3ª LISTA - CÁLCULO 1

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UNISUAM – CÁLCULO I – 3ª Lista de exercícios (Regra da Cadeia, Derivada de Segunda, 
Derivação Implícita e Taxas Relacionadas) Profº Pedro Passos 
 
1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo (utilize a Regra da Cadeia): 
 
2. Um estudo demográfico modela a população p de uma comunidade (em milhares de habitantes ) 
pela função 
𝑃(𝑄) = 3𝑄2 + 4𝑄 + 200 
Onde Q é um índice de qualidade de vida que varia de Q = 0 (qualidade extremamente baixa) e Q = 
10 (qualidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que, daqui a t anos, 
𝑄(𝑡) =
𝑡2 + 2𝑡 + 3
2𝑡 + 1
 
Para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. 
a) Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nessa 
ocasião? 
b) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 4 anos? A população estará 
aumentando ou diminuindo nessa ocasião? 
3. Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de no ponto de abscissa 
 
4. Utilizando a Regra da Cadeia, mostre que a derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 é 𝑓 ′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
5. Calcule a derivada de segunda das funções abaixo: 
a) f(x) = (x3 – 4)2 + x2 
b) f(x) = cos(4x) 
c) f(x) = 𝑒x
2+1 
d) f(x) = ln(𝑠𝑒𝑛 2𝑥) 
 
6. Verifique se a função y =
2
x3
 satisfaz a equação 2
d2 y
dx2
−
48
x5
= 0 
7. Após as primeiras t horas de uma viagem de 8 horas, um carro percorreu 𝐷(𝑡) = 64𝑡 +
10𝑡2
3
−
2𝑡3
9
 
quilômetros. 
a) Escreva uma expressão que para a aceleração do carro em função do tempo. 
b) A que taxa a aceleração do carro está variando após 6 horas de viagem? A aceleração está 
aumentando ou diminuindo esse instante? 
c) Qual é a variação de velocidade do carro durante à sétima hora? 
 
8. Dadas as equações, determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, a derivada de y em relação a x. 
 
9. Escreva a equação da reta tangente à circunferência 𝑥 2 + 𝑦2 = 36 no ponto (4, 2). 
 
10. Determine todos os pontos (forneça suas coordenadas) sobre às curvas dadas nos quais à reta a 
tangente é horizontal e vertical. 
a) 𝑥 + 𝑦2 = 9 
b) 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 3 
c) 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 
d) 
𝑦
𝑥
−
𝑥
𝑦
= 4 
11. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede. A base da escada 
escorrega, afastando-se a uma taxa de 3cm/seg (velocidade). Com que velocidade cai o topo da 
escada, no momento em que a base da escada está a 6 metros da parede? 
12. Quando o preço de um certo produto é p reais a unidade, a demanda é de x centenas de unidade 
onde 
75𝑥 2 + 17𝑝2 = 5300 
Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo quando o preço é R$ 7,00 e está diminuindo à 
razão de 75 centavos por mês (ou seja, 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= −0,75)? 
 
13. Um bloco de gelo usado para refrigeração é modelado por um cubo de lado s. No momento, o 
bloco tem um volume de 125.000 𝑐𝑚3 está derretendo à taxa de 1.000 𝑐𝑚3 por hora. 
a) Qual é o comprimento s de um dos lados do cubo? Com que que taxa de variação este comprime nto 
s está variando no momento em relação ao tempo t ? 
 b) Qual é a atual taxa de variação da área S da superfície do bloco de gelo em relação ao tempo? (Obs: 
um cubo de lado s tem um volume 𝑽 = 𝒔𝟑 e a área da superfície é 𝑺 = 𝟔𝒔𝟐). 
 
 
 14. Uma mancha de óleo de forma circular se espalha de tal forma que seu raio aumenta à razão de 6 m/h. 
 
Qual é a taxa de variação da área da mancha no momento em que o raio é de 60 m? 
 
 
 15. Um homem de 1,80 m de altura, caminhando com uma velocidade de 1 m/s, passa por uma luminár ia 
de rua com 3,5 m de altura. Qual é a taxa de variação da sombra do homem quando está a 6 m de distância 
do poste?