Prova 2 Mecânica - Prof. Samir UFRGS

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AVALIAÇÃO 2
Enunciado e Resolução
Referindo-se ao sistema de eixos Oxy, determinar as coordenadas do centróide C da peça 
representada na figura abaixo.
( ),X Y
h3
h1
x
y
O
b1
b3
b2
Exercício 1 - Enunciado
h3
h1
x
y
O
b1
b3
b2
Exercício 1 – Resolução
Peça = Retângulo + Retângulo + Triângulo 1 2 3
×1C
h3
123
1 1 1
1 1 2 3
1
1 1
/ 2
C
/ 2
= ×
= + +
=
=
A b h
x b b b
y h
Retângulo �1
2 2 3
2 2 3
2
2 3
/ 2
C
/ 2
= ×
= +
=
=
A b h
x b b
y h
×2C
×3
C
3 3 3
3 3
3
3 3
/ 2
2 / 3
C
/ 2
= ×
=
=
=
A b h
x b
y h
1 1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1 1 2 2 3 3
1 2 3
A
A
=
=
+ += =
+ +
+ += =
+ +
∑
∑
n
i i
i
n
i i
i
x A
x A x A x A
X
A A A
y A
y A y A y A
Y
A A A
Retângulo �2
Triângulo �3
A peça metálica representada na figura é composta de um 
perfil em T soldado com uma placa quadrada.
2.1 – Determinar o momento de inércia Ix em relação ao eixo Ox
2.2 - Determinar a posição do centróide C da peça
2.3 - Determinar o momento de inércia Ixc em relação ao eixo central xc
Y
x
y
xc
C
×
Y
b2
a
h2
h1
O
a
b1
Exercício 2 - Enunciado
Exercício 2 – Resolução
x
y
b2
a
h2
h1
O
a
b1
Peça = Retângulo + Retângulo + Quadrado 1 2 3
1 1 1
1 1 1C / 2
= ×
→ = +
A b h
y a h
Retângulo �1
Devido a simetria do perfil, o centróide C está localizado ao longo do eixo Oy
� ( )0,=C X Y
2 2 2
2 2 1 2C / 2
= ×
→ = + +
A b h
y a h h
Retângulo �2
2
3
3 3C / 2
=
→ =
A a
y a
Quadrado �3
1
2
×1C
×2
C
×3C 3 2.1 – Determinar o momento de inércia Ix em relação ao eixo Ox
3
21 1
1 1
3
22 2
2 2
4 4
2
3 3
1x
x2
x3
I
12
I
12
I
12 3

= + ×

 = + ×


= + × =

b h
A y
b h
A y
a a
A y
1 2x x x3I I I I= + +x
x
y
xcC
×
Y
b2
a
h2
h1
O
a
b1
2.2 - Determinar a posição do centróide C da peçaY
1 1 1 2 2 3 3
1 2 3A
= + += =
+ +
∑
n
i i
i
y A
y A y A y A
Y
A A A
2.3 - Determinar o momento de inércia Ixc em relação ao eixo central xc
2xc +I I A=x YTeorema dos eixos paralelos ����
����
2xcI I A= −x Y
( )1 2 3A = + +A A A
Considera-se o perfil “C” da figura abaixo.
e2
O
b
h
3.1 - Calcular os momentos de inércia Ix e Iy em relação aos eixos Ox e Oy
3.2 - Determinar o produto de inércia Ixy 
3.3 - Determinar os eixos principais de inércia Ou e Ov
3.4 - Determinar os momentos principais de inércia Iu e Iv
y
x
e1
e3
Exercício 3 - Enunciado
y
e2
O
b
h
x
e1
e3
Exercício 3 – Resolução
Peça = Retângulo + Retângulo + Retângulo 1 2 3
12
3
×
1C×2C
×3C
3.1 - Calcular os momentos de inércia Ix e Iy em relação aos eixos Ox e Oy
3.2 - Determinar o produto de inércia Ixy 
( )
( ) ( )
1 1 3
1 1
1
1 3 3 3
/ 2 
C
/ 2 / 2
= × −
= −
=
= + − = +
A e h e
x b e
y e h e h e
Retângulo �1
Retângulo �2
( )
( ) ( )
2 2 3
2 2
2
2 3 3 3
/ 2 
C
/ 2 / 2
= × −
=
=
= + − = +
A e h e
x e
y e h e h e
Retângulo �3
3 3
3
3
3 3
/ 2
C
/ 2
= ×
=
=
=
A e b
x b
y e
( )
( )
3
1 3 2
1 1
3
3 1 2
1 1
1 1 1
x1
y1
xy1
I
12
I
12
I 0
× −
= + ×
− ×
= + ×
= + ×
e h e
A y
h e e
A x
A x y
( )
( )
3
2 3 2
2 2
3
3 2 2
2 2
2 2 2
x2
y
xy2
I
12
I 2
12
I 0
× −
= + ×
− ×
= + ×
= + ×
e h e
A y
h e e
A x
A x y
3
23
3 3
3
23
3 3
3 3 3
x3
y3
xy3
I
12
I
12
I 0
×= + ×
×= + ×
= + ×
b e
A y
e b
A x
A x y
1 2 3x x xI I I I= + +x
1 2 3y y yI I I I⇒ = + +y
1 2 3xy xy xyI I I I= + +xy
3.3 - Determinar os eixos principais de inércia Ou e Ov
3.4 - Determinar os momentos principais de inércia Iu e Iv
e2
O
b
h
y
x
e1
e3
A inclinação dos eixos principais Ouv é dada por:
I 2 I 2 I1
tan 2 arctan
I I 2 I I
θ θ
 
= − = − ⇒ = −  ∆ − − 
xy xy xy
p p
x y x y
com
4 4p
π πθ − ≤ ≤ + 
 
Dependendo dos valores de Ix , Iy e Ixy, o valor de pode ser positivo 
ou negativo. A figura ilustra o caso de
θ p
0θ ≥p
I I I I
com e
2 2
x y x y+ −Σ = ∆ =
Os momentos principais são dados por:
2 2
max
2 2
min
I I
I I
xy
xy
= Σ + ∆ +
= Σ − ∆ +
max minse I I I I & I I> ⇒ = =x y u v
Ou eixo de inércia máxima 
Ov eixo de inércia mínima
Dependendo dos valores de Ix e Iy, tem-se
min maxse I I I I & I I< ⇒ = =x y u v
Ou eixo de inércia mínima 
Ov eixo de inércia máxma
o14,6−
v
u
θ p