13-Exercícios Resolvidos-Limite-Derivada-Integrais-2020 1

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EXECÍCIOS RESOLVIDOS – LIMITE , DERIVADA e INTEGRAIS - Prof. Erisson
· LIMITES
01 - Dada as funções, calcule o limite:
 => = 8 
 
 = 42 – 4 = 16 – 4 = 12 
 
 = 2 . 5 = 10 
 = 3 . (-1)2 – (-1) + 5 = 3 . 1 + 1 + 5 = 3 + 1 + 5 = 9
 
 Fatorando o numerador, temos: 
 => aplicando diretamente o limite teremos a indeterminação 
Como temos um polinômio no numerador e outro no denominador, podemos tomar o termo de maior grau:
 = = , limite da constante é a própria constante: = 
 
APLICAÇÃO DE LIMITE À ARRECADAÇÃO MÁXIMA DE UM FILME
02 - A arrecadação (Ar) mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela 
 função onde Ar(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz. 
a) Calcule a arrecadação do filme no sexto mês de exibição,
b) Obtenha a arrecadação do filme no décimo segundo mês,
c) Qual a arrecadação ao longo prazo? (Use o limite).
Solução: a) Após 6 meses: => = = => Ar (6) = 49,66 milhões
 b) Após 12 meses: => = = => Ar (12) = 102,86 milhões
c) A longo prazo (usando o limite). Solução: = = → (indeterminação)
Para evitar essa indeterminação, vamos simplificar (fatorar) a expressão tomando-se o termo de maior grau no numerador e no denominador:
De , faremos: = => Ar(x)Max = 160 milhões (valor máximo arrecadado)
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· DERIVADA
03 - Determine, pelas regras de derivação, as derivadas:
a) f(x) = x2 + 6x => f´(x) = 2x + 6 
b) g(x) = 5x3 - 4x2 + 7 => g´(x) = 15x2 - 8x 
c) → usaremos a propriedade do quociente 
 h´(x) = 3´ . x3 – 3 . x3` / (x3)2 = 0 . x3 – 3 . 3x2 / x6 = -9x2 / x6 => h´(x) = -9x / x4 
04 - Considere a função f(x) = x2 – 4x e determine a derivada (taxa instantânea) f ‘(x) no ponto x0 = 12 .
Resolução: f(x) = x2 – 4x => f´(x) = 2x – 4 → no ponto x0 = 12, vem: f´(12) = 2 . 12 – 4 = 24 – 4 => f´(12) = 20
05 - Determine a derivada segunda da função f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 15 
Resolução: f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 15 => primeira derivada → f´(x) = 3x2 – 6x + 2 – 0 
 segunda derivada → f´´(x) = 6x – 6 
06 - Após uma campanha publicitária, as vendas de um produto frequentemente aumentam e, após algum tempo, diminuem. Suponha que transcorridos x dias do fim da campanha, as vendas diárias sejam dadas pela expressão f(x) = - 2x2 + 140x unidades. 
a) Determine a taxa instantânea de crescimento das vendas um dia após o término da campanha;
b) Determine a taxa instantânea das vendas um mês (30 dias) após o término da campanha.
Resolução: A taxa de crescimento das vendas será dada pela derivada de f(x) = - 2x2 + 140x => f´(x) = - 4x + 140 
a) para o primeiro dia após a campanha, temos x = 1 => f´(1) = - 4.(1) + 140 = - 4 + 140 => f´(1) = 136
b) para um mês (30 dias) após o término da campanha, temos x = 30 => f´(30) = - 4 . 30 + 140 = - 120 + 140 => f´(30) = 20
DERIVADA – FUNÇÃO MARGINAL 
07 - O complexo de apartamentos Barra-West possui 100 unidades de dois dormitórios. O lucro mensal (em reais) obtido pelo aluguel de x apartamentos é de L(x) = -9x2 + 1600x – 50.000. Calcule o lucro marginal ao nível de x = 40 unidades alugadas e interprete seu resultado.
Lmarg(x) = L´(x) => Lmarg(x) = -18x + 1.600 = -18.(40) + 1.600 = -720 + 1.600 => Lmarg(40) = R$ 880,00 
Interpretação: O lucro marginal de R$ 880,00 é, aproximadamente, o lucro obtido decorrente do aluguel de uma 
 unidade a mais quando 40 unidades já haviam sido alugadas.
08 - Considere uma função de produção p que depende da quantidade x de um fator variável. Chama-se produtividade marginal do fator à derivada de p em relação a x. Admita agora a função de produção p(x) = 50 . x0,6 , em que p é o número de toneladas (quantidade) produzido por mês de um produto e x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora). Utilizando a produtividade marginal, podemos afirmar que se x = 8.000, ou seja, se aumentarmos a quantidade de homens-hora trabalhando de 8.000 para 8.001, teremos: 
Resolução: Se p(x) = 50 . x0,6 , então a derivada de p(x) será: 
p´(x) = 0,6 . 50 . x0,6 - 1 => 30 . x -0,4 = 30 . => p´(x) = 
para x = 8.000 => p´(8.000) = = => p´(8.000) = 0,82 toneladas
Logo, se o número de homens-hora passar de 8.000 para 8.001, 
o aumento na produção mensal será de aproximadamente 0,82 tonelada.
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· INTEGRAIS
09 - Determine a integral definida de 
 
Solução: = = = 3 . 22 – 3 . 12 = 3 . 4 – 3 . 1 = 12 – 3 => = 9
10 - Uma empresa trabalha com um custo marginal cuja função é Cmg(x) = 3x2 – 4x + 70 e um custo fixo de $ 600. Obtenha a função custo total da empresa.
Ct(x) = = = (como c = 600) => Ct(x) = x3 – 2x2 + 70x + 600 
11 - Sabendo que o custo marginal é Cmg(x) = 5, a receita marginal é Rmg(x) = 12 e o custo fixo é $ 210,00, obtenha:
a) a função lucro ; b) o ponto de nivelamento
Solução: a) L(x) = R(x) − Ct(x) => Ct(x) = = 5x + c => Ct(x) = 5x + 210
 R(x) = = 12x + c (c = 0) => R(x) = = 12x
 L(x) = 12x – (5x + 210) = 12x – 5x – 210 => L(x) = 7x – 210 
12 - Sabendo que o custo marginal é 2 e a receita marginal é 10 - 2x , obtenha o valor de x que maximiza o lucro.
Solução: L(x) = R(x) − Ct(x) => Ct(x) = = 2x + c , para (c = 0) => Ct(x) = 2x
 R(x) = = 10x – => R(x) = 10x – x2 
 L(x) = 10x – x2 – (2x) => L(x) = – x2 + 8x 
 Assim, = = => xV = 4 (que é o valor de x que torna o lucro máximo).
13 - A taxa de variação instantânea da receita obtida com a venda de x unidades de um produto é dada pela receita marginal R’(x) e fornecida através da função quadrático a seguir:
R’(x) = 10x – 2,1x²
Sabe-se que, com a venda de 12 unidades, a receita (total) obtida foi de R$ 18.000.
Desta forma, determine a receita (total) para uma venda de 20 unidades.
Resolução: Foi dada R’(x) = 10x – 2,1x²
A receita total será: R(x) = => R(x) = 10 . – 2,1 . + c 
 R(x) = 5x2 – 0,7x3 + c
Cálculo de c => como na venda de 12 unidades a receita (total) foi de R$ 18.000, ou seja, R(12) = 18.000, teremos:
R(12) = 5 . 122 – 0,7 . 123 + c => 18.000 = 5 . 144 – 0,7 . 1.728 + c 
	18.000 = 720 – 1.209,60 + c => 18.000 = -489,60 + c
	18.000 + 489,60 = c => c = 18.489,60
Logo, a expressão da receita (total) é: R(x) = 5x2 – 0,7x3 + 18.489,60
Para x = 20 unidades, R(20) = 5 . 202 – 0,7 . 203 + 18.489,60
 R(20) = 5 . 400 – 0,7 . 8.000 + 18.489,60
R(20) = 2.000 – 5.600 + 18.489,60 => R(20) = -3.600 + 18.489,60 => R(20) = R$ 14.889,60
2
x4
b)lim(x-x)
  
®
x5
c)2.x
lim
 
®
2
1
d)(35)
lim
     
®-
-+
x
xx
22
0
0
00
0
 
0
e)indeterminação
                  
i
      
lm
®
=
++
=>
=
x
xx
x
2
000
(1
)
1)01
 
ll
 
                 
l
                
i
    
imimm(
 1 
®®®
=
++
=+=+=
xxx
xxxx
xx
x
¥
¥
n
n1
lim
3n5
®¥
-
+
n
n
lim
3n
®¥
n
1
lim
3
®¥
1
3
80
x
x
160
)
x
(
Ar
2
2
+
=
80
x
x
160
)
x
(
Ar
2
2
+
=
2
2
160.(6)
Ar(12)
(6)80
=
+
160.36
3680
+
5.760
116
80
)
12
(
)
12
(
.
160
)
12
(
Ar
2
2
+
=
80
144
144
.
160
+
224
040
.
23
80
x
x
160
2
2
x
Max
lim
)
x
(
Ar
+
¥
®
=
80
160
2
2
+
¥
¥
¥
¥
2
2
x
Max
x
x
160
lim
)
x
(
Ar
¥
®
=
160
lim
x
¥
®
3
3
h(x)
x
=
x1
a)8
lim®
,
2
u(x).v(x)u(x).v´(x)
[v(x)]
-
ò
2
1
dx
x
6
dx
x
6
2
1
ò
2
x
6
2
]
2
1
2
x
3
ò
dx
)
x
(
Cmg
ò
+
-
dx
)
70
x
4
x
3
(
2
c
x
70
2
x
4
3
x
3
2
3
+
+
-
ò
dx
5
x1
8
lim
®
ò
dx
12
ò
dx
2
ò
-
dx
)
x
2
10
(
2
x
2
2
2a
b
v
x
-
=
(-1)
2
8
-
2
8
-
-