CALCULO 2

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Aula 10 – A Regra da Cadeia ou a arte de derivar Objetivos • Usar a Regra da Cadeia, no caso das fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. • Conhecer uma aplica¸c˜ao da Regra da Cadeia – uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do vetor gradiente. Motiva¸c˜ao E comum ouvir dos alunos com alguma experiˆ ´ encia com os conte´udos ensinados nos cursos de C´alculo que derivar ´e mais f´acil do que integrar. Seja l´a qual for a sua opini˜ao a esse respeito, ´e fato que toda a arte de derivar resume-se em aplicar a Regra da Cadeia. Ela nos indica como derivar composi¸c˜oes de fun¸c˜oes. Vamos a um exemplo. Exemplo 10.1 A fun¸c˜ao f(t) = sen (t 2 + t) ´e a composi¸c˜ao da fun¸c˜ao g(x) = sen x com a fun¸c˜ao h(t) = t 2 + t. Isto ´e, f(t) = g ◦ h(t) = g(h(t)) = sen (t 2 + t). A Regra da Cadeia afirma: se h ´e diferenci´avel no ponto t e g ´e diferenci´avel no ponto h(t), ent˜ao f = g ◦ h ´e diferenci´avel no ponto t e f (t) = g (h(t))h (t). Assim, f (t) = [cos(t 2 + t)](2t + 1) = (2t + 1) cos(t 2 + t). Veja, g (x) = cos x e, portanto, g (h(t)) = g (t 2 + t) = cos(t 2 + t). Neste momento, espera-se que vocˆe seja capaz de derivar fun¸c˜oes de uma vari´avel com desenvoltura. Aqui est˜ao alguns exemplos para vocˆe testar as suas habilidades e praticar um pouco. 105 CEDERJ A Regra da Cadeia ou a artede derivar Exerc´ıcio 1 Calcule as derivadas das seguintes fun¸c˜oes: (a) f(x)=(x2 + 2x + 4)1/3; (b) g(x) = sen x e2x ; (c) h(t) = arctg (t 3); (d) k(t) = ln (t 3 + 4). Confira as suas respostas com as solu¸c˜oes apresentadas no fim da aula, junto com os exerc´ıcios propostos. Nesta aula, vocˆe aprender´a a usar a Regra da Cadeia para derivar fun¸c˜oes cujas compostas envolvam, tamb´em, fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. Antes de prosseguirmos nessa dire¸c˜ao, no entanto, vamos lembrar uma outra nota¸c˜ao usada para representar as derivadas. A nota¸c˜ao dy dx As nota¸c˜oes desempenham papel importante na Matem´atica. Podemos afirmar, com seguran¸ca, que muitos problemas matem´aticos s´o foram resolvidos depois que foram encontradas nota¸c˜oes adequadas para que eles fossem claramente formulados. Basta pensar, por exemplo, na maneira como denotamos os n´umeros. Os algarismos indo-ar´abicos se impuseram no lugar dos algarismos romanos por serem mais f´aceis de lidar, formando um sistema posicional, com um s´ımbolo para representar o zero. No caso das fun¸c˜oes, uma nota¸c˜ao muito usada ´e a das vari´aveis dependentes e independentes. Veja como ela funciona no caso do exemplo j´a citado. Exemplo 10.1 (Revisitado) As equa¸c˜oes y = sen x e x = t 2 + t definem y como uma fun¸c˜ao de x e, por sua vez, x como uma fun¸c˜ao de t. Para refor¸car isso, em algumas situa¸c˜oes usamos a nota¸c˜ao y(x) = sen x e x(t) = t 2 + t. Veja, a primeira equa¸c˜ao estabelece y como vari´avel dependente de x, que ´e, nesse caso, a vari´avel independente. A segunda equa¸c˜ao, x = t 2 + t, estabelece x como vari´avel dependente de t. Usando essa nota¸c˜ao, compor fun¸c˜oes significa substituir x por t 2 +t, CEDERJ 106 A Regra da Cadeia ou a artede derivar MODULO 1 – AULA 10 ´ e y passa a ser visto como uma fun¸c˜ao de t: y = sen (t 2 + t). A nota¸c˜ao ´e conveniente mas demanda aten¸c˜ao. Veja como fica a Regra da Cadeia nesse contexto: se y ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel de x e x ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel de t, no dom´ınio onde y pode ser colocado como fun¸c˜ao de t, y ser´a diferenci´avel e dy dt = dy dx dx dt . Uma das vantagens dessa nota¸c˜ao ´e a sua compacidade. Por exemplo, ela ´e muito usada no caso das fun¸c˜oes definidas implicitamente por dadas equa¸c˜oes. Al´em disso, ela sugere que a vari´avel x est´a sendo suprimida do processo, lembrando uma simplifica¸c˜ao. Veja o caso em quest˜ao: y = sen x e x = t 2 + t. Ent˜ao, dy dx = cos x e dx dt = 2t + 1. Aplicando a f´ormula, temos: dy dt = dy dx dx dt = (sen x) (2t + 1) = (2t + 1) sen (t 2 + t). Veja, precisamos lembrar que x est´a sendo substitu´ıdo por t 2 + t, seu valor em termos de t. Na verdade, podemos usar duas vers˜oes da f´ormula: (a) forma compacta: dy dt = dy dx dx dt ; (b) forma estendida: dy dt(t) = dy dx(x(t)) dx dt (t). Pratique o uso dessa nota¸c˜ao fazendo o exerc´ıcio a seguir. Exerc´ıcio 2 Seja y = x cos(x2) e x = √π t3. (a) Escreva as f´ormulas para dy dx e dx dt . (b) Use a Regra da Cadeia para calcular dy dt. Calcule dy dt(1). (c) Calcule a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de y(t) no ponto (1, −√π). 107 CEDERJ A Regra da Cadeia ou a artede derivar Fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis Agora est´a na hora de aprender a derivar composi¸c˜oes que envolvam fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. A situa¸c˜ao t´ıpica ´e a seguinte: seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis, diferenci´avel, e seja α : I ⊂ lR −→ lR 2 uma curva diferenci´avel, tal que α(I) ⊂ A. A composi¸c˜ao f ◦ α : I ⊂ lR −→ lR ser´a uma fun¸c˜ao diferenci´avel, como provaremos em breve. Al´em disso, expressaremos a derivada dessa composi¸c˜ao em termos das derivadas de f e de α. Veja um diagrama da composi¸c˜ao: ✻ ✻ ✲ ✻ ✲ f ◦ α α−→ f −→ Antes de mais nada, veja um exemplo. Exemplo 10.2 Seja f(x, y) = x2 − y2 + 2xy e α(t)=(et , e−2t ). Nesse caso, a composi¸c˜ao g(t) = f ◦ α (t) pode ser explicitamente calculada: g(t) = e2t − e−4t + 2 e−t . E claro que, dispondo da f´ ´ ormula de defini¸c˜ao, podemos derivar a fun¸c˜ao g diretamente: g (t) = dg dt(t)=2 e2t + 4 e−4t − 2 e−t . Para chegar a esse resultado, usando as fun¸c˜oes f e α, devemos dispor do gradiente de f e da fun¸c˜ao derivada de α: ∇f(x, y) = (2x + 2y, −2y + 2x) = 2(x + y, x − y); α (t)=(et , −2 e−2t ). A f´ormula que combina esses elementos, que define a Regra da Cadeia, nesse caso, ´e a seguinte: CEDERJ 108 A Regra da Cadeia ou a artede derivar MODULO 1 – AULA 10 ´ g (t) = dg dt(t) = ∇f(α(t)) · α (t), onde o pontinho representa o produto interno (ou escalar) do vetor gradiente de f pelo vetor α (t). Veja como ela se aplica no exemplo em quest˜ao: g (t) = 2(x + y, x − y) · (et , −2 e−2t ) = = 2(et + e−2t , et − e−2t ) · (et , −2 e−2t ) = = 2 
 et et + e−2t et + et (−2 e−2t ) − e−2t (−2 e−2t ) = = 2 e2t + 2 e−t − 4 e−t + 4 e−4t = = 2 e2t − 2 e−t + 4 e4t . Vocˆe deve estar atento e se lembrar de que, na composi¸c˜ao f ◦ α (t), devemos substituir x por et e y por e−2t . Quando nos deparamos com uma f´ormula como essa, ´e quase imposs´ıvel evitar a pergunta: como algu´em consegue chegar a algo assim? Bem, para certas perguntas, n˜ao h´a resposta curta e simples. Definitivamente, os exemplos cumprem um papel fundamental na indica¸c˜ao dos caminhos corretos a serem seguidos. Em contrapartida, n˜ao podemos nos furtar a comparar com a f´ormula j´a conhecida, f (t) = g (h(t)) h (t), em que o produto de n´umeros foi substitu´ıdo pelo produto interno dos vetores. Antes do fim dos cursos de C´alculo, vocˆe voltar´a a ouvir mais sobre esse tema. Muito bem; antes de ver a apresenta¸c˜ao da teoria que comprovar´a a f´ormula anterior, tente aplic´a-la no exerc´ıcio a seguir. Exerc´ıcio 3 Sejam f(x, y) = cos(xy) e α(t)=(t+ 1, 2t−1). Calcule a derivada da fun¸c˜ao composta g(t) = f ◦ α (t) de ambas as maneiras: usando a f´ormula da Regra da Cadeia e diretamente, ap´os o c´alculo da lei de defini¸c˜ao de g. A Regra da Cadeia Teorema 10.1 (Regra da Cadeia) Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR uma fun¸c˜ao diferenci´avel no ponto (a, b) ∈ A, um aberto de lR 2, e seja α : I ⊂ lR −→ lR 2 uma fun¸c˜ao vetorial definida no intervalo aberto I ⊂ lR , tal que α(c)=(a, b), α(I) ⊂ A, e α diferenci´avel 109 CEDERJ A Regra da Cadeia ou a artede derivar