Lista2

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MAT 0421-Geometria Não Euclideana
Lista 2
Prof. Rosa Maria B. Chaves
1. Considere a função d definida, sobre IR2, da seguinte forma:
d(A,B) =
{
dE(A,B) se dE(A,B) ≤ 1
1 se dE(A,B) > 1
(i) Mostre que d é uma função distância sobre IR2
(ii) Determine todos os pontos B ∈ IR2 tais que d((0, 0), B) ≤ 2
(iii) Determine todos os pontos B ∈ IR2 tais que d((0, 0), B) = 2
2. Seja d a função distância definida no exerćıcio anterior. Mostre que não existe uma
geometria de incidência {IR2,L} de modo que {IR2,L, d} é uma geometria métrica.
(isto é, nem toda função distância gera uma geometria métrica).
Sugestão: Suponha, por absurdo, a existência de uma régua f : l −→ IR para uma
reta l ∈ L e que P ∈ l tenha coordenada 0. Considere os pontos pertencentes a l
com coordenada 2 ou −2.
3. Mostre que toda reta de uma geometria métrica plana tem infinitos pontos.
4. Numa geometria métrica {P ,L, d} mostre que um ponto da reta
−→
AB é unicamente
determinado pelas suas distâncias a A e a B, isto é, se P e Q pertencem à
−→
AB tais
que d(P,A) = d(Q,A) e d(P,B) = d(Q,B), então P = Q.
5. No Plano Euclidiano, determine o ponto P na reta r2,−3 cuja coordenada é −2.
6. Sejam La = {(x, y) ∈ H/x = a} e Lc,r = {(x, y) ∈ H/(x − c)2 + y2 = r2} retas no
Plano de Poincaré, onde a, c e r são números reais fixados, com r > 0. Mostre que
as funções g : La −→ IR e f : Lc,r −→ IR dadas por
g(a, y) = ln(y) e f(x, y) = ln
(
x− c + r
y
)
são funções bijetoras.
7. No Modelo de Poincaré, determine o ponto P na reta L−3,
√
7 cuja coordenada é ln 2.
8. Em uma geometria métrica {IR2,LE, d} se P ∈ IR2 e r > 0, então o ćırculo de centro
P e raio r é o conjunto C = {Q ∈ IR2 : d(Q,P ) = r}. Desenhe o ćırculo de centro
P = (0, 0) e raio 1 em IR2, no caso em que d = dE e d = dT .
9. No Plano do Taxista, determine o ponto P na reta L2,−3 cuja coordenada é −2.
10. No Plano Euclidiano, e no Plano do Taxista, determine a régua f tal que f(P ) = 0
e f(Q) > 0 onde:
(a) P = (2, 3) e Q = (2,−5);
(b) P = (2, 3) e Q = (4, 0);
11. Se A = (4, 7), B = (1, 1) e C = (2, 3) prove que A− C −B no Plano do Taxista.
12. No Plano do Taxista, determine três pontos distintos e não colineares A, B e C tais
dT (A,C) = dT (A,B) + dT (B,C). Este exerćıcio mostra que a condição dos pontos
A, B e C serem colineares é essencial na demonstração A− B − C ⇐⇒ d(A,C) =
d(A,B) + d(B,C).
13. Vamos verificar que o Plano Rasgado (veja lista 1 de exerćıcios) é um modelo da
geometria métrica. Definimos f : r −→ IR por f(P ) = y se r é uma reta vertical
com P = (a, y) e por
f((x, y)) =
{
x
√
1 + m2 se x < 0
(x− 1)
√
1 + m2 se x ≥ 1,
se P = (x, y) está em uma reta quebrada {(x, y) ∈ IR2 : y = mx + b e x < 0 ou x ≥
0}. Verifique que f é régua e, neste caso, a distância entre P = (x1, y1) e Q = (x2, y2)
é
dR(P,Q) =
{
dE(P, (0, b)) + dE((1,m + b), Q) se x1 < 0 e x2 ≥ 1, ou x2 < 0 e x1 ≥ 1
dE(P,Q) demais casos,
onde dE é a distância euclidiana. Observe que as condições x1 < 0 e x2 ≥ 1, ou
x2 < 0 e x1 ≥ 1 significam que os pontos P e Q estão em lados opostos da faixa
{(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x < 1}, retirada de IR2.
14. Vamos verificar que o Plano de Moulton (veja lista 1 de exerćıcios) é um modelo
da geometria métrica. Seja r uma reta do tipo I, II ou III. Definimos f : r −→ IR
como no plano euclidiano se r for do tipo I ou II e por
f((x, y)) =
{
x
√
1 + 4m2 se x < 0
x
√
1 + m2 se x ≥ 0,
se P = (x, y) está em uma reta do tipo III. Verifique que f é régua e, neste caso, a
distância entre P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) é
dM(P,Q) =
{
dE(P, (0, b)) + dE((0, b), Q) se x1x2 < 0
dE(P,Q) caso contrário,
onde dE é a distância euclidiana. Observe que a condição x1x2 < 0 significa que os
pontos P e Q estão em lados opostos do eixo Oy.