[Demonstração] Valor eficaz da corrente alternada

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[Demonstração]Valor Eficaz
Vinicius Vieira de Carvalho1
1 Problemática
O valor eficaz de uma dada grandeza é definido como sendo a raiz quadrada do valor
quadrático médio.
Considere um circuito de corrente alternada cuja corrente é dada pela função
I = Imax cos (wt)
Mostre que o valor eficaz da corrente é:
Irms =
I√
2
2 Solução
Como já enfatizado pela própria problemática o valor eficaz de uma grandeza é definido
como sendo a raiz quadrada do valor quadrático médio ou RMS (root mean square), o
valor médio de uma função pode ser calculado como a soma integral do valor quadrático
de uma função no dobro do seu período é dividido por ele, ou matematicamente:
¯f(x) =
1
2τ
∫ 2τ
0
[f(x)]2 dx (1)
logo para f(x)rms =
√
¯f(x), deste modo:
f(x)rms =
√
1
2τ
∫ 2τ
0
[f(x)]2 dx (2)
O valor eficaz é uma medida estatística do valor modular de uma grandeza variável, com
o RMS podemos calcular séries de valores discretos para funções variáveis contínuas, no
caso como pedido pela problemática calcularemos a magnitude da corrente alternada em
um circuito. Para a função:
I = Imax cos (wt)
aplicada a equação (2), temos:
Irms =
√
1
2τ
∫ 2τ
0
[Imax cos (wt)]2 dt
Sendo τ = 2π
ω
, desse modo:
Irms =
√
ω
4π
∫ 4π
ω
0
[Imax cos (wt)]2 dt (3)
Resolvendo a eq.(3), chegamos ao seguinte resultado: (passo a passo da solução na sub-
seção "Resolução matemática")
Irms =
Imax√
2
1Graduando em Licenciatura em Física - IF Sertão - PE / Campus Petrolina
1
2.1 Resolução matemática
Irms =
√
ω
4π
∫ 4π
ω
0
[Imax cos (wt)]2 dt
Irms =
√
ωIma2x
4π
∫ 4π
ω
0
cos (wt)2 dt (4)
cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
(5)
De (5) em (4):
Irms =
√
ωIma2x
4π
∫ 4π
ω
0
1 + cos (2ωt)
2
dt
I1) ∫ 4π
ω
0
1 + cos (2ωt)
2
dt
∫ 4π
ω
0
1
2
dt+
∫ 4π
ω
0
cos (2ωt)
2
dt
(
1
2
t)
∣∣ 4πω
0
+
1
4
sin (2ωt)
∣∣ 4πω
0
2π
ω
+
1
4
[sin (8π)− sin (0)]
∴
I1)
∫ 4π
ω
0
1 + cos (2ωt)
2
dt =
2π
ω
Recompondo o valor de I1 a eq. [5(4)]:
Irms =
√
ωIma2x
4π
(
2π
ω
)
Irms =
√
Ima2x
2
Irms =
Imax√
2
2
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