Cap 14 - Cisalhamento - Torção

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ESTRUTURAS DE CONCRETO – CAPÍTULO 14 
Libânio M. Pinheiro, Juliana S. Lima, Mônica C.C. da Guarda, Winston Zumaeta, 
Artur L. Sartorti 
Março de 2016 
TORÇÃO 
1. GENERALIDADES 
O fenômeno da torção em vigas vem sendo estudado há algum tempo, com 
base nos conceitos fundamentais da Resistência dos Materiais e da Teoria da 
Elasticidade. Vários pesquisadores já se dedicaram à compreensão dos tipos de 
torção, à análise da distribuição das tensões cisalhantes em cada um deles, e, 
finalmente, à proposição de verificações que permitam estimar resistências para as 
peças e impedir sua ruína. 
Apesar dos primeiros estudos sobre torção serem atribuídos a Coulomb, as 
contribuições de Saint-Venant (aplicação da torção livre em seção qualquer) e 
Prandlt (utilização da analogia de membrana) é que impulsionaram a solução para o 
problema da torção. No caso específico de análise de peças de concreto, foi a partir 
de Bredt (teoria dos tubos de paredes finas) que o fluxo das tensões foi 
compreendido. Na parte experimental, podem-se destacar os estudos de Mörsch, 
Thürlimann e Lampert, fundamentais para o conhecimento do comportamento 
mecânico de vigas submetidas à torção. 
Em geral, os estudos sobre torção desconsideram a restrição ao 
empenamento, como nas hipóteses de Saint-Venant, mas, na prática, as próprias 
regiões de apoio (pilares ou outras vigas) tornam praticamente impossível o livre 
empenamento. Como consequência, surgem tensões normais (de coação) no eixo 
da peça e há uma redução da tensão cisalhante. Esse efeito pode ser 
desconsiderado no dimensionamento das seções mais usuais de concreto armado 
(perfis maciços ou fechados, nos quais a rigidez à torção é alta), uma vez que as 
tensões de coação tendem a cair bastante com a fissuração da peça, e o restante 
passa a ser resistido apenas pelas armaduras mínimas. Assim, os princípios básicos 
de dimensionamento propostos para a torção clássica de Saint-Venant continuam 
adequados, com uma certa aproximação, para várias situações práticas. No caso de 
seções delgadas, entretanto, a influência do empenamento pode ser considerável, e 
para o dimensionamento devem ser utilizadas as hipóteses da flexo-torção de 
Vlassov. Um método simplificado é apresentado na ABNT NBR 6118:2014, mas não 
será objeto de análise deste trabalho. 
O dimensionamento à torção baseia-se nas mesmas condições dos demais 
esforços: enquanto o concreto resiste às tensões de compressão, as tensões de 
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14.2 
tração devem ser absorvidas pela armadura. A distribuição dos esforços pode ser 
feita de diversas formas, a depender da teoria e do modelo adotado. 
A teoria que é mais amplamente aceita para a distribuição das tensões 
decorrentes da torção é a da treliça espacial generalizada, na qual se baseiam as 
formulações das principais normas internacionais. A filosofia desse método é a 
idealização da peça como uma treliça, cujas tensões de compressão causadas pelo 
momento torçor serão resistidas por bielas comprimidas (concreto), e as de tração, 
por diagonais tracionadas (armaduras). 
Vale a lembrança de que não é todo tipo de momento torçor que precisa ser 
considerado para o dimensionamento das vigas. A chamada torção de 
compatibilidade, resultante do impedimento à deformação, pode ser desprezada, 
desde que a peça tenha capacidade de adaptação plástica. Em outras palavras, 
com a fissuração da peça, sua rigidez à torção cai significativamente, reduzindo 
também o valor do momento atuante. É o que ocorre em vigas de borda, que 
tendem a girar por conta do engastamento na laje e são impedidas pela rigidez dos 
pilares. Por outro lado, se a chamada torção de equilíbrio, que é a resultante da 
própria condição de equilíbrio da estrutura, não for considerada no dimensionamento 
de uma peça, pode ocorrer sua ruína. É o caso de vigas-balcão e de algumas 
marquises. 
A seguir, será apresentada uma síntese dos conceitos que fundamentam os 
critérios de dimensionamento à torção, relacionados com a ABNT NBR 6118:2014. 
2. TEORIA DE BREDT 
A partir dos estudos de Bredt, percebeu-se que quando o concreto fissura 
(Estádio II), seu comportamento à torção é equivalente ao de peças ocas (tubos) de 
paredes finas ainda não fissuradas - Estádio I (figura 1c). Essa afirmativa é 
respaldada na própria distribuição das tensões tangenciais provocadas por 
momentos torçores (figura 1b), as quais, na maioria das seções, são nulas no centro 
e máximas nas extremidades. 
 
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14.3 
 
Figura 1 - Tubo de paredes finas 
A partir dos conceitos de Resistência dos Materiais, pode-se chegar à 
chamada primeira fórmula de Bredt, dada por: 
𝜏𝑐 =
𝑇
2 ∙ 𝐴𝑒 ∙ 𝑡
 (1) 
𝜏𝑐 é a tensão tangencial na parede, provocada pelo momento torçor; 
𝑇 é o momento torçor atuante; 
𝐴𝑒 é a área delimitada pela linha média da parede da seção equivalente; 
𝑡 é a espessura da parede equivalente. 
3. TRELIÇA ESPACIAL GENERALIZADA 
O modelo da treliça espacial generalizada que é adotado para os estudos de 
torção tem origem na treliça clássica idealizada por Ritter e Mörsch para 
cisalhamento, e foi desenvolvido por Thürlimann e Lampert. Essa treliça espacial é 
composta por quatro treliças planas na periferia da peça (tubo de paredes finas da 
Teoria de Bredt), sendo as tensões de compressão absorvidas por barras (bielas) 
que fazem um ângulo  com o eixo da peça, e as tensões de tração absorvidas por 
barras decompostas na direção longitudinal (armação longitudinal) e na transversal 
(estribos a 90o). Pode-se observar que a concepção desse modelo baseia-se na 
própria trajetória das tensões principais de peças submetidas à torção (figura 2). 
 
 
Figura 2 - Trajetória das tensões principais provocadas por torção 
T
(a) (c)
t
Aec
(b)
c
T T x
I
I
II
II
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14.4 
Apenas para a apresentação das expressões que regem o dimensionamento, 
será considerada uma seção quadrada com armadura longitudinal formada por 
quatro barras, uma em cada canto da seção, e armadura transversal formada por 
estribos a 90o (figura 3). 
3.1 Biela de concreto 
 Como o momento atuante deve igualar o resistente, tem-se, no plano ABCD: 
dd Tθsen C2   (2) 
θsen 2
T
C dd


 (3) 
 
Figura 3 - Treliça espacial generalizada 
 
 Sendo cd o valor de cálculo da tensão de compressão, e observando que a 
força Cd atua sobre uma área dada por ty  , tem-se: 
= inclinação
da biela cotg 
Bielas
comprimidas
Estribo
Barras 
Longitudinais

A
B
C
D
 cotg 


 cotg 
 cotg 
y
y
Y
X
Z
T
PLANO ABCD
Rd
Rwd
dCA
C send
C send
C sen
d
C send
NÓ A


dC
wdR
dR
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14.5 
θsen 2
T
ty dcd


 
θsen ty2
Td
cd



 (4) 
Mas 
θ cosy   (5) 
2
eA  (6) 
Logo 
θ sen2tA
T
e
d
cd


 (7) 
Nas bielas comprimidas, a tensão resistente é menor que o valor de fcd. 
Dentre as várias razões, pode-se citar a existência de tensões transversais (que não 
são consideradas no modelo e interferem no estado de tensões da região), e a 
abertura de fissuras da peça. Assim: 
cdvcd f 25,0  (8) 
fcd é a resistência de cálculo do concreto à compressão; 
v2 é o coeficiente de efetividade do concreto, dado por: 







250
12
ck
v
f
 (MPa) (9) 
3.2 Armadura longitudinal 
Para o equilíbrio de forças na direção X, 
θ cosC4R4 dd   (10) 
Como 
ywdsod fAR  
onde: 
Aso é a área de uma das barras longitudinais; 
fywd é a tensão de escoamento do aço, com seus valores de cálculo, e, 
sos A4A  
utilizando-se a eq.(3), a eq.(10) pode ser escrita como: 
θ cotg
T2
fA dywds 



 
Distribuindo a armação de forma uniforme em todo o contorno  4u , para 
reduzir a possibilidade de abertura de fissuras nas faces da viga, e levando em 
conta a eq.(6), tem-se: 
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14.6 
θ cotg
u
T2
f
u
A d
ywd
s 









 
θ cotg
fA2
T
u
A
ywde
ds 






  (11) 
3.3 Estribos 
 Para o equilíbrio das forças do nó A, na direção Z, 
θsen CR dwd  (12) 
Mas 
ywd90wd fA
s
 cotg
R 



 
onde: 
s é o espaçamento longitudinal dos estribos; 
s
 cotg 
 é o número de estribos concentrados na área de influência do nó A. 
Substituindo na eq.(12), considerando da eq.(2): 




sen 
sen 2
T
fA
s
 cotg d
ywd90


 
Substituindo a eq. (6) e rearrumando: 


 gt
fA2
T
s
A
ywde
d90 (13) 
3.4 Torçor resistente 
Para determinação do momento torçor resistente de uma seção já 
dimensionada, pode-se rearrumar a eq.(11), 








u
A
 fA2
T
θ tg
s
ywde
d

 
que fornece a inclinação da biela comprimida, e substituí-la na eq.(13), resultando: 
 2ywde
2
ds90
fA2
T
u
A
 
s
A












  













u
A
 
s
A
fA2T s90ywded
 (14) 
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14.7 
4. INTERAÇÃO DE TORÇÃO, CISALHAMENTO E FLEXÃO 
Boa parte dos estudos de torção é relativa a torção pura, isto é, aquela 
decorrente da aplicação exclusiva de um momento torçor em uma viga. Essa 
situação, entretanto, não é usual. A grande maioria das vigas com torção também 
está submetida a forças cortantes e momentos fletores, o que dá origem a um 
estado de tensões mais complexo e mais difícil de ser analisado. 
A experiência vem demonstrando que, de uma maneira geral, a filosofia e os 
princípios básicos de dimensionamento propostos para a torção simples também 
são adequados, com certa aproximação, para solicitações compostas. 
Por isso, em geral, o procedimento adotado para o dimensionamento a 
solicitações compostas é a simples superposição dos resultados obtidos para cada 
um dos esforços solicitantes separadamente, que se mostra a favor da segurança. 
Por exemplo, a armadura de tração prevista pela torção que estiver na parte 
comprimida pela flexão poderia ser reduzida, se fosse considerado o alívio sofrido 
por sua resultante (de tração) nessa região. Ou ainda, como em uma das faces 
laterais da peça as diagonais solicitadas pela torção e pelo cisalhamento são 
opostas, poderia ser considerado o alívio na resultante de tração no estribo, e 
consequentemente, reduzir-se sua área. 
Evidentemente, na face lateral oposta, as diagonais têm a mesma direção, e a 
armação necessária vem da somatória daquelas calculadas para cada um dos dois 
esforços separadamente. E para a verificação da tensão na biela comprimida desta 
face, não bastará se observar o comportamento das resultantes relativas à torção e 
ao cisalhamento separadamente – surge a necessidade de uma nova verificação, 
que considere a interação delas. 
Na figura 4, apresenta-se uma superfície que mostra a interação dos três 
tipos de esforços, com base em resultados experimentais. Qualquer ponto interior a 
essa superfície indica que a verificação da tensão na biela foi atendida. 
Pode-se observar que, para uma mesma relação 
ult
sd
V
V
, o momento torçor 
resistente diminui com o aumento da relação 
ult
sd
M
M
. 
Cabe a ressalva de que a superposição dos efeitos das treliças de 
cisalhamento e de torção só estará coerente se a inclinação da biela comprimida for 
adotada a mesma nos dois casos. 
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14.8 
 
Figura 4 - Diagrama de interação 
5. DIMENSIONAMENTO À TORÇÃO SEGUNDO A ABNT NBR 6118:2014 
Com relação a versão da 6118 de 1978, a versão de 2003 tratava o modelo 
adotado para torção nos termos da treliça espacial generalizada, descrito 
anteriormente, e não mais a treliça clássica. Esta situação continua na versão de 
2014. 
Dessa forma, o projetista tem a possibilidade de determinar a inclinação da 
biela comprimida, com mais liberdade para trabalhar o arranjo das armaduras, 
realizando um dimensionamento totalmente compatível com o cisalhamento. 
Ocorreram alterações na determinação da seção vazada equivalente e nas 
verificações a serem realizadas para o dimensionamento, sendo estas agora 
escritas em termos de momentos torçores, e não mais em termos de tensões. Dessa 
forma, acredita-se que o processo de dimensionamento torna-se mais coerente, 
inclusive com a tendência das normas internacionais. 
As taxas mínimas e os espaçamentos também foram modificados em relação 
à flexão e ao cisalhamento isoladamente. Para a torção, as prescrições são 
descritas a seguir. 
5.1 Torção de compatibilidade 
Como já foi comentado, apenas a torção de equilíbrio precisa ser considerada 
no dimensionamento de vigas. A torção de compatibilidade pode ser desprezada, 
desde que sejam respeitados os limites de armadura mínima de cisalhamento, e: 
2,Rdsd V7,0V  (15) 
sendo: 
 sen227,0 22,  dbfV wcdvRd (16) 
já para estribos a 90o em relação ao eixo da peça. 
T
T
1
1
1
0,3
1
1
1
0,5 a 0,6
sd
ult
ult
V
V
sd
ult
M
M
sd
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14.9 
Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito a torção seja menor ou 
igual a 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, 
deve-se respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que: 
2,Rdsd V7,0V  . 
 
5.2 Determinação da seção vazada equivalente 
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, ficam definidos os seguintes critérios: 
ℎ𝑒 ≤
𝐴
𝑢
 (17) 
 
ℎ𝑒 ≥ 2 ∙ 𝐶1 (18) 
onde: 
ℎ𝑒 é a espessura da parede da seção equivalente; 
𝐴 é a área da seção cheia; 
𝑢 é o perímetro da seção cheia. 
 
nomt cc  

2
1
 (19) 
sendo: 
 o diâmetro da armadura longitudinal; 
t o diâmetro da armadura transversal; 
cnom o cobrimento nominal da armadura. 
Caso A/u resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = A/u ≤ bw-2c1 e a 
superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras 
do canto (respeitando o cobrimento exigido nos estribos). 
 
5.3 Definição da inclinação da biela comprimida 
Assim como no cisalhamento, a inclinação da biela θ deve estar 
compreendida entre 30o e 45o, sendo que o valor adotado deve ser o mesmo para 
as duas verificações. 
5.4 Verificação da biela comprimida 
Para se assegurar o não esmagamento da biela comprimida na torção pura, a 
ABNT NBR 6118:2014 exige a verificação da seguinte condição: 
2,Rdsd TT  (20) 
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14.10 
sendo TRd,2 o momento torçor que pode ser resistido pela biela. Este momento torçor 
pode ser obtido pela substituição da eq. (8) na eq.(7), que, rearrumada, fornece: 
θ sen25,0 22,  eecdvRd hAfT  (21) 
)250/1(2 ckv f ckf em MPa 
5.5 Verificação da tensão na biela comprimida para solicitações combinadas 
A ABNT NBR 6118:2014 menciona que, no caso de torção e cisalhamento, 
deve ser obedecida a seguinte verificação: 
1
T
T
V
V
2,Rd
sd
2,Rd`
sd  (22) 
Observa-se que essa expressão linear (figura 5) fornece resultados 
conservadores em relação àqueles esboçados na figura 4. No EUROCODE 2 
(1992), por exemplo, a expressão equivalente à eq.(22) é de segundo grau. 
Observa-se ainda, também com base na figura 4, que a eq.(22) só se mostra 
adequada para situações em que o momento fletor de cálculo não ultrapassacerca 
de 50 a 60% do momento último da seção, apesar da ABNT NBR 6118:2014 não 
apresentar comentários a respeito disso. 
 
Figura 5 - Diagrama de interação torção versus cortante, segundo a 
ABNT NBR 6118:2014 
5.6 Determinação da armadura longitudinal 
Deve ser verificada a seguinte condição: 
4,Rdsd TT  (23) 
sendo TRd,4 o momento torçor que pode ser resistido pela armadura longitudinal, 
dado por: 
θ tg24, 





 ywde
e
s
Rd fA
u
A
T  (24) 
T
1
1
Rd,2
sd
T
VRd,2
Vsd
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14.11 
que é decorrente da eq.(11), lembrando que ue é o perímetro da seção equivalente 
Ae. 
A armadura longitudinal de torção, de área total sA , pode ter arranjo 
distribuído ou concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação 
uAs  / , onde u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada 
barra ou feixe de barras de área sA . 
Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser 
colocada pelo menos uma barra longitudinal. 
5.7 Determinação dos estribos 
Deve ser verificada a seguinte condição: 
3,Rdsd TT  (25) 
sendo TRd,3 o momento torçor que pode ser resistido pelos estribos, dado por: 
θ tg2903, cofA
s
A
T ywdeRd 





 (26) 
que é obtida a partir da eq.(13). Estes estribos estão à 90°. Nas verificações dos 
itens 5.6 e 5.7 MPaf ywd 435 . 
5.8 Armadura longitudinal e estribos para solicitações combinadas 
No banzo tracionado pela flexão, somam-se as armaduras longitudinais de 
flexão e de torção. A armadura transversal total também deve ser obtida pela soma 
das armaduras de cisalhamento e de torção. 
No banzo comprimido, pode-se reduzir a armadura de torção, devido aos 
esforços de compressão do concreto na espessura he e comprimento u 
correspondente à barra considerada. Salienta-se que esta redução as vezes é 
inviável e pode conduzir a erros de execução. 
5.9 Verificação da taxa de armadura mínima 
A taxa de armadura mínima, como se sabe, vem da necessidade de se 
garantir a ductilidade da peça e melhorar a distribuição das fissuras. A 
ABNT NBR 6118:2014 é coerente ao considerar que há influência da resistência 
característica do concreto. Essa taxa é dada por: 
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14.12 
MPaf
f
f
sb
A
uh
A
ywk
ywk
ctm
w
sw
sw
ee
s
s
500 com ,2,0 












 
 (27) 
A Tabela 1 apresenta os valores de 
míns , e mínsw, . 
Tabela 1 – Valores de 
míns , e mínsw, (%) 
Aço 
Concreto 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55 C60 C65 C70 C75 C80 C85 C90 
CA-25 0,177 0,205 0,232 0,257 0,281 0,304 0,326 0,331 0,344 0,356 0,367 0,377 0,387 0,396 0,405 
CA-50 0,088 0,103 0,116 0,128 0,140 0,152 0,163 0,166 0,172 0,178 0,183 0,189 0,194 0,198 0,203 
CA-60 0,074 0,085 0,097 0,107 0,117 0,127 0,136 0,138 0,143 0,148 0,153 0,157 0,161 0,165 0,169 
 
6. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
Apenas as barras longitudinais e os estribos que estiverem posicionados no 
interior da parede da seção vazada equivalente deverão ser considerados efetivos 
para resistir aos esforços gerados pela torção. 
São válidas as mesmas disposições construtivas de diâmetros, 
espaçamentos e ancoragem para armaduras longitudinais de flexão e estribos de 
cisalhamento, propostos na ABNT NBR 6118:2014. Especificamente para a torção, 
valem as recomendações apresentadas a seguir. 
6.1 Armaduras longitudinais 
Para que efetivamente existam os tirantes supostos no modelo de treliça, é 
necessário se dispor uma barra de armadura longitudinal em cada canto da seção. 
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, deve-se procurar atender à relação 
u
As

  
em todo o contorno da viga, sendo u o trecho do perímetro correspondente a cada 
barra, de área As. Em outras palavras, a armadura longitudinal de torção não deve 
estar concentrada nas faces superior e inferior da viga, e sim, uniformemente 
distribuída em todo o perímetro da seção efetiva. 
Apesar de não haver prescrição na Norma, deve-se preferencialmente adotar 
  10 mm nos cantos. O espaçamento de eixo a eixo de barra, tanto na direção 
vertical quanto na horizontal, deverá ser s  350 mm. 
6.2 Estribos 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.13 
P1
30 x 35
P2
30 x 35
V1 - 35 x 50
3
0
0
5
0
8
16
35 285
320
V1
FORMA ESTRUTURAL 
SEM ESCALA
A
A
CORTE A-A
SEM ESCALA
L1
h = var.
430
430
3
2
0
Os estribos devem estar posicionados a 90o com o eixo longitudinal da peça, 
devendo ser fechados e adequadamente ancorados por ganchos em ângulo de 45o. 
Além disso, devem envolver as armaduras longitudinais. 
7. EXEMPLO 
 Seja a viga V1 da marquise esquematizada na figura 6, a qual está submetida 
à torção de equilíbrio, além de flexão e cisalhamento. 
O cálculo da laje L1, engastada na V1, não será aqui apresentado. Ela aplica 
nessa viga um momento torçor de 21,45 kN.m/m, uniformemente distribuído. 
A reação de apoio da L1, somada ao peso próprio da V1 e à carga de parede 
sobre a V1 perfazem um carregamento uniformemente distribuído de 19,23 kN/m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Forma estrutural da marquise 
7.1 Momento nas extremidades da V1 
Na ligação da viga V1 com os pilares, será considerado momento fletor Mvig 
obtido de acordo com adaptação do item 14.6.6.1.c da ABNT NBR 6118:2014. 
Nesse cálculo, precisa-se do vão equivalente do pilar (𝑙𝑖𝑛𝑓) que será 
calculado de acordo com o item 15.6 da ABNT NBR 6118:2014. Portanto, ele é dado 
por 𝑙𝑖𝑛𝑓 = 𝑙0 + ℎ, ou seja, o vão livre somado à dimensão h da seção transversal do 
pilar, medida na direção do eixo da viga. 
Admitindo-se o topo da fundação 35 cm abaixo do piso acabado (𝑙0 = 335 𝑐𝑚) 
e considerando que ℎ = 30 𝑐𝑚, resulta: 
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14.14 
 𝑙𝑖𝑛𝑓 = 𝑙0 + ℎ = 335 + 30, ou seja: 𝑙𝑖𝑛𝑓 = 365 𝑐𝑚 
Portanto, valor de 𝑀𝑣𝑖𝑔 junto ao pilar P1 pode ser obtido como indicado a 
seguir, considerando 𝑀𝑒𝑛𝑔 = 𝑝 ∙ 𝑙
2 12⁄ (viga biengastada): 
𝑀𝑣𝑖𝑔 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 ∙
𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑣𝑖𝑔 + 𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝
 
𝑟𝑖𝑛𝑓 =
𝐼
𝑙𝑖𝑛𝑓 2⁄
=
0,35 ∙ 0,303
12
3,65 2⁄
= 4,315 ∙ 10−4 𝑚³ 
𝑟𝑠𝑢𝑝 =
𝐼
𝑙𝑠𝑢𝑝 2⁄
= 0 
𝑟𝑣𝑖𝑔 =
𝐼
𝑙𝑣𝑖𝑔
=
0,35 ∙ 0,503
12
4
= 9,115 ∙ 10−4 𝑚³ 
Portanto, junto ao P1 resulta: 
𝑀𝑣𝑖𝑔 = +
𝑝 ∙ 𝑙2
12
∙
4,315 ∙ 10−4 + 0
9,115 ∙ 10−4 + 4,315 ∙ 10−4 + 0
 
𝑀𝑣𝑖𝑔 = +
19,23 ∙ 42
12
∙
4,315 ∙ 10−4 
13,430 ∙ 10−4 
 
𝑀𝑣𝑖𝑔 = +8,24 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 
Junto ao P2, resulta um mesmo valor, porém de sinal contrário, coerente com 
a convenção de sinais adotada (Convenção de Grinter). Portanto, junto ao P2: 
𝑀𝑣𝑖𝑔 = −8,24 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 
Na figura 7, pode-se observar o esquema estático da viga V1, na qual se 
considera a viga biapoiada nos pilares, para o cálculo de esforços cortantes e 
momentos fletores, e biengastada para o cálculo de momentos torçores. Para estes 
foi utilizada a convenção de vetor momento, na qual se utiliza a regra da mão direita 
para indicar o sentido da rotação do momento. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.15 
 
Figura 7 – Diagramas de esforços solicitantes 
7.2 Verificação da biela comprimida 
Foi adotado fck = 25 MPa, cobrimento de 2,5 cm e, provisoriamente, foram 
admitidas barras longitudinais de diâmetro 10 mm e estribos de 6,3 mm para o 
cálculo da altura útil: 
𝑑 = 50 − 2,5 −
1,0
2
− 0,63 = 46,37 𝑐𝑚 
Para não haver esmagamento da biela comprimida, de acordo com a eq. (22): 
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑅𝑑,2
+
𝑇𝑠𝑑
𝑇𝑅𝑑,2
≤ 1 
Segundo o item 17.4.2.1 da ABNT NBR 6118:2014, os cálculos devem 
considerar as forças cortantes nas respectivas faces dos apoios, ou seja, nas faces 
dos pilares: 
2 m
DMT [kN.m]
39,68
39,68
M = 
vig
8,89 kN.m
0,15 m 0,15 m 0,15 m
V1 - 35 x 50
M = 
vig
8,89kN.m
p = 19,23 kN/m
4 m 
M = 21,45 kN.m/mT
4 m
DEC [kN]
DMF [kN.m]
38,46
38,46
35,58
d/2
d/2
31,12
35,58
31,12
8,89
29,57
8,89
0,15 m
42,90
42,90
V1 - 35 x 50
2 m
8,24 8,24 
30,22 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.16 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 ∙ 35,58 = 49,81 𝑘𝑁 𝑒 𝑇𝑠𝑑 = 1,4 ∙ 39,68 = 55,55 = 5555 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
Considerando a inclinação  = 45o, na eq. (16): 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 
𝛼𝑣2 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) = (1 −
25
250
) = 0,9 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 0,9 ∙
2,5
1,4
∙ 35 ∙ 46,37 
𝑉𝑅𝑑2 = 704,24 𝑘𝑁 
 
Segue-se a determinação da seção vazada equivalente, a partir das eqs. (17) 
e (18): 
ℎ𝑒 ≤
𝐴
𝑢
=
𝑏 ∙ ℎ
2 ∙ (𝑏 + ℎ)
=
35 ∙ 50
2 ∙ (35 + 50)
=
1750 𝑐𝑚2
170 𝑐𝑚
= 10,29 𝑐𝑚 
ℎ𝑒 ≤ 2 ∙ 𝐶1 
𝑐1 =
∅𝑙
2
+ ∅𝑡 + 𝑐𝑛𝑜𝑚 =
1,0
2
+ 0,63 + 2,5 = 3,63 𝑐𝑚 
ℎ𝑒 ≤ 2 ∙ 𝑐1 = 2 ∙ 3,63 = 7,26 𝑐𝑚 
Adotou-se, então, ℎ𝑒 = 7,0 𝑐𝑚. 
Na figura 8, pode-se observar a espessura ℎ𝑒 e a área 𝐴𝑒 limitada pela linha 
tracejada, que é a linha média da parede da seção vazada. 
 
 
Figura 8 – Seção transversal da viga V1 
 Com base nessa figura, obtém-se: 
𝐴𝑒 = 28 ∙ 43 = 1204 𝑐𝑚
2 
Ae 
28 cm
4
3
 c
m
3
,5
3
,5
h = 7 cm
h
 e 
 
e 
 35 cm
5
0
 c
m
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.17 
𝑢𝑒 = 2 ∙ (28 + 43) = 142 𝑐𝑚 
Tem-se, então, a partir da eq. (21): 
𝑇𝑅𝑑,2 = 0,50 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑒 ∙ ℎ𝑒 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 
𝛼𝑣2 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) = (1 −
25
250
) = 0,9 
𝑇𝑅𝑑,2 = 0,50 ∙ 0,9 ∙
2,5
1,4
∙ 1204 ∙ 7 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2 ∙ 45) 
𝑇𝑅𝑑,2 = 6772,5 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
Conhecidos esses valores, pode ser feita a verificação: 
𝑉𝑠𝑑
𝑉𝑅𝑑,2
+
𝑇𝑠𝑑
𝑇𝑅𝑑,2
≤ 1 
49,81
704,24
+
5555
6772,5
= 0,89 < 1 ∴ 𝑜𝑘! 
Nota-se certa folga, o que permitiria uma redução da inclinação da biela. 
Como consequência, haveria uma redução da área de aço transversal necessária, e 
um acréscimo da área de aço longitudinal. Observa-se, entretanto, que esse 
procedimento é mais eficiente nos casos em que o esforço cortante é grande, e a 
redução da área dos estribos é maior que o acréscimo das barras longitudinais. Em 
geral, nos demais casos, não compensa adotar valores menores de . 
7.3 Dimensionamento à flexão 
 Para o momento máximo positivo: 
𝑀𝑑
+ = 1,4 ∙ 3022 = 4230,8 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑘𝑐 =
𝑏 ∙ 𝑑2
𝑀𝑑
+ → 𝑘𝑐 =
35 ∙ 46,372
4230,8
→ 𝑘𝑐 = 17,8 
𝐴𝑠𝑙
+ =
𝑘𝑠 ∙ 𝑀𝑑
+
𝑑
→ 𝐴𝑠𝑙
+ =
0,024 ∙ 4230,8
46,37
→ 𝐴𝑠𝑙
+ = 2,19 𝑐𝑚2 
 Para o momento máximo negativo: 
𝑀𝑑
− = 1,4 ∙ 824 = 1153,6 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑘𝑐 =
𝑏 ∙ 𝑑2
𝑀𝑑
− → 𝑘𝑐 =
35 ∙ 46,372
1153,6
→ 𝑘𝑐 = 65,2 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.18 
𝐴𝑠𝑙
− =
𝑘𝑠 ∙ 𝑀𝑑
−
𝑑
→ 𝐴𝑠𝑙
− =
0,023 ∙ 1153,6
46,37
→ 𝐴𝑠𝑙
− = 0,57 𝑐𝑚2 
Entretanto, a ABNT NBR 6118:2014 prescreve a área de aço mínima, que 
deverá ser respeitada tanto para a armadura positiva quanto para a negativa. Para 
seções retangulares com fck = 25 MPa: 
𝐴𝑠𝑙,𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑙,𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑏𝑤 ∙ ℎ = 0,0015 ∙ 35 ∙ 50 = 2,63 𝑐𝑚
2 
 
7.4 Dimensionamento ao cisalhamento 
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 = 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 na flexão simples) 
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚
1,4
=
0,7 ∙ 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘
2/3
1,4
=
0,21 ∙ √252
3
1,4
= 1,28 𝑀𝑃𝑎 
𝑉𝑐 = 0,6 ∙ 0,128 ∙ 35 ∙ 46,37 = 124,642 𝑘𝑁 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
49,81 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 124,642 + 𝑉𝑠𝑤 
49,81 = 124,642 + 𝑉𝑠𝑤 
𝑉𝑠𝑤 = −74,83𝑘𝑁 ∴ não é necessária armadura transversal. 
A partir das verificações realizadas no dimensionamento ao cisalhamento, 
também para  = 45o, observa-se que a própria seção já resistiria ao cortante 
atuante. É necessário que a peça tenha apenas uma armadura mínima, dada por: 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
)
𝑚𝑖𝑛
= 0,2 ∙
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
)
𝑚𝑖𝑛
= 0,2 ∙
0,3 ∙ √252
3
500
∙ 35 ∙ 𝑠𝑒𝑛900 = 0,036 𝑐𝑚 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
)
𝑚𝑖𝑛
= 0,036 𝑐𝑚 = 0,036
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
= 0,036
𝑐𝑚2
10−2𝑚
= 0,036
𝑐𝑚2
𝑚
 ∙ 102 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
)
𝑚𝑖𝑛
= 3,60 
𝑐𝑚2
𝑚
 
𝛼 é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, 
portanto, 900. 
7.5 Dimensionamento à torção 
Considera-se também a inclinação da biela comprimida  = 45o. 
a) Cálculo da armadura longitudinal 
A partir das eqs. (23) e (24): 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.19 
𝑇𝑠𝑑 ≤ 𝑇𝑅𝑑,4 = (
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
) ∙ 2 ∙ 𝐴𝑒 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ 𝑡𝑔𝜃 
5555 ≤ 𝑇𝑅𝑑,4 = (
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
) ∙ 2 ∙ 1204 ∙
50
1,15
∙ 𝑡𝑔450 
5555 ≤ (
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
) ∙ 104695,65 
(
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
) ≥ 0,053 𝑐𝑚 = 0,053
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
= 0,053
𝑐𝑚2
10−2𝑚
= 0,053
𝑐𝑚2
𝑚
 ∙ 102 
(
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
) ≥ 5,3
𝑐𝑚2
𝑚
 
b) Cálculo dos estribos 
Utilizando-se as eqs. (25) e (26): 
𝑇𝑠𝑑 ≤ 𝑇𝑅𝑑,3 = (
𝐴90
𝑠
) ∙ 2 ∙ 𝐴𝑒 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 
5555 ≤ 𝑇𝑅𝑑,3 = (
𝐴90
𝑠
) ∙ 2 ∙ 1204 ∙
50
1,15
∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔450 
5555 ≤ (
𝐴90
𝑠
) ∙ 104695,65 
(
𝐴90
𝑠
) ≥ 0,053 𝑐𝑚 = 0,053
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
= 0,053
𝑐𝑚2
10−2𝑚
= 0,053
𝑐𝑚2
𝑚
 ∙ 102 
(
𝐴90
𝑠
) ≥ 5,3
𝑐𝑚2
𝑚
 
7.6 Detalhamento 
a) Armadura longitudinal 
A área total da armadura longitudinal é obtida pela soma das parcelas 
correspondentes à flexão e à torção, que deve ser feita para cada uma das faces da 
viga. 
Na face superior, a flexão exige As- = 0,57 cm2. A parcela da torção é dada 
por 2cm 48,1)07,035,0(30,5 sA . A área de aço total nessa face vale, então: 
As,tot = 0,57 + 1,48 = 2,05 cm2 
Observa-se, entretanto, que esta área é menor que a mínima prescrita na 
ABNT NBR 6118:2014. Portanto, para a face superior, a área de aço vale: 
As,tot = As min = 2,63 cm2  (4  10) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.20 
Na face inferior, a flexão exige As- = 2,19 cm2. A parcela da torção é a 
mesma anterior, 2cm 48,1sA . A área de aço total nessa face vale, então: 
As,tot = 2,19 + 1,48 = 3,67 cm2  (5  10) 
que já supera a área de aço mínima exigida pela flexão. 
Nas faces laterais, como a altura da viga é menor que 60 cm, não é 
necessária a utilização de armadura de pele. Há apenas a parcela da torção, cuja 
área de aço vale 2cm 28,2)07,050,0(30,5 sA , ou seja, 
As,tot = 2,28 cm2  (3  10) 
b) Estribos 
A área final dos estribos é dada pela soma das parcelas correspondentes ao 
cisalhamento e à torção,
s
A
s
A 90sw  , mas neste exemplo, como já foi visto, não é 
necessária armadura para o cisalhamento. Há apenas a parcela da torção, que já 
supera a área de aço mínima exigida. Assim, em cada face deve-se ter: 
 9C/ 8 30,5
2
90 





m
cm
s
A
TOTAL
 
que obedece ao espaçamento longitudinal máximo entre estribos, segundo a Norma: 
Vd  0,67 VRd,2  smáx = 0,6d  30 cm  smáx = 27,8 cm 
 O detalhamento final da seção transversal é apresentado na figura 9. 
 
Figura 9 - Detalhamento final da Viga V1(35 x 50) 
5 N1 10
3 N2 10 3 N2 10
4 N3 10
N4 8 C/9
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.21 
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
A utilização do modelo de treliça espacial generalizada é uma importante 
característica da ABNT NBR 6118:2014, permitindo que se trabalhe com a mesma 
inclinação da biela (de 30o a 45o) tanto na torção quanto no cisalhamento. Além 
disso, com essas diretrizes, o projetista tem a possibilidade de realizar um 
dimensionamento mais eficiente para cada seção estudada, já que, com a escolha 
dos valores de  e he, pode-se distribuir mais conveniente as parcelas de esforços 
nas bielas e nas armaduras. 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014 - Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro. 
COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin 
d’ Information, n.204, 1991. 
COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION. Eurocode 2 - Design of concrete 
structures.Part 1: General rules and rules for buildings. Brussels, CEN, 1992. 
FÉDÉRATION INTERNATIONALE DU BÉTON. Structural concrete: textbook on 
behavior, design and performance. FIB Bulletin, v.2, 1999. 
LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de concreto: princípios básicos de 
estruturas de concreto armado. v.1. Rio de Janeiro, Interciência, 1977. 
SUSSEKIND, J.C. Curso de concreto. v.2. Rio de Janeiro, Globo, 1984.