8. Externalidades_GABARITO

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Universidade Federal Fluminense 
Laboratório de Microeconomia III – 2019.2 
Professora: Rosane Mendonça 
Tutora: Roberta Mendes – rmendes@id.uff.br 
Data: 13/11/2019 
 
Lista 8 – Externalidade (cap. 34) 
 
1. Uma economia é constituída por dois indivíduos cujas utilidades são 𝑈𝐴(𝑓, 𝑚𝐴) =
4
3
√𝑓 + 𝑚𝐴 e 𝑈𝐵(𝑓, 𝑚𝐵) = 𝑙𝑛(1 − 𝑓) + 𝑚𝐵, em que f representa a poluição gerada 
pelo consumo de cigarro por parte do indivíduo A (medido numa escala entre 0 e 
1) e 𝑚𝑖 representa o gasto do indivíduo i com a aquisição de outros bens (i = A ou 
B). Suponha que o indivíduo B tenha direito a todo ar puro, mas que possa vender, 
ao preço unitário p, o direito de poluir parte do ar ao indivíduo A. Se no equilíbrio o 
indivíduo A paga G unidades monetárias ao indivíduo B para poluir parte do ar, 
ache o valor de G. 
 
Solução 
Externalidade de consumo: Consumidor se preocupa diretamente com a produção ou 
consumo de outro agente. Seja P o custo da externalidade e E a quantidade de 
externalidade, o cálculo do custo e da quantidade da externalidade: 
1) Inclui o custo/benefício na utilidade os agentes (PE); 
2) Maximiza as utilidades em relação a quantidade externalidade (E). Com isso 
encontra P; 
3) Igualar P e achar a quantidade de externalidade (E); 
4) Substitui E em PE para achar o preço. 
Etapas 3 pode ser alcançada igualando a TMS dos dois indivíduos. 
 
B tem direito de propriedade a todo o ar puro e pode vendê-lo ao preço p para A: 
Devemos somar pf na 𝑈𝐵. 
A paga G unidades a B para poder fumar e poluir o ar: Devemos subtrair pf na 𝑈𝐴. 
 
2 
 
A paga a B e A tem que maximizar sua função de utilidade convencional acrescida da 
parte que ele paga a B. Logo: 
Passo 1 e 2: Máx 𝑈𝐴(𝑓, 𝑚𝐴) =
4
3
√𝑓 + 𝑚𝐴 − 𝑝𝑓 
𝜕𝑈𝐴
𝜕𝑓
= 0 
4
3
∗
1
2
𝑓−1/2 − 𝑝 = 0 
2
3
𝑓−1/2 = 𝑝 
𝑝 =
2
3√𝑓
 
 
Ou 
𝑇𝑀𝑆𝐴 =
𝜕𝑈𝐴
𝜕𝑓⁄
𝜕𝑈𝐴
𝜕𝑚𝐴
⁄
=
2
3√𝑓⁄
1
=
2
3√𝑓
 
 
B venderá a A a quantidade de fumaça que maximiza seu bem-estar e tem que 
resolver o seguinte problema: 
 
Passo 1 e 2: Máx 𝑈𝐵(𝑓, 𝑚𝐵) = 𝑙𝑛(1 − 𝑓) + 𝑚𝐵 + 𝑝𝑓 
𝜕𝑈𝐵
𝜕𝑓
= 0 
1
1 − 𝑓
(−1) + 𝑝 = 0 
𝑝 =
1
1 − 𝑓
 
 
Ou 
𝑇𝑀𝑆𝐵 =
𝜕𝑈𝐵
𝜕𝑓⁄
𝜕𝑈𝐵
𝜕𝑚𝐵
⁄
=
1
1 − 𝑓⁄
1
=
1
1 − 𝑓
 
 
3 
 
Passo 3: Para que o mercado esteja em equilíbrio, a quantidade cedida de poluição 
deve ser igual a quantidade consumida. Logo as duas expressões podem ser igualadas 
(ou se pode pensar que estamos igualando as TMS dos indivíduos): 
1
1 − 𝑓
=
2
3√𝑓
 
3√𝑓 = 2(1 − 𝑓) 
3√𝑓 = 2 − 2𝑓 
(3√𝑓)
2
= (2 − 2𝑓)2 
9𝑓 = 4 − 2 ∗ 2 ∗ 2𝑓 + (2𝑓)2 
9𝑓 = 4 − 8𝑓 + 4𝑓2 
4𝑓2 − 17𝑓 + 4 = 0 
∆= −4𝑎𝑐 + 𝑏2 = −4 ∗ 4 ∗ 4 + 172 = −64 + 289 = 225 
𝑓 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
𝑓′ =
−(−17) + √225
2 ∗ 4
=
17 + 15
8
=
32
8
= 4 
𝑓′′ =
−(−17) − √225
2 ∗ 4
=
17 − 15
8
=
2
8
=
1
4
 
 
Como a questão fala que f está entre 0 e 1, a quantidade de fumaça será ¼. 
O preço unitário da fumaça é 𝑝 =
1
1−𝑓
, logo a quantidade paga por AaB é 
𝐺 = 𝑝𝑓 = (
1
1 − 𝑓
) 𝑓 = (
1
1 − 1 4⁄
) ∗
1
4
=
1
3
 
 
2. Duas firmas produzem um bem com preço unitário constante p= $12. A primeira, 
firma S, situada na margem de um rio, opera com função custo 𝑐(𝑥) = 𝑥2, sendo x 
a quantidade do bem produzida por ela. A outra firma, firma W, localizada pouco 
adiante no mesmo rio, produz a quantidade y do mesmo bem, com custo expresso 
por 𝑐(𝑦) = 𝑦2 +
1
2
𝑥2. O último componente dessa expressão representa a 
externalidade negativa gerada pela poluição do rio por parte da outra firma. 
4 
 
a) Calcule a redução no número de unidades produzidas pela firma poluidora, 
caso ambas decidam explorar, com a fusão entre as firmas, os ganhos 
derivados da internalização da externalidade. 
b) Em qual situação o lucro gerado é maior? 
 
Solução 
Externalidade de produção: Possibilidade de produção de uma empresa são 
influenciadas pelas escolhas de outra empresa. Cálculo da internalização da 
externalidade via fusão: 
1) Maximizar a função de lucro do agente causador da externalidade em relação 
ao bem produzido e a externalidade: Encontra quantidade produzida isolada e 
a quantidade de externalidade ótima privada (quando os custos sociais não são 
considerados); 
2) Maximizar- a função de lucro do agente que sofre com a externalidade e 
relação ao bem produzido: Encontra quantidade produzida isolada; 
3) Internalizar o custo da externalidade: Maximiza a função de lucro de ambos os 
agentes de forma conjunta: Encontra a quantidade socialmente ótima de 
externalidade (custo social da externalidade é considerado). O lucro total da 
sociedade é maior nessa situação. 
 
a) Passo 1: Firma geradora de externalidade toma a decisão isoladamente e só 
está interessada em determinar o nível ótimo do bem que ela produz, 
x.(quantidade ótima privada) 
Máx 𝜋𝑆 = 𝑝𝑥 − 𝑐(𝑥) = 12𝑥 − 𝑥
2 
𝜕𝜋𝑆
𝜕𝑥
= 0 
12 − 2𝑥 = 0 
2𝑥 = 12 
𝑥∗ = 6 
 
Esse é o nível ótimo privado. 
 
5 
 
Passo 3: Com a fusão das firmas, deve-se maximizar a função agregada dos 
lucros 
Máx 𝜋𝑆𝑊 = 𝑝𝑥 − 𝑐(𝑥) + 𝑝𝑦 − 𝑐(𝑦) = 12𝑥 − 𝑥
2 + 12𝑦 − 𝑦2 −
1
2
𝑥2 
𝜕𝜋𝑆𝑊
𝜕𝑥
= 0 
12 − 2𝑥 − 𝑥 = 0 
3𝑥 = 12 
�̂� = 4 
Esse é o nível ótimo social. 
 
𝑥∗ − �̂� = 6 − 4 = 2 
Como incialmente a firma geradora de externalidade, S, produzia 6 
unidades e com a fusão passaria a produzir 4 unidades, a redução no 
número de unidades produzidas seria de 2 unidades. 
b) Calcular o lucro nas duas situações 
Empresas decidem de forma isolada:𝑥∗ = 6. Precisamos achar 𝑦∗. 
 
Máx 𝜋𝑊 = 𝑝𝑦 − 𝑐(𝑦) = 12𝑦 − 𝑦
2 −
1
2
𝑥2 
𝜕𝜋𝑊
𝜕𝑦
= 0 
12 − 2𝑦 = 0 
2𝑦 = 12 
𝑦∗ = 6 
𝜋𝑊 = 𝑝𝑦 − 𝑐(𝑦) = 12𝑦 − 𝑦
2 −
1
2
𝑥2 = 12 ∗ 6 − 62 −
1
2
62 = 18 
 
𝜋𝑆 = 𝑝𝑥 − 𝑐(𝑥) = 12𝑥 − 𝑥
2 = 12 ∗ 6 − 62 = 36 
 
Empresas decidem de forma isolada: 𝜋𝑆 = 36 e 𝜋𝑊 = 18, lucro total da 
sociedade é 54. 
 
Empresas decidem de forma conjunta (internalização da externalidade): 
�̂� = 4. Precisamos achar �̂�. 
6 
 
Máx 𝜋𝑆𝑊 = 𝑝𝑥 − 𝑐(𝑥) + 𝑝𝑦 − 𝑐(𝑦) = 12𝑥 − 𝑥
2 + 12𝑦 − 𝑦2 −
1
2
𝑥2 
𝜕𝜋𝑆𝑊
𝜕𝑦
= 0 
12 − 2𝑦 = 0 
2𝑦 = 12 
�̂� = 6 
𝜋𝑆𝑊 = 12𝑥 − 𝑥
2 + 12𝑦 − 𝑦2 −
1
2
𝑥2 
 
𝜋𝑆𝑊 = 12 ∗ 4 − 4
2 + 12 ∗ 6 − 62 −
1
2
42 = 48 − 16 + 72 − 36 − 8 = 60 
 
Lucro é maior quando quantidade socialmente ótima é produzida (custo 
social da externalidade é considerado). 
 
3. Uma grande fábrica despeja seus dejetos industriais numa lagoa, que também é 
usada para recreação por mil pessoas. Sejam: 
𝑥: o total de unidades de dejetos despejados na lagoa; 
𝑦𝑖: o número de horas diárias que o indivíduo 𝑖 passa nadando e remando na lagoa; 
𝑐𝑖: a quantidade de unidades monetárias que o indivíduo 𝑖 gasta com bens de 
consumo. 
Ao despejar X unidades de dejetos na lagoa, os lucros da firma serão 𝜋 =
 1.200𝑋 – 100𝑋². Todos os consumidores têm a mesma renda e idênticas funções de 
utilidade: 𝑈(𝑋, 𝑌𝑖, 𝐶𝑖) = 𝐶𝑖 + 9𝑌𝑖 − 𝑌𝑖² − 𝑋𝑌𝑖. Suponha não haver, nem 
restrições quanto à quantidade de dejetos despejados na lagoa, nem uma taxa sobre o 
uso da lagoa para as pessoas. Por fim, considere que a firma e os consumidores tomam 
suas decisões de forma independente. 
a) Que nível de poluição será escolhido pela firma para maximizar seus lucros? 
b) Quando X = 6, quantas horas passará cada indivíduo nadando e remando na 
lagoa? 
c) Quando uma pessoa estiver passando 1,5 hora diárias na lagoa, quanto 
dinheiro (𝐶𝑖) ela estará disposta a pagar para reduzir a poluição (X) em uma 
unidade? 
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d) Lembrando-se que há mil pessoas, qual é o valor total que esta comunidade 
estaria disposta a pagar para que se reduzisse a quantidade de poluição? 
e) De quanto cairiam os lucros da firma se ela reduzisse sua produção de 6 
para 5 unidades? 
f) Os cidadãos teriam condições de arcar com esta redução em uma unidade 
de poluição? 
 
Solução 
a) 𝜕𝜋/𝜕𝑋 = 0  1200 – 200𝑋= 0  𝑋 = 6. 
b) X = 6 -> 𝑈(𝑋, 𝑌𝑖, 𝐶𝑖) = 𝐶𝑖 + 9𝑌𝑖 − 𝑌𝑖² − 6𝑌𝑖 
𝜕𝑈/𝜕𝑌 = 0  9 − 2𝑌𝑖 – 6 = 0  𝑌 = 1,5. 
c) Qual é a TMS entre dinheiro (Ci) e poluição (X) quando Y = 1,5? 
U(X, Yi, Ci) = Ci + 9*1,5 - (1,5)² - 1,5X = Ci + 11,25 - 1,5X. 
Portanto, temos que 𝑇𝑀𝑆𝑐, 𝑥 = − (𝜕𝑈/𝜕𝑋)/(𝜕𝑈/𝜕𝐶𝑖) = 1,5. Portanto, 
uma pessoa qualquer estaria disposta a abrir mão de $1,5 em troca de uma 
unidade a menos de poluição. 
d) 1.000*1,5 = 1.500. 
e) 𝜋 = 1.200𝑋 – 100𝑋². Quando X = 6, temos 𝜋 = $3.600. Quando X = 5, 
temos 𝜋 = $3.500. Portanto, redução de $100. 
f) Sim, pois a comunidade estaria disposta a pagar $1.500 pela redução, e a 
redução de lucro da empresa é de apenas $100. 
 
4. Considere ume economia onde coexistem duas empresas (1 e 2) que produza cada 
uma delas um bem, x e y. Suas funções de custos são: 𝐶1(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2 + 10𝑥 −
𝑥𝑦 𝑒 𝐶2(𝑦) = 𝑦
2 + 20𝑦. Suponha que o mercado absorva toda a quantidade 
produzida dos bens a preços 𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 = 120. Pede-se: 
a) Determine os volumes de produção de equilíbrio quando ambas as pessoas 
consideram apenas seus custos privados. 
b) O resultado acima representa uma situação ótima de Pareto? 
c) Calcule a produção de ambos os indivíduos tendo em conta os custos 
marginais sociais dessa economia. 
 
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Solução 
Vamos resolver essa questão de forma diferente do que fizemos anteriormente. 
a) Para a maximização individual, cada uma das empresas resolve seu 
problema de forma individual. Inicialmente, resolve-se o problema de 
maximização da empresa 2 que não tem externalidade. 
𝐶𝑀𝑔2 = 𝑝 
𝜕𝐶(𝑦)2
𝜕𝑦
= 𝑝 
2𝑦 + 20 = 120 
2𝑦 = 100 
𝑦 = 50 
 
O problema para a empresa 1 que sofre a externalidade será: 
𝐶𝑀𝑔1 = 𝑝 
𝜕𝐶(𝑥, 𝑦)1
𝜕𝑥
= 𝑝 
2𝑥 + 10 − 𝑦 = 120 
2𝑥 = 120 − 10 + 50 
2𝑥 = 160 
𝑥 = 80 
 
b) Mercados com externalidades não resolvidas não estão atuando no ótimo 
de Pareto. Para observar se há ou não externalidade, devemos observar se 
alguma das empresas tem na sua função de custo algum custo que ela não 
tem o controle. 
𝐶1(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2 + 10𝑥 − 𝑥𝑦 
Tem-se uma externalidade positiva, -xy, que reduz o custo que a empresa 1 
tem. 
 
c) Para internalizar o custo marginal social podemos calcular a maximização 
do lucro total. Sendo assim o problema da economia pode ser escrito como: 
𝐶(𝑥, 𝑦)12 = 𝐶(𝑥, 𝑦)1 + 𝐶(𝑦)2 
𝐶(𝑥, 𝑦)12 = 𝑥
2 + 10𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 20𝑦 
9 
 
 
𝐶𝑀𝑔12 = 𝑝 
𝜕𝐶(𝑥, 𝑦)12
𝜕𝑥
= 120 
2𝑥 + 10 − 𝑦 = 120 
2𝑥 = 120 − 10 + 𝑦 
𝑥 =
110 + 𝑦
2
 
 
𝐶𝑀𝑔12 = 𝑝 
𝜕𝐶(𝑥, 𝑦)12
𝜕𝑦
= 120 
−𝑥 + 2𝑦 + 20 = 120 
−𝑥 = 120 − 2𝑦 − 20 
𝑥 = 2𝑦 − 100 
 
𝑥 = 𝑥 
110 + 𝑦
2
= 2𝑦 − 100 
110 + 𝑦 = 4𝑦 − 200 
𝑦 − 4𝑦 = −200 − 110 
−3𝑦 = −310 
3𝑦 = 310 
𝑦 =
310
3
 
𝑦 = 103,33 
 
𝑥 = 2𝑦 − 100 
𝑥 = 2(103,33) − 100 
𝑥 = 206,66 − 100 = 106,66 
 
5. Considere que um aeroporto está localizado ao lado de um grande terreno que é 
propriedade de um incorporador imobiliário. O incorporador gostaria de construir 
moradias naquele terreno, mas o barulho do aeroporto reduz o valor das 
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propriedades. Quanto maior for a intensidade do tráfego aéreo, menor o valor do 
montante de lucros que o incorporador pode obter com o terreno. Seja X o número 
de voos diários e Y o número de moradias que o incorporador pretende construir. 
O lucro total do aeroporto (LA) é dado pela função 𝜋𝐴 = 48𝑋 – 𝑋² e o lucro total 
do incorporador (LI) é dado por 𝜋𝐶 = 60𝑌 – 𝑌² – 𝑋𝑌. 
a) Quais serão o número de voos X e o número de moradias Y nas situações: 
i. Considere que o aeroporto e o incorporador tomem decisões 
independentes. 
ii. Considere que o aeroporto e o incorporador decidam pela formação 
de um conglomerado empresarial com o objetivo de maximizar o 
lucro conjunto. 
b) Em qual dessas situações o lucro é maior? Por quê isso ocorre? 
Solução 
 
a) 
i. Decisões isoladas 
∂πA/∂X = 0  48 – 2X = 0  X = 24 aviões. 
∂πC/∂Y = 0  60 – 2Y – X = 0  Sendo X = 24, teremos: 60 – 2Y – 24 = 0  Y = 18 casas. 
ii. Decisão conjunta (fusão): Internalização da externalidade 
πm = 48X – X² + 60Y – Y² – XY 
∂πm/∂Y = 0  60 – 2Y – X = 0 
 X = 60 - 2Y 
∂πm/∂X = 0  48 – 2X – Y = 0 
 48 – 2 (60 - 2Y) – Y = 0 
 48 – 120 + 4Y – Y = 0 
 3Y = 72  Y = 24. 
X = 60 - 2Y = 60 – 2 (24) = 60 – 48 = 12. 
Resolvendo-se o sistema de equações acima chega-se a X = 12 aviões e Y = 24 casas. 
 
b) 
i. Decisões isoladas 
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πA = 48X – X² = 48*24 – 24² = 576 
πC = 60Y – Y² – XY = 60*18 – 18² – 24*18 = 324. 
πA + πC = 900 
iii. Decisão conjunta (fusão): Internalização da externalidade 
πm = 48*12 – 12² + 60*24 – 24² – 12*24 = 1008. 
 
O lucro na segunda situação é maior porque o custo social da externalidade 
é considerado. 
 
6. Julgue se as questões são Verdadeiras ou Falsas: 
a) Caso as preferências dos consumidores sejam quase lineares, a quantidade 
de externalidade será a mesma em todas as alocações eficientes de Pareto 
e as consequências distributivas da especificação dos diretos de 
propriedade são eliminadas. 
b) O imposto sobre o lucro de uma empresa geradora de poluição ajuda a 
corrigir a ineficiência causada por tal externalidade. 
c) O resultado do Teorema de Coase não é influenciado pela existência de 
custos de transição. 
 
Solução 
 
a) Falso. A primeira parte é verdadeira. A demanda do bem que causa a 
externalidade independe da renda. Desse modo, a realocação da dotação 
(distribuição dos direitos de propriedades) não afeta a quantidade eficiente 
da externalidade, mas os indivíduos terão quantidades diferentes do outro 
bem. Logo os direitos de propriedade afetarão a quantidade do segundo 
bem que cada indivíduo tem. 
 
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b) Falso. O imposto eficiente não é sobre o lucro, mas sim sobre a quantidade 
de poluição gerada e deve fazer com o custo marginal da produção seja 
igual à externalidade negativa provocada. 
c) Falso.