AP1-MetDet1-2016-1-gabarito (1)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Métodos Determińısticos I – 2016-1
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • É expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsável; Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1 (2.0 pt) Considere as proposições:
A: “João é casado se, e somente se, Maria possui filhos.”
B: “Se Pedro é solteiro, então Maria possui filhos.”
Sabendo que a proposição P: “A ou B” é falsa, pode-se afirmar que:
(i) João não é casado, Maria possui filhos, Pedro é solteiro.
(ii) João não é casado, Maria não possui filhos, Pedro é solteiro.
(iii) João não é casado, Maria não possui filhos, Pedro não é solteiro.
(iv) João é casado, Maria não possui filhos, Pedro é solteiro.
(v) João é casado, Maria não possui filhos, Pedro não é solteiro.
Solução: Para que uma disjunção, isto é, uma proposição tipo “A ou B” seja falsa, é necessário
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P é falsa segue que A é falsa e B também é falsa.
A proposição B é uma implicação do tipo a ⇒ b, onde a: “Pedro é solteiro”e b: “Maria possui
filhos”, logo, ela é falsa, apenas se vale a e ∼ b, isto é, se “Pedro é solteiro”(a) e “Maria não possui
filhos”(∼ b).
Por outro lado, a proposição A é uma equivalência do tipo c ⇔ b, onde c: “João é casado”e b:
“Maria possui filhos”, logo, ela é falsa, apenas em duas situações: vale c e ∼ b, ou vale ∼ c e b. No
parágrafo anterior, descobrimos que vale ∼ b, i.e. “Maria não possui filhos”, portanto, devemos ter
c, i.e. “João é casado”.
Portanto, a resposta correta é a (iv).
Este texto é comum às Questões 2 e 3 a seguir.
Considere o conjunto A =
{
1, −13
3
,
5
3
, −4
}
. Utilize o conjunto A para decidir se são verdadeiras
ou falsas as proposições enunciadas nas Questões 2 e 3 a seguir, justificando bem sua resposta.
Métodos Determińısticos I AP1 2
Questão 2 (1.5 pt) ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
.
Solução: Vamos chamar de a a proposição simples “3x +
2
3
< 4x”e de b a proposição simples
“x < −15
4
”. Isto é
a: “3x+
2
3
< 4x.”
b: “x < −15
4
.”
A proposição “a ∨ b”é uma disjunção. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma das
proposições simples seja verdadeira.
Observe que a proposição a é verdadeira se, e somente se, x >
2
3
. De fato,
3x+
2
3
< 4x ⇔ 3x− 4x < −2
3
⇔ −x < −2
3
⇔ x > 2
3
.
Como é uma proposição do tipo “∀x ∈ A”, devemos analisar se a proposição “a ∨ b”é verdadeira
ou falsa para cada elemento do conjunto A. Para x = 1 e x =
5
3
, temos que, a proposição a é
verdadeira, pois
1 >
2
3
(⇔ 3 > 2) e 5
3
>
2
3
(⇔ 5 > 3).
Logo, para x = 1 e x =
5
3
, temos que a disjunção
“
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”
é verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
3x+
2
3
< 4x
)
ӎ verdadeira.
Para x = −13
3
e x = −4, a proposição a é falsa, pois −13
3
<
2
3
e −4 < 2
3
. Porém, para estes dois
elementos de A, a proposição b verdadeira, pois
−13
3
< −15
4
(⇔ −52 < −45) e − 4 < −15
4
(⇔ −16 < −15).
Desta forma, para x = −13
3
e x = −4, a disjunção “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
também é
verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
x < −15
4
)
ӎ verdadeira.
Conclúımos, portanto, que a disjunção “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
ӎ verdadeira, para todo
x ∈ A.
Logo, ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
é verdadeira.
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Métodos Determińısticos I AP1 3
Questão 3 (1.5 pt) ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x)
Solução: Vamos chamar de a a proposição simples “2x ∈ Z”e de b a proposição simples “x2 > x”.
Isto é,
a: “2x ∈ Z.”
b: “x2 > x.”
A proposição “a ∧ b”é uma conjunção. Portanto, para que ela seja verdadeira, é preciso que as
duas proposições simples sejam verdadeiras.
Como é uma proposição do tipo “∃x ∈ A”, vamos verificar se há um elemento de A, para o
qual a e b sejam verdadeiras.
Analisando os elementos do conjunto A, temos que, para os elementos de A, x = 1 e x = −4,
segue que 2x = 2 e 2x = −8. Como 2 e −8 são números inteiros, segue que a proposição a é
verdadeira somente para os elementos x = 1 e x = −4.
Para x = −4, x2 = 16 e, então, x2 > x. Logo, para x = −4, a proposição b é verdadeira.
Como, para x = −4, a é verdadeira e b também é verdadeira, conclúımos que existe um ele-
mento do conjunto A, para o qual, a proposição “a ∧ b”é verdadeira.
Portanto, ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x) é verdeira.
Este texto é comum às Questões 4 e 5 a seguir.
Em uma certa empresa, promovem-se dois tipos de atividades de lazer para seus funcionários: cami-
nhada e Tai Chi Chuan. Sabe-se que
- 20% dos funcionários participam apenas de caminhada;
- 35% funcionários não participam de nenhuma das duas atividdaes;
- os funcionários que participam apenas de Tai Chi Chuan é igual a 200% dos funcionários que
participam de ambas as atividades.
Com base nestas informações, responda as Questões 4 e 5 a seguir.
Questão 4 (0.8 pts) : Qual a porcentagem de funcionários que participam de pelo menos uma das
atividades de lazer?
Solução: Como há 100% de funcionários e 35% dos funcionários não participam de nenhuma das
atividades de lazer, temos que a porcentagem do número de funcionários que participam de pelo
menos uma das atividades de lazer é dado por
100%− 35% = 65%.
Conclusão: 65% funcionários participam de pelo menos uma das atividades de lazer.
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Métodos Determińısticos I AP1 4
Questão 5 (1.2 pts) : Qual a porcentagem de funcionários que participam das duas atividades de
lazer?
Solução: Vamos chamar de T o número total de funcionários e de x a porcentagem do número de
dos funcionários que participam de ambas as atividades. Desta forma, temos que
- o número de funcionários que participam apenas de caminhada é igual a
20
100
.T ;
- o número de funcionários que não participam de nenhuma das duas atividades é igual a
35
100
.T ;
- o número de funcionários que participam apenas de Tai Chi Chuan é igual a
200
100
.
x
100
.T .
Desta forma, pelo diagrama de Venn, temos que
20
100
.T +
x
100
.T +
200
100
.
x
100
.T +
35
100
.T = T
20
100
.T +
x
100
.T +
2x
100
.T +
35
100
.T = T
20T + xT + 2xT + 35T = 100T
3xT = 45T
3x = 45
x =
45
3
x = 15.
Temos portanto, que a porcentagem de funcionários que participam da ambas as atividades de lazer
é de 15%.
Conclusão: 15% funcionários participam das duas atividades de lazer.
Questão 6 (1.0 pts) : Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A < B é verdadeira ou
falsa, considerando que
A =
3
−
√
3−
√
(−2)2
− 9√
3
e B =
−
√
18√
2
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Métodos Determińısticos I AP1 5
Solução:
A =
3
−
√
3−
√
(−2)2
− 9√
3
=
−3√
3 +
√
4
− 9√
3
.
√
3√
3
=
−3√
3 + 2
− 9
√
3
3
=
−3√
3 + 2
.
(
√
3− 2)
(
√
3− 2)
− 3
√
3
=
−3
√
3 + 6
(
√
3)2 − 22
− 3
√
3
=
−3
√
3 + 6
3− 4
− 3
√
3
=
−3
√
3 + 6
−1
− 3
√
3
= 3
√
3− 6− 3
√
3
= −6
e
B =
−
√
18√
2
= −
√
18
2
= −
√
9
= −3.
Como −6 < −3, temos que a desigualdade A < B é verdadeira.
Questão 7 (1.0 pts) : Determine o valor de m+ n, dado que
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5 e n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
.
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Métodos Determińısticos I AP1 6
Solução:
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5
=
3
√
−1
33
− (25)−1/5
=
−1
3
− (2)−1
= −1
3
− 1
2
= −2
6
− 3
6
= −5
6
e
n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
=
(
2
3
− 1
4
)2
.
4
5
=
(
8
12
− 3
12
)2
.
4
5
=
(
5
12
)2.
4
5
=
25
144
.
4
5
=
5
36
.
Logo,
m+ n = −5
6
+
5
36
= −30
36
+
5
36
= −25
36
.
Conclusão: 3
√
−1
27
− (32)−1/5 +
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
= −25
36
.
Questão 8 (1.0 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, os
números reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3).
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Métodos Determińısticos I AP1 7
Solução:
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3) ⇔
2
(
x2 + x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 + 2x+
1
2
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
< 2x2 + 2x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
− 2x2 − 2x+ 3
2
< 0 ⇔
−3x+ 2 < 0 ⇔
−3x < −2 ⇔
x >
2
3
.
Conclusão: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3),
são x ∈
(
2
3
,∞
)
.
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