Lista 8 calculo 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO-UACSA
Cálculo I
Lista 8
Joás Rocha
0. Esboçe o gráfico de sen(2x), 1 + sen(x), sen(x− 1), 2senx.
1. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→∞
ln(πx2 + 1)
ln(ex2 + 1)
b) lim
x→∞
x4
ex
c) lim
x→∞
(lnx)2
x
d) lim
x→0
(tanx)x
e) lim
x→0+
√
x lnx
2. Seja f uma função tal que lim
x→∞
f(x) = −∞, lim
x→−∞
f(x) = +∞,
f ′(1) = 0 , f ′(−2) = 0, f ′′(x) > 0 se x < 0 e f ′′(x) < 0 se x > 0. Suponha
que a única ráız de f é 5. Esboçe o gráfico de f .
3. Esboçe o gráfico de f(x) = x2 lnx.
4. Esboçe o gráfico de f(x) = x2e−x
5. Esboçar o gráfico de f(x) =
x2
e2x
.
6. Esboçe o gráfico de f(x) =
x
ex−1
7.
a)Esboçar o Gráfico de f(x) =
ln(x)
x
.
1
b)Baseado na alternativa ”a”, quem é maior: eπ ou πe?
8. Esboçe o gráfico de f(x) =
e|x
2−4|
x
.
9. Considere uma part́ıcula que se move sobre a parte da hipérbole y =
1
x2
− 1
36
que passa no primeiro e quarto quadrante. Suponha que a velocidade
da part́ıcula com relação a origem em função do tempo é dada por v(t) = 10t.
Sabendo que a função que dá a distância a origem em função do tempo é da
forma d(t) = at2 + bt + c e que a distância da part́ıcula a origem no tempo
t = 0 é d(0) = 1:
a) Encontre a, b e c.
b) Qual a velocidade da part́ıcula com relação a origem quando ela cruza
o eixo do ”x”?
10. Dentre os pontos da reta de equação y+2x = 2 achar o mais próximo
da origem.
11.* Seja f : (a,∞) −→ R uma função diferenciável.
a)Suponha que lim
x→∞
f ′(x) = −1. Convença-se de que lim
x→∞
f(x) = −∞.
b)Suponha que lim
x→∞
f ′(x) = −1. Usando o teorema do valor médio,
mostre que lim
x→∞
f(x) = −∞.
c) Use o item b para mostrar que lim
x→∞
√
x lnx− x = −∞.
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