Aula 5 Os princípios da mecânica dos fluidos

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Introdução às Ciências Físicas
Aula 5: Os princípios da mecânica dos �uidos
Apresentação
Nesta aula, estudaremos os conceitos e princípios básicos da Mecânica dos Fluidos: a pressão, a densidade volumétrica,
a conceituação dos fenômenos �uídicos, a tensão de cisalhamento, os tipos de escoamentos, os �uidos ideais, a estática
dos �uidos, a dinâmica dos �uidos, a conservação do �uxo, a conservação da energia, a viscosidade, os �uidos
newtonianos e os escoamentos de Poiseuille.
Objetivos
De�nir os conceitos e princípios da Mecânica dos Fluidos;
Reconhecer as grandezas físicas da Mecânica dos Fluidos;
Identi�car as relações entre os princípios da Mecânica dos Fluidos e suas grandezas físicas.
Conceitos e princípios da Mecânica dos Fluidos
A Mecânica dos Fluidos estuda os fenômenos �uídicos, estáticos ou dinâmicos, envolvendo, essencialmente, os conceitos de
pressão, densidade volumétrica, força de pressão, �uxo, viscosidade, tensão de cisalhamento, conservação do �uxo e da
energia, gradiente de velocidades, camada limite, para substâncias �uídicas ideais ou reais, e escoamentos laminares, quase-
laminares ou turbulentos, com suas aplicações desde as mais simples, envolvendo líquidos e gases, e aplicações simples às
engenharias, até as mais complexas, com aplicações de engenharia a �uidos complexos e problemas físicos envolvendo
escalas galácticas ou microescalas em processos de fusão nuclear.
Isso signi�ca que a Mecânica dos Fluidos não se limita às Ciências Clássicas, no sentido das escalas de dimensões e energias,
e também não se restringe aos problemas simples e solúveis analiticamente.
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Comentário
Originalmente, surgiu do Princípio de Arquimedes, com o conceito de Empuxo, e do Princípio de Pascal, no que chamamos hoje de
estática dos �uidos ideais, tendo evoluído para os �uidos dinâmicos, com a Equação de Bernoulli, ainda para �uidos ideais. 
 
Posteriormente, com o conceito de Viscosidade de Newton, surgiram as Equações de Poiseuille, para �uidos reais, em regime
estacionário, quando a velocidade de escoamento não varia com o tempo, e com viscosidade constante, chamados Newtonianos,
de escoamentos laminares, e evoluiu-se até as equações de movimento de Navier-Stokes e a descrição dos escoamentos
�uídicos, ainda em regime estacionário.
Para os escoamentos estritamente turbulentos, ainda nos falta um tratamento matemático geral dos fenômenos, mas existem
avanços. Os conceitos da Mecânica dos Fluidos, técnicas e equações podem ser encontradas em diversas Ciências Físicas e
de Engenharias.
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Abordagem
Fluidos são sistemas físicos com diversas propriedades e características, que estudaremos conceitualmente nesta
aula.
Existem, duas abordagens principais à análise dos fenômenos �uídicos.
1. Euler
Pela abordagem, ou representação, de Euler, mais utilizada, observamos pontos �xos do espaço r e descrevemos
como variam alguns de seus parâmetros (massa especí�ca, pressão, velocidade) em função das coordenadas
espaciais e do tempo.
A cada instante t, teremos uma partícula diferente do �uido naquela posição �xa r e, assim, descreveremos como
esses parâmetros (massa especí�ca, pressão, velocidade) evoluem com o tempo, naquela posição �xada.
Por partícula de �uido, de�nimos o �uido subdividido em elementos de volume su�cientemente pequenos, e cada
elemento de volume como uma partícula do Fluido.
Então, por essa abordagem de Euler, obtém-se as informações dos escoamentos em função do que ocorre em pontos
�xos do espaço, enquanto as partículas do �uído escoam por estes pontos.
A representação da velocidade de escoamento, em um Sistema de Coordenadas retangular XYZ, será em termos de
coordenadas de posição independentes e do tempo:
𝑽=𝑽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)
2. Lagrange
Pela abordagem, ou representação, de Lagrange, descrevemos como evolui a posição r de determinada partícula do
�uido ao longo do tempo, sua trajetória.
Se tivéssemos informações completas sobre cada partícula que compõe o �uido, poderíamos descrever a evolução
completa de todas as partículas do �uido e, portanto, do movimento do �uido.
Imaginemos individualizar cada partícula do �uido com um corante na posição inicial da partícula em r , sua trajetória
seria determinada ao longo do tempo como em uma exposição fotográ�ca de longa duração.
Então, por essa abordagem de Lagrange, estuda-se a evolução da posição de uma, ou várias partículas, em função
do tempo.
Essa abordagem não é de muito interesse, pois, usualmente, se deseja conhecer o movimento completo do �uido e o
conhecimento da evolução da trajetória de cada partícula é improvável.
A representação da velocidade de escoamento, em um Sistema de Coordenadas retangular XYZ, será em termos de
funções coordenadas de posição dependentes e do tempo:
𝑽=𝑽[𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡),𝑡]
A representação de Euler é mais simples de ser utilizada para descrever os escoamentos �uídicos, tanto do ponto de
vista experimental, como analítico.
Vamos adotar a abordagem de Euler na descrição dos Fenômenos Fluídicos.
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O que são �uidos?
Você já deve ter lido em textos didáticos, ou ouvido falar, que �uidos são tão somente líquidos ou gases. Isto não é inteiramente
verdade. Líquidos ou gases compõem os modelos básicos dos sistemas �uídicos, mas a Mecânica dos Fluidos não está
limitada a eles, que caracterizam estados termodinâmicos.
Fluidos não estão limitados a estados termodinâmicos, no sentido
amplo, mas à uma característica fundamental do fenômeno �uídico. 
 
Fluidos escoam! Necessariamente �uidos podem escoar.
Atenção
A diferença entre sólidos e �uidos está no comportamento desses sistemas às tensões super�ciais ou tangenciais, chamadas de
Tensões de Cisalhamento.
Sólidos, quando submetidos às Tensões de Cisalhamento, podem deformar-se até que atinjam o equilíbrio mecânico
newtoniano entre as forças.
Exemplo
Um veículo automotivo, quando se choca com outro veículo, deforma-se. Jamais veremos um acidente entre dois veículos fazer
com que eles escoem pela estrada, pois são sólidos. São sólidos deformáveis. 
 
Não vamos confundir movimento mecânico newtoniano de corpos sólidos com o escoamento de �uidos. 
 
Já se, de outra forma, aplicarmos forças tangenciais à superfície da água em uma piscina, veremos o �uido escoar, �uir.
Fluidos, diferentemente dos sólidos, deformam-se continuamente diante de Tensões de Cisalhamento, tensões tangenciais.
Não importa se o �uido é denso ou muito viscoso, sempre haverá
escoamento de �uidos quando submetidos às Tensões de Cisalhamento.
Esta é a característica fundamental do fenômeno �uídico: a habilidade de
escoar.
 Diferença entre o comportamento de sólidos e fluidos quando submetidos às Tensões de Cisalhamento 
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Diferença entre o comportamento de sólidos e �uidos quando submetidos às
Tensões de Cisalhamento
Os diagramas acima demonstram a diferença entre o comportamento de sólidos e �uidos quando submetidos às
Tensões de Cisalhamento. São duas placas sólidas entremeadas com uma substância.
Quando uma das placas é tensionada tangencialmente, sem deslizamento, deforma a substância entre as placas. Se a
substância for um material sólido, sua deformação cessará em uma con�guração limite de equilíbrio.
Mas, se a substância for �uídica, sua deformação não cessará e poderá deformar-se inde�nidamente, já que �uidos se
deformam inde�nidamente quando submetidos às tensões de cisalhamento.
Caracterização
Fluidos podem ser: 
• Compressíveis ou incompressíveis. 
• Reais ou ideais. 
• Viscosos ou não viscosos.
Podem escoar em regimes de escoamento: 
• Uniforme ou não uniforme. 
• Estacionário ou não estacionário. 
• De forma laminar ou turbulenta.
Compressibilidade
O critério de compressibilidade depende do comportamento da densidade volumétrica do �uido, também chamada de
massa especí�ca.
A densidade volumétrica é a relação da massa por volumede um �uido em condições especí�cas de temperatura e
pressão. Sua unidade SI é Kg/m .
Se um determinado �uido puder ter sua densidade volumétrica alterada em um sistema, este será classi�cado como
compressível. Se isso não for possível, ou não for possível nas circunstâncias de operação de um sistema �uídico,
este será dito incompressível, ou seja, os espaçamentos médios dos elementos constituintes de um �uido não se
alteram quando este é incompressível.
Para essa classi�cação, não se consideram as mudanças de densidades volumétricas por transições de fase
termodinâmicas, de sólidos para líquidos, de líquidos para gases etc.
Todos os �uidos são, na verdade, compressíveis, já que é sempre possível alterar a compressibilidade de �uidos,
embora nem sempre isso ocorra em situações de interesse prático.
 Comportamento do fluido sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento. Fonte: Fox e McDonald (2014).
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Se em um sistema �uídico, a densidade volumétrica do �uido não se alterar diante de uma condição de escoamento
em particular, quando seus parâmetros não se alteram no tempo, escoamento estacionário, e diferenças de pressão
forem su�cientemente pequenas, podemos classi�car esse �uido como incompressível, pois naquelas circunstâncias
o �uido será efetivamente incompressível.
Exemplo
As substâncias líquidas são fortemente resistentes à compressibilidade, usualmente classi�cadas como
incompressíveis.
Por outro lado, os gases são facilmente compressíveis, em situações usuais.
Quando diferenças de pressão forem relevantes, o mesmo �uido líquido, antes classi�cado como incompressível,
poderá ser reclassi�cado como compressível, em escoamentos não estacionários, quando seus parâmetros variam
no tempo.
Os gases não con�nados, em escoamento externo, com transferência de calor desprezível, podem ser considerados
incompressíveis quando a velocidade de escoamento for pequena ao ser comparada com a velocidade do som.
Número de Mach
A relação entre a velocidade de escoamento do �uido gasoso pela velocidade do som é nominada número de Mach.
Onde: 
• é a velocidade do escoamento. 
• a velocidade do som (≅340m/s).
Quando M < 0,3, considera-se o escoamento como incompressível. Para M=0,3, a velocidade do �uido será em torno
100m/s.
Portanto, o critério de compressibilidade deve ser encarado como efetivo diante das circunstâncias de escoamento
do sistema �uídico.
M = V /v
V
v
Princípios de Arquimedes e Pascal
Pressão
Pressão é uma grandeza escalar, ou seja, não vetorial, de�nida como a relação entre a magnitude da força resultante F que atua
em uma superfície de área plana A e o valor escalar dessa área.
É conveniente também de�nir a força de pressão como a pressão local multiplicada por uma área, atuando vetorialmente na
direção normal (perpendicular) à área de superfície considerada.
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A soma de todas as forças de pressão que atuam sobre um corpo sólido mergulhado em um �uido, parcial ou
totalmente, é igual ao peso do �uido que foi afastado pela presença do corpo, atuando na mesma direção da efetiva
aceleração gravitacional, no sentido contrário. 
 
É interessante ressaltar que o Princípio de Arquimedes resulta na quantidade física empuxo, que será igual, em magnitude,
ao peso do �uido afastado pela presença de um corpo sólido. 
 
Isso signi�ca que, ainda que o corpo seja oco, seu volume deslocará certa porção de �uido, o que fará com que o empuxo
seja tão maior quanto maior for o volume do corpo mergulhado, independentemente da massa especí�ca desse corpo. 
 
Quanto maior seu volume, maior a massa de �uido deslocada e, portanto, maior o peso do �uido deslocado, então, maior
o empuxo. 
 
Exemplo 
Navios �utuam, apesar de suas imensas massas, pois deslocam grande quantidade de água e, assim, o rmpuxo sobre
eles é também grande.
Quando mergulhamos, percebemos que nosso peso efetivo, chamado de peso aparente, que é igual ao nosso peso livre
subtraído do valor do empuxo, é menor e, dessa forma, podemos �utuar em água.
Se sustentarmos um sólido dentro de um �uido, por um �o, sem que toque o fundo do recipiente do �uido, ao colocarmos
o recipiente em uma balança digital, veremos que a massa lida na balança digital será a massa do recipiente, mais a
massa da água sem o sólido, e ainda somada à massa do �uido que foi deslocado pela presença do sólido mergulhado.
Essa massa de volume adicionada, devido ao Empuxo, age da mesma maneira se adicionássemos o mesmo volume de
água deslocada, sem a presença do sólido.
A razão é que o �uido exerce uma força de empuxo sobre o sólido, cuja reação atuará sobre a balança, alterando sua
medida.
Princípio de Arquimedes 
Todo incremento de pressão, aplicado a um �uido em equilíbrio, será totalmente transmitido a todos os pontos e
camadas �uidas, assim como às paredes que o contém.
Do Princípio de Pascal, como corolário, obtemos:
1. O Princípio dos Vasos Comunicantes
Estabelece que dois vasos, ou reservatórios de um �uido, se comunicantes, não importando a forma dos vasos,
transmitirão as pressões, de acordo com o Princípio de Pascal.
Exemplo
De outra forma, se enchermos uma mangueira com água, não importa seu formato, desde que totalmente cheia, e
levantarmos suas extremidades, as alturas dos níveis de água serão exatamente os mesmos.
A razão é que a coluna atmosférica sobre as aberturas dos dois lados da mangueira de água, será essencialmente a
mesma e, assim, a pressão atmosférica sobre esses lados da mangueira de água será a mesma.
2. A Prensa Hidráulica
É outra consequência direta do Princípio de Pascal.
Se construirmos uma prensa hidráulica, com dois pistões, de modo que os pistões tenham áreas de seção diferentes,
como qualquer incremento de pressão, será totalmente transmitido a todo o �uido; se acionarmos o pistão de menor área
com determinada força, o segundo pistão, com maior área de seção, erguerá carga bem maior.
Princípio de Pascal 
3. A Lei de Stevin
Estabelece uma relação entre a pressão em um ponto de um �uido e a profundidade do �uido nesse ponto.
O �uido encontra-se em equilíbrio. Quanto mais profundo, maior a pressão. Quanto menos profundo, menor a pressão.
Exemplo
Conhecemos isso de nossas experiências de vida. A diferença de pressão de mergulho será proporcional ao termo de
coluna manométrica, que é igual ao produto da massa especí�ca do �uido pela aceleração gravitacional local e
multiplicado pela diferença de profundidade de mergulho.
Equação da continuidade
A conservação da massa é um daqueles princípios físicos muito utilizado. Vamos abordá-lo do ponto de vista da conservação
do �uxo de massa e da conservação da vazão.
Como a massa de um escoamento de um �uido, incompressível e não viscoso, em um conduto, não deve variar, se não houver
quaisquer vazamentos ou nova entrada de �uidos, é razoável crer que a quantidade de massa, ou melhor, já que o �uido é
incompressível, que a quantidade de volume de �uido seja conservada. Então a vazão, ou seja, o volume de �uido por tempo,
deve se conservar.
Assim, de�nindo a vazão como o produto da velocidade de escoamento, em um ponto, pela área de seção do conduto,
poderemos calcular a velocidade de escoamento, ou a área de seção, em outro ponto do escoamento.
Exemplo
Se ligarmos a água em uma mangueira, com vazão constante, ao colocarmos os dedos na extremidade dessa mangueira,
diminuindo a área de saída, teremos como resultado o aumento da velocidade de escoamento na saída.
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O Princípio de Bernoulli é uma consequência do princípio de conservação aplicado aos �uidos incompressíveis ideais, não
viscosos.
Relaciona três contribuições de pressão, em uma de suas representações, somando a pressão absoluta à pressão
manométrica de Stevin e à pressão dinâmica, proporcional ao quadrado da velocidade de escoamento, como uma
constante a ser conservada em qualquer linha de escoamento de um �uido ideal.
Princípio de Bernoulli 
É uma aplicação do Princípio de Bernoulli.
Consideremosum conduto com um estreitamento da área de seção em um ponto.
Como a Equação de Bernoulli deve ser conservada, no estreitamento, a velocidade deve aumentar já que a área, nesse
ponto, é menor, por conservação da vazão.
Então, se temos crescimento da velocidade de escoamento nesse ponto, o correspondente termo de pressão de Bernoulli
aumenta, e, assim, o termo de pressão absoluta tem que diminuir.
Se um termo cresce, na equação de Bernoulli, outro tem de compensar com decrescimento.
Quando a velocidade de escoamento aumenta, a pressão diminui. É uma consequência do Princípio de Bernoulli para
�uidos ideais.
Fenômeno de Venturi 
 (Fonte: Wikipedia)
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Resultado do Princípio de Bernoulli, onde a velocidade de escoamento aumenta, por soma da contribuição da velocidade
ao escoamento devido à rotação da esfera, ou do cilindro.
O escoamento do �uido provoca acréscimo da velocidade relativa de escoamento em um dos lados do corpo e, assim,
diminuição da pressão nessa região, fazendo a força de pressão resultante, do outro lado do corpo, atuar com a Força
de Magnus.
Exemplo
Pode ser usada para substituir velas em navios. É conhecida dos jogadores de futebol quando aplicam efeitos na bola.
Efeito Magnus 
 (Fonte: Research Gate)
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 (Fonte: Fórum PiR2)
Regimes de escoamento
Podemos classi�car os regimes de escoamentos em:
1
Uniformes ou não uniformes.
2
Estacionários ou não estacionários.
3
Combinações destes.
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Ao analisar o campo de velocidades de um escoamento em determinada região, por campo de velocidades, considera-se a
distribuição contínua das velocidades de escoamento, como um campo vetorial das velocidades de um �uido em certa região
de escoamento.
 Escoamento 
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Escoamento
Podemos usar o recurso de compreensão, comentado na abordagem, de diferentes partículas de um �uido marcadas
com corantes, em um escoamento.
Ao obter uma fotogra�a, com curto tempo de exposição, identi�caremos as linhas formadas na fotogra�a como
representativas do campo de velocidades.
A direção e o comprimento de cada traço formado, na foto, nos indicarão a direção e a magnitude da velocidade de
escoamento de cada partícula marcada do �uido naquela região.
As imagens abaixo são simulações computacionais dos campos de velocidades de dois escoamentos �uídicos
diferentes.
Vamos ver cada um deles.
Escoamento uniforme
É o regime de escoamento onde o campo de velocidades do escoamento �uídico não se altera em uma determinada
região.
A velocidade tem a mesma magnitude, direção e sentido em todos os pontos do �uido nessa região.
Escoamento não uniforme ou variado
É o regime de escoamento onde o campo de velocidades do escoamento �uídico difere em cada ponto em
determinada região. A velocidade não tem a mesma magnitude, direção e sentido em todos os pontos do �uido nessa
região.
Na prática, todo �uido que escoa próximo de uma fronteira sólida é não uniforme, pois a velocidade relativa de
escoamento na fronteira é zero.
Escoamento estacionário ou permanente
É o regime de escoamento onde as propriedades do �uido e seu campo de velocidades são invariantes no tempo.
Na realidade, sempre há pequenas variações de velocidade e pressão. Porém, se seus valores médios são constantes
no tempo, o escoamento será estacionário ou permanente.
Escoamento não estacionário ou variável
É o regime de escoamento onde as propriedades do �uido e/ou seu campo de velocidades variam no tempo.
Combinações
Combinando essas de�nições de regimes puros, podemos classi�car qualquer escoamento em um dos quatro
regimes compostos:
1. Escoamento uniforme estacionário
As condições e propriedades do �uido não se modi�cam com a posição na corrente de escoamento ou com o tempo. 
 
Um exemplo é o �uxo de água em um tubo de diâmetro constante e velocidade constante.
 (Fonte: Scielo)
 https://images.app.goo.gl/ubuaahs213BdhyK17
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2. Escoamento não uniforme estacionário
As propriedades mudam de ponto a ponto no escoamento, mas não variam no tempo. 
 
Um exemplo é o escoamento em um tubo com seção variável e com velocidade constante na entrada, sua velocidade
mudará ao longo do comprimento do tubo até a saída.
3. Escoamento uniforme não estacionário
Em cada instante temporal, as propriedades em todos os pontos do escoamento são as mesmas, mas variam no
tempo. 
 
Um exemplo é um tubo de diâmetro constante conectado a uma bomba com vazão constante que é desligada.
Incluem-se os uniformemente acelerados e os uniformemente desacelerados.
4. Escoamento não uniforme não estacionário
As propriedades do �uido variam no tempo e no espaço, em um escoamento. 
 
Por exemplo, ondas em um canal. 
 
O escoamento uniforme estacionário é o mais simples de ser tratado e o escoamento não uniforme não
estacionário, o mais complexo. 
 
Atualmente, a Mecânica dos Fluidos Aplicada lida com técnicas de CFD (Computational Fluid Dynamics) para
solucionar problemas reais complexos.
Linhas e tubos de corrente
Considere uma linha imaginária traçada em um campo de escoamento, isto é, em uma região de um sistema �uídico onde há
escoamento, também chamado de campo de �uxo, que descreva uma trajetória das partículas �uidas que �uem nessa linha,
de maneira que, em cada ponto, em um determinado instante, as linhas do campo de velocidades sejam tangentes à essa
linha de corrente.
A função das linhas de corrente é fornecer informações sobre as direções e
as velocidades dos escoamentos.
As linhas de corrente não podem se cruzar, pois signi�caria que suas partículas �uidas possuem mais de uma velocidade
simultaneamente.
Quando as linhas de corrente se aproximam, como na �gura acima, signi�ca que a velocidade de escoamento é maior nesses
pontos, comparada às regiões onde as linhas são mais afastadas, de modo a conservar o �uxo do escoamento.
Agora, considere um conjunto de linhas de corrente que formam tubos de correntes. Se o campo de velocidades é sempre
tangente às linhas de correntes, então também o será com as paredes dos tubos de correntes.
Ou seja, não haverá �uxo de massa �uida que atravesse as paredes dos tubos de correntes. As partículas �uidas que escoam
em uma linha de corrente permanecerão nessa linha de corrente.
Chama-se linha de emissão de um ponto, em um instante,
a linha formada por todas as partículas �uidas que
passaram por esse ponto.
A fumaça expelida por uma chaminé é a linha de emissão
dessa chaminé, já que todas as suas partículas passaram
anteriormente pela boca dessa chaminé.
Se um �uido escoa junto à parede de uma fronteira sólida,
um obstáculo ou as paredes de um conduto, não poderá
haver escoamento através da superfície da fronteira e as
linhas de corrente acompanham o contorno da fronteira
sólida.
Os tubos de corrente descrevem escoamentos
tridimensionais, onde o campo de velocidades será a
função das coordenadas tridimensionais e do tempo.
No entanto, é usual termos problemas unidimensionais ou bidimensionais, onde o escoamento se dá em uma ou duas
dimensões espaciais. Nesses casos, o campo de velocidades será descrito em termos das dimensões espaciais em que se dá
o escoamento e do tempo. Assim, podemos ter escoamentos unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais.
 Escoamento bidimensional
Viscosidade
A Viscosidade é a relação entre a Tensão de Cisalhamento (tangencial) e a taxa de variação espacial da velocidade de
escoamento, chamada taxa de deformação ou gradiente de velocidades.
Logo, a viscosidade é um coe�ciente de fricção entre os elementos de um �uido, identi�ca o quanto um �uido resiste quando
submetido às tensões de cisalhamento.
Quanto mais viscoso um �uido, mais lenta será sua contínua deformação, ou melhor, seu escoamento, submetido à mesma
tensão de cisalhamento.
 Exemplo 
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Exemplo
Se aplicarmos uma mesma tensão tangencial às camadas super�ciais de um reservatório de mesmo volume de água
e outro de mel, perceberemos que a água se deforma continuamente,escoa mais velozmente e facilmente, comparada
ao escoamento do mel. Isso indica que a viscosidade do mel é maior que a viscosidade da água.
De forma geral, todos os �uidos são viscosos, não incluídos aí os super�uidos, que são substâncias que apresentam
características quânticas. Inclusive a água é viscosa, com baixa viscosidade, muitas vezes desprezada.
Os �uidos não viscosos (classi�cação efetiva) são comumente chamados de �uidos ideais, já os �uidos viscosos são
chamados de �uidos reais.
É comum, na literatura, a nomenclatura de hidrodinâmica clássica para se referir à mecânica dos �uidos ideais, não
viscosos.
Nas �guras a seguir, temos um diagrama de linhas de corrente de um escoamento ideal, à esquerda, descrito pela
Equação de Bernoulli, e um diagrama de linhas de corrente de um escoamento real, quando há viscosidade, descrito
pelas Equações de Poiseuille e Navier-Stokes; ambos em regime estacionário.
O per�l do campo de velocidades é característico de cada �uido, em regime estacionário. São escoamentos
unidimensionais, pois �uem numa única direção.
Na �gura à esquerda, com per�l retangular e uniforme, do campo de velocidades para o escoamento com �uido ideal,
não viscoso, a causa de seu escoamento é a diferença de pressão.
Na �gura à direita, com per�l parabólico e não uniforme, do campo de velocidades para o escoamento com �uido real,
a causa de seu movimento são tensões tangenciais viscosas, além da diferença de pressão.
Repare que, no per�l da direita, a velocidade de escoamento se aproxima de zero quanto mais próximo das paredes do
conduto, signi�cativo de escoamentos viscosos.
Junto às paredes do campo de escoamento, veri�ca-se a formação de uma película de �uido aderida à parede, devido
à tensão super�cial entre a parede e o �uido.
Como a parede está imóvel, no exemplo, o �uido não pode apresentar-se com velocidade diferente de zero em contato
com a parede. Assim, observa-se um escoamento em lâminas do �uido, com velocidades crescentes quanto mais
distante das paredes, e zero junto a elas.
Chama-se isso de escoamento laminar. É uma característica dos escoamentos viscosos em regime permanente, a
baixas velocidades.
Exemplo
Vejamos o que ocorre quando temos duas placas sólidas, separadas por um �uido viscoso, onde a placa superior é
tracionada para a direita enquanto a placa inferior é mantida em repouso relativo ao �uido.
Observe que a força de cisalhamento é uma força típica de fricção, se opondo à força aplicada à placa superior.
Como, neste exemplo, a placa sólida superior se move para a direita, e a velocidade relativa das partículas de �uido,
junto à esta placa, é zero, essa placa faz mover a primeira lâmina de �uido, que move as demais lâminas
sucessivamente.
Essa é a característica da Tensão de Cisalhamento atuando em substâncias �uidas. Lembrando que se trata de um
escoamento estacionário, permanente, que vamos classi�car como escoamento laminar.
Fluidos newtonianos e não newtonianos
A Lei de Newton para a viscosidade linear de �uidos incompressíveis em escoamento permanente de�ne a viscosidade
dinâmica, ou absoluta, como diretamente proporcional à relação entre a Tensão de Cisalhamento e o Gradiente de Velocidade
de escoamento, ou taxa de deformação de um �uido.
Fluidos que apresentam essa característica linear, sendo a Viscosidade de Newton a constante de proporcionalidade, são
classi�cados como �uidos newtonianos.
De outro modo, �uidos newtonianos são �uidos cuja viscosidade é constante para diferentes Tensões de Cisalhamento e não
variam no tempo.
De maneira simples, �uidos são ditos:
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Satisfazem, então, a Lei de Newton da Viscosidade. 
 
Esta classi�cação abrange todos gases e líquidos não poliméricos e homogêneos. 
 
Exemplo: Água, ar, leite, soluções de sacarose, óleos vegetais etc.
Newtonianos 
São �uidos viscosos, mas que apresentam uma viscosidade não linear, ou não constante, ou dependente do tempo, no
sentido da relação entre a Tensão de Cisalhamento e a Taxa de Deformação.
Não newtonianos 
Pode se apresentar de acordo com as seguintes classi�cações gerais:
Saiba mais
Explore mais sobre a Reologia, o estudo do comportamento deformacional e do �uxo de matéria, submetido a tensões, sob
determinadas condições termodinâmicas ao longo de um intervalo de tempo. Isso inclui propriedades como o estudo da
elasticidade, viscosidade e plasticidade.
 Diagrama da Tensão de Cisalhamento pela Taxa de Deformação (Gradiente de Velocidades) 
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Diagrama da Tensão de Cisalhamento pela Taxa de Deformação (Gradiente de
Velocidades)
O diagrama a seguir evidencia algumas dessas classes de �uidos newtonianos e não newtonianos.
Observe que os �uidos ideais estão alinhados à abcissa, pois não estão sujeitos a Tensões de Cisalhamento, são não
viscosos.
Os sólidos reais estão quase alinhados com a ordenada, pois, quando submetidos a Tensões Tangenciais
(Cisalhamento), deformam-se até o equilíbrio, admitindo curta deformação.
Os �uidos newtonianos satisfazem comportamentos lineares. São retas no diagrama, onde sua viscosidade é o
coe�ciente angular dessas retas, situação da maioria dos �uidos de uso comum, ou seja, possuem viscosidade
constante.
O plástico ideal também segue um comportamento linear, uma reta, mas necessita de uma contribuição inicial,
coe�ciente linear, para iniciar escoamento com coe�ciente angular constante, à semelhança dos newtonianos.
Os não newtonianos, no diagrama, são representados por uma curva não linear, com comportamento a depender das
características do �uido.
Escoamento laminar e turbulência
Escoamentos laminares são escoamentos estacionários que se passam em lâminas de corrente, em campos de escoamentos
viscosos, devido às Tensões Cisalhantes, descritos pelas Equações de Hagen-Poiseuille.
As linhas de escoamento são paralelas, em lâminas, com per�l parabólico, se o conduto for cilíndrico.
O comportamento do campo de velocidades, nesse caso, é quadrático, ou seja, parabólico, como na �gura a) da direita, acima,
e nas duas �guras da esquerda, abaixo.
Note, também, que no escoamento viscoso há perda de carga de
pressão ao longo do conduto.
A existência de forças viscosas indica que esses são escoamentos
rotacionais. Então, todo escoamento viscoso é rotacional. Quando lâminas
de corrente �uem, umas sobre outras, produzem pequenos �uxos
rotacionais.
 Fonte: NUSSENZVEIG. Curso de Física Básica 2.
Escoamentos Irrotacionais
Não formam circulações ou vórtices de �uxo.
Escoamentos não viscosos, incompressíveis e irrotacionais
são descritos pela Equação de Laplace, para a velocidade
do �uido.
Chamamos esse tipo escoamento de escoamento
potencial, onde seu campo de velocidades pode ser
descrito por uma função potencial.
A classi�cação de irrotacionalidade é válida para as
regiões do campo de escoamento onde as forças viscosas
são desprezíveis. Em condições particulares, com �uido
incompressível, não viscoso e baixas velocidades, é
possível produzir um �uxo potencial.
Para um �uido perfeito, ideal, nada impede que o escoamento se dê sobre um sólido com velocidade tangencial não nula, �gura
acima superior à esquerda.
Contudo, em um �uido real, sua viscosidade, mesmo pequena, mas não desprezível, impede esse per�l de escoamento ideal,
pois a velocidade relativa do �uido, em contato com o sólido, deve ser nula, tendo em vista uma camada de aderência por
tensão super�cial no entorno do sólido.
No caso de baixa viscosidade, sua ação (da viscosidade) para baixas velocidades deve se restringir a uma estreita camada
junto à superfície do sólido, de espessura muito menor do que as dimensões do sólido, onde se veri�ca o per�l de escoamento
laminar.
Nessa camada limite, prevista por Prandtl em 1904, a velocidade varia rapidamente, desde zero até a velocidade do campo de
escoamento.
Na �gura, onde as velocidades são mais elevadas, visualiza-se a formação de vórtices de escoamentos rotacionais, onde houve
um descolamento da camada limite da superfíciedo obstáculo.
 Diagrama do perfil de velocidades laminares com identificação da camada limite laminar 
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Diagrama do per�l de velocidades laminares com identi�cação da camada limite
laminar
 (Fonte: Research Gate e Laboratório de Mecânica da Turbulência)
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A �gura da esquerda, acima, é uma representação do digrama do per�l de velocidades laminares com identi�cação da
camada limite laminar, não houve ainda descolamento dessa camada limite nesse diagrama.
Na �gura da direita, acima, o disco branco é um cilindro sólido e a imagem desse campo de escoamento foi obtida em
corte de seção plana, sendo a direção vertical perpendicular à imagem. O sentido do �uxo é da direita para a esquerda.
A imagem acima identi�ca a formação de vórtices após o obstáculo cilíndrico, onde houve descolamento da camada
limite laminar da superfície do obstáculo.
Então, para velocidades de escoamento relativamente baixas, a camada limite permanece colada ao obstáculo sólido
e, assim, temos um escoamento laminar dentro dessa camada.
Mais afastado dessa camada limite, e distante do obstáculo, o escoamento se mantém irrotacional e quase idêntico
a um �uido perfeito, chamado inviscido (não viscoso) ou ideal.
Porém, para velocidades de escoamento mais elevadas, veri�ca-se o fenômeno de descolamento da camada limite
laminar e surge uma esteira onde aparecem vórtices, produzindo um re�uxo no �uido em direção ao obstáculo.
À medida que aumentamos a velocidade de escoamento, os vórtices vão se separando da camada limite, sendo
arrastados pelo �uido. Novos vórtices se formam na esteira do obstáculo, criando uma �leiras de vórtices.
Se aumentarmos ainda mais a velocidade de escoamento, então teremos um escoamento turbulento na esteira do
obstáculo, com �uxo extremamente irregular e até caótico, havendo mistura de linhas de escoamento de forma não
linear e variando no tempo, �gura acima.
 (Fonte: Medium)
Formação de vórtices com o descolamento da camada limite
laminar
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As �guras acima representam a formação de vórtices com o descolamento da camada limite laminar, formando uma esteira de
vórtices.
Posteriormente à esteira e também fora da camada limite, o �uxo é laminar. Esse fenômeno de descolamento de camada
limite laminar e formação de vórtices é uma fase transitória entre o regime de escoamento laminar e o escoamento turbulento.
AtenÁ„o! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conte?do online
Os escoamentos viscosos a baixas velocidades, então, podem ser
analisados dividindo o �uxo em duas regiões, uma dentro da camada limite,
onde a viscosidade é relevante, e outra fora desta camada, onde a
viscosidade é irrelevante, pois distante do obstáculo, e o �uido pode ser
tratado como ideal.
 Mas o que é a esteira e como se dá a separação da camada limite? 
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Mas o que é a esteira e como se dá a separação da camada limite?
Nos escoamentos sobre obstáculos sólidos, surgem forças de arrasto por forças de pressão e por forças de
cisalhamento.
Em uma placa plana paralela ao �uxo, o arrasto será devido somente às forças de cisalhamento, tangenciais. Mas se a
placa estiver inclinada, com certo ângulo de ataque (inclinação) ao �uxo, teremos que o arrasto será por pressão e por
cisalhamento. Nos obstáculos cilíndricos, esféricos e superfícies aerodinâmicas, as duas formas de arrasto se
manifestam.
Exemplo
Considere um cilindro sólido em um campo de escoamento não viscoso.
O �uido escoará contornando o cilindro sem perda de energia. Na metade anterior do cilindro, haverá diminuição da
pressão, à medida que contorna o cilindro, pois há aumento da velocidade por aproximação das linhas de escoamento
(Princípio de Bernoulli).
Na metade posterior do cilindro, a pressão aumentará, pois quando a velocidade de escoamento aumenta, a pressão
diminui, em �uidos ideais.
Não há, neste exemplo, arrasto por cisalhamento pois não há viscosidade. Só haveria arrasto por pressão.
Contudo, como a distribuição de pressão é simétrica, a perda de pressão anterior é compensada pelo aumento de
pressão posterior. Logo, o arrasto é zero. Este é o Paradoxo de D’Alembert.
Para escoamentos viscosos, reais, em um �uxo sobre o mesmo cilindro sólido, o �uido também escoa contornando o
obstáculo. Mas, dentro da camada limite, sofre uma perda de energia, pois a velocidade do �uxo, junto ao obstáculo,
tende a zero ao se aproximar deste.
Dentro da camada limite, o Momentum Linear das partículas �uidas é inferior às camadas exteriores gerando a
formação de vórtices, e insu�ciente para transportar o �uido para a região de pressão crescente, posterior ao cilindro.
Ao aumentar-se a velocidade de escoamento, surge uma contribuição de arrasto que faz a camada limite se descolar.
Veja a �gura acima. Com a camada limite descolada, forma-se a esteira.
A pressão na esteira é menor do que o aumento de pressão no contorno do cilindro. Quanto maior a esteira atrás do
obstáculo, maior o arrasto por pressão. Nos obstáculos cilíndricos, a maior contribuição ao arrasto será por
pressão resultante da separação da camada limite laminar.
A camada limite turbulenta, para um cilindro ou para uma superfície aerodinâmica, descola em uma posição posterior
àquela da camada limite laminar, pois a energia cinética e o momentum linear, no escoamento turbulento, são bem
maiores do que no escoamento laminar. Assim, o escoamento turbulento retarda a separação da sua camada limite,
comparado ao escoamento laminar.
Os elementos aerodinâmicos são projetados de forma a reduzir os efeitos da separação da camada limite. Estruturas
aerodinâmicas reduzem o gradiente de pressão de entorno, retardando e diminuindo os efeitos de separação da
camada limite.
Se o gradiente de pressão não for muito elevado, para estruturas aerodinâmicas, o �uido da camada limite pode escoar
suavemente sobre a superfície da estrutura.
No entanto, para grandes ângulos de ataque, o escoamento sofre separação da camada limite devido ao aumento do
gradiente adverso de pressão, o que aumenta o arrasto com perda de sustentação, denominada de Estol. Esse
fenômeno também depende do regime laminar ou turbulento do �uxo.
Uma curiosidade é que estruturas aerodinâmicas devem ser perfeitas para diminuir o arrasto por cisalhamento,
como descrito acima. Mas estruturas cilíndricas ou esféricas, como bolas, têm maior contribuição de arrasto por
pressão. Assim, se forem texturizadas, aumentando o efeito da turbulência, com maior pressão na esteira,
reduzirão o arrasto por pressão.
 Escoamento Turbulento em Torno de um Cilindro abaixo Número de ... pdfs.semanticscholar.org
Número de Reynolds
A experiência de Osborne Reynolds consistiu em produzir escoamentos laminares a diferentes velocidades de escoamento em
uma mesma tubulação, com água.
Para cada regime de escoamento, controlado o �uxo, injetava do �uxo um marcador colorido e observava o escoamento do
marcador no �uxo de água.
Assim, fenomenologicamente, estabeleceu uma equação para aferir os regimes de escoamentos desde baixas até altas
velocidades, obtendo intervalos para os regimes laminares, de transição e turbulentos.
O número de Reynolds, é diretamente proporcional à velocidade de escoamento, ao diâmetro do conduto do �uxo e
inversamente proporcional à viscosidade do �uido.
Para escoamentos em dutos cilíndricos, o número de Reynolds Re tem os seguintes intervalos:
(Dados contidos em: LIVI, Fenômenos de Transportes.)
A. R < 2100_______________Regime Laminar. 
B. 2100 < R < 2500________ Regime Transitório ou Intermediário. 
C. R > 2500_______________Regime Turbulento.
e
e
e
Saiba mais
Para uma classi�cação dos diversos tipos e regimes de escoamentos:
Leia o texto:
 Resumo Histórico da Mecânica dos Fluidos 
 Clique no botão acima.
Resumo Histórico da Mecânica dos Fluidos
O estudo da Mecânica dos Fluidos teve início antes de Cristo, estimulada pelas necessidades de sistemas de
distribuição de água para as pessoas e paraa irrigação, assim como para o projeto de barcos para a navegação e os
dispositivos e armas de guerra.
Naquela época, o seu desenvolvimento foi empírico sem utilizar conceitos matemáticos nem da mecânica; entretanto,
eles serviram como base para o desenvolvimento ocorrido na civilização Grega antiga e no império Romano. Os
primeiros escritos conhecidos sobre a Mecânica dos Fluidos são os de Arquimedes (287 – 212 a.C.), abordando os
princípios da hidrostática e da �utuação.
No início da era cristã, Sextus Juluis Frontinus (40 – 103 d.C.), engenheiro romano, descreveu detalhadamente
so�sticados sistemas de distribuição de água construídos pelos romanos.
Posteriormente durante o Renascimento, novas contribuições são alcançadas no campo da hidráulica e mecânica
experimental com Leonardo da Vinci (1452 – 1519) e Galileu Galilei (1564 – 1642). Na primeira metade do séc. XVII,
Isaac Newton enunciou as leis do movimento. Mais tarde, em 1755, Euler, estabeleceu equações diferenciais básicas
do movimento. Estudos e equações sobre energia foram estabelecidos por Bernoulli e D’Alembert.
Após todos os conhecimentos alcançados no séc. XVIII, os estudiosos se dividiram em duas ciências que se
desenvolveram separadamente. A Hidrodinâmica e a Hidráulica. A Hidrodinâmica tratava do estudo teórico e
matemático, com análises do �uido perfeito sem atrito. A Hidráulica tratava dos aspectos experimentais do
comportamento real dos �uidos´.
No �m do século XIX, Navier (1827) e Stokes (1845), em trabalhos independentes, apresentam as equações de
movimento na forma geral e com a inclusão do conceito de viscosidade. Tais equações restritas aos denominados
�uidos Newtonianos. Apesar disto, muitos resultados experimentais obtidos pelos estudiosos da Hidráulica não eram
ainda explicados por tais equações.
No �m do século XIX, as experiências realizadas por Reynolds começaram a elucidar possibilidades de aplicações das
equações de Navier-Stokes pelo estabelecimento do conceito de dois diferentes tipos de escoamentos: o laminar e o
turbulento.
Em 1904, o professor alemão Ludwig Prandtl (1857 – 1953) apresenta o conceito de “camada limite”, representando a
base para a reuni�cação das duas abordagens até então utilizadas na Mecânica dos Fluidos. A ideia proposta por
Prandtl é que os escoamentos em torno de fronteiras podem ser subdivididos em duas regiões: uma próxima às
paredes, onde os efeitos viscosos são muito importantes (camada �na de �uido – camada limite) e outra, adjacente à
esta, onde o �uido se comporta como um �uido ideal, sem atrito.
Este conceito forneceu a ligação para uni�car os conceitos teóricos dos que trabalhavam com a hidrodinâmica e com
a hidráulica. Após Prandtl, muitos outros contribuíram para o engrandecimento dos conhecimentos da Mecânica dos
Fluidos. Com o primeiro voo motorizado, no início do século XX, aumentou o interesse pela Aerodinâmica, pois era
necessário projetar aviões cada vez mais modernos, o que provocou um rápido desenvolvimento desta área.
Fonte: MUNSON et al. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Blücher, 1997.
 Atividade
1. O que são escoamentos uniformes e não uniformes?
2. O que são escoamentos permanentes e não permanentes?
3. O que é viscosidade?
4. Qual o signi�cado de escoamento em laminar e turbulento?
5. Quais as diferenças fundamentais entre �uidos e sólidos?
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. Volumes 1, 2, 3 e 4 Rio de Janeiro: LTC, 2012.
LIVI, Celso P. Fundamentos de Fenômenos de Transportes. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
MUNSON et al. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Blücher, 1997.
NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica. Volumes 1, 2, 3 e 4. São Paulo: Ed. Edgar Blücher, 1998.
SEARS; ZEMANSKY; YOUNG, H.; FREEDMAN, R .A. Física I, II, III e IV. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
Próxima aula
Os princípios da eletrodinâmica clássica;
A carga elétrica, o campo elétrico, a força elétrica de Coulomb;
O potencial elétrico e a corrente elétrica;
O capacitor elétrico, o resistor elétrico, o diodo, o campo magnético, a força magnética;
A indução do campo magnético estático;
A indução eletromagnética;
A geração elétrica, os motores elétricos.
Explore mais
Leia o texto Viscosidade, turbulência e tensão super�cial.
Abaixo você encontrará links de simuladores de conceitos de Mecânica dos Fluidos bem interessantes e divertidos,
experimente-os.
• Simulador de Pressão em Fluidos e Escoamento. 
Projeto Phet - Interactive Simulations, da University of Colorado, Boulder. 
• Simulador de Densidades Volumétricas. 
Projeto Phet - Interactive Simulations, da University of Colorado, Boulder.
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