CL_CAP_3_2019_2

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1 
CAPÍTULO 3 
DESCREVENDO CIRCUITOS LÓGICOS 
• Na álgebra booleana as constantes e variáveis podem ter apenas dois valores 
possíveis: 0 ou 1. 
• As variáveis booleanas representam o nível de tensão presente em uma 
conexão ou em um terminal de entrada/saída. O nível de tensão em circuitos 
digitais é referido como valor lógico 0 ou 1. 
A tabela abaixo mostra alguns termos usados para esses níveis lógicos. 
 
 
 
 
 
 
 
•A álgebra booleana tem apenas três operações básicas: 
 OR (OU), AND (E) e NOT (NÃO) 
Estas operações básicas são denominadas operações lógicas. Elas são 
fisicamente realizadas por circuitos eletrônicos, chamados por circuitos lógicos 
(ou portas lógicas). 
3.1- Constantes e Variáveis Booleanas 
2 
Valor Valor 
 3.2-Tabela-verdade 
3 
• A tabela-verdade descreve como a saída de um circuito lógico depende dos níveis 
lógicos presentes nas entradas do circuito. 
• O número de combinações de entrada é igual a 2N para uma tabela-verdade de N 
entradas. A lista de todas as combinações possíveis é uma sequência de contagem 
binária, por isso é muito fácil preencher uma tabela sem esquecer nenhuma 
combinação. 
Exemplos: 
Tabela verdade segue a sequência de contagem binária 
20 21 22 23 
8 
8 
1 2 4 8 
4 
2 
saída 
 muda a cada contagem 
muda depois duas contagem 
muda depois de 4 contagens 
muda depois de 8 contagens 
4 
4 
4 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
21 20 
 muda a cada contagem 
 3.3- Operações OR (“OU”) e a Porta OR 
4 
Operação OR 
A expressão booleana para a operação OR é: x = A + B 
A expressão x = A + B é lida como “x é igual a A OR B”, o que significa que x será 1 
quando A ou B forem 1. 
Porta OR 
Símbolo padrão da porta OR Tabela-Verdade 
Símbolo alternativo da porta OR 
Uma porta OR é um circuito que tem duas ou mais entradas, cuja saída é igual à 
combinação OR das entradas. 
saída nível BAIXO quando todas as entrada for nível BAIXO. 
saída nível ALTO quando qualquer uma das entrada for nível ALTO. 
qualquer 
todas 
Porta OR de 3 entradas 
5 
A porta OR gera uma saída ALTA sempre que qualquer uma das entradas for 
ALTA. 
Sequência de contagem binária 
 ↓ 
6 
Exemplo 3.1- Exemplo do uso de uma porta OR em um sistema de alarme. 
VT > VTR → TH será nível ALTO 
VP > VPR → PH será nível ALTO 
As saídas dos dois comparadores são normalmente nível BAIXO. 
 3.4- Operação AND (“E”) e a Porta AND 
 A operação AND é similar a multiplicação convencional. 
 A operação E resulta 0 (zero) se pelo menos uma das variáveis de 
entrada for 0 (BAIXA) 
 A expressão booleana para a operação AND é: X = A • B = AB — Leia 
“X é igual a A e B ”. 
 
 
Tabela-Verdade 
Símbolo padrão da Porta AND 
7 
Porta AND 
Símbolo alternativo da porta AND 
Uma porta AND é um circuito que tem duas ou mais entradas, cuja saída é igual à 
combinação AND das entradas. 
saída nível BAIXO quando qualquer uma das entrada for nível BAIXO. 
saída nível ALTO quando todas as entrada for nível ALTO. 
todas 
qualquer 
Porta AND de 3 entradas 
8 
A porta AND gera uma saída ALTA somente quando todas as entradas 
forem ALTAS. 
todas 
3.5- OPERAÇÃO NOT (NÃO) ou INVERSÃO 
 A expressão booleana para a operação NOT: 
 É a operação cujo resultado é simplesmente o valor complementar ao que a 
variável apresenta. 
 O valor complementar será 1 se a variável vale 0 e será 0 se a variável vale 1. 
— Leia: X = A 
A' = A 
A barra superior 
representa a operação 
NOT. 
Outro indicador de 
inversão é o símbolo ('). 
Tabela-verdade NOT 
9 
A barra ou NÃO A 
 Também conhecido como complemento 
A 
X = A 
Circuito NOT (INVERSOR) 
Um circuito NOT é comumente chamado de INVERSOR. 
Esse circuito tem uma única entrada, e a lógica da saída é sempre 
oposta ao nível da lógica da entrada. 
10 
Símbolo padrão do INVERSOR Símbolo alternativo do INVERSOR 
↗ 
11 
Aplicação típica da porta NOT 
A 
Queremos saber se a chave não está fechada (botão não está pressionado); 
por isso, esse circuito fornece x verdadeiro quando isso ocorre. 
chave aberta (chave não fechada) → A = 0 → x = = 1 (verdadeiro) 
chave não aberta (chave fechada) → A = 1 → x = = 0 ( falso ) 
Ax 
A
A
Resumo das operações Booleanas 
 Regras resumidas para OR, AND e NOT 
12 
13 
3.6- DESCREVENDO CIRCUITOS LÓGICOS ALGEBRICAMENTE 
Precedência de operador 
Se uma expressão tiver operações AND e OR, a operação AND é realizada 
primeiro, a menos que existam parênteses na expressão. 
14 
Circuitos com INVERSORES lógicos 
15 
3.7- AVALIANDO AS SAÍDAS DOS CIRCUITOS LÓGICOS 
3.8- IMPLEMENTANDO CIRCUITOS A PARTIR DE EXPRESSÕES BOOLEANAS 
Estudar 
Estudar 
3.9- PORTAS NOR E PORTAS NAND 
 
 
 
16 
Tabela verdade 
Símbolo padrão da NOR 
 A porta NOR é uma porta OR invertida. 
 Expressão booleana 
Símbolo alternativo da NOR 
Porta NOR (NÃO OU) 
 A B 
 0 0 1 
 0 1 0 
 1 0 0 
 1 1 0 
BA
x A B 
saída nível ALTO quando todas as entrada for nível BAIXO. 
saída nível BAIXO quando qualquer uma das entrada for nível 
ALTO. 
todas 
qualquer 
Porta NAND (NÃO-E) 
 A porta NAND é uma porta AND invertida. 
 Expressão booleana 
17 
Símbolo padrão da NAND Tabela verdade 
Símbolo alternativo da NAND A B 
 0 0 1 
 0 1 1 
 1 0 1 
 1 1 0 
AB
x AB
saída nível ALTO quando qualquer uma das entrada for nível 
BAIXO. 
saída nível BAIXO quando todas as entrada for nível ALTO. 
todas 
qualquer 
3.10- TEOREMAS BOOLEANOS 
Os seguintes teoremas ajudam a simplificar expressões e circuitos lógicos. 
 x é uma variável lógica que pode ser 0 e 1. 
 Teoremas para uma única variável 
18 
Teoremas com mais de uma variável 
19 
Leis associativas 
Leis distributivas (podemos fatorar, colocar em evidência os 
termos comuns) 
Leis comutativas 
 (14) 
(15a) 
(15b) 
yxyxx 
yxxyx 
xxyx 
Os teoremas (14) e (15) não possuem equivalentes na álgebra comum. Cada 
um deles pode ser provado testando todos os casos possíveis para x e y. 
Demonstrando teoremas 
20 
 (14) 
(15a) 
(15b) 
yxyxx 
yxxyx 
xxyx 
21 
Usando a algebra booleana para provar o teorema (14) 
Testando todos os casos possíveis para provar o teorema (14) 
 
 
Tabela de análise para teorema (14) 
 Fatorando o teorema (14) 
21 
----------------------------------------------------------- 
(14) x + xy = x 
↑ ↑ 
X 
0 
0 
1 
1 
22 
Prove os teoremas 15a e 15b usando a álgebra booleana. 
yxyxx  yxxyx 15b) 15a) 
yxyx1.x 
 yx)1y(x
 yxxxy
 x)xx(y
yxx1.y 
 xy1.x
 xy)1y(x
 xyxyx
 x)xx(y
xyxy 1.
Solução: 
 
 
Problema 3.22 - pag. 96 
Prove os teoremas (15a) e (15b) testando todos os casos possíveis. Fazer 
x xy x y   x xy x y  15b) 15a) 
x = x.1 
1 = y +1 
x = x.1 
1 = y +1 
↓ ↓ 
↓ ↓ 
Exercício Extra 1 
 3.11- TEOREMAS DE DeMORGAN 
Teoremas de DeMorgan são extremamente úteis na simplificação de 
expressões em que uma soma ou o produto das variáveis é invertida. 
Cada um dos teoremas de DeMorgan pode ser facilmente comprovado por 
meio da verificação de todas as combinações possíveis de x e y (testando 
todos os casos possíveis). 
23 
Implicações dos teoremas de DeMorgan 
Símbolo alternativo da NOR 
24 
. .x y x y x y x y    
≡ 
Símbolo padrão da NOR 
yxyx .
Teorema (16) 
x xOnde: 
Símbolo alternativo da NAND 
25 
≡ 
Símbolo padrão da NAND 
yxxy 
.x y x y x y xy    
xy
Teorema (17) 
x xOnde: 
26 
≡ 
Símbolo alternativo da AND 
.x y x y xy  
Símbolo alternativo da OR 
≡ 
yxyxy.x 
Símbolo padrão da AND 
Símbolo padrão da OR 
.x y x y x y   
x 
y 
x 
y 
yxxyxy 
Símbolo padrão do INVERSOR Símbolo alternativodo INVERSOR 
xx x
x 
xy
yx  yx.
yx 
Usando os teoremas de DeMorgan podemos provar que o símbolo alternativo é 
equivalente ao símbolo padrão, onde pequeno círculo representa uma 
operação de inversão. 
3.12- UNIVERSALIDADE DAS PORTAS NAND E NOR 
 Portas NAND ou NOR podem ser usadas para implementar as três operações 
lógicas básicas: 
 OR , AND e NOT 
 Proporciona flexibilidade e é muito útil no projeto de circuitos lógicos. 
27 
→ 
28 
É possível implementar qualquer expressão lógica usando apenas portas 
NAND e nenhum outro tipo de porta, como mostrado. 
Universalidade da porta NAND 
BABABAx  .
ABABx 
.x A B A B A B    
Portas NOR podem ser organizadas para implementar cada uma das 
operações booleanas, como mostrado. 
Universalidade da porta NOR 
29 
ABBABAx  . . .x A B A B A B   
30 
Exemplo 3.18 - pag. 74 
Cada CI é quádruplo, significa que ele contém quatro portas lógicas idênticas em 
um chip. 
CDABx 
Circuito AND-OR 
OR 
AND 
31 
Elimina as portas 3 e 5 e as 4 e 6, duplas 
inversões. 
As portas NAND 3 e 5 estão conectadas 
como INVERSORES em série, realizando 
uma dupla inversão no sinal, portanto 
elas podem ser eliminadas do circuito. 
CDABCDABCDABx  .
Circuito NAND-NAND 
Circuito AND-OR 
↙5 ↙3 
32 
Problema 3.36 - 
Simplifique cada uma das seguintes expressões usando os teoremas de DeMorgan. 
(a) (c) (g) CBA CDAB DCBA )( 
(i) DCAB
Obs: Sempre comece quebrando a barra mais externa para simplificar as 
expressões. 
Barra mais externa 
↘ 
Barra mais externa 
↘ 
Barra mais externa 
↘ 
Barra mais externa 
↘ 
Resposta: (a) A B C  A B CD (c) 
A B C D  (g) (i) AC BC D 
33 
3.13- SIMBOLOGIA ALTERNATIVA PARA AS PORTAS LÓGICAS 
Para converter um símbolo-padrão em um símbolo alternativo, siga os 
seguintes passos: 
 inverta cada entrada e saída do símbolo-padrão. Isso é feito acrescentando 
círculos de inversão nas entradas e saída que não têm círculos, ou remova 
os círculos, caso existam. 
 
Os símbolos padrão e alternativo representam o mesmo circuito físico, para 
cada porta; não há diferenças nos circuitos representados pelos dois símbolos. 
Trocar o símbolo da operação é: 
 
Se o símbolo for troque por 
 
Se o símbolo for troque por 
 
 Figura 3.33- Símbolos-padrão e alternativos para as portas lógicas 
34 
Interpretação de símbolos lógicos 
35 
Cada um dos símbolos das portas lógicas gera uma única interpretação de 
como a porta opera. 
Antes de demonstrar essas interpretações , temos que entender o conceito 
de nível lógico ativo. 
Conceito de nível lógico ativo 
• Quando a linha de entrada ou de saída em um símbolo de um circuito lógico 
não tem um pequeno círculo, diz que ela é ativa-em-ALTO. 
• Quando a linha de entrada ou de saída em um símbolo de um circuito 
lógico tem um pequeno círculo, diz que ela é ativa-em-BAIXO. 
A ausência ou presença de um pequeno círculo determina o estado de 
ativação (ativa-em-ALTO / ativa-em-BAIXO) de entradas e saídas de um 
circuito, e isso é usado para interpretar a operação do circuito. 
Interpretação dos dois símbolos da porta AND 
A
B
A + B = A . B
Saída vai para o nível ALTO quando todas as 
entradas forem para o nível ALTO 
Saída vai para o nível BAIXO quando 
qualquer entrada for para o nível BAIXO. 
36 
Interpretação dos dois símbolos da porta OR 
qualquer , ou 
 todas, e 
ABx 
A 
B 
qualquer 
todas 
todas 
qualquer 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
 Quando um sinal de lógica está no estado ativo (que pode ser ALTO ou 
BAIXO), diz-se que está ativo ou acionado. 
 Quando um sinal de lógica está no estado inativo (que pode ser ALTO ou 
BAIXO) é dito ser inativo ou não acionado. 
A barra sobre um 
sinal significa ativo 
em BAIXO. 
 
 RD RD 
A ausência de uma 
barra significa ativo 
em ALTO. 
37 
Níveis de acionamento 
A ausência de um circulo em 
uma entrada ou saída 
também indica ativo ALTO 
A presença de um círculo 
em uma entrada ou saída 
também indica ativo BAIXO 
Identificando sinais lógicos ativos em nível BAIXO 
A barra sobre o nome é simplesmente um modo de frisar que esses 
sinais são ativos em nível BAIXO. Sempre vai existir um pequeno círculo 
para indicar ativo BAIXO. 
 Um sinal pode ter dois estados ativos, com uma função importante no estado 
ALTO e outra no estado BAIXO. 
 É costume rotular esses sinais para que ambos os estados ativos estejam 
aparentes. 
RD / WR 
Quando esse sinal está ALTO, realiza-se a operação ler (RD); 
 Quando é BAIXO, realiza-se a operação escrever (WR). 
Um exemplo comum é o sinal de ler / escrever 
38 
Identificando sinais de dois estados 
3.14- Que simbologia de porta lógica usar 
Circuito usando apenas símbolo NAND padrão. 
Esta representação não facilita a interpretação do 
circuito. 
Este diagrama deve ser usado quando a saída Z for ativa 
em nível ALTO. Esta representação facilita a 
interpretação do circuito. 
O uso adequado das simbologias das portas no diagrama de circuito pode tornar 
a interpretação do circuito muito mais clara. 
39 
Este diagrama deve ser usado quando a saída Z for ativa 
em nível BAIXO. Esta representação facilita a 
interpretação do circuito 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↓ 
↙ 
↙ 
↙ 
Circuito usando símbolos padrão e alternativo da NAND. 
Circuito usando símbolos padrão e alternativo da NAND. 
Sempre que possível, escolha símbolos de portas para que: 
• de acordo com o nível ativo desejado na saída, devemos primeiro escolher 
o símbolo que deve ser usado na porta de saída 
• entradas com círculos devem ser conectadas às saídas com círculos 
 
 
 
 
 
• entradas sem círculos devem ser conectadas às saídas sem círculos 
 
40 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
Como obter as representações equivales de circuitos lógicos 
↓ 
↓ 
↑ 
porta de saída, nível ativo desejado BAIXO 
↓ 
↑ 
↓ 
 porta de saída, nível ativo desejado ALTO 
 entrada sem círculo 
Primeiro símbolo a ser escolhido 
Primeiro símbolo a ser escolhido 
saída sem círculo 
 saída com círculo 
entrada com círculo 
O circuito lógico mostrado na Figura 3.37 ativa um alarme quando a saída Z 
for nível ALTO. Modifique o diagrama do circuito de modo que ele 
represente mais efetivamente sua operação. 
Exemplo 3.20: 
41 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
Figura 3.37 
42 
O circuito agora tem saídas sem círculos 
conectadas às entradas sem círculos. 
Como a saída Z é ativa em nível ALTO , portanto o símbolo padrão da AND 2 
não será substituído. O símbolo de porta NOR deve ser alterado para o 
símbolo alternativo (não possui círculo na saída) para ser conectado na 
entrada sem círculo da porta AND 2. O símbolo padrão da AND 1 não será 
trocado pelo o seu alternativo (não possui círculo na saída ) para ser 
conectado na outra entrada sem círculo da porta AND 2. 
↑ porta de saída, 
nível ativo 
desejado ALTO 
↓ 
↑ 
↓ 
↑ 
Solução: 
→ 
AND 2 
símbolo alternativo da NOR 
símbolo padrão da NOR 
AND 1 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
43 
Fig. 3.55 
Método de interpretação de símbolos lógicos Problema 3.35 
A saída do circuito da Figura 3.55 gera um sinal ativo em nível BAIXO para apenas 
uma combinação das entradas. 
 
(a) Modifique o diagrama do circuito de modo que ele represente mais 
efetivamente sua operação. 
 
(b) Use o novo diagrama do circuito para determinar a condição de entrada que 
ativará a saída. Faça isso analisando os níveis lógicos ativos das portas, no 
sentido da saída para a entrada, sem utilizar a equação booleana nem a tabela 
verdade. Mostre toda a sequencia de análise e conclua a resposta de forma 
sintetizada. 
44 
Solução: 
A
B
C
x
→ 
b) combinação de entrada que ativa a saída: 
a)x = 0 quando M = 1 e N =1 
 passagens M = 1 quando A = 0 e B = 0 
 N = 1 quando B = 0 e C=1 
 
resposta na forma sintetizada → x = 0 quando A = 0 e B = 0 e C=1 
M 
N ↑ 
 nível ativo 
BAIXO 
↓ 
↑ 
↓ 
↑ 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
conjunção 
45 
Fig. 3.37(b) 
Interpretação de símbolos lógicos 
(a) Determine as condições de entrada necessárias para ativar a saída Z na Figura 
3.37(b) . Faça isso analisando os níveis lógicos ativos das portas, no sentido da saída 
para a entrada, sem utilizar a equação booleana nem a tabela verdade. Mostre toda a 
sequencia de análise e conclua a resposta de forma sintetizada. 
 
(b) Admita que o estado BAIXO seja o estado ativo do alarme na saída Z. Modifique o 
diagrama do circuito para representar mais efetivamente sua operação. Use esse novo 
diagrama para determinar quais são os níveis lógicos ativos das entradas que ativam o 
alarme. Use o mesmo método do item (a). 
Problema 3.36 
46 
Solução: 
a) as condições de entrada necessárias para ativar a saída Z 
M 
N 
 z = 1 quando M = 1 e N =1 
 passagens M = 1 quando A = 0 e B = 0 
 N = 1 quando C = 1 e D =1 
 
resposta na forma sintetizada → Z = 1 quando A = 0 e B = 0 e C = 1 e D = 1 
↑ 
 nível ativo 
ALTO 
47 
Problema 3.38 , 3.39 e 3.40 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
A resposta deve ser dada em forma sintetizada, não em forma de tabela. 
↑ 
 nível ativo ALTO 
48 
Problema 3.41 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
Mostre toda a sequencia de análise e conclua a resposta de forma sintetizada. 
49 
Prob. 3.41 
(a) Determine as condições de entrada necessárias para ligar o LED. 
Solução: análise usando apenas os níveis lógicos ativo indicados pelos símbolos das portas 
LUZ =0 quando M=1 ou N=1 
M=1 quando A=1 e B=1 
N=1 quando A=0 e B=0 
M 
N 
(b) Verifique se o circuito funciona como um interruptor two-way (interruptores A e B). 
Solução: A B LUZ 
 0 0 0 (Led ligado) 
 0 1 1 (Led desligado) 
 1 0 1 (Led desligado 
 1 1 0 (Led ligado) 
↑ 
Os interruptores A e B acendem ou 
apagam o LED, independentemente 
das suas posições. 
↑resposta na forma sintetizada 
LUZ 
passagens 
Portanto: 
LUZ = 0 quando A=1 e B=1 ou A=0 e B=0 
Mostre toda a sequencia de análise e conclua a resposta de forma sintetizada. 
50 
Problema 3.37 
Modifique o circuito da Figura 3.40 de modo que seja necessário fazer A1 = 0 para 
produzir LCD = 1 em vez de A1 = 1. 
51 
Exercício Extra 1 (Exemplo 3.23) 
 
Determine as condições de entrada necessárias para ativar a saída LCD do 
circuito da Figura E1. Faça isso analisando os níveis lógicos ativos das portas, 
no sentido da saída para a entrada, sem utilizar a equação booleana nem a 
tabela verdade. Mostre toda a sequencia de análise e conclua a resposta de 
forma sintetizada. 
A0
A4
A3
A2
A1
IN
OUT
LCD
Figura E1 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
52 
A
B
C
D
E
Z
Figura E2 
Exercício Extra 2 (Exemplo 3.21) 
Método de interpretação de símbolos lógicos 
(a) Quando a saída do circuito lógico da Figura P1 for nível BAIXO, ativará um 
outro circuito lógico. Modifique o diagrama do circuito para representar 
mais efetivamente sua operação. 
 (b) Use o novo diagrama do circuito para determinar as condições de 
entrada necessárias para ativar a saída. Faça isso analisando os níveis 
lógicos ativos das portas, no sentido da saída para a entrada, sem utilizar a 
equação booleana nem a tabela verdade. Mostre toda a sequencia de 
análise e conclua a resposta de forma sintetizada. 
 O atraso de propagação (tp) é o tempo que um circuito leva para produzir 
uma saída após receber uma entrada. 
 A velocidade de um circuito lógico está relacionada ao atraso da 
propagação. 
53 
3.15- Atraso de Propagação - 11a Edição 
tPLH – tempo de propagação de BAIXO para ALTO 
tPHL – tempo de propagação de ALTO para BAIXO 
tPLH ≠ tPHL 
2
PHLPLH
P
tt
t


54 
Problema 3.32 - fazer 
3.16- RESUMO DOS MÉTODOS PARA DESCREVER CIRCUITOS LÓGICOS 
Estudar seção 3.16 
55 
Lista de Exercícios do Capítulo 3 - 11ª Edição 
SEÇÃO EXEMPLOS PROBLEMAS 
Introdução 
3.1 
3.2 
3.3 3.1, 3.2, 3.3A e 3.3B 3.1 a 3.5 
3.4 3.4, 3.5A e 3.5B 3.6 a 3.10 
3.5 Aplicação 3.1 3. 3.15 
3.6 
3.7 3.6 
3.8 3.7 3.16 
3.9 3.8 a 3.12 3.17 a 3.21 
3.10 3.13 a 3.15 3.22, 3.23, 3.24 
3.11 3.16, 3.17 3.25 a 3.32 
3.12 3.18 
3.13 3.19 3.33 a 3.41 
3.14 3.20, a 3.23 
3.15 3.42 
3.16 3.24 3.47 
Esses são os exercícios mínimos recomendados dos Capítulos 3 
56 
Lista de Exercícios do Capítulo 3 - 10ª Edição 
SEÇÃO EXEMPLOS PROBLEMAS 
Introdução 
3.1 
3.2 
3.3 3.1, 3.2, 3.3A, 3.3B 3.1 a 3.5 
3.4 3.4, 3.5A, 3.5B 3.6 a 3.10 
3.5 Aplicação 3.1 3.11 a 3.15 
3.6 
3.7 3.6 
3.8 3.7 3.16 a 3.21 
3.9 3.8 a 3.12 
3.10 3.13, 3.14, 3.15 3.22, 3.23, 3.24 
3.11 3.16, 3.17 3.25 a 3.32 
3.12 3.18 
3.13 3.19 3.33 a 3.41 
3.14 3.20, 3.21, 3.22, 3.23 
3.15 3.42 
3.16 
Esses são os exercícios mínimos recomendados dos Capítulos 3 
---------------------------------------------------------------------