Polinômios de Chebyshev e Método de Chebyshev

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MÈTODO DE CHEBYSHEV 
Na equação diferencial , em princípio adotamos arbitrário, mas o maior interesse estará no caso em que é um inteiro não-negativo.
Como mencionamos, o principal interesse reside no caso em que λ é um inteiro não-negativo: λ = m. Nesse caso é fácil ver que y(0) m (z) será um polinômio de grau m, caso m seja par e y(1) m (z) será um polinômio de grau m, caso m seja ímpar. Esses polinômios são:
par,
ímpar.
Por uma convenção histórica, costuma-se redefinir esses polinômios multiplicando-os por uma constante dependente de m de modo a fazer o coeficiente do monômio de maior grau, zm, igual a 2m-1. Após alguns cálculos os polinômios acima podem ser escritos de uma forma compacta como:
Os polinômios assim definidos são denominados polinômios de Chebyshev, os quais desempenham um papel central na Teoria da Aproximação. Os quatro primeiros polinômios de Chebyshev são:
E possível ainda demonstrar que os polinômios de Chebyshev podem ser escritos na forma:
)zm-2p(1-z2)p, válida para todo m =0, 1, 2, 3, 4, ...
Uma das mais curiosas e importantes propriedades dos polinômios de Chebyshev Tm é a seguinte identidade:
válida para Essa relação pode ser demonstrada constatando-se que o lado direito é solução da equação de Chebyshev e constatando-se que o lado direito é um polinômio de grau m e que o coeficiente de seu termo de maior grau em z é 2m-1. A seguir iremos provar essa relação:
Definindo tem-se 
que é o que queríamos. Na última equação usamos o fato que os termos com q ímpar nas duas somas anteriores cancelam-se mutuamente, sobrando, portanto, apenas os termos com q par, ou seja, da forma q = 2p com p = 0, . . . , ⌊m/2⌋.
A propriedade de composição válida para todos n, m inteiros não-negativos. Como ambos os lados desta equação são polinômios, essa relação vale para todo x complexo.