Minicurso Wolfram

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Minicurso 
USO DO WOLFRAM PARA ESTUDOS EM ENGENHARIA 
 
 
 
Ministrantes: 
Prof. Dr. Elio Pessoa Cazuza 
Prof. Me. José Pedro da Silva Júnior 
 
 
 
 
 
 
 
 
III Congresso de Iniciação Científica 
Natal-RN 
2019 
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Sumário 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 2 
1.1. INTERFACE ..................................................................................................................... 2 
2. Construção de gráficos ......................................................................................................... 3 
2.1. Construção de gráficos ................................................................................................. 3 
3. Análises matemáticas ........................................................................................................... 5 
3.1. Limite ............................................................................................................................ 5 
3.2. Derivada ........................................................................................................................ 6 
3.3. Integral .......................................................................................................................... 7 
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1. INTRODUÇÃO 
Muitos estudantes da área de ciência e tecnologia, demonstram certas 
dificuldades em resolver problemas matemáticos de nível superior como limites, 
derivadas e integrais. Ao longo da vida acadêmica, as estruturas matemáticas vão 
ficando cada vez mais robustas quando aplicadas a situações reais, como problemas 
físicos ou de engenharia. Uma ferramenta disponível na internet muito interessante 
para auxiliar nos estudos é o software Wolfram Alpha, desenvolvido pela Wolfram 
Research Inc., que possui interface aberta e resolve problemas matemáticos 
simplificados, informado alguns métodos de resolução, gráficos e a resposta final. 
O grande objetivo desse minicurso é o de incentivar os discentes a conhecer o 
programa e ajudá-los com os comandos básicos, principalmente para o uso direcionado 
para o cálculo aplicado a engenharia. 
1.1. INTERFACE 
Para encontrar plataforma on-line gratuita do wolfram Alpha basta acessar o 
link: https://www.wolframalpha.com/. Será apresentado ao usurário a tela mostrada 
na Figura 1. 
 
Figura 1 – Tela de apresentação do wolfram Alpha. 
É possível conferir alguns exemplos prontos do aplicativo, como pode ser 
conferido na Figura 2. 
 
Figura 2 – Exemplos disponíveis. 
https://www.wolframalpha.com/
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No entanto, para esse curso, vamos abordar somente as ferramentas de 
construção de gráficos em duas e três dimensões, e análise de cálculos matemáticos, 
como limites, derivadas e integrais. 
2. Construção de gráficos 
2.1. Construção de gráficos 
Neste tópico iremos aprender a construir diferentes gráficos utilizando o 
wolfram alpha. Para isso, dentro da caixa de texto sempre devemos escrever o comando 
plot e em seguida a função. A Figura 3 mostra o gráfico de uma função polinomial de 1º 
grau na forma (f(x) = 2x + 1). 
 
Figura 3 – gráfico da função f(x) = 2x + 1 
Perceba que a função de primeiro grau é uma linha reta, além disso, como não 
foi informado uma faixa, o programa construiu um gráfico genérico, porém, é possível 
inserir qual a variação desejada, para isso devemos informar o ponto inicial com o 
comando from e o ponto final com o comando to, como verificado na Figura 4, que 
apresenta uma função de segundo grau (f(x) = 2x2 + x - 1), onde x varia entre -2,5 e 2,5. 
 
Figura 4 – gráfico da função f(x) = 2x2 + x - 1 
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Observe que na caixa de texto, o operador expoente é representado pelo 
símbolo ^ (acento circunflexo), logo, escrevemos x2 como x^2. Além disso, não 
utilizamos virgulas para algarismos decimais logo, devemos escrever 2.5 ao invés de 2,5. 
A tabela 1 mostra como deve-se escrever alguns comandos de funções. 
Tabela 1 – Comandos básicos 
Cosseno cos(x) Logaritmo log(x) 
Seno sin(x) Logaritmo natural ln(x) 
Tangente tan(x) Exponencial exp(x) 
Raiz quadrada Sqrt(x) Pi (𝜋) pi 
 
Também é possível construir dois ou mais gráficos ao mesmo tempo, para isso 
bastar inserir as funções dentro de chaves separadas por virgula. A Figura 5 mostra um 
plote de duas funções trigonométricas, seno (sin(x)) e cosseno (cos(x)). 
 
Figura 5 – Gráfico sin (x) e cos (x) 
Exercícios: 
Faça os seguintes gráficos: 
1 ) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 2 
2) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 
3) 𝑓(𝑥) = cos(2𝑥 + 1) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/2 
4) Insira o código: plot 3d z=x^2+y^2 
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3. Análises matemáticas 
3.1. Limite 
Neste tópico vamos trabalhar com o operador limite e resolver problemas 
básicos sobre limites. Para isso, deve-se inserir o comando limit, em seguida a função e 
por último informar para o onde a variável independente (x) tenderá com os seguintes 
comandos as x -> , se tender para o infinito, insira o comando infinity. Como primeiro 
exemplo vamos verificar o limite da função 1/x quando x tende ao infinito, inserindo os 
comandos: limit 1/x as x->infinity 
A Figura 6 mostra o resultado da expressão dada pelo wolfram alpha. 
 
Figura 6 – Limite de 1/x quando x tende ao infinito. 
Outro exemplo que podemos verificar é como se comporta a função (1+1/n)^n quando 
n tende a zero, inserindo o comando: limit (1+1/n)^n as n->0 
 
Figura 7 – Limite de (1+1/n)^n quando n tende a zero 
Por último vamos verificar o limite da função exponencial e-x quando x tende ao 
infinito, inserindo o comando: limit exp(-x) as x->infinity 
 
Figura 8 – Limite de e-x quando x tende ao infinito 
Exercícios: 
1) lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
 2) lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥2−1
 3) lim
𝑥→0
sin(𝑥)
𝑥
 4) lim
𝑥→∞
(
𝑥
𝑥+1
) 
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3.2. Derivada 
Agora vamos resolver problemas para derivadas. Existem duas formas de inserir 
o comando do operador derivada: escrevendo derivative e em seguida a função, ou 
escreve o operador derivada em relação a variável que se quer derivar (d/dx). 
Como primeiro exemplo vamos derivar a função f(x) = x sen(x2), inserindo o 
comando: derivative x sin(x^2) ou d/dx (x sin(x^2)) 
 
Figura 9 – Derivada de x sen(x2) 
Nosso segundo exemplo vamos derivar a função cos(z2+ez), inserindo o 
comando: derivative cos(z^2+e^z) ou d/dz(cos(z^2+e^z)) 
 
Figura 10 – Derivada de cos(z2+ez) 
Por último vamos verificar um exemplo de uma função que possui duas ou mais 
variáveis, e queremos derivar apenas para uma variável (derivadas parciais). Vamos 
derivar a função f(x, y) = x2y4, inserindo os comandos: d/dx x^2 y^4, d/dy x^2 y^4 
 
Figura 11 – Derivada parcial de x2y4 
Exercícios: 
1) 𝑡𝑎𝑛 (𝑥2 + 1) 2) 𝑥 ln(𝑥) 3) 𝑒𝑥
2
+ 𝑥 4) 𝑒𝑥 cos(𝑦 + 2𝑥) 
 
 
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3.3. Integral 
Nesse tópico vamos abordar problemas de integrais. Como sabemos integral é o 
inverso da derivada e também é dada como a área sob uma curva. O comando atribuído 
ao operador integral é homônimo, ou seja, integral e em seguida digita a função. Por 
exemplo vamos calcular a integral de x, inserindo os seguintes comandos: integral x dx 
 
Figura 12 – Integral de x 
Um dos grandes problemas em resolver integrais, é quando encontramos 
funções que só podem ser resolvidas por partes, como por exemplo cos2(x), logo, 
inserindo os comandos: integral cos^2(x) dx 
 
Figura 13 – Integral de cos2(x) 
Até agora, fizemos exemplos de integrais indefinidas, logo a resposta é uma 
função. Para encontrar uma área é necessário inserir os limites de integração, por 
exemplo, a integral da função x+1, com x variando entre 0 e 1, logo inserindo os 
seguintes comandos: integral x+1 from 0 to 1 
 
Figura 14 – Integral x+1 
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Perceba que a figura formada abaixo da reta, é um trapézio e a área do trapézio 
é dada pela soma das bases vezes altura dividida por 2. A base maior é igual a 1, a base 
menor é igual a 2 e a altura éigual a 1, logo: 
𝐴 =
(1 + 2). 1
2
=
3
2
= 1.5 
Exercícios: 
1) ∫ 𝑥𝑒𝑥+2𝑑𝑥 2) ∫ ln(𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 3)∫ 𝑧
𝜋
0
cos(𝑧) 𝑑𝑧 4) ∫ 𝑥2
2
−2
𝑑𝑥 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
REGANATI, Alessandra Soboll. Tutorial Wolfram Mathematica 6.0. 
STEWART, James. Cálculo. v. 2, 4ª edição. São Paulo: Thompson, 2004. 
WOLFRAM, Stephen; DUBOIS, Thierry. Mathematica. International Thomson Pub, 1997.