AULA 3-ALGEBRA-SISTEMA LINEARES-POST -00

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Álgebra Linear
Aula 3: Sistema de equações lineares
Apresentação
Muitas vezes para se obter a solução de um problema de natureza prática é necessário que se determine a solução de um
Sistema de Equações Lineares. Um dos métodos que iremos abordar para a resolução desses sistemas é o de eliminação
gaussiana que se torna bastante adequado quando se utiliza o computador. 
Por �m, leia atentamente toda a aula e preste bastante atenção nos exemplos, pois, estes nortearam a forma de resolver
os exercícios propostos.
Objetivos
Identi�car um sistema de equações lineares;
Usar o Teorema de Roché-Capelli para discutir os tipos de soluções possíveis para os sistemas de equações lineares;
Usar o Método de Eliminação de Gauss;
Aprender a resolver sistemas homogêneos.
Equações lineares
Toda equação linear nas variáveis x e y no plano cartesiano é da forma: ax + by = c, para a, b e c constantes. Sabemos que
geometricamente esta equação é representada por uma reta.
No espaço uma equação linear nas variáveis ou incógnitas x, y e z é da forma: ax + by + cz = d, com a, b, c, e d números reais
geometricamente esta equação é representada por um plano no espaço R3.
No espaço n-dimensional toda equação linear nas variáveis ou incógnitas x , x ... x , é da forma, em que:
a x + a x + a x + ... + a x + b,
em que: a , a , ... a são números reais denominados de coe�cientes das variáveis e b é denominado de termo independente.
Um Sistema Linear com m equações e n incógnitas é um conjunto de m equações lineares com n variáveis, representado por:
Por exemplo:
1 2 n
1 1 2 2 3 3 n n
1 2 n
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
.   + .   +. . .   . =a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
.   + .   +. . .   . =a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
.   + .   +. . .   . =am1 x1 am2 x2 amn xn bm
É um sistema linear nas variáveis x, y, z e w com duas equações e quatro incógnitas. Resolver o sistema é determinar os
valores das variáveis envolvidas que atendam simultaneamente a todas as equações.
{ 3x  +  2y  − w  =  1
−x  + 2z  +  4w  =  3
Forma matricial do problema
Todo sistema linear está associado a uma equação matricial conforme a descrição a seguir:
A matriz A é denominada de matriz dos coe�cientes, X é o vetor das incógnitas e B é o vetor dos termos independentes.
Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas �ca representado pela equação matricial AX = b.
Matriz ampliada do sistema
É obtida acrescentando-se a matriz dos coe�cientes uma coluna com os termos independentes.
Observe, a partir do exemplo anterior, a matriz ampliada do sistema:
A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
a11
a21
⋯
am1
a12
a22
⋯
am2
⋯
⋯
⋯
⋯
a1n
a2n
⋯
amn
b1
b2
⋯
bm
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
( )3
−1
2
0
0
2
−1
4
1
3
Forma Matricial do Sistema
Classi�ca-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações lineares pode ser
classi�cado como:
Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única solução;
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui in�nitas soluções;
Sistema Impossível (SI): não possui solução.
Teorema de Rouché-Capelli
A seguir apresentaremos o Teorema de Rouché-Capelli que nos fala sobre o tipo de solução (SPD, SPI ou SI) que um dado
sistema linear possui:
"Um Sistema Linear com m equações e n incógnitas possui solução se e somente o posto da matriz ampliada (P ) for igual
ao posto da matriz dos coe�cientes (P ), isto é,
p = p = p
1. Se p = n então, o sistema terá solução única (SPD).
2. Se p < n então, o sistema terá in�nitas soluções (SPI). Neste caso, para resolvê-lo, basta escolher (n – p) variáveis e
obter as outras p variáveis em função destas.”
a
C
a c
Atenção
Se o sistema linear não possui solução (SI).≠  pa pc
Exemplo
Para sua melhor compreensão, acesse um exemplo.
Método de eliminação de Gauss
Este método é um dos mais adotados devido ao menor número de operações elementares que envolve. Ele consiste em reduzir
a matriz ampliada do sistema, por operações elementares, a uma matriz que só difere da forma escalonada na seguinte
condição:
"Toda coluna que contiver o primeiro elemento não nulo de uma linha deve ter todos abaixo deste iguais a zero."
Após a redução da matriz ampliada a esta forma, a solução �nal do sistema é obtida por substituição.
Observe como �ca a resolução do sistema do exemplo se adotarmos o método de eliminação gaussiana:
 operações elementares 
O sistema equivalente é 
⎛
⎝
⎜
1
2
−1
1
−1
1
1
3
−5
1
0
2
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
1
0
0
1
1
0
1
− ( )1 3/
1
1
2 3/
− 1 2/
⎞
⎠
⎟
→
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
x  +  y  + z  =  1
y  −   z  =1
3
2
3
z =   − 1
2
javascript:void(0);
Após substituições obtemos a solução do sistema. A seguir apresentaremos mais alguns exemplos de discussão e resolução
de sistemas lineares:
Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4
Sistema Linear Homogêneo
É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero. O vetor dos termos independentes
b é o vetor nulo, isto é, o sistema é da forma:
Matricialmente, descrevemos um sistema homogêneo por:
AX = 0
Onde:
A é a matriz dos coe�cientes, X é o vetor de incógnitas e b é o vetor nulo.
Observe que, como p = p sempre um sistema homogêneo nunca será impossível pois sempre admitirá a solução trivial.
(x , x ,...x ) = (0, 0,...0)
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
.   + .   +. . .   . = 0a11 x1 a12 x2 a1n xn
.   + .   +. . .   . = 0a21 x1 a22 x2 a2n xn
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
.   + .   +. . .   . = 0am1 x1 am2 x2 amn xn
a c
1 2 n
No entanto, um sistema homogêneo pode ainda ser SPI (p = p < n), isto é, pode admitir outras soluções além da solução
trivial.
Neste caso, devemos estabelecer (n – p) variáveis livres e obter as outras p em função destas.
a c
Exemplo 5 Exemplo 6
javascript:void(0);
javascript:void(0);
javascript:void(0);
javascript:void(0);
javascript:void(0);
Resolução de sistemas utilizando inversão de matrizes
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com m = n, pode ser representado pela equação matricial
AX = b, sendo A a matriz dos coe�cientes (quadrada de ordem n).
Se a matriz A for inversível, isto é, se existir a matriz inversa A , signi�ca que o sistema é possível e determinado.-1
      A. X = b
⇒ (AX) = bA−1 A−1
⇒ ( A)X = bA−1 A−1
⇒  x = bIn A
−1
⇒ X = bA−1
Exemplo 7
Notas
Título modal 1
Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente
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Referências
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro, LTC; c1999.
BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3ª edição – Ed. Harbra – São
Paulo SP - 1989.
Próxima aula
Interpretação geométrica das soluções de um Sistema Linear;
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Regra de Cramer.
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