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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 1 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 3 CAPÍTULO 31 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS 01. Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida é colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial entre elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância vale 50 pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V? (Pág. 92) Solução. A carga a ser medida pelo eletrômetro é acumulada num capacitor, de capacitância C, do instrumento e deve satisfazer à relação fundamental de capacitância: 9 950 10 F 0,15 V 7,5 10 Cq CV 7,5 pCq 04. Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,22 cm e 1,31 mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que aparecerá nas armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas? (Pág. 92) Solução. (a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não importando a forma geométrica de suas placas, é dada por: 2122 100 0 3 8,85 10 F/m 0,0822 m 1,4340 10 F 1,31 10 m A r C d d 143 pFC (b) A carga q vale: 10 81,4340 10 F 120 V 1,7208 10 Cq CV 17,2 nCq 13. Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. 25. Suponha que C1 = 10,3 F, C2 = 4,80 F e C3 = 3,90 F. r d q q Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 2 (Pág. 93) Solução. Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em série de C1 e C2, cuja capacitância equivalente chamaremos de C12 e, em seguida, resolveremos a associação em paralelo entre C12 e C3, cuja capacitância equivalente chamaremos de C123. 2 1 12 1 2 1 2 1 1 1 C C C C C C C 1 212 1 2 10,3 F 4,80 F 3,2741 F 10,3 F 4,80 F C C C C C A capacitância equivalente final vale: 123 12 3 3,2741 F 3,90 F 7,1741 FC C C 123 7,17 FC 17. (a) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A, com espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas de um único capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua capacitância seja igual à da associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série. (Pág. 93) Solução. (a) A capacitância da associação em paralelo (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol). Logo: assoc isolC C 0 A C C C l 03 A C l 0 03 A A d l C A, d C A, C A, C A, l Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 3 3 d l (b) A capacitância da associação em série (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol). Logo: assoc isolC C 1 01 1 1 A C C C l 0 3 AC l 0 0 1 3 A A d l 3l d 20. Imagine que você disponha de vários capacitores de 2,0 F, capazes de suportar, sem ruptura dielétrica, 200 V. Como seria possível combinar esses capacitores, de modo a obter um sistema capaz de resistir à diferença de potencial de 1.000 V e com uma capacitância de (a) 0,40 F e (b) 1,2 F? (Pág. 93) Solução. (a) É possível satisfazer a condição do enunciado por meio de uma associação em série de cinco capacitores de C1 = 2,0 F. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 eqC C C C C C C 1 2,0 F 5 5 eq C C 0,40 FeqC Associando-se em série cinco capacitores que suportam individualmente uma tensão de 200 V, a tensão total que a associação poderá suportar é: 5 5 200 VeqV V V V V V V 1.000 VeqV (b) No item anterior, a associação em série de cinco capacitores de 2,0 F produziu uma capacitância equivalente de 0,40 F. Para produzir uma capacitância equivalente de 1,2 F seria necessário associar em série cinco capacitores de: 2 1 5 eqC C C A, d C A, d C A, d C A, l C1/5 5V = C1 VVVVV C1 C1 C1 C1 Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 4 2 5 5 1,2 F 6,0 FeqC C É possível construir um capacitor equivalente a 6,0 F associando-se três capacitores de 2,0 F em paralelo. 1 1 1 13 3 2,0 F 6,0 FeqC C C C C É preciso lembrar que todos os capacitores que participam de uma associação em paralelo estão sujeitos à mesma diferença de potencial do capacitor equivalente. Isto faz com que a limitação da voltagem total também seja satisfeita. A associação total é representada no esquema abaixo, onde todos os quinze capacitores têm capacitância C1 = 2,0 F: 24. Quando giramos a chave S da Fig. 30 para a esquerda, as armaduras do capacitor de capacitância C1 adquirem uma diferença de potencial V0. Inicialmente, C2 e C3 estão descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores das cargas finais q1, q2, e q3 sobre os capacitores correspondentes? (Pág. 94) Solução. Considere a seqüência de operações no circuito mostradas no esquema abaixo: No circuito B, a chave S é girada para a esquerda. O capacitor C1 adquire diferençca de potencial igual à da bateria (V0) e carga q0 igual a: 0 1 0q CV (1) C C2 1 = 3 = C1 C1 C1 V V C1 C2 C3 V0 + + + C1 C2 C3 V0 q V2 2, q V3, 3 q V1 1, C1 C2 C3 V0 q V0 0, + + + C1 C2 C3 V0 q V0 0, + + + + + + + + + A B C D Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 5 No circuito D, a chave S é girada para a direita. A carga q0 é distribuída entre os três capacitores. A diferença de potencial de C1 ,V1, diminui enquanto que a de C23 (capacitor equivalente a C2 e C3), ,V23, aumenta até ficarem iguais. Podemos desenvolver o seguinte cálculo: 1 23V V 231 1 23 qq C C (2) Como C23 é uma associação em série de capacitores, teremos: 2 3 23 2 3 C C C C C (3) e 23 2 3q q q (4) Portanto, a distribuição de carga entre os capacitores fica da seguinte forma: 0 1 2 1 3q q q q q 2 0 1q q q (5) Substituindo-se (4) em (2): 1 21 23 C q q C (6) Substituindo-se (5) em (6): 1 0 1 1 0 1 1 1 23 23 23 C q q C q C q q C C C 1 011 23 23 1 C qC q C C 1 0 231 1 0 23 1 23 1 23 1C q C q C q C C C C C (7) Substituindo-se (3) em (7): 2 31 1 0 1 0 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 C C q C q C q C C C C C C C C C C C (8) Substituindo-se (1) em (8): 1 2 1 31 1 0 1 2 1 3 2 3 C C C C q C V C C C C C C Da Eq. (5), temos: 1 2 1 3 1 2 1 32 1 0 1 0 1 0 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 C C C C C C C C q C V C V C V C C C C C C C C C C C C 1 2 1 3 2 3 1 2 1 32 1 0 1 2 1 3 2 3 C C C C C C C C C C q C V C C C C C C Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física– UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 6 2 32 1 0 1 2 1 3 2 3 C C q C V C C C C C C Como q2 = q3: 2 33 1 0 1 2 1 3 2 3 C C q C V C C C C C C 26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas que formam entre si um ângulo , conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre que a capacitância deste capacitor, para valores de muito pequenos, é 2 0 1 2 a a C d d (Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em paralelo.) (Pág. 94) Solução. Considere o esquema abaixo: dx a d y x Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre as placas l. Capacitância dC: 0 0 0 tan dA adx adx dC l d y d x O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias: 0 0 tan a adx C dC d x 0 tan ln 1 tan a a C d (1) No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor, sendo o resultado: Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 7 2 31 1ln 1 1 2 3 x x x x x Considerando-se tana x d e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série: 2 2 2 tan tan tan tan tan ln 1 1 2 2 a a a a a d d d d d Considerando-se 0, isto implica em tan . Logo: tan ln 1 1 2 a a a d d d (2) Substituindo-se (2) em (1): 0 1 2 a a a C d d 2 0 1 2 a a C d d 27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga em cada capacitor após ter sido fechada a chave S1. (b) Idem, quando também estiver fechada a chave S2. Suponha que C1 = 1 F, C2 = 2 F, C3 = 3 F e C4 = 4 F. (Pág. 94) Solução. (a) Considere o esquema a seguir: C1 C3 C2 C4 V C13 C24 V = Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que: 1 313 1 3 C C C C C Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 8 1 3q q O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4: 2 4 24 2 4 C C C C C 2 4q q Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos: 1 3 2 4V V V V V Tomando-se: 31 1 1 1 3 1 3 1 3 qq q q V V V C C C C 1 1 3 1 1 V q C C 1 31 1 3 C C q V C C 1 3 9 μCq q De forma semelhante: 2 42 2 4 C C q V C C 2 4 16 μCq q (b) Considere o esquema a seguir: C1 C3 C2 C4 V C1 C3 C2 C4 V V C12 C34 = = 341212 34 12 34 qq V V V C C Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série: 12 34q q Logo: 12 12 34 1 1 V q C C 12 3412 34 12 34 C C q q V C C Como C12 e C34 são associações de capacitores em paralelo, temos: 1 2 3 4 12 34 1 2 3 4 C C C C q q V C C C C Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 9 12 34 25,2 μCq q Mas: 1212 12 8,4 μC q V C Logo: 1 12 1q V C 1 8,4 μCq 2 12 2q V C 1 16,8 μCq De forma semelhante: 3 10,8 μCq 1 14,4 μCq 30. As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bem- sucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio pesado existente na água do mar, envolvem usualmente a passagem de correntes elétricas muito intensas por pequenos períodos de tempo em bobinas que produzem campos magnéticos. Por exemplo, o reator ZT-40, do Laboratório Nacional de Los Alamos (EUA), tem salas cheias de capacitores. Um dos bancos de capacitores tem capacitância de 61,0 mF a 10,0 kV. Calcular a energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h. (Pág. 95) Solução. (a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à uma diferença de potencial V, é dada por: 2 2 3 3 61 1 61,0 F 10,0 V 3,05 J 2 2 U CV 3,05 MJU (b) Lembrando-se que: 7 3 kW h 1 J W s 2,777 kW h 10 W 3.600 s Teremos: 6 73,05 J 2,777 kW h 0,84722 kW hU 0,847 kW hU 32. Dois capacitores, um de 2,12 F e outro de 3,88 F são ligados em série, com uma diferença de potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia total armazenada nos capacitores. (Pág. 95) Solução. Podemos representar a associação em série dos capacitores C1 e C2 pelo capacitor equivalente C12: Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 10 1 212 1 2 C C C C C A energia potencial acumulada no capacitor C12 sujeito à diferença de potencial V vale: 2 12 1 2 U C V Logo: 6 6 221 2 6 6 1 2 2,12 10 F 3,88 10 F1 1 328 V 0,073745 J 2 2 2,12 10 F 3,88 10 F C C U V C C 73,7 mJU 34. Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de 5,0 F cada, é usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a diferença de potencial nos terminais da associação atingir 55 kV, supondo um custo de 3 centavos por kW.h? (Pág. 95) Solução. Considere o seguinte esquema: A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia acumulada nos N capacitores (CN). NT t U NtU Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos capacitores da associação. 2 21 1 2 2 T Nt CV NtCV 27 61 cents kW.h2.100 3,0 2,78 5,0 F 55.000 V 13,2449 cents 2 kW.h J T 13 centsT 38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4. Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro de raio igual a r ab . C V C C C V } U U U U 1 2 3 2.100 Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 11 (Pág. 95) Solução. Considere o esquema a seguir: a b r + + + + + + + + Capacitância de um capacitor cilíndrico: 02 ln L C b a Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico: 22 0 ln 2 4 q b aq U C L (1) Densidade de energia (u) entre as placas de um capacitor cilíndrico: dU u dV 2 0 1 . .2 . 2 dU udV E L r dr (2) Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico: 02 q E Lr (3) Substituindo-se (3) em (2): Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 12 2 0 2 2 2 2 04 q dU Lrdr L r 2 04 q dr dU Lr (4) Condição que resolve o presente problema: 2 r a U dU (5) Substituindo-se (1) e (4) em (5): 22 0 0 ln1 4 2 4 r a q b aq dr dr Lr r L 1 ln ln 2 r b a a 2 ln ln r b a a 2 r b a a r b a a r ab 40. Mostre que as armaduras de um capacitor plano de placas se atraem mutuamente com uma força igual a 2 02 q F A Obtenha este resultado calculando o trabalho necessário para aumentar a separação entre as armaduras x para x + dx. (Pág. 95) Solução. Considere o seguinte esquema, em que temos um capacitor de placas planas e paralelas, separadas por uma distância x e carregado com carga q. dx +q q x F ds F Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 13 A placa da direita é movida para a direita através de uma distância dx. O trabalho W realizado pela força F pode ser calculado da seguinte forma: cosdW d FdxF s W Fdx (1) O mesmo trabalho é equivalente à variação de energia potencial do sistema: 2 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2 2 q q q dW dU U U U U C C C C 2 2 0 0 02 2 q x x dx q dW x x dx A A A 2 02 q dx dW A (2) Comparando-se (1) e (2): 2 02 q F A 44. É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a projetar um capacitor que armazene até 6,61 J com uma diferença de potencial máxima de 630 V. Qual dos dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o espaço entre as armaduras do capacitor, supondo que todos os dados são exatos, isto é, a margem de erro é zero? (Pág. 95) Solução. Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C0, com ar entre as placas for C1 e com outro dielétrico for C2, valem as seguintes relações: 1 1 0C C 2 2 0C C 1 01 2 2 0 CC C C 22 1 1 C C (1) A energia potencial acumulada no capacitor C2 vale: 2 2 2 2 1 2 U C V (2) Substituindo-se (1) em (2): 22 2 1 2 1 1 2 U C V Resolvendo-se para 2: 6 1 2 2 22 12 1 2 2 1,00 6,61 J2 4,501099 7, 40 F 630 V U C V 2 4,50 Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 14 De acordo com a Tabela 1 (Pág. 86), o material com = 4,5 corresponde ao ÓLEO DE TRANSFORMADOR. 46. Um capacitor de armaduras, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pF. (a) Se as armaduras têm área de 0,350 m 2 , qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60, qual é a nova capacitância? (Pág. 95) Solução. (a) Um capacitor com placas planas e paralelas de área A e separação d possui capacitância C0 dada por: 00 A C d Logo: 12 2 0 12 0 8,85 F/m 0,350 m 0,06038 m 51,3 F A d C 6,04 cmd (b) Preenchendo-se o espaço entre as placas com dielétrico , a nova capacitância C será: 12 10 0 5,60 51,3 F 2,8728 FC C 287 pFC 48. Uma certa substância tem constante dielétrica 2,80 e sua rigidez dielétrica é 18,2 MV/m. Se é usada como dielétrico em um capacitor de armaduras paralelas, qual a área mínima das armaduras para que a capacitância seja 68,4 nF e o capacitor possa resistir a uma diferença de potencial de 4,13 kV? (Pág. 95) Solução. A capacitância C de um capacitor de placas planas e paralelas com material dielétrico entre as placas é dada por: 0C C Na equação acima, C0 é a capacitância do mesmo capacitor sem o material dielétrico entre as placas. Esta capacitância é dada pela equação a seguir, em que A é a área das placas e d é a distância de separação entre elas. 00 A C d Logo: 0 A C d 0 Cd A Multiplicando-se e dividindo-se a equação acima por Vmax, teremos: Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 15 max max 0 max 0 max 1CV CVd A V E 9 3 2max 12 6 0 max 68,4 F 4,13 V 0,62637 m 2,80 8,85 F/m 18,2 V/m CV A E 20,626 mA 50. Você foi encarregado de projetar um capacitor portátil que possa armazenar 250 kJ de energia e escolhe um capacitor de armaduras paralelas com dielétrico. (a) Qual o menor valor possível para o volume do capacitor, se for usado um dielétrico selecionado entre aqueles listados na Tabela 1 e para os quais é dado o valor da rigidez dielétrica? (b) Capacitores modernos de alto desempenho e que podem armazenar 250 kJ têm volumes iguais a 0,087 m 3 . Supondo que o dielétrico usado tenha a mesma rigidez dielétrica do item (a), qual deve ser a sua constante dielétrica? (Pág. 95) Solução. (a) O campo elétrico entre as placas de um capacitor, carregado com carga q e preenchido com dielétrico , vale: 0 0 q E A Na expressão acima, é a densidade de carga em cada placa do capacitor. Resolvendo-se a equação acima para A e multiplicando-se ambos os membros por d, a distância de separação das placas, teremos: 2 0 0 0 q q V qV Ad d E E E E Reconhecendo-se que Ad é o volume entre as placas e que q é o produto da capacitância C pela diferença de potencial entre as placas V, teremos: 2 2 2 0 0 CV V CV Ad E E (1) A energia potencial acumulada no capacitor é dada por: 21 2 U CV Logo: 2 2CV U (2) Substituindo-se (2) em (1): 2 0 2U Ad E (3) Na condição-limite apresentada pelo problema (volume mínimo), o campo elétrico E corresponde à rigidez dielétrica suportada pelo material dielétrico. Como o volume Ad é inversamente proporcional à constante dielétrica e à rigidez dielétrica, o capacitor de menor volume deverá ser construído pelo dielétrico que possua maior produto E 2 . Na Tabela 1 (Pág. 86) citada no enunciado, a substância de maior produto E 2 é a mica ( = 5,4, E = 160 kV/mm). Logo: Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 16 3 3 2 12 2 250 J 0,40868 m kV 1.000 V 1.000 mm 5,4 8,85 F/m 160 mm kV m Ad 30,41 mAd (b) Resolvendo-se (3) para a constante dielétrica: 2 0 2U Ad E 3 2 3 12 2 250 J 25,3669 F kV 1.000 V 1.000 mm 0,087 m 8,85 F/m 160 mm kV m 25 F 51. Uma chapa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio das armaduras de um capacitor plano, que estão separadas pela distância d (veja a Fig. 35). (a) Qual o valor da capacitância, depois da introdução da placa? (b) Se a carga nas armaduras mantém o valor constante q, ache a razão entre a energia armazenada antes e depois da introdução da placa. (c) Qual o trabalho realizado sobre a placa para inseri-la? A placa é puxada para dentro do capacitor ou você tem de empurrá-la? (Pág. 95) Solução. Considere o seguinte esquema: (a) A introdução de um material condutor entre as placas de um capacitor carregado causa separação de cargas no condutor. Como o campo elétrico nointerior do condutor deve ser zero (equilíbrio eletrostático), deduz-se que a separação de cargas no condutor gerou um campo elétrico E0 d +q q C ,V0 0 d +q q C,V b E0 E0 q +q Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 17 que neutralizou o campo produzido pelas cargas nas placas. Para que isso seja possível, as cargas induzidas no condutor devem ser iguais, em módulo, às cargas nas placas. O efeito líquido da introdução do material condutor é a criação de dois capacitores em série, de carga q, área A, separação das placas (d b)/2 e capacitância C’. Chamando-se C a capacitância da associação em série, ou seja, do capacitor original mais a placa de cobre introduzida, teremos: 1 1 1 2 ' ' 'C C C C 0 0 0 2 2' 2 2 2 2 2 A Ad b AC d bC d b 0 A C d b (b) A razão entre a energia armazenada antes (U0) e depois (U) da introdução da placa, vale: 202 2 00 0 0 0 0 2 22 0 0 1 2 1 2 A E dC V U C V d AU CV CV E d b d b 0 U d U d b A introdução da lâmina faz com que a energia potencial do sistema diminua. (c) Por definição, o trabalho realizado pela força elétrica vale: 0 0W U U U U U 222 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 A A W C V CV E d E d b d d b 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2 W AE d AE d b 0 0 0 2 AE W E d d b 0 0 0 2 AE W E b (1) Chamando-se de a densidade de cargas em cada placa do capacitor, o campo elétrico E0 valerá: 0 0 0 q E A (2) 0 0AE q (3) Substituindo-se (2) e (3) em (1): 02 q q W b A 2 02 q b W A Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 18 O trabalho realizado por uma força externa é o negativo desse trabalho: 2 ext 02 q b W W A Quando a lâmina de cobre começa a ser introduzida no espaço entre as placas do capacitor, as cargas já existentes na s placas polarizam a extremidade da lâmina e as cargas induzidas são atraídas para dentro do capacitor. Como as cargas induzidas estão presas na lâmina, esta também é atraída para dentro do capacitor. Logo, a força externa precisa puxar a lâmina para fora das placas para neutralizar a força de atração e manter constante a velocidade de entrada da placa de cobre. A atração da lâmina pelas placas e sua aproximação, fazem com que a energia potencial do sistema diminua, como revelou o resultado do item (b). 54. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos diferentes, como mostra a Fig. 36. Mostre que o valor de sua capacitância é dado por 0 1 2 2 e eAC d Verifique a correção deste resultado em todos os casos particulares que você for capaz de imaginar. (Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores ligados em paralelo?) (Pág. 96) Solução. Quando o capacitor acima for carregado, toda a superfície de cada placa deve estar no mesmo potencial, uma vez que cada placa estará conectada diretamente à fonte de potencial. Isto implica em que a área das placas que envolverem o dielétrico 1 terá carga q1 e capacitância C1 e a área das placas que envolverem o dielétrico 2 terá carga q2 e capacitância C2. 1 0 2 01 2 1 2 0 0 CV C Vq q C C C V V Note que a expressão acima corresponde a uma associação de capacitores em paralelo. 0 0 01 2 1 2 2 2 2 C C C C Na expressão acima, C0 é a capacitância do capacitor sem os dielétricos presentes. 0 1 2 2 A C d 55. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos, como mostra a Fig. 37. Mostre que o valor de sua capacitância é dado por 0 1 2 1 2 2 e e e e A C d Verifique a correção deste resultado para todos os casos particulares que for capaz de imaginar. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 19 (Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores ligados em série?) (Pág. 96) Solução. O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância, em que q0 é a carga nas placas do capacitor e V é a diferença de potencial entre as placas: 0 q C V (1) Ao longo do dielétrico 1, a diferença de potencial é V1 e o campo elétrico é E1. Ao longo de 2, V2 e E2. Logo, a diferença de potencial vale: 0 0 01 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 E E E dd d d d V V V E E Na equação acima, E0 é o campo elétrico entre as placas sem os dielétricos. 0 1 2 1 22 V V (2) Substituindo-se (2) em (1): 0 1 2 1 20 0 1 2 1 2 2 2 q C C V Nas equações acima, C0 é a capacitância do capacitor sem as camadas de dielétrico e V0 é a diferença de potencial entre suas placas. Logo: 0 1 2 1 2 2 A C d Esta expressão é a mesma que será obtida se considerarmos que o capacitor do problema é uma associação em série de capacitores C1 e C2, que possuem dielétricos 1 e 2, respectivamente. 56. Qual é a capacitância do capacitor da Fig. 38? A área de armadura é A. (Pág. 96) Solução. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 20 Considerando-se o resultado dos Problemas 54 e 55, podemos considerar o capacitor acima como uma associação de capacitores C1, C2 e C3, sendo que C2 e C3 estão em série e C1 está em paralelo com C23, que é o capacitor equivalente à associação de C2 e C3. Logo: 1 23C C C (1) A capacitância C1 vale: 1 0 1 0 1 2 2 4 A A C d d (2) A capacitância da associação C23 vale: 2 0 3 0 2 3 0 2 3 23 2 0 3 02 3 2 3 2 2 2 2 2 A A C C Ad d C A AC C d d d (3) Substituindo-se (2) e (3) em (1): 1 0 0 2 3 0 2 31 2 3 2 34 2 2 2 A A A C d d d 0 2 31 2 3 2 4 A C d 59. Duas placas paralelas de área igual a 110 cm 2 possuem cargas de sinais opostos e módulo igual a 8,9 10 7 C. A intensidade do campo elétrico no interior do material dielétrico que preenche o espaço entre elas é de 1,4 10 6 V/m. (a) Calcule o valor da constante dielétrica do material. (b) Determine o valor da carga induzida em cada superfície do dielétrico. (Pág. 96) Solução. (a) A constante dielétrica é dada pela razão entre o campo elétrico entre as placas sem a presença do dielétrico, E0, e o campo no interior do dielétrico, E: 0 E E O campo sem o dielétrico vale: 00 0 0 q E A Logo: 7 0 12 4 2 6 0 8,9 C 6,5301 8,85 F/m 110 m 1,4 V/m q AE 6,5 (b) Considere a aplicação da lei de Gauss ao capacitor com o dielétrico, de acordo com o esquema abaixo: Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 21 0 0 'd q qE A 0 0 'EA q q 7 12 6 4 2 0 0' 8,9 C 8,85 F/m 1,4 V/m 110 mq q EA 7' 7,5371 Cq ' 0,75 Cq 61. Um capacitor tem armaduras paralelas cuja área é de 0,118 m 2 e estão separadas por 1,22 cm. Uma bateriacarrega as armaduras até que a diferença de potencial entre elas seja 120 V, sendo então desligada. Uma placa de dielétrico, de espessura de 4,30 mm e constante dielétrica 4,80, é então colocada simetricamente entre as armaduras do capacitor. (a) Ache a capacitância antes da introdução do dielétrico. (b) Qual a capacitância após introduzirmos o dielétrico? (c) Qual o valor da carga livre q antes e depois da introdução do dielétrico? (d) Qual o campo elétrico no espaço entre as armaduras e o dielétrico? (e) Qual o campo elétrico no interior do dielétrico? (f) Com o dielétrico colocado, qual a diferença de potencial entre as armaduras? (g) Qual o trabalho externo realizado no processo de inserir o dielétrico? (Pág. 96) Solução. (a) A capacitância C0 antes da introdução do dielétrico vale: 12 2 110 0 8,85 F/m 0,118 m 8,5598 F 0,0122 m A C d 0 85,6 pFC (b) Ver adiante. (c) A carga livre q0 nas placas, antes da introdução do dielétrico, vale: 11 8 0 0 0 8,5598 F 120 V 1,0271 Cq C V 0 10,3 nCq Como o capacitor estava desconectado da bateria quando o dielétrico foi introduzido, não há mudança na quantidade de carga nas placas do capacitor. Seja q a carga após a introdução do dielétrico. Logo: 10,3 nCq (d) Considere o esquema abaixo, onde uma superfície gaussiana envolve uma das placas do capacitor: +q0 q0 E +q’q’ Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 22 Aplicando-se a lei de Gauss: 0 0d qE A 0 0 01 E A q 8 0 0 12 2 0 1,0271 C 9.836,0655 V/m 8,85 F/m 0,118 m q E A 0 9,84 kV/mE (e) O campo elétrico no interior do dielétrico, E, vale: 0 9.836,0655 V/m 2.049,8032 V/m 4,80 E E 0 2,05 kV/mE (f) Considere o esquema abaixo: A diferença de potencial entre as armaduras do capacitor com o dielétrico vale: 0 0 0 d b b V d E ds EdsE s 0V E d b Eb 3 3 9.836,0655 V/m 0,0122 m 4,30 m 2.049,8032 V/m 4,30 m 86,5163 V V E0 d +q0 q0 b E0 E E0 E0 d +q0 q0 b E0E ds Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 23 86,5 VV (b) Agora podemos calcular a capacitância C do capacitor após a introdução do dielétrico com mais facilidade: 8 100 1,0271 C 1,1872 F 86,5163 V q C V 119 pFC (g) O trabalho realizado pelo agente externo, Wext, ao introduzir o dielétrico vale: 2 2 ext int 0 0 0 1 1 2 2 W W U U U U CV C V 2 210 11 ext 1 1 1,1872 F 86,5163 V 8,5598 F 120 V 2 2 W 7 ext 1,7196 JW ext 0,172 JW Este resultado indica que após a introdução do dielétrico a energia potencial do dielétrico diminuiu (Wext 0 Wint 0 U 0). Isto significa que o dielétrico é puxado para a região entre as placas pelas forças elétricas, que realizam trabalho positivo sobre o dielétrico. A força externa (representada pela mão que segura o dielétrico) realiza trabalho negativo sobre o dielétrico para que o mesmo possa ser introduzido com velocidade constante. 62. Uma placa dielétrica de espessura b é introduzida entre as armaduras de um capacitor plano, que estão separadas pela distância d. Mostre que a capacitância é dada por 0 1 e e e A C d b (Sugestão: Siga o procedimento usado no Exemplo 9.) Esta fórmula prevê corretamente o resultado numérico do Exemplo 9? Serão razoáveis os resultados previstos para os casos particulares em que b = 0, e = 1 e b = d. (Pág. 96) Solução. Considere o esquema abaixo, em que à esquerda temos um capacitor de placas planas paralelas sem dielétrico C0 e à direita o mesmo capacitor com dielétrico, o que modifica sua capacitância para C. O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância: E0 d +q0 q0 C ,V0 0 E0 d +q0 q0 C,V b E0 E ds Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 24 0 q C V (1) Precisamos agora calcular a diferença de potencial V do capacitor com dielétrico. 0 0 0 d b b V d E ds EdsE s 0V E d b Eb (2) Também podemos afirmar que: 00 0 q E A (3) 0 0 q E A (4) Substituindo-se (3) e (4) em (2): 0 0 0 0 0 0 q q q b V d b b d b A A A 0 0 1d bq V A (5) Substituindo-se (5) em (1): 0 1 A C d b
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