se obter, porque os dados não são 
empilhados e se tratam de cidades, portanto, basta pegar cada cidade e fazer a 
dedução de um ano em relação ao outro, como podemos ver na tabela a seguir.
TABELA 6 – PRIMEIRA DIFERENÇA DAS TAXAS DE CRIMINALIDADE
FONTE: Adaptado de Woldridge (2016)
Obs Δtxcrim Δdesemp Obs Δtxcrim Δdesemp Obs txcrim Δdesemp
1 -4,5403 -4,5 17 53,163 -1 33 -12,862 -8,4
2 -2,9627 -2,7 18 30,541 -2 34 4,0415 -5,2
3 -6,4163 -3,1 19 40,929 -3 35 -18,0002 -12,1
4 -4,9015 -6,9 20 26,438 -4 36 37,145 1,7
5 -4,609 -5,2 21 -11,66 -4 37 35,7401 -5,8
6 -24,8 -8,2 22 -7,836 -4 38 9,0179 -2,5
7 13,451 -3,9 23 7,3944 1,2 39 23,942 -7,4
8 -21,3232 -3,3 24 -2,619 -12 40 11,989 -0,2
9 -28,4484 -3,8 25 27,302 -2 41 43,4617 0,7
10 -8,1329 -5,6 26 -8,927 -2 42 65,2122 -1,4
11 1,7423 -0,7 27 17,96 -4 43 21,6491 -2,8
12 -23,2846 -0,8 28 18,043 -11 44 -3,1271 -0,7
13 -4,8331 -6,7 29 -2,414 -9 45 0,9197 0,8
14 8,8754 -0,4 30 -9,614 -7 46 11,8457 -7,2
15 2,7529 -2,4 31 -12,11 -5
16 7,935 -6,5 32 -14,53 -7
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
162
Estimamos a equação 1.10 por MQO, com base nos dados da Tabela 6 e os 
resultados estão no Quadro 5. Note que agora o coeficiente β1 é estatisticamente 
significativo e o problema de heteroscedasticidade foi superado.
QUADRO 5 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DE 1.10 POR MQO
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-46
Variável dependente: Δtxcrim
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor
 --------------------------------------------------------
 const 15,4022 4,70212 3,276 0,0021 ***
 Δdesemp 2,21800 0,877866 2,527 0,0152 **
Média var. dependente 6,163759 D.P. var. dependente 21,21634
Soma resíd. quadrados 17689,55 E.P. da regressão 20,05082
R-quadrado 0,126700 R-quadrado ajustado 0,106852
F(1, 44) 6,383602 P-valor(F) 0,015189
Log da verossimilhança −202,1692Critério de Akaike 408,3384
Critério de Schwarz 411,9957 Critério Hannan-Quinn 409,7084
Teste de White para a heteroscedasticidade -
 Hipótese nula: sem heteroscedasticidade
 Estatística de teste: LM = 2,23807
 com p-valor = P(Qui-quadrado(2) > 2,23807) = 0,326595
FONTE: O autor
Obs. ***, ** e * indicam significância estatística aos níveis
de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Outra forma de modelar os efeitos fixos é através do método de mínimos 
quadrados com variáveis dummy, o que permite que cada indivíduo tenha seu 
próprio intercepto. O problema de se incluir uma dummy para cada indivíduo é 
que se tivermos muitos dados de corte, perderemos muitos graus de liberdade, 
pois, precisaremos estimar muitos parâmetros.
A equação 1.11 mostra como funciona esse modelo com variáveis dummy. 
Note que o intercepto ganhou um subscrito i, representando cada cidade, empresa, 
clube de futebol ou indivíduo que compõe a nossa base de dados de corte.
0, 0 12it i t it ity d X uβ δ β= + + + 1.11
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
163
Como a ideia de se estimar um modelo painel é aumentar o número de 
graus de liberdade, a estimativa usando variáveis dummy de fato não parece 
ser muito vantajosa. Além disso, conforme alerta Gujarati e Porter (2011), deve-
se tomar cuidado com a armadilha das variáveis dummy, assunto discutido em 
Econometria 1, que ocorre quando introduzimos uma dummy para cada categoria, 
induzindo os resultados à colinearidade perfeita entre variáveis. Por isso, se tiver 
quatro indivíduos, por exemplo, você deve incluir apenas três dummy, deixando 
que o intercepto sirva de base de comparação com a categoria excluída.
4 MODELOS DE EFEITOS ALEATÓRIOS
No modelo de efeitos aleatórios, o intercepto varia para cada indivíduo, mas 
não varia no tempo. Segundo Greene (2012), se o componente ci for não correlacionado 
com as demais variáveis explicativas, podemos formular o modelo como:
y E E vit i� � �� �� � � �� ��� ��X ² Z ± Z ± Z ±it' i' i' i' 1.12
Que pode ser reescrito como:
y vit i it� � � �X ²it
' � � 1.13
A hipótese dos efeitos aleatórios estabelece que ωi é um grupo específico 
de elementos, semelhante ao termo de erro composto νit, de forma a podermos 
assumir que o efeito não observado, ci, tem média zero.
Enquanto no modelo de efeitos fixos ci era correlacionada com Xit, no 
modelo com efeitos aleatórios, ci não é correlacionada com os regressores. Isso 
reduz o nosso questionamento em termos de se saber se os efeitos não observados 
são ou não correlacionados com os regressores para escolhermos o modelo de 
efeitos fixos ou aleatórios.
O grande problema está na estimação do modelo de painel com efeitos 
aleatórios. Se estamos supondo a não existência de correlação entre os efeitos 
não observados, ci, e os regressores, podemos utilizar o método de mínimos 
quadrados ordinários agrupados, porque geram estimadores consistentes. 
Porém, se essa hipótese for violada, ou seja, se houver correlação entre 
os efeitos não observados e qualquer variável explicativa, a saída é estimar 
o modelo considerando efeitos fixos, ou a primeira diferença. No entanto, se 
diferenciarmos ou usarmos o modelo de efeitos fixos para eliminar ci, supondo 
que esteja correlacionado com um ou mais dos Xs, quando na verdade ela não 
está, a eliminação de ci gerará estimadores ineficientes (WOOLDRIDGE, 2016).
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
164
Como estamos falando em erro de composição nesses modelos painel, 
temos que ter em mente que os erros são serialmente correlacionados ao longo do 
tempo, e por isso, as estimativas por MQO agrupados produzem erros padrões 
incorretos e, consequentemente, prejudicam a inferência estatística. A saída 
é a estimação por mínimos quadrados generalizados, que além de eliminar a 
correlação dos erros, gera estimadores consistentes de forma assintótica.
Para encerrar a discussão sobre modelos painel, vamos usar os dados de 
Grunfeld (1958) e resolver de forma adaptada o exercício proposto por Greene (2012, 
p. 470). Para isso, você deve abrir o Gretl e no menu “Arquivo” selecionar a opção 
“Abrir dados” e depois escolher “Arquivos de exemplos”. Na sequência, selecione a 
aba “Gretl” e procure o arquivo “grunfeld”, dando duplo clique para abri-lo.
Segundo Kleiber e Zeileis (2010), esse conjunto de dados é o mais utilizado 
em econometria aplicada, estando presente na maioria dos manuais de econometria 
e o artigo de Grunfeld foi reproduzido diversas vezes ao longo da história.
Grunfeld (1958) queria verificar quanto os gastos com investimento por 
empresa em um ano (invest) depende do valor real da empresa (value) e do estoque 
de capital (kstock). Para isso, ele coletou dados da General Motors (GM), US Steel 
(US), General Electric (GE), Chrysler(CH), Atlantic Refining (AR), IBM, Union Oil 
(UO), Westinghouse(WH), Goodyear (GY), Diamond Match (DM) e American Steel 
(AS). A ideia era testar se essas empresas tinham a mesma função de investimento.
Primeiro vamos estimar o modelo de efeitos fixos e posteriormente o 
modelo de efeitos aleatórios. No modelo de efeitos fixos permitiremos que o 
intercepto varie para cada empresa, mantendo a inclinação igual para cada uma 
delas. No caso do modelo de efeitos aleatórios, admitiremos que as diferenças 
entre as firmas individualmente são representadas pelas variações aleatórias da 
média dos interceptos para os indivíduos na amostra.
O modelo a ser estimado é:
investit = β1 + β2valueit + β3kstockit + νt 1.14
O primeiro passo é estimar o modelo por mínimos quadrados agrupados, 
cujo resultado da estimação está no quadro a seguir.
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
165
QUADRO 6 – ESTIMAÇÃO DE 1.14 POR MQO AGRUPADO
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível
de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Modelo 1: MQO agrupado, usando 200 observações
Incluídas 10 unidades de corte transversal
Comprimento da série temporal = 20
Variável dependente: invest
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const −42,7144 9,51168 −4,491 1,21e-05 ***
 value 0,115562 0,00583571 19,80 9,54e-049 ***
 kstock 0,230678 0,0254758 9,055 1,35e-016 ***
Média var. dependente 145,9583 D.P. var. dependente 216,8753
Soma resíd. quadrados 1755850 E.P. da regressão 94,40840
R-quadrado 0,812408 R-quadrado ajustado 0,810504
F(2, 197) 426,5757 P-valor(F) 2,58e-72
Log da verossimilhança −1191,802 Critério de Akaike 2389,605
Critério de Schwarz 2399,500 Critério Hannan-Quinn 2393,609
rô 0,956234 Durbin-Watson 0,209716
Se aplicarmos o teste de White, perceberemos que há problemas de 
heteroscedasticidade no modelo estimado. A autocorrelação também parece 
presente, considerando a estatística de Durbin-Watson.
A partir do resultado dessa estimação, temos duas opções. A primeira 
opção é selecionar o menu “Testes” na janela de resultado do modelo estimado e 
na sequência “Diagnósticos de painel”. Ao fazer isso, o Gretl reporta um conjunto 
de testes, sendo que o primeiro deles verifica se o modelo por MQO agrupado é 
adequado ou se devemos estimar o modelo considerando efeitos fixos, conforme 
o que é apresentado a seguir.
Significância conjunta da diferenciação das médias de grupo:
 F(9, 188) = 49,1766 com p-valor 0,0000
 (Um p-valor baixo contrariaa hipótese nula de que o modelo MQO 
agrupado (pooled) é adequado, validando a hipótese alternativa 
da existência de efeitos fixos.)
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
166
Note que o próprio Gretl revela como interpretar esse teste de diagnóstico. 
Se o p-valor for muito baixo, como no caso que estamos analisando, rejeitamos 
a hipótese nula de que a estimação por MQO agrupado é adequado. Neste caso, 
devemos partir para a estimação considerando efeitos fixos.
O Quadro 7 apresenta o resultado da estimação considerando efeitos 
fixos. Para rodar esse modelo, você deve selecionar o menu “Modelo”, na tela 
inicial do Gretl, na sequência escolha a opção “Painel” e depois selecione “Efeitos 
fixos ou aleatórios”. Na janela de especificação do modelo, você deve marcar a 
opção “Efeitos fixos”, conforme Figura 2.
O resultado da estimação difere um pouco daquele obtido por MQO 
agrupado e, como vimos anteriormente, rejeitamos a utilização de MQO em 
favor do uso do modelo supondo efeitos fixos. Mas será que essa escolha é a mais 
adequada? A resposta está na própria janela de saída do modelo estimado.
O Gretl reporta um teste estatístico juntamente com o resultado da regressão. 
Ele verifica, sob hipótese nula de que as unidades de corte, ou seja, as firmas desse 
modelo painel, têm o mesmo intercepto, como no modelo 1.14, ou seja, o β1 é igual 
para todas as empresas da amostra. Se essa hipótese não puder ser rejeitada, podemos 
estimar 1.14 por MQO agrupados, e, por outro lado, se rejeitarmos a hipótese nula, 
validamos a ideia de que há presença de efeitos fixos no modelo.
FIGURA 2 – JANELA DE ESPECIFICAÇÃO DO MODELO DE EFEITOS FIXOS
FONTE: O autor
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
167
QUADRO 7 – ESTIMAÇÃO DE 1.14 POR EFEITOS FIXOS
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível
de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Modelo 2: Efeitos-fixos, usando 200 observações
Incluídas 10 unidades de corte transversal
Comprimento da série temporal = 20
Variável dependente: invest
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ----------------------------------------------------------
 const −58,7439 12,4537 −4,717 4,66e-06 ***
 value 0,110124 0,0118567 9,288 3,92e-017 ***
 kstock 0,310065 0,0173545 17,87 2,22e-042 ***
Média var. dependente 145,9583 D.P. var. dependente 216,8753
Soma resíd. quadrados 523478,1 E.P. da regressão 52,76796
R-quadrado LSDV 0,944073 R-quadrado por dentro 0,766758
F(11, 188) LSDV 288,4996 P-valor(F) 2,4e-111
Log da verossimilhança −1070,781 Critério de Akaike 2165,562
Critério de Schwarz 2205,142 Critério Hannan-Quinn 2181,579
rô 0,663925 Durbin-Watson 0,684475
Teste conjunto nos regressores designados -
 Estatística de teste: F(2, 188) = 309,014
 com p-valor = P(F(2, 188) > 309,014) = 3,74892e-060
Teste para diferenciar interceptos de grupos -
 Hipótese nula: Os grupos têm um intercepto comum
 Estatística de teste: F(9, 188) = 49,1766
 com p-valor = P(F(9, 188) > 49,1766) = 8,70012e-045
Abra novamente a janela de configuração do modelo painel, Figura 2, 
e agora marque a opção de “Efeitos aleatórios”. O resultado está no quadro a 
seguir e pode-se perceber que o sinal dos coeficientes estimados é o mesmo nos 
três modelos, diferenciando-se apenas na magnitude deles.
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
168
QUADRO 8 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DE 1.14 POR EFEITOS ALEATÓRIOS
Modelo 3: Efeitos-aleatórios (GLS), usando 200 observações
Incluídas 10 unidades de corte transversal
Comprimento da série temporal = 20
Variável dependente: invest
 coeficiente erro padrão z p-valor 
 ---------------------------------------------------------
 const −57,8344 28,8989 −2,001 0,0454 **
 value 0,109781 0,0104927 10,46 1,28e-025 ***
 kstock 0,308113 0,0171805 17,93 6,41e-072 ***
Média var. dependente 145,9583 D.P. var. dependente 216,8753
Soma resíd. quadrados 1841062 E.P. da regressão 96,42765
Log da verossimilhança −1196,541 Critério de Akaike 2399,083
Critério de Schwarz 2408,978 Critério Hannan-Quinn 2403,087
rô 0,663925 Durbin-Watson 0,684475
Variância 'entre' = 7089,8
Variância 'por dentro' = 2784,46
teta utilizado para quasi-desmediação = 0,861224
corr(y,yhat)^2 = 0,806104
Teste conjunto nos regressores designados -
 Estatística de teste assintótica: Qui-quadrado(2) = 657,674
 com p-valor = 0,0000
Teste de Breusch-Pagan -
 Hipótese nula: Variância do erro de unidade-específica = 0
 Estatística de teste assintótica: Qui-quadrado(1) = 798,162
 com p-valor = 0,0000
Teste de Hausman -
 Hipótese nula: As estimativas GLS são consistentes
 Estatística de teste assintótica: Qui-quadrado(2) = 2,18602
 com p-valor = 0,335207
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível
de 1%, 5% e 10% respectivamente.
A janela de resultados do Gretl reporta dois importantes testes estatísticos. 
O primeiro deles é o Breusch-Pagan, que tem como hipótese nula que a estimação 
por MQO agrupado é adequada, contra a hipótese alternativa de que o modelo 
com efeitos aleatórios é que é adequada.
O segundo teste é o teste de Hausman, que tem como hipótese nula que o 
modelo de efeitos aleatórios é consistente, contra a hipótese alternativa de que o 
modelo de efeitos fixos é que é consistente.
TÓPICO 1 | MODELOS PAINEL
169
Após estimar 1.14 por MQO agrupado, efeitos fixos e efeitos aleatórios, 
verificamos que:
i) O modelo estimado por MQO agrupado apresentou problemas de 
heteroscedasticidade e autocorrelação de primeira ordem.
ii) O diagnóstico de painel obtido a partir da estimação por MQO agrupado revela 
a existência de efeitos fixos, e, portanto, os estimadores de MQO agrupado são 
viesados e inconsistentes.
iii) Ao estimar supondo efeitos fixos, verificamos que o modelo estimado é melhor 
do que aquele estimado por MQO agrupado, conforme teste para diferenciar 
interceptos de grupos, reportado na janela de estimação do Gretl.
iv) Por outro lado, ao estimar supondo efeitos aleatórios, verificamos pelo teste 
de Breusch-Pagan, que o modelo de efeitos aleatórios é melhor do que aquele 
estimado por MQO agrupado e, pelo teste de Hausman, verificamos que o 
modelo de efeitos aleatórios é melhor do que o modelo de efeitos fixos.
Portanto, se estivéssemos desenvolvendo um relatório de pesquisa, a nossa 
escolha seria pelo modelo econométrico com efeitos aleatórios, que apresenta os 
resultados mais consistentes do ponto de vista estatístico. 
DICAS
Leia o texto “Determinantes dos investimentos diretos externos em países 
em desenvolvimento”, de Marcelo José Braga Nonnenberg e Mário Jorge Cardoso de 
Mendonça, para se aprofundar no assunto em pauta.
A participação dos países em desenvolvimento no total de fluxos de ingresso de 
Investimentos Diretos Externos (IDEs) vem oscilando consideravelmente nos últimos 25 anos, 
passando de 15% em 1980 para 46% em 1982, e situando-se pouco acima dos 20% nos últimos 
quatro anos. Mais importante do que isso, entretanto, é perceber que as motivações para 
esses movimentos internacionais de capital ainda são substancialmente diferentes daquelas 
relacionadas aos fluxos de IDEs em direção aos países desenvolvidos, ainda que tenham se 
alterado nas últimas décadas. Hoje, por exemplo, a busca de recursos naturais, agrícolas ou 
minerais tem uma importância bem menor do que no início do século XX.
Por outro lado, o movimento contemporâneo desses fluxosé extremamente complexo 
e obedece a uma grande variedade de fatores ligados ao ambiente competitivo onde as firmas 
operam, as suas características e a fatores econômicos dos países de origem e dos hospedeiros.
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
170
O objetivo desse artigo é estimar, com base em dados de painel, os principais 
determinantes dos IDEs em direção aos países em desenvolvimento. Como será visto, 
fatores como o tamanho e o ritmo de crescimento do produto, a qualificação da mão de 
obra, a receptividade em relação ao capital externo, o risco do país e o desempenho das 
bolsas de valores estão entre os que exercem efeito sobre o IDE. Além disso, a partir da 
aplicação do teste de causalidade, no sentido Granger, no contexto de dados em painel, 
verificou-se causalidade simultânea entre IDE e PIB e não apenas num sentido específico, 
ou seja, o investimento direto externo sobre PIB, ou no sentido reverso.
FONTE: NONNENBERG, Marcelo José Braga; MENDONCA, Mário Jorge Cardoso de. 
Determinantes dos investimentos diretos externos em países em desenvolvimento. 
Estudos Econômicos, São Paulo, v. 35, n. 4, p. 631-655, Dec. 2005. Disponível em: <http://
www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-41612005000400002&lng=en&nr
m=iso>. Acesso em: 14 fev. 2019.
171
Nesse tópico, você aprendeu que:
• Diferentemente dos dados de corte, nos quais pegamos um dado momento no 
tempo e analisamos os indivíduos e suas interações naquele recorte temporal, 
e dos dados de séries temporais, em que acompanhamos os indivíduos ou 
categorias ao longo do tempo, no caso dos dados em painel há uma junção 
tanto de dados de corte quanto de dados de séries temporais.
• Podemos trabalhar com dados de painel empilhados, no sentido de que colocamos 
os dados uns sobre os outros, gerando um agrupamento independente de 
cortes transversais ao longo do tempo porque não acompanhamos o indivíduo 
de um ano para o outro.
• Ao estimar o modelo econométrico por MQO, podemos verificar se os estimadores 
são consistentes, testando a hipótese nula de que o modelo por MQO agrupado é 
adequado, contra a hipótese alternativa da existência de efeitos fixos.
• Podemos aplicar os modelos painel em um experimento natural, em que um 
evento externo altera o ambiente em que os agentes econômicos atuam. Para 
aplicar esse experimento, definimos um grupo de controle, que não será afetado 
pelo evento exógeno e um grupo de tratamento, que é afetado pela mudança.
• O modelo de efeitos fixos considera que as características individuais ou 
a heterogeneidade dos indivíduos não variam ao longo do tempo e não são 
correlacionados com a matriz de variáveis explicativas. 
• No modelo de efeitos aleatórios, o intercepto varia para cada indivíduo, mas 
não varia no tempo e o componente dos efeitos aleatórios não observados não 
são correlacionadas com os regressores.
RESUMO DO TÓPICO 1
172
1 Sobre o agrupamento independente de cortes transversais ao longo do tempo, 
avalie as afirmações a seguir respondendo V para verdadeiro e F para falso.
a) ( ) A diferença entre agrupamento de cortes transversais ao longo do 
tempo e dados em painel é que o primeiro é extraído de forma aleatória 
e independente entre períodos enquanto, no segundo, busca-se 
acompanhar os mesmos indivíduos ao longo do tempo.
b) ( ) Um conjunto de dados sobre eleitores coletados fazendo-se uma 
seleção aleatória de pessoas de uma população na eleição de 2014, e 
depois, essas mesmas pessoas são entrevistadas na eleição de 2018, é 
um exemplo de agrupamento independente de cortes transversais ao 
longo do tempo porque se refere a dois períodos de tempo distintos.
c) ( ) Uma das razões para coletarmos dados de corte agrupados de forma 
independente ao longo do tempo é aumentar o tamanho da amostra. 
No entanto, mesmo que tenhamos uma amostra extremamente grande, 
ainda assim teremos dificuldade em obter estimadores mais precisos e 
estatísticas de teste mais poderosas, assintoticamente falando, do que se 
usarmos somente dados de corte ou séries temporais.
d) ( ) Em dados de cortes transversais independentes ao longo do tempo, 
não acompanhamos os mesmos indivíduos entre os períodos distintos 
de tempo, por isso não faz sentido fazer a diferenciação de pares de 
observações distintas ao longo do tempo.
2 Ainda sobre modelos painel, classifique as sentenças a seguir em V para 
verdadeiras e F para as falsas:
a) ( ) Um experimento natural ocorre quando um evento exógeno, como, por 
exemplo, uma mudança de política do governo, altera o meio no qual 
os agentes operam.
b) ( ) A existência de dois grupos e períodos de tempo distintos é suficiente 
para a utilização do método de diferenças-em-diferenças.
c) ( ) Para que possamos estimar consistentemente nosso modelo por MQO 
agrupado, deverá ser válida a hipótese que o efeito fixo não observado é não 
correlacionado com as variáveis explicativas ao longo do tempo (Assumindo 
que o erro idiossincrático também não tenha correlação com tais variáveis).
d) ( ) O teste de Hausman serve para testar se o estimador de efeitos fixos é 
consistente.
3 Estamos lidando com dados de dois períodos de tempo e 50 unidades de 
corte, representando estados. Estimamos dois modelos, um pelo método de 
painel de efeitos fixos e comparamos os resultados com o segundo, estimado 
considerando efeitos aleatórios. 
AUTOATIVIDADE
173
Os resultados são os seguintes:
Teste para diferenciar grupos de intercepções no eixo x=0
Hipótese nula: Os grupos têm a mesma intercepção no eixo x=0
Estatística de teste: F(49, 46) = 6,12419
com valor p = P(F(49, 46) > 6,12419) = 0,0000
Teste Breusch-Pagan -
Hipótese nula: Variância do erro de unidade-específica = 0
Estatística de teste assimptótica: Qui-quadrado(1) = 23,8693
com valor p = 0,0000
Teste Hausman -
Hipótese nula: As estimativas MQG são consistentes
Estatística de teste assimptótica: Qui-quadrado(4) = 6,81765
com valor p = 0,145844
Obs.: Entre parênteses estão as estatísticas t, ***, ** e * indicam significância 
estatística a 1, 5 e 10% respectivamente.
Os seguintes testes estatísticos foram empregados:
Com base nos resultados, classifique as sentenças a seguir em V para 
verdadeiras e F para as falsas:
a) ( ) Se tivéssemos que escolher entre os dois modelos, escolheríamos o de efeitos 
fixos.
b) ( ) Os estimadores de efeitos aleatórios gerados por MQG são consistentes 
(não viesados) e distribuídos normal e assintoticamente conforme N fica 
maior com T fixo.
Coeficientes estimados Efeitos fixos Efeitos aleatórios
β0
13,7883
(2,172)**
5,8405
(5,433)***
δ0d90
0,0979
(0,1906)
-0,9971
(-4,664)***
baixpesoit
0,2950
(0,8370)
0,8193
(7,658)***
rendpcit
-0,0003
(-1,928)*
0,000
(0,2125)
medicit
-0,0055
(-0,1685)
-0,0081
(-2,172)**
174
175
TÓPICO 2
MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Desde que começou a estudar econometria, você teve a oportunidade de 
aprender diversos modelos úteis para análise econômica, projeção de indicadores, 
criação de cenários, avaliação de políticas públicas e uso no meio empresarial. A 
econometria tem um amplo espectro de áreas nas quais pode ser empregada e o 
que vimos até agora comprova isso. 
Até agora tratamos a varável dependente como uma variável quantitativa, 
no sentido de que ela pode ser mensurada, tem uma medida padrão, quer seja 
quilogramas, metros, valores monetários, taxa de crescimento etc. O que veremos 
nesse tópico é um tipo especial de modelo econométrico que nos ajudará a prever 
a probabilidade de uma determinada escolha a ser feita, quando estão disponíveis 
outras opções igualmente viáveis. 
Podemos pensar, por exemplo, na probabilidade de o Banco Centralbrasileiro elevar a taxa de juros, considerando variáveis macroeconômicas como 
inflação, desemprego e crescimento do PIB, quando tem como opção alternativa 
a manutenção da taxa no atual patamar.
Da mesma forma, podemos pensar nas chances de um criminoso cometer 
algum crime, considerando o tempo de pena que ele já cumpriu, o número de 
condenações, e o fato de ele ter ou não um emprego formal. Ou ainda, pensando 
em uma gôndola de supermercado, qual a probabilidade de um cliente comprar 
uma determinada marca de refrigerante em promoção, quando lhe é oferecido 
outra marca concorrente na mesma gôndola.
Note que estamos falando em possibilidades, chances e probabilidades. Isso 
significa que o evento acontecerá ou não. A variável dependente, neste caso, é uma 
variável qualitativa ao invés de ser uma variável quantitativa. O Bacen pode elevar 
ou não a taxa de juros, a pessoa pode cometer um crime ou não e o consumidor pode 
comprar ou não o refrigerante em promoção, considerando todas as alternativas 
disponíveis no momento em que os agentes estão tomando as suas decisões.
176
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
Você deve lembrar de Econometria 1, na qual incluímos, nos modelos de 
regressão, uma variável explicativa muito útil para diferenciar categorias, por exemplo, 
o gênero, raça, região geográfica, estado civil, entre outros. Trata-se da variável 
dicotômica que assume valor igual a zero ou um. Naquela oportunidade, a dummy 
estava do lado direito do sinal de igualdade, nos modelos econométricos e agora ela 
entra no lado esquerdo do sinal de igualdade, como uma variável dependente.
Podemos citar como exemplo de variável dependente qualitativa se 
a pessoa está empregada ou não, se ela é casada ou não, se o eleitor vota no 
candidato número um ou não, se as pessoas assistem a um determinado canal de 
TV ou não, entre outros. Para todas essas variáveis, a resposta será sempre sim ou 
não ou, dito de outra forma, 0 ou 1.
Começaremos este tópico apresentando o Modelo de Probabilidade 
Linear, que é uma forma simples de se calcular a probabilidade de um evento 
ocorrer, utilizando o método de mínimos quadrados ponderados. Na sequência, 
veremos o modelo Logit, que utiliza uma função de probabilidade acumulada 
logística e que, devido às complicações técnicas, não é possível estimar usando 
os tradicionais mínimos quadrados ordinários, mas sim a estimação por máxima 
verossimilhança. Encerramos o tópico com o modelo Probit ou Normit, que 
utiliza a distribuição normal como base de estimação, mas que da mesma forma 
que o Logit, a técnica utilizada para estimação é por máxima verossimilhança.
2 O MODELO DE PROBABILIDADE LINEAR
Em um modelo que emprega como variável dependente uma dummy, 
por convenção, essa variável assume valor igual a 1 sempre que uma determinada 
característica estiver presente ou se determinada condição existir (chove, 
masculino, sul, elevação etc.) e tem valor igual a 0 caso contrário (faz sol, feminino, 
outra região geográfica, baixa etc.). Representamos a variável dependente como:
1 se o indivíduo i tem a característica
 
0 se o indivíduo i não tem a característicai
y = 

Hill, Griffiths e Judge (2010, p. 428) utilizam como exemplo a escolha das 
pessoas entre dirigir seu próprio carro para ir ao trabalho ou pegar transporte 
coletivo. Neste caso, a variável dependente terá a seguinte característica:
1 se a pessoa dirige para o trabalho
 
0 se a pessoa toma ônibus para o trabalhoi
y = 

Quais as variáveis que determinam a escolha de uma pessoa entre dirigir o 
seu automóvel ou pegar um transporte coletivo para o trabalho? Podemos pensar 
como uma explicação para essa escolha dicotômica o tempo gasto no trajeto de 
carro e o tempo gasto no trajeto de ônibus, por exemplo. 
TÓPICO 2 | MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
177
Dessa forma, o diferencial de tempo é a informação relevante na escolha 
entre a forma de ir para o trabalho. Assim, definimos dtime = (bustime – autotime), 
em que bustime é o tempo de viagem de ônibus, em minutos, autotime é o tempo 
de viagem de carro, também em minutos e dtime é o diferencial em minutos entre 
ir de ônibus para o trabalho e ir de carro.
Os dados para esse primeiro exemplo estão na tabela a seguir, o modelo 
econométrico de probabilidade linear a ser estimado é o 2.1, cujos resultados da 
estimação por mínimos quadrados ordinários estão no Quadro 9.
1 2i i iauto dtime uβ β= + + 2.1
TABELA 7 – DADOS DE TRANSPORTE
Obs autotime bustime dtime auto Obs autotime bustime dtime auto
1 52,9 4,4 -48,5 0 12 18,5 84 65,5 1
2 4,1 28,5 24,4 0 13 82 38 -44 1
3 4,1 86,9 82,8 1 14 8,6 1,6 -7 0
4 56,2 31,6 -24,6 0 15 22,5 74,1 51,6 1
5 51,8 20,2 -31,6 0 16 51,4 83,8 32,4 1
6 0,2 91,2 91 1 17 81 19,2 -61,8 0
7 27,6 79,7 52,1 1 18 51 85 34 1
8 89,9 2,2 -87,7 0 19 62,2 90,1 27,9 1
9 41,5 24,5 -17 0 20 95,1 22,2 -72,9 0
10 95 43,5 -51,5 0 21 41,6 91,5 49,9 1
11 99,1 8,4 -90,7 0
FONTE: Hill, Judge e Griffiths (2010, p. 434)
Note no quadro, que pela estimação por MQO os coeficientes estimados 
são estatisticamente significativos ao nível de 1% de significância estatística. O 
diferencial de tempo entre ir de ônibus ou de carro é positivo, indicando que um 
aumento no tempo gasto com transporte coletivo aumenta a probabilidade de a 
pessoa ir de carro para o trabalho.
178
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
QUADRO 9 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO MODELO 2.1 POR MQO
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-21
Variável dependente: auto
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ---------------------------------------------------------
 const 0,484795 0,0714494 6,785 1,76e-06 ***
 dtime 0,00703099 0,00128616 5,467 2,83e-05 ***
Média var. dependente 0,476190 D.P. var. dependente 0,511766
Soma resíd. quadrados 2,035914 E.P. da regressão 0,327343
R-quadrado 0,611326 R-quadrado ajustado 0,590869
F(1, 19) 29,88410 P-valor(F) 0,000028
Log da verossimilhança −5,295144 Critério de Akaike 14,59029
Critério de Schwarz 16,67933 Critério Hannan-Quinn 15,04366
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível
de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Note que, como autoi pode assumir apenas dois valores, 0 e 1, se dissermos 
que autoi = Yi, e se fizermos Pi, a probabilidade da pessoa ir de carro para o trabalho, 
podemos escrever a função de probabilidade como:
( )1i iP Prob Y= = 2.2
( ) ( )1 0i iP Prob Y− = = 2.3
Assim, E(Yi) = 1(Pi) + 0(1 – Pi) = Pi, onde Pi = probabilidade de que Yi = 1 
(ocorrência do evento) e (1 – Pi) = probabilidade de que Yi = 0 (o evento não ocorra). 
Dito de outra forma, existem apenas dois eventos mutuamente exclusivos, que na 
literatura estatística se atribuem os nomes de sucesso e fracasso.
Se a pessoa pega o ônibus, o resultado do experimento é o sucesso, 
assim, Yi = 1. Se a pessoa utiliza o transporte coletivo, dizemos que o resultado 
do experimento é um fracasso e, portanto, Yi = 0. Essa é a chamada distribuição 
de probabilidade de Bernoulli e, para um estudo aprofundado, sugiro que você 
veja Sartoris (2013), que traz uma explicação bem didática sobre essa e outras 
distribuições estatísticas que usamos na econometria.
Se Yi = β1 + β2Xi + ui, onde Yi é uma dummy, a variância do termo de erro 
é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1i i i i iE E Y E Y P Pδ ε  = = −= −  2.4
TÓPICO 2 | MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
179
Como mostra Gujarati e Porter (2011, p. 540), a média dessa distribuição 
binomial é np e variância é np(1 – p), o que implica a variância ser uma função da 
média e que essa variância do erro é heteroscedástica. Com isso temos dois problemas:
1. Distribuição do termo de erro não é normal (distribuição de Bernoulli).
2. A variância do erro é heteroscedástica.
Em termos práticos, isso significa que apesar dos estimadores de MQO 
serem não tendenciosos, eles não são eficientes, ou seja, não têm variância 
mínima. Por este motivo, a estimação por MQO apresentada no Quadro 9 não é 
válida dentro do contexto dos modelos de resposta qualitativa. A saída é estimar 
por Mínimos Quadrados Ponderados.
Gujarati e Porter (2011) sugerem dividir o modelo econométrico por:
( ) ( ) ( )| 1 | 1i i i i i iE Y X E Y X P P − = −  2.5
Fazendo ( )1i i iw P P= − , podemos escrever o modelo como:
1
2
i i i
i i i i
Y X u
w w w w
β
β= + + 2.6
A desvantagem de se usar essa técnica é que não é possível obter a raiz 
quadrada de um número negativo, o que pode inviabilizar a estimação do modelo 
de regressão por MQP. A saída é restringir os valores estimados a ficarem entre 0 
e 1, afinal, a probabilidade Pi deve ser maior do que zero e menor do que 1 para 
fazer sentido, então:
( )0 | 1i iE Y X≤ ≤ 2.7
Assim, uma forma de superar o problema da estimação de valores maiores 
do que um e menores do que zero é proceder o ajuste de forma que os valores fora 
do intervalo 0,1 devem ser igualados a 0,01 e 0,99. Para fazer isso, como já fizemos 
a estimação do modelo econométrico previamente, acesse o menu “Salvar” na 
janela de resultado e escolha a opção “Valores ajustados”. O Gretl abre uma 
janela na qual você deverá nomear a série de valores ajustados de Y ou aceitar a 
sugestão oferecida, “yhat1”.
Abra essa série de dados e clique no botão “Editar valores” (ver figura a 
seguir) e substitua os valores maiores que 1 por 0,99 e os negativos por 0,01.
180
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
FIGURA 3 – EDIÇÃO DE VALORES DA BASE DE DADOS
FONTE: O autor
Agora você deve ir na tela inicial do Gretl e selecionar o menu “Acrescentar”, 
depois escolha a opção “Definir nova variável” e, na janela que será aberta, digite 
o comando w = yhat * (1 – yhat1). Note que não tiramos a raiz quadrada dessa 
variável de peso, como em 2.5 e 2.6. Não fizemos isso porque o Gretl, ao rodar a 
rotina por MQ ponderado, encarregar-se-á de tirar essa raiz automaticamente.
Para rodar a regressão por mínimos quadrados ponderados, selecione o 
menu “Modelo” na tela inicial do Gretl. Depois escolha “Outros modelos lineares” 
e na sequência “Mínimos Quadrados Ponderados”, preenchendo as informações 
conforme a figura a seguir.
O resultado do modelo estimado está no Quadro 10. O fato de termos 
limitado o valor estimado de Y a ficar entre 0 e 1 torna a estimativa por MQP não 
eficiente em amostra finita, além de ser sensível a erros de especificação. Esse é um 
dos motivos pelos quais a estimação do modelo de probabilidade linear logo caiu 
em desuso, o outro é o avanço da tecnologia que permite estimar facilmente os 
modelos com outras distribuições de probabilidade por máxima verossimilhança, 
como veremos adiante.
TÓPICO 2 | MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
181
FIGURA 4 – JANELA DE ESPECIFICAÇÃO DO MODELO DE MQP
FONTE: O autor
Perceba que o sinal dos coeficientes estimados continua positivo e os 
estimadores são estatisticamente significativos, mas os valores estão ligeiramente 
diferentes. O intercepto de 0,4311 indica que a probabilidade de a pessoa ir de 
carro para o trabalho, independentemente do tempo gasto de ônibus, é de 44,11%. 
Por sua vez, cada minuto adicional no tempo de viagem de ônibus aumenta a 
probabilidade de ir de carro para o trabalho em 0,90%. 
QUADRO 10 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO MODELO 2.1 POR MQP
Modelo 2: WLS, usando as observações 1-21
Variável dependente: auto
Variável usada como peso: w
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ---------------------------------------------------------
 const 0,431145 0,0845048 5,102 6,33e-05 ***
 dtime 0,00897430 0,00223173 4,021 0,0007 ***
Estatísticas baseadas nos dados ponderados:
Soma resíd. quadrados 0,356234 E.P. da regressão 0,136927
R-quadrado 0,459772 R-quadrado ajustado 0,431339
F(1, 19) 16,17033 P-valor(F) 0,000730
Log da verossimilhança 13,00755 Critério de Akaike −22,01510
Critério de Schwarz −19,92605 Critério Hannan-Quinn −21,56172
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível de 1%, 5% e 10% respectivamente.
182
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
Suponha que o tempo médio para se chegar ao trabalho de ônibus 
aumente em 20 minutos. Neste caso, a probabilidade de se dirigir ao invés de 
usar o transporte coletivo é de:

20min 1 2
ˆ ˆˆ i iP auto dtimeβ β= = + 2.8
20min 0, 43114 0,00897 20Pˆ = + × 2.9
20min 4ˆ 0,6105P = 2.10
Ou seja, a probabilidade de se dirigir até o trabalho é de aproximadamente 
61%, se houver um aumento no tempo de utilização do transporte coletivo, em 
comparação ao carro, de 20 minutos. Esse tipo de estudo é extremamente relevante 
para o planejamento da mobilidade urbana nas cidades médias e grandes de 
qualquer país do mundo.
3 O MODELO LOGIT
O modelo Logit se baseia na função de probabilidade logística acumulada 
e é especificado como:
( ) ( )1 2
11|
1 ii i X
P E Y X
e β β− +
= = =
+
 2.11
Que pode ser reescrita como:
1
1 1i
Z
i Z Z
eP
e e−
= =
+ +
 2.12
Onde “e” representa a base de logaritmos naturais (aproximadamente 
2,718), Pi é a probabilidade de um indivíduo fazer certa escolha, dado Xi, e Zi = β1 
+ β2Xi + ui. Observe que em 2.11, Pi não é linear nem nas variáveis e tão pouco nos 
parâmetros, o que implica em dizer que não podemos empregar os tradicionais 
MQO para estimar aquela equação. Além disso, Zi varia entre –∞ e + ∞ e com isso 
Pi varia entre 0 e 1. Embora as probabilidades se situem (por necessidade) entre 
0 e 1, os Logits não são submetidos a essa restrição, como no caso do modelo de 
probabilidade linear.
Segundo Gujarati e Porter (2011), se Pi é a probabilidade de um determinado 
evento ocorrer, então, 1 – Pi é a probabilidade desse evento não ocorrer. Podemos 
escrever essa probabilidade de não ocorrer determinado evento como:
11
1 ii Z
P
e
− =
+ 2.13
TÓPICO 2 | MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
183
Definimos a razão de chances de um evento ocorrer como 
1
iZi
i
P e
P
=
−
 e, 
aplicando o logaritmo natural, obtemos:
1
i
i i
i
PL ln Z
P
 
= = − 
 2.14
OndeZi = β1 + β2Xi, agora Li é o logaritmo das razões de chances de um 
evento ocorrer e na literatura econométrica é chamado de Logit.
Digamos que a probabilidade de uma pessoa utilizar o carro para ir para 
o trabalho, Pi, seja de 60%, e consequentemente a probabilidade de não ir de carro 
para o trabalho, 1 – Pi, será de 40%. Podemos calcular a razão de chances de uma 
pessoa ir para o trabalho de carro fazendo:
0,60 1,5
1 0,40
i
i
P
P
= =
−
 2.15
Isso significa que existe 1,5 chances contra 1 de a pessoa ir de carro para o 
trabalho. A figura a seguir apresenta a função densidade de probabilidade de uma 
distribuição logística. Note que a inclinação da distribuição logística acumulada é 
mais elevada na parte central do gráfico, onde Pi = 0,5. Podemos ver também que 
se Xi variar uma unidade, o efeito maior é percebido quando Pi = 0,5 e é menor nos 
extremos 0 ou 1. Dito de outra forma, é preciso uma mudança muito grande em Xi 
para ocorrer pequenas mudanças na probabilidade quando Pi está perto de 0 ou 1.
FIGURA 5 – FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DE
UMA DISTRIBUIÇÃO LOGÍSTICA
FONTE: O autor
184
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
A estimação dos parâmetros do modelo por MQO ou por MQP não é 
possível, então, conforme Pindyck e Rubinfeld (2004), a técnica de Máxima 
Verossimilhança (MV) proporciona estimadores consistentes para os parâmetros 
e estatísticas adequadas para inferência. Uma das vantagens dessa técnica de 
estimação é que esse método foi desenvolvido para amostras grandes, gerando 
erros padrão assintóticos. Além disso, a inferência tem como base a tabela de 
distribuição normal ao invés de usarmos a estatística t.
No Tópico 3, teremos uma explicação rápida da técnica de estimação por 
máxima verossimilhança, mas para uma análise aprofundada do seu emprego 
em modelos Logit, veja o apêndice do capítulo 15 da obra Econometria básica de 
Gujarati e Porter (2011). Os autores apresentam a equação a ser estimada como:
( ) ( ) ( )1 21 2 1 2
1 1
ln , , , ln 1 i
n n
X
n i if Y Y Y Y X e
β ββ β + … = + − + ∑ ∑ 2.16
DICAS
Recomendamos a leitura da seguinte obra: GUJARATI, Damodar N.; PORTER, 
Dawn C. Econometria básica. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 924 p.
Todos os softwares econométricos possuem rotina pronta para a estimação 
por máxima verossimilhança dos modelos Logit e o Gretl não é diferente. No 
entanto, não usaremos o R2 para medir a qualidade do ajustamento. Para isso, 
usamos o Cout R2, que varia entre 0 e 1 e é obtido pela equação:
2 
 
númerode previsõescorretasCountR
númerototal deobservações
= 2.17
Para testar a significância conjunta dos coeficientes estimados, usamos 
a estatística de Razão de Verossimilhança, que segue uma distribuição qui-
quadrado com graus de liberdade igual ao número de variáveis explanatórias.
TÓPICO 2 | MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
185
FIGURA 6 – JANELA DE ESPECIFICAÇÃO DO MODELO LOGIT
FONTE: O autor
Usaremos novamente os dados da Tabela 7 e para estimar o modelo 
Logit, na tela inicial do Gretl, selecionamos o menu “Modelo”, na sequência 
escolhemos “Variável limitada dependente”, depois escolhemos a opção “Logit” 
e na sequência “Binário”. O Gretl abrirá uma janela para especificar o modelo, 
que você deve preencher como na Figura 6.
O resultado da estimação está no quadro a seguir. Podemos ver pelo Count 
R2 que o modelo é capaz de prever corretamente 90,5% dos casos. Além disso, a 
razão de verossimilhança apresenta um p-valor = 0,0000. Essa estatística trabalha 
com a hipótese nula de que os coeficientes angulares parciais em conjunto são 
iguais a zero. No nosso caso, como só temos um β, rejeitamos a hipótese nula de 
que esse coeficiente estimado é estatisticamente igual a zero
186
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
QUADRO 11 – RESULDADO DA ESTIMAÇÃO DO MODELO LOGIT POR MV
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística
em nível de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Modelo 1: Logit, usando as observações 1-21
Variável dependente: auto
Erros padrão baseados na hessiana
 coeficiente erro padrão z p-valor
 --------------------------------------------------------
 const −0,237575 0,750477 −0,3166 0,7516 
 dtime 0,0531098 0,0206423 2,573 0,0101 **
Média var. dependente 0,476190 D.P. var. dependente 0,511766
R-quadrado de McFadden 0,575700 R-quadrado ajustado 0,438075
Log da verossimilhança −6,166042 Critério de Akaike 16,33208
Critério de Schwarz 18,42113 Critério Hannan-Quinn 16,78546
Número de casos 'corretamente previstos' = 19 (90,5%)
f(beta'x) na média das variáveis independentes = 0,244
Teste de razão de verossimilhança: Qui-quadrado(1) = 16,7325 [0,0000]
 Previsto
 0 1
 Efetivo 0 10 1
 1 1 9
Cada minuto adicional de diferença entre ir de ônibus para o trabalho 
ou ir de carro altera o Logit em 0,0531 unidades. É uma interpretação estranha, 
mas você deve lembrar que o Logit mede o logaritmo das razões de chances de 
um evento ocorrer. Neste caso, o logaritmo das razões de chances de uma pessoa 
dirigir até o trabalho quando há um aumento no tempo de viagem usando o 
transporte coletivo.
Em muitas aplicações práticas o que mais importa nem sempre é a 
interpretação do coeficiente estimado em si, mas sim o sinal desse coeficiente e o 
fato de ele ser ou não estatisticamente significativo. Porém, podemos calcular a 
probabilidade de um motorista específico de carro para o trabalho, considerando a 
diferença entre o tempo de transporte público e carro de um indivíduo específico.
Vamos abrir o banco de dados e verificar as informações do 21º motorista 
e calcular a probabilidade de ele dirigir até o trabalho ao invés de pegar ônibus. 
Você pode perceber que houve um dtime21 = 49,9, ou seja, a diferença entre ir de 
ônibus e ir de carro para o trabalho é de 49,9 minutos e esse motorista específico 
optou por ir de carro para o trabalho (auto21 = 1).
Substituindo essas informações em 2.11 obtemos:
( ) ( )21 21 2,4126040200,237575 0,0531098 49,9
1 11| 0,9178
11
P E Y X
ee −−− + ×  
= = = = =
++
 2.18
TÓPICO 2 | MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
187
Temos, portanto, 91,78% de probabilidade efetiva do motorista número 21 
ir de carro para o trabalho.
4 O MODELO PROBIT
O modelo Probit é muito parecido com o modelo Logit visto anteriormente. 
Ao invés de utilizar uma função de probabilidade acumulada logística, ele utiliza 
a distribuição normal acumulada, por esse motivo, algumas vezes é chamado de 
Normit.
Para entender o funcionamento do Probit, voltaremos ao exemplo 
utilizado até agora, supondo que as pessoas tenham apenas duas opções para 
ir ao trabalho. Ou elas vão de carro dirigindo, ou elas vão de transporte coletivo 
(ônibus). Vamos supor também um índice de força, Zi, e que esse índice é uma 
função linear do diferencial de tempo entre ir de ônibus para o trabalho e ir 
dirigindo um carro, representado por Xi.
Sendo Yi uma variável binária que assume valor igual a 1 caso o indivíduo 
escolha ir de carro para o trabalho e 0 caso ele escolha ir de ônibus, então, para 
cada pessoa, Zi representa o valor crítico de divisão para a decisão de ir para o 
trabalho. Especificamente, o indivíduo escolhe: 
• Ir de carro para o trabalho se Zi > Zi.
• Ir de ônibus para o trabalho se Zi ≤ Zi.
Podemos escrever a função normal acumulada padronizada como:( )
2
21
2
iZ
s ds
i iP F Z eπ
−
−∞
= = ∫ 2.19
Onde “s” é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, com 
média zero e variância igual a 1. Com isso, o modelo Probit considera Zi uma 
variável aleatória de modo que a probabilidade de Zi ser igual ou menor a Zi 
pode ser computada através da função de probabilidade normal acumulada e, 
por construção, a variável Pi estará no intervalo (0,1).
A figura a seguir mostra a função de distribuição acumulada do Probit, 
que é a FDA da distribuição normal, como já dissemos. A probabilidade é medida 
pela área abaixo da curva normal padrão, que vai de –∞ até Zi, o que significa que 
evento terá maior probabilidade de ocorrer quanto maior for o valor do índice Zi.
A estimativa do índice Zi é obtida a partir do inverso da função normal 
acumulada, calculando a área sob a curva como:
( )1i i iZ F P Xα β−= = + 2.20
*
*
*
*
*
188
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
FIGURA 7 – FUNÇÃO DE DENSIDADE ACUMULADA DO PROBIT
FONTE: O autor
Dessa forma, interpretamos Pi como uma estimativa da probabilidade 
condicional de um indivíduo ir de carro para o trabalho, por exemplo, dado que 
a diferença entre o tempo de ir de ônibus e ir de carro para essa pessoa é Xi.
Da mesma forma que o Logit, a estimação do Probit se dá por Máxima 
Verossimilhança, e para isso, acesse o menu “Modelo” na tela inicial do Gretl, 
escolha a opção “Variável limitada dependente”, na sequência escolha “Probit” e a 
opção “Binário”. O resultado da estimação sobre a escolha das pessoas entre ir de 
carro para o trabalho ou ir de ônibus está no Quadro 12. A janela de especificação 
do modelo é semelhante ao do Logit e seu preenchimento também.
Como os modelos Logit e Probit são semelhantes na estimação, por usar 
a técnica de máxima verossimilhança, a janela de resultado reportado pelo Gretl 
apresenta algumas estatísticas que foram mostradas no Logit.
O Count R2 indica que o modelo é capaz de prever corretamente 90,5% dos 
casos e a razão de verossimilhança é estatisticamente significativa. O problema surge 
quando olhamos o teste de normalidade dos resíduos apresentado no final da janela 
de resultado. Por ser um Probit, baseado em uma distribuição normal, esperamos 
que os resíduos gerados sejam normalmente distribuídos. Analisando o resultado 
do teste de normalidade, vemos que essa hipótese é rejeitada, e, portanto, o modelo 
Probit não se mostra adequado para a pesquisa que estamos desenvolvendo.
TÓPICO 2 | MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
189
QUADRO 12 – RESULTADO DA ESTIMAÇÃO DO PROBIT POR MV
Modelo 1: Probit, usando as observações 1-21
Variável dependente: auto
Erros padrão baseados na hessiana
 coeficiente erro padrão z p-valor
 --------------------------------------------------------
 const −0,0644338 0,399244 −0,1614 0,8718 
 dtime 0,0299990 0,0102867 2,916 0,0035 ***
Média var. dependente 0,476190 D.P. var. dependente 0,511766
R-quadrado de McFadden 0,575761 R-quadrado ajustado 0,438136
Log da verossimilhança −6,165158 Critério de Akaike 16,33032
Critério de Schwarz 18,41936 Critério Hannan-Quinn 16,78369
Número de casos 'corretamente previstos' = 19 (90,5%)
f(beta'x) na média das variáveis independentes = 0,397
Teste de razão de verossimilhança: Qui-quadrado(1) = 16,7342 [0,0000]
 Previsto
 0 1
 Efetivo 0 10 1
 1 1 9
Teste da normalidade dos resíduos -
 Hipótese nula: o erro tem distribuição Normal
 Estatística de teste: Qui-quadrado(2) = 11,3978
 com p-valor = 0,00334961
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao
nível de 1%, 5% e 10% respectivamente.
A interpretação direta do coeficiente β no Probit, conforme Gujarati e 
Porter (2011), requer o cálculo de βjF(Zi), em que F(Zi) é a função de densidade de 
probabilidade normal padrão de Zi, e Zi = α + βXi, ou seja, o resultado da regressão 
estimada. Por esse motivo, em muitas aplicações práticas se busca verificar o sinal 
do coeficiente estimado da variável explicativa e a sua significância estatística.
O Quadro 13 apresenta o resultado das estimações por MQP, Logit e Probit 
para o caso que estamos estudando. Como o processo de estimação e as funções 
de densidade acumulada têm estruturas diferentes, não podemos comparar 
esses resultados diretamente. Porém, Gujarati e Porter (2011), Maddala (2003), 
Hill, Judge e Griffiths (2010) e outros autores sugerem a conversão dos modelos 
através do seguinte procedimento:
• Para comparar o resultado do Logit com o Probit, devemos multiplicar os 
coeficientes estimados do Logit por 0,625.
• Podemos comparar o resultado do Logit com o MPL multiplicando os 
coeficientes angulares parciais estimados do Logit por 0,25 e, no caso da 
constante, multiplica-se por 0,25, somando-se 0,5.
• O resultado do Probit pode ser comparado como MPL dividindo-se o 
coeficiente angular parcial por 2,5 e somando-se 1,25 à constante do Probit e, 
posteriormente, dividimos esse resultado por 2,5.
190
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
QUADRO 13 – COMPARANDO OS MODELOS ESTIMADOS
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível de 1%, 5% e 10% respectivamente.
Variável dependente: auto
 (1) (2) (3) 
 MPQ Logit Probit 
const 0,4311** -0,2376 -0,06443 
 (0,08450) (0,7505) (0,3992)
 [0,0001] [0,7516] [0,8718]
dtime 0,008974** 0,05311** 0,03000**
 (0,002232) (0,02064) (0,01029)
 [0,0007] [0,0101] [0,0035]
 n 21 21 21
R-quadrado 0,4598 0,5757 0,5758
 lnL 13,01 -6,166 -6,165
Erros padrão entre parênteses
p-valores entre colchetes
* indica significância ao nível de 10 por cento
** indica significância ao nível de 5 por cento
Para logit e probit, o R-quadrado é o pseudo-R-quadrado de 
McFadden
A tabela a seguir apresenta os modelos Logit e Probit convertidos para 
MPL, o que nos permite uma interpretação mais intuitiva dos resultados obtidos. 
Note que os coeficientes estimados são muito parecidos e lembra-se de que a 
constante só é estatisticamente significativa no modelo de probabilidade linear.
TABELA 8 – CONVERSÃO DOS MODELOS LOGIT E PROBIT EM MPL
FONTE: O autor
Obs.: ***, ** e * indicam significância estatística ao nível
de 1%, 5% e 10% respectivamente.
(a) Coeficiente estimado convertido em MPL, onde o modelo de probabilidade linear foi 
estimado por mínimos quadrados ponderados
MPL Logit (a) Probit (a)
Constante 0,4311*** 0,4406 0,4742
dtime 0,0090*** 0,0133** 0,0120***
TÓPICO 2 | MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA
191
A maior parte dos artigos que empregam variáveis dependentes 
qualitativas utiliza os modelos Logit em sua estimação, pela facilidade em se obter 
os resultados com o auxílio dos programas computacionais e pelas exigências do 
Probit e do MPL, que tornam a estimação muito trabalhosa no caso do MPL e a 
interpretação complexa no caso do Probit.
Porém, esses três modelos não são os únicos que existem. O capítulo 11 da 
obra intitulada Econometric theory and methods de Davidson e Mackinnon (2003) 
apresenta uma série de modelos em uma linguagem técnica mais avançada. Por 
outro lado, o capítulo 15 da obra Econometria básica de Gujaratie Porter (2011) 
apresenta essas mesmas opções e outras, em uma linguagem mais acessível a 
estudantes de graduação, motivo pelo qual recomendamos a leitura.
DICAS
DIMENSIONAMENTO DO MERCADO DE BANDA LARGA NO BRASIL
 A tecnologia de banda larga aparece como sendo indispensável hoje em dia para a 
sociedade. Seus benefícios são abrangentes, alcançando os serviços de telefonia, redes de 
computadores, conexão por satélites etc. Isso faz com que o efeito econômico da expansão 
da banda larga seja significativo, o que já foi constatado por diversos estudos (entre outros, 
Stiroh, 2002; Czernich et al., 2009; Qiang e Rossotto, 2009; Katz, 2008 e 2012). No Brasil, o 
impacto econômico da banda larga também foi estimado e se mostrou igualmente positivo, 
como atestam os estudos de Macedo e Carvalho (2010a; 2010b). Mais recentemente, 
Carvalho, Mendonça e Silva (no prelo) investigaram o assunto e mostraram que a ampliação 
de 1% do acesso à banda larga acarreta um aumento de 0,077% no produto interno bruto 
(PIB), ocorrendo de forma heterogênea entre diferentes regiões do país.
 Embora no Brasil já se tenha a percepção da importância do acesso à banda 
larga, há muito ainda a ser feito, diferentemente do que acontece com a telefonia fixa, 
em que a universalização deste serviço é fato consumado. Dados da Agência Nacional de 
Telecomunicações (Anatel) mostram que no Brasil a infraestrutura de banda larga é ainda 
precária. Existem no país 2.325 municípios que não possuem backhaul de fibra, sendo que 
58% situam-se nas regiões Norte e Nordeste, o que faz com que tenhamos 14% da população 
brasileira desassistida. Mesmo nos municípios dotados de backhaul de fibra, a qualidade do 
serviço de banda larga fica aquém do desejado. Na média, a velocidade da banda larga nos 
2.221 municípios que possuem backhaul de fibra é de 5 Mbps. As regiões Norte e Nordeste 
possuem as mais baixas velocidades.
 Tendo em mente o cenário atual da banda larga no Brasil, cabe dizer que o mercado 
brasileiro de banda larga é nitidamente limitado não por falta de demanda, mas por força do 
estado corrente da sua infraestrutura. Faz-se então a conjectura de que existe um grande 
potencial de expansão desse serviço pelo lado da demanda, caso o acesso à banda larga 
seja ampliado. O interesse por essa questão deve ser partilhado não apenas pelos gestores 
de política pública, mas também pelas empresas de telefonia.
 Por parte dos gestores, pelo fato de que a proposta de universalização do referido 
serviço deve seguir algum critério de priorização, sendo o dimensionamento do mercado 
um deles. No que diz respeito às empresas, pelo entendimento de que a lucratividade deve 
estar associada, a princípio, ao tamanho da demanda.
192
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
 O objetivo deste estudo é estimar o dimensionamento do mercado potencial de 
banda larga no Brasil. Tendo em vista o fato de que a banda larga produz utilidade direta 
para o usuário, além de servir como meio de acesso a outros serviços de grande interesse, 
usamos como medida para dimensionar o mercado de banda larga o acesso à internet. 
O dimensionamento é estimado com base no total predito de domicílios que atualmente 
poderiam acessar a internet por banda larga.
 Além disso, estima-se o novo dimensionamento do mercado de banda larga 
caso exista um aumento de 10% na penetração média dos serviços nas principais regiões 
metropolitanas do país. Os números projetados indicam que o potencial estimado com a 
expansão do acesso − banda larga fixa ou de tecnologia de terceira e quarta gerações (3G e 
4G) no celular − é de 45 milhões de domicílios, ou seja, um adicional de quase 6 milhões de 
domicílios em relação à situação atual. Num cenário de um aumento de 10% na penetração 
média dos serviços nas principais regiões metropolitanas do país, pode-se observar um novo 
mercado potencial total de 50,7 milhões de domicílios, ou seja, um aumento de mais de 10 
milhões de domicílios em relação ao quadro atual.
 Este estudo está estruturado, além desta introdução, em mais quatro seções. 
Na segunda seção, apresentamos uma breve revisão da literatura sobre o tema correlato 
da demanda por serviço de banda larga. Deve-se ter em mente que o nosso estudo, por 
motivos que ficarão claros ao longo da seção, não se refere estritamente à estimação da 
função de demanda. O uso do termo dimensionamento nos parece mais apropriado para 
os objetivos aqui propostos. Na terceira seção, apresentamos a metodologia usada de modo 
a explicitar os procedimentos que serão utilizados na quarta seção para a estimação do 
modelo de probabilidade de acesso e projeção de dimensionamento do mercado de banda 
larga. Os comentários finais são feitos na quinta seção.
FONTE: CARVALHO, A. Y.; MENDONÇA, M. J.; SILVA, J. J. Dimensionamento do mercado de 
banda larga no Brasil. Texto para discussão, Rio de Janeiro: Ipea, 2017. Disponível em: <http://
www.ipea.gov.br/portal/images/stories/PDFs/TDs/td_2322.pdf>. Acesso em: 17 fev. 2019.
193
Nesse tópico, você aprendeu que:
• O Modelo de Probabilidade Linear é uma forma simples de se calcular 
a probabilidade de um evento ocorrer, utilizando o método de mínimos 
quadrados ponderados.
• O modelo de probabilidade linear tem como função densidade de probabilidade 
a distribuição de Bernoulli, que admite apenas dois resultados para um 
experimento aleatório, sucesso ou fracasso.
• Apesar dos estimadores de MQO aplicados ao modelo de probabilidade linear 
serem não tendenciosos, eles não são eficientes, ou seja, não têm variância mínima. 
Por este motivo, a estimação por MQO não é válida dentro do contexto dos modelos 
de resposta qualitativa. A saída é estimar por Mínimos Quadrados Ponderados.
• O modelo Logit utiliza uma função de probabilidade acumulada logística, sua 
estimação se dá por máxima verossimilhança e representa o logaritmo das 
razões de chances de um evento ocorrer.
• O modelo Probit também é chamado de Normit porque utiliza a distribuição 
normal como base de estimação. Da mesma forma que o Logit, a técnica 
utilizada para estimação é por máxima verossimilhança.
RESUMO DO TÓPICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Para essa autoatividade, estamos interessados em estudar o resultado 
de uma eleição, por estado, que ocorreu nos EUA em 1976. Para tanto, os 
seguintes dados são usados:
Y = é a variável resultado, que assume valor igual a 1 caso o voto popular for 
a favor do candidato democrata (Jimmy Carter) e 0 se o voto for a favor do 
candidato republicano (Gerry Ford).
Income = renda média em 1975. 
School = número mediano de anos de escolaridade completados por pessoas 
com 18 anos de idade ou mais. 
Urban = porcentagem da população que vive em área urbana. 
A renda média dos estados em 1975 era de $ 13.963, o tempo médio de 
escolaridade era de 12,48 anos e 59,39% da população americana vivia nas 
áreas urbanas dos estados. Os resultados dos modelos de Probabilidade 
Linear, Logit e Probit são apresentados a seguir.
Com base nas estimações dos modelos, pede-se:
Variável dependente: Y
----------------------------------------------------
 MPL (MQO) Logit Probit 
----------------------------------------------------
const 24,37** 149,8** 87,30**
 (5,370) (3,216) (3,531)
income 0,0000 0,0000 0,0000 
 (0,4689) (0,2210) (0,1230)
school -1,970** -12,39** -7,200**
 (-5,106) (-3,117) (-3,422)
urban 0,00757** 0,05657** 0,03315**
 (3,304) (2,154) (2,222)
----------------------------------------------------
n 51 51 51
R² 0,4909 0,4391 0,4442
R² Ajustado 0,4583 0,32560,3307
Count R² 76,5% 76,5%
Critério Akaike 47,425 47,560 47,199
Razão Verossimilhança 30,96[0,00] 31,32[0,00]
----------------------------------------------------
Estatísticas-t entre ( ) 
*, ** indicam significância num nível de 10 e 5 por cento
Para logit e probit, o R-quadrado é o pseudo-R-quadrado de McFadden
195
1 Como você interpreta o sinal dos coeficientes estimados com relação ao 
aumento ou diminuição da probabilidade do candidato democrata Jimmy 
Carter receber votos?
2 Com base no modelo Logit, estime a probabilidade efetiva do candidato 
democrata ser eleito no estado de New York, sabendo que os valores das 
variáveis explicativas para aquele estado são:
 Income = 15.288
 School = 12,5
 Urban = 88,4
3 Você acredita que estimar o modelo de probabilidade linear estimado por 
MQO é adequado? Caso sua resposta seja sim, diga o porquê. Caso seja não, 
diga o porquê e informe qual seria a alternativa para estimar este modelo.
4 Com base nos resultados apresentados, qual dos três modelos estimados 
você escolheria para dar sequência ao seu estudo e por quê?
5 Se você tivesse que traçar uma estratégia de marketing para o Jimmy Carter, 
com base nos resultados obtidos, visando ganhar as eleições nos EUA, em 
que você concentraria a sua campanha, na população de maior renda, com 
maior escolaridade ou nos moradores da área urbana? Comente.
196
197
TÓPICO 3
TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Este é o último tópico de Econometria 2, foi uma longa e exaustiva jornada 
até aqui. Começamos na Econometria 1, na qual você foi apresentado às bases do 
conhecimento econométrico e aprendeu sobre a microeconometria. Na Econometria 2, 
você estudou a macroeconometria e alguns tópicos avançados de microeconometria.
Ao longo dos seus estudos, você pôde compreender que a econometria 
vai além de uma disciplina meramente quantitativa. Além de envolver a lógica 
dos cálculos, cuja base é a economia matemática, na maioria das vezes temos que 
analisar resultados com base no conhecimento de estatística que acumulamos nos 
nossos estudos e na nossa vivência profissional.
Foi necessário recorrer a esses conhecimentos para poder extrair 
inferências sobre as teorias econômicas testadas tanto em Econometria 1 quanto 
em Econometria 2. Aliás, fomos um pouco além da teoria econômica tradicional 
e trouxemos para a nossa análise questões de ordem política, econômica e social, 
assuntos presentes no nosso dia a dia.
A ideia até agora foi de lançar um olhar prático sobre a econometria, 
mostrando como utilizar essa fantástica ferramenta. Agora, nesse tópico, 
exploraremos alguns dos aspectos mais complexos da econometria. Vamos falar 
um pouco sobre o que há de novo na econometria, ou seja, os últimos avanços 
em termos de técnicas de estimação, a grande fronteira ou a fase atual do 
desenvolvimento da técnica econométrica.
Não devemos nos aprofundar nesse tópico, mas sim ter uma visão geral 
do mundo econométrico ainda não explorado por nós e que irá requerer a nossa 
atenção nos próximos anos. Para isso, começaremos falando sobre a estimação 
por máxima verossimilhança, técnica essa que só conseguimos empregar com 
desenvoltura por causa dos avanços computacionais e que utilizamos diversas 
vezes durante os estudos de Econometria 2.
Na sequência, falaremos sobre a econometria bayesiana, que sempre 
esteve à margem da econometria e que recentemente vem rivalizando com as 
técnicas tradicionais, justamente por conta dos avanços tecnológicos, produzindo 
outro tipo de resposta para as grandes questões econômicas.
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
198
Finalmente, no último item desse livro, veremos uma breve introdução 
sobre o big data, com ênfase sobre como nós, economistas, temos muito a ganhar 
em termos profissionais em relação a esse tema que está na vanguarda não apenas 
da econometria, mas de todas as áreas do conhecimento humano.
2 A ESTIMAÇÃO POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
A estimação por máxima verossimilhança é uma técnica econométrica 
assintótica. Dito de outra forma, em estimações em que o modelo clássico de 
regressão linear não atinge os objetivos de gerar estimadores, consistentes, não 
tendenciosos e com variância minima, empregamos a técnica de estimação por 
máxima verossimilhança, que é usada tanto em modelos econométricos lineares 
quanto em modelos não lineares.
Segundo Sartoris (2013), se conhecermos a distribuição de probabilidade 
de uma população qualquer de dados, os parâmetros estimados a partir de uma 
amostra aleatória maximizam a probabilidade de que esses valores obtidos 
seguem a distribuição da população em questão.
Para entender como funciona essa técnica, seguindo de Greene (2012), 
considere uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória, 
Y, condicionada a um conjunto de parâmetros, θ, representada por f(y|θ). 
Suponha agora que a partir dessa função, consigamos gerar um conjunto de 
dados independente e identicamente distribuídos de tal forma que:
f(y1, y2, ..., yn|θ) = Πi=1 f(yi|θ) = L(θ|y) 3.1
A equação 3.1 é conhecida como função de verossimilhança e é definida 
como uma função de um vetor de parâmetros desconhecidos, θ, onde y é usado 
para indicar o conjunto de dados coletados na amostra.
Para um modelo de apenas duas variáveis, com Yi = β1 + β2Xi + ui, em que 
a média e a variância são escritas como f(Y1, Y2, ..., Yn|β1 + β2Xi,σ2), onde σ2 é a 
variância e, se considerarmos a função de densidade de distribuição conjunta, 
podemos escrever a função de densidade de probabilidade como:
( )
( )21 2
2
1 
21
2
i iY X
if Y e
β β
σ
σ π
− −
−
= 3.2
Substituindo 3.2 na função f(Y1, Y2, ..., Yn|β1 + β2Xi,σ2), obtemos a função de 
verossimilhança para o caso de duas variáveis como:
( )
( )
( )21 2
2
1 2 2
1 2
1, , 
2
i iY X
nn
L e
β β
σβ β σ
σ π
− −
− ∑
= 3.3
n
TÓPICO 3 | TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
199
A partir de 3.3, devemos estimar os parâmetros βi e σ
2, de forma a 
maximizar a probabilidade de se prever os valores de Yi. Dito de outra forma, 
derivamos a função de verossimilhança em relação aos parâmetros a fim de 
maximizar as chances de se obter uma distribuição semelhante a da população, 
com base em uma amostra.
O formato usual da função de verossimilhança é obtido aplicando 
logaritmos à equação 3.3, para o caso com duas variáveis,
2
2
2
1 1
1 1ln 2 ln
2 2 2
n n
i
i
i i i
unL ln π σ
σ= =
= − − −∑ ∑ 3.4
Onde ui2 = (Yi – β1 – β2Xi)2 e para o caso geral, InL(θ|y) = ∑i=1 Inf(yi|θ).
Segundo Gujarati e Porter (2011, p. 212), 
[…] sob a hipótese de que ui, o termo de erro da população, segue 
a distribuição normal com média zero e variância constante σ2, os 
estimadores de máxima verossimilhança (MV) e os de mínimos 
quadrados ordinários (MQO) dos coeficientes de regressão do modelo 
de duas variáveis são idênticos. Essa igualdade estende-se aos modelos 
com qualquer número de variáveis.
Essa igualdade, segundo Pindyck e Rubinfeld (2004), não se observa 
no estimador da variância, σ2, que permanece consistente, porém tendencioso. 
Todavia, no geral, os estimadores de máxima verossimilhança são consistentes e 
assintoticamente eficientes.
No Gretl, selecionando o menu “Modelo” e depois escolhendo “Máxima 
verossimilhança”, você deverá informar na janela de especificação do modelo a 
equação do log de verossimilhança, o que para um usuário iniciante pode ser umpouco complicado. O ideal é usar o Console Gretl e digitar as linhas de comando 
de acordo com o que se pretende fazer com a estimação.
O capítulo 23 do Gretl User’s Guide, que você acessa através do menu 
“Ajuda”, depois “Guia do usuário”, descreve todas as funcionalidades da 
estimação por máxima verossimilhança e fornece alguns exemplos, além de 
detalhes técnicos.
n
3 ECONOMETRIA BAYESIANA
A estatística pode ser dividida em duas diferentes vertentes. Temos 
a estatística clássica, que serviu de base para tudo o que vimos até agora e a 
estatística bayesiana, que até bem pouco tempo atrás tinha pouca aplicação 
prática, vivendo à margem da econometria tradicional, mas que vem ganhando 
adeptos e uma quantidade enorme de pesquisas vem sendo desenvolvida nos 
últimos tempos, tendo como base essa técnica de estimação.
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
200
O motivo que tem levado muitos econometristas a aderirem à econometria 
bayesiana é o surgimento de novos softwares econométricos ou o lançamento 
de novas versões de softwares tradicionais, que agora permitem não apenas a 
manipulação dos modelos, mas também o emprego de algoritmos avançados.
Na análise clássica, quando você roda uma regressão, o parâmetro β é 
uma estimativa pontual, baseada em uma amostra da população, obtida de forma 
aleatória e se for um estimador de máxima verossimilhança, ele maximiza a função 
3.3. Se tirarmos diversas amostras a partir dessa mesma população, obteremos vários 
estimadores pontuais para o parâmetro e se plotarmos um gráfico de uma função 
de densidade de probabilidade, sabendo qual o valor do verdadeiro β na população, 
esses valores estimados se distribuirão em torno de uma média, que deverá convergir 
para o valor do parâmetro populacional, como vimos em Econometria 1.
Obviamente, se as hipóteses do modelo clássico se mantiverem e os 
resíduos tiverem distribuição normal, o estimador de máxima verossimilhança é 
o estimado de mínimos quadrados ordinários.
Por outro lado, do ponto de vista da análise bayesiana, não obtemos 
um estimador pontual para o parâmetro β, mas sim uma função de densidade 
para β, chamada de função de densidade posterior (KENNEDY, 2009). A 
grande diferença para a estatística e a econometria clássica é que, na abordagem 
bayesiana, a função de densidade posterior não se relaciona ao β porque não é 
uma distribuição amostral, mas se relaciona ao β da população.
A interpretação do parâmetro β obtido por essa abordagem também é 
diferente da tradicional, porque tem um sentido subjetivo de probabilidade. 
Kennedy (2009, p. 212) apresenta a técnica bayesiana em três etapas:
1. Previamente à análise dos dados uma distribuição anterior 
é formalizada, refletindo as crenças do pesquisador sobre os 
parâmetros em questão.
2. Emprega-se o teorema de Bayes para combinar a distribuição 
anterior com os dados. O resultado dessa combinação é a distribuição 
posterior.
3. A última etapa, que é opcional, consiste em combinar a distribuição 
posterior com uma função de perda esperada, ou uma função de 
utilidade. A ideia é minimizar a perda esperada ou maximizar a 
utilidade esperada da estimativa dos parâmetros. 
A econometria bayesiana tem início no trabalho de Zellner (1971), mas 
Greene (2012) e Kennedy (2009) ressaltam que esse ramo da econometria sempre 
esteve à margem e que só recentemente, com os avanços computacionais, é que 
começou a ser explorado com mais ênfase.
A chave para entender esse campo de estudos é o teorema de Bayes, 
enunciado por Sartoris (2013, s.p.) como: “Se existem as probabilidades condicionais 
de um evento B, dados todos os eventos do tipo Ai(i = 1,2,..., n), e queremos encontrar 
a probabilidade condicional de certo evento Aj, dado B, essa será dada por:”
TÓPICO 3 | TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
201
( ) ( ) ( )
( ) ( )1
|
| 
|
j j
j n
j jj
P B A P A
P A B
P B A P A
=
×
=
×∑
 3.5
Greene (2012) altera o teorema para uma linguagem mais conhecida por 
nós, escrevendo 3.5 como:
( ) ( ) ( )( )
Dados|Parâmetros Parâmetros
Parâmetros|Dados
Dados
P P
P
P
×
= 3.6
Em 3.6 os dados são vistos como constantes cuja distribuição não envolve 
os parâmetros de interesse. O lado esquerdo é a distribuição posterior, ou seja, 
a probabilidade de se encontrar os parâmetros após se observar os dados. Do 
lado direito temos a distribuição anterior, a probabilidade de se encontrar os 
parâmetros antes de se observar os dados.
Essa expressão em 3.6 normalmente é escrita como:
Prob(Parâmetros|Dados) α Prob(Dados|Parâmetros) x Prob(Parâmetros) 3.7 
 
A expressão 3.7 é lida como “o posterior é proporcional à probabilidade 
vezes o anterior”.
Para se aprofundar mais no tema, leia o capítulo 16 da obra intitulada 
Econometric analysis: International edition de Greene (2012) e o capítulo 14 da 
obra intitulada Manual de econometria de Kennedy (2009). Para estudantes mais 
avançados, sugiro uma visita ao site de Working Papers do Banco Central 
do Brasil, disponível em <https://www.bcb.gov.br/pec/wps/port/default.
asp?idiom=I&id=workingpapers>. Nesse site procure por artigos que utilizam 
os modelos DSGE (Modelo Dinâmico de Equilíbrio Geral Estocástico). Há 
muito material sobre o tema e esses modelos DSGE são os que grande parte dos 
Bancos Centrais ao redor do mundo estão utilizando nas suas análises de política 
macroeconômica e são baseados
4 BIG DATA ANALYTICS
O que é o Big Data e o que isso tem a ver com a econometria? Sabemos que 
econometria é uma ferramenta, dentro da ciência econômica, que analisa dados 
e extrai informações de bancos de dados. O Big Data, por sua vez, é definido no 
relatório de 2011 do McKinsey Global Institute, “Big data: The next frontier for 
innovation, competition, and productivity” (MCKINSEY GLOBAL INSTITUT, 
2011, s.p.), como sendo um conjunto de dados cujo tamanho está além da 
capacidade que os tradicionais softwares de banco de dados têm para capturar, 
armazenar, gerenciar e analisar.
UNIDADE 3 | MODELOS PAINEL, MODELOS DE REGRESSÃO DE RESPOSTA QUALITATIVA E TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
202
Segundo a pesquisa Tech Trends 2017, da empresa de consultoria Deloitte, 
cerca de 90% dos dados existentes no mundo foram gerados nos últimos cinco 
anos. A cada ano que passa esse volume de dados dobra de tamanho. Nesse 
ritmo, a expectativa é que em 2020 tenhamos cerca de 44 trilhões de gigabytes, o 
que, para se ter noção, é mais do que a quantidade de estrelas que existe no céu.
O grande problema é que cerca de 90% desses dados não são estruturados e 
aqui nos referimos a e-mails, mensagens eletrônicas, check-ins nos lugares que você 
frequenta, os comentários e compartilhamentos nas rede sociais, os destinos das suas 
viagens registradas em aplicativos que o ajudam a dirigir nas ruas, entre outros. 
Essas informações são capturadas a partir da sua rotina diária de acesso 
à internet, na sua movimentação pelas ruas diariamente com o seu smartphone, 
nos seus pedidos de comida por aplicativos ou local de destino escolhido no 
aplicativo de transporte, nas músicas que você ouve pela internet e os filmes que 
assiste por streaming, entre muitas outras fontes de informação.
Dentro do Big Data, há uma área específica na qual os econometristas se 
encaixam como uma luva. É a área de mineração de dados. As empresas estão 
requisitando cada vez mais profissionais que sejam capazes de analisar esse 
banco enorme de informações geradas diariamente. Hoje em dia, os profissionais 
que têm essa competência desenvolvida são chamados de analistas de dados ou 
cientistas de dados. O site Love Mondeys informa que o salário médio de um 
cientista de dados é de R$ 9.059,00 mensais, podendo