Aula 3_2410

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Aula 3: 
Relações de 
equivalência
Professora: Ana Paula Gusmão
Disciplina: Análise de investimentos e de 
riscos.
E-mail: anapaulahg@academic.ufs.br
Relação entre P e F (Relembrando) 
1) Investindo hoje uma quantia P a uma taxa, qual a quantia F obtida após n períodos?
Relação entre P e F (Relembrando) 
2) Qual o valor que deverá ser investido hoje, a determinada taxa de juros, para se obter uma quantia F após certo tempo?
Períodos não inteiros
1) Qual o montante obtido pela aplicação de UM 10.000,00 a 5% a.m. durante 14 meses e 15 dias
Relação entre F e A
1) Qual o Montante (F) equivalente a uma série uniforme de pagamentos?
ex: depósitos programados para um retirada futura
De outra forma...
Séries Uniformes (Juros compostos)
• O cálculo do valor F pode ser feito decompondo a série original em 4 novos 
fluxos de caixa como observado na figura a seguir.
• Observe que o cálculo do valor futuro é simplesmente a soma do valores
futuros individuais referentes à cada um dos capitais das series em
questão.
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Séries Uniformes (Juros compostos)
• O Cálculo anterior pode ser generalizado para n anos.
Multiplicando essa equação por (1 + 𝑖):
• Fatorando a equação acima e subtraindo da anterior:
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Séries Uniformes (Juros compostos)
• Isolando F:
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Relação entre F e A
2) Qual o valor A de pagamentos a serem feitos mensalmente para se obter F ao final de determinado período n? 
Solução
Incialmente vamos representar o fluxo de caixa do investidor:
𝐹 = 𝐴 ("#$)
!&"
$
=500. ("#','))
"&"
',')
=R$ 2.763
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Séries Uniformes (Juros compostos)
Exemplo: Suponha que você deposita R$500,00 ao fim de todo
ano em uma poupança que paga 5% a.a. Ao final do quinto,
imediatamente ao fim do quinto deposito, quanto você terá em
sua conta?
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Relação entre P e A
1) Qual o valor presente equivalente a uma série uniforme?
Ex: determinação de preços a vista x à prazo
De outra forma...
Séries Uniformes (Juros compostos)
• De acordo com definição dada de valor presente e valor futuro:
𝐹 = 𝑃. (1 + 𝑖)*
• Mas deduzimos que para série uniforme:
• Substituindo na primeira equação:
𝑃 = 𝐴
(1 + 𝑖)*−1
𝑖(1 + 𝑖)*
𝐹 = 𝐴
(1 + 𝑖)!−1
𝑖
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Relação entre P e A
2) Qual o valor de A em um série equivalente a um valor presente P? 
Ex: determinação de prestações mensais.
Relação entre P e A
• Ex: Paulo está interessado em comprar uma moto, cujo preço a vista é UM 4.000,00. Se
Paulo der uma entrada de UM 500,00 e pagar o restante em 24 meses qual será o valor da
prestação se a taxa for de 5% ao mês?
Solução
Variante do problema
Séries Uniformes (Juros compostos)
• Exemplo: Suponha que você tomou R$ 5.000,00 emprestado que será pago em 5
prestações anuais iguais considerando uma taxa de 8% a.a. Qual o valor de cada prestação
considerando que a primeira prestação ocorre ao final do primeiro ano?
Solução
Observe que o valor de R$ 5.000,00 é recebido na data 0.
𝑃 = 𝐴
(1 + 𝑖)!−1
𝑖(1 + 𝑖)!
5.000 = 𝐴
(1 + 0,08)"−1
0,08(1 + 0,08)"
A = R$ 1.252,00
Séries Variáveis (Juros compostos)
• Além das séries uniformes, é de importância considerada o estudo de
séries com termos variáveis.
• As principais séries consideradas nesse caso são as séries financeiras em
progressão aritmética (PA) e as séries em progressão geométrica (PG).
• Embora os termos financeiros (A) não sejam constantes, é possível
estabelecer uma lei de formação a partir da qual é possível calcular tanto o
valor atual quanto o valor futuro da série em estudo.
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Séries Variáveis (PA)
• Na série em PA, os valores
mantidos na série aumentam
ou decrescem em valores
constantes ao longo de
tempo.
• Observe que a cada ano o
valor investido (devido)
aumenta de um valor fixo G.
• Esse valor fixo recebe o nome
de razão da PA.
Séries Variáveis (Juros compostos)
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Séries Variáveis (PA)
• Assim como como o procedimento de cálculo das séries uniformes,
também podemos decompor a série em PA de acordo com a figura
abaixo.
• Assim, o valor presente da série aritmética pode ser calculado como:
𝑃 = 𝑃& + 𝑃&&
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Séries Variáveis (PA)
• O valor de 𝑃& é de fácil obtenção uma vez que já conhecemos esse
valor como valor presente da série uniforme.
• O valor de 𝑃&& será obtido através da amplamente conhecida lei de
formação do termo geral da PA.
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Séries Variáveis (PA)
• Mais um vez vamos decompor o valor futuro dessa série em vários
valores futuros.
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Séries Variáveis (PA)
• Generalizando:
• Multiplicando essa equação por (1+i):
• Subtraindo essa equação da anterior:
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Séries Variáveis (PA)
• O termo entre parêntese é uma soma da PA cuja a formulação da 
soma é bem conhecida.
• Assim:
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Séries Variáveis (PA)
• Como sabemos para achar o valor presente basta dividir o valor
futuro da série pelo fator (1 + 𝑖)' .
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Relações envolvendo 
a série em gradiente
• A dedução das fórmulas é baseada 
na teoria das progressões:
Séries Variáveis (PA)
Exemplo: Considere que você comprou um automóvel e deseja fazer um poupança com o
objetivo de pagar a manutenção anual do mesmo pelo próximos 5 anos. O custo
estimado para os próximos 5 anos pode ser visualizado abaixo. Assumindo uma taxa de
5% a.a, quanto deve ser depositado no banco hoje?
Observe que a questão se refere a hoje. Logo, estamos interessado no valor atual da série.
Também pode ser observado que série acima é uma PA com G=30.
Solução
• A decomposição da série:
𝑃 = 𝑃+ + 𝑃++
• Onde 𝑃+ representa o valor atual para série uniforme com A=120.
• 𝑃++representa a série em PA com G=30.
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Séries Variáveis (PA)
• Série uniforme com A=120.
• Para a série em PA com G=30
𝑃++ = 𝐺 ("#$)
!&$*&"
$#("#$)!
= 𝐺 ("#','))
"&',').)&"
',')#("#','))"
= 247
P=519+247=766
𝑃# = 𝐴
(1 + 𝑖)"−1
𝑖(1 + 𝑖)"
= 120
(1 + 0,05)"−1
0,05(1 + 0,05)"
= 519
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Série em gradiente
• Exemplo: Qual o valor presente do seguinte fluxo de caixa a uma taxa de 5%?
Solução