1 - 3 Conformação mecânica - Elasticidade e plasticidade

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SEMI-ÁRIDO
ENGENHARIA MECÂNICA
Prof(a). Dra. Ana Claudia de Melo Caldas Batista
Caraúbas/RN
Estudaremos a 
relação existente 
entre TENSÃO e 
DEFORMAÇÃO
Campo elástico
Transição entre o regime 
elástico e o plástico 
Campo plástico
Grande 
interesse na 
conformação 
mecânica 
 Fonte: CETLIN E HELMAN, p.45
 Deformação Elástica: Quando um corpo é carregado com uma tensão
na região elástica e sofre deformações, que desaparecem quando a
carga é retirada.
 Alguns materiais, o desparecimento da deformação não é
instantâneo, tendo uma dependência com o tempo, chamado de
material viscoelástico.
 Para as análises realizadas a seguir sempre irá considerar:
 Dependência do tempo desprezível
 Isotrópicos
 Temperatura constante
 Fonte: CETLIN E HELMAN, p.45-46
 Figura: Deformação de uma barra 
prismática sob tração no regime elástico. 
(CETLIN E HELMAN, p.47)
𝜎1 = 𝐸𝑒1
Lei de Hooke:
Percebe-se que a tração provoca 
contrações nas outras duas direções:
𝜈 = −
𝑒2
𝑒1
= −
𝑒3
𝑒1
𝑒2 = 𝑒3 = −𝜈𝑒1
Onde: 
𝜈 → Coeficiente de Poisson
(𝜈 ≅ 0,3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑖𝑠)
Observação: existe 𝒆𝟐 e 𝒆𝟑 mesmo 
quando 
𝝈𝟐 = 𝝈𝟑 = 𝟎
 Fonte: CETLIN E HELMAN, p.46-47
Tensão 
aplicada 
Deformação provocada pela 
tensão nas direções 
1 2 3
𝜎1
𝜎1
𝐸
−𝜈
𝜎1
𝐸
−𝜈
𝜎1
𝐸
𝜎2 −𝜈
𝜎2
𝐸
𝜎2
𝐸
−𝜈
𝜎2
𝐸
𝜎3 −𝜈
𝜎3
𝐸
−𝜈
𝜎3
𝐸
𝜎3
𝐸
𝑀𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟:
𝑒1 =
1
E
𝜎1 − 𝜈 𝜎2 + 𝜎3
𝑒2 =
1
E
𝜎2 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎3
𝑒3 =
1
E
𝜎3 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎2
O desenvolvimento realizado considerando somente tensões principais. No entanto, 
considerando-se que tensões de cisalhamento não causam deformações lineares em 
corpos isotrópicos, pode-se mostrar equações semelhantes às encontradas também 
são válidas para tensões normais e deformações lineares não principais. Existe 
também uma relação linear entre as tensões tangenciais e as deformações angulares.
Se o corpo está submetido às tensões 𝜎1, 𝜎2 𝑒 𝜎3 , pode-se considerar que
os efeitos destas tensões se superpõem.
Lembrete:
𝑒 =
𝜎
E
𝑒2 = 𝑒3 = −𝜈𝑒1
 Fonte: CETLIN E 
HELMAN, p.47-48
DEFORMAÇÃO VOLUMÉTRICA 
REGIME ELÁSTICO
 Mostrar
𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 =
3 1 − 2𝜈
𝐸
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
3
Considerando:
𝜎0 =
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
3
→ 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 = ∆
Tem-se:
∆ =
3 1 − 2𝜈
𝐸
𝜎0
 Para que ∆ seja nulo (admitindo que 𝜈 ≥ 1/2), deve-se ter 𝜎0 = 0
 Se 𝜎1, 𝜎2 e 𝜎3 forem positivos 𝜎0 também será, já que pode aproximar 𝜈 ≅ 0,3
𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟:
𝑒1 =
1
E
𝜎1 − 𝜈 𝜎2 + 𝜎3
𝑒2 =
1
E
𝜎2 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎3
𝑒3 =
1
E
𝜎3 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎2
 Fonte: CETLIN E HELMAN, p.48
FORMA E DE VOLUME 
ELÁSTICA 
 Para a figura (c), a mudança de volume provocada pelo estado de tensões é nula, pois:
𝜎1 −𝜎𝑜 +𝜎2 − 𝜎𝑜 + 𝜎3 − 𝜎𝑜 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 3𝜎𝑜 = 0
 Figura (b): Só provoca MUDANÇA DE VOLUME e não contribui para a deformação plástica, as
deformações geradas são idênticas (componente hidrostática do estado de tensões)
 Figura (c): NÃO há variação de volume. Ocorre MUDANÇA DA FORMA, sendo este estado de
tensões responsável pela ocorrência da deformação plástica e denomina-se componente
desviadora do estado de tensões)
 Figura: Decomposição do estado 
inicial das tesões. (CETLIN E 
HELMAN, p.50)
PLÁSTICA 
 O estudo da energia elástica armazenada em um corpo durante a deformação elástica é 
de interesse numa interpretação das condições sob as quais um corpo passa do regime 
elástico para o plástico. 
 𝐹
ℓ𝑜
𝐴𝑜
Neste caso, o trabalho será: 𝑑𝑈 = 𝐹𝑑𝑙
Quando o corpo se alonga, supondo que todo o trabalho é transformado em 
energia elástica:
𝑈1 = 
ℓ𝑜
ℓ1
𝐹𝑑ℓ = 𝐴𝑜ℓ𝑜 
0
𝑒1
𝜎1𝑑 𝑒1
A energia armazenada por unidade de volume será:
𝑈01 = 
0
𝑒1
𝜎1𝑑 𝑒1 → 𝑈01 =
1
2
𝜎1𝑒1
Considerando a energia acumulada de 𝜎1, 𝜎2 e 𝜎3 :
𝑈𝑜 =
1
2
𝜎1𝑒1 + 𝜎2𝑒2 + 𝜎3𝑒3
𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒𝑡𝑒:
𝐹 = 𝜎1𝐴𝑜 e dℓ = ℓ𝑜d𝑒1
Condições 
constantes
Energia elástica 
armazenada 𝑈01
 Fonte: CETLIN E 
HELMAN, p. 50-51
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
𝑼𝒐 =
𝟏
𝟐
𝝈𝟏𝒆𝟏 + 𝝈𝟐𝒆𝟐 + 𝝈𝟑𝒆𝟑
1° Caso
Pode-se avaliar a energia necessária para 
variar o volume do corpo 𝑈𝑜
𝐻.
(𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 = 𝜎0)
2° Caso
Avaliar a energia elástica de distorção 𝑈𝑜
𝐷
𝜎1 =𝜎1 − 𝜎0
𝜎2 =𝜎2 − 𝜎0
𝜎3 =𝜎3 − 𝜎0
1° Caso:(𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 = 𝜎0) →
Aceitando que se podem superpor os efeitos de 𝜎1, 𝜎2 e 𝜎3 no regime elástico. 
Lembrando:
𝜎0 =
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
3
𝑒1+ 𝑒2 + 𝑒3 = ∆ ∆ =
3 1 − 2𝜈
𝐸
𝜎0
Avaliando a energia necessária para variar o volume do corpo 𝑈𝑜
𝐻
𝑈𝑜
𝐻 =
1
2
𝜎0∆
𝑈𝑜
𝐻 =
1
2
3 1 − 2𝜈
𝐸
𝜎0
2 =
1
2
3 1 − 2𝜈
𝐸
(𝜎1+𝜎2 + 𝜎3)²
9
Logo:
𝑈𝑜
𝐻 =
1 − 2𝜈
6𝐸
(𝜎1+𝜎2 + 𝜎3)²
𝑼𝒐
𝑯 =
𝟏
𝟐
𝝈𝟎𝒆𝟏 + 𝝈𝟎𝒆𝟐 + 𝝈𝟎𝒆𝟑
Lembrete: 
𝑈𝑜 =
1
2
𝜎1𝑒1 + 𝜎2𝑒2 + 𝜎3𝑒3
𝑼𝒐
𝑯 =
𝟏
𝟐
𝝈𝟎 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 + 𝒆𝟑
2° Caso: Levando em conta:
𝑈𝑜 =
1
2
𝜎1𝑒1 + 𝜎2𝑒2 + 𝜎3𝑒3
1° Passo é substituir as deformações:
𝑒1 =
1
E
𝜎1 − 𝜈 𝜎2 + 𝜎3 𝑒2 =
1
E
𝜎2 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎3 𝑒3 =
1
E
𝜎3 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎2
2° Passo é substituir as tesões: 𝜎1 =𝜎1 − 𝜎0; 𝜎2 =𝜎2 − 𝜎0; 𝜎3 =𝜎3 − 𝜎0
3° considerar a tensão média : 𝜎0=
𝜎1+𝜎2+𝜎3
3
ou 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 = 3𝜎0
A energia elástica de distorção é dada por:
𝑈𝑜
𝐷 =
1 + 𝜈
6𝐸
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎1 − 𝜎3 ² + 𝜎2 − 𝜎3 ²
Obteremos a energia total, em função de 𝜎1. O valor de 𝑈𝑜 será:
𝑈𝑜 =
1 − 2𝜈
6𝐸
(𝜎1+𝜎2 + 𝜎3)² +
1 + 𝜈
6𝐸
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎1 − 𝜎3 ² + 𝜎2 − 𝜎3 ²
𝑈0
𝐻 → 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑟 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑈0
𝐷 → 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟çã𝑜:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒
𝑡𝑒𝑛çã𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝐶
 Fonte: Cetlin E Helman, p.52.
DEFORMAÇÃO 
PLÁSTICA 
 Figura: Comportamento de 
um material à tração pura. 
(CETLIN E HELMAN, p.54)
𝜎1 =
𝑃
𝐴0
𝑒1 =
∆ℓ
ℓ𝑜
Deformação 
Permanente 
Deformação 
elástica 
Deformação 
elastoplástica total 
Normalmente 𝑫𝑬 << 𝑶𝑫
Estricção
Ruptura 
Não 
Corresponde 
mais a uma 
tração pura 
Deformação 
elástica
Deformação elástica
com deformação 
plástica
Muitas vezes, 
devido ser difícil 
visualizar a 
TENSÃO DE 
ESCOAMENTO, 
adota-se como a 
tensão 
necessária para 
se obter 0,2% da 
deformação 
plástica.
DEFORMAÇÃO 
PLÁSTICA 
A condição de conservação do 
volume durante a deformação 
plástica (𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 + 𝒆𝟑 ≈ 𝟎), e 
supondo desprezível a 
contribuição da deformação 
elástica, tem-se, por simetria:
𝒆𝟐 = 𝒆𝟑 = −
𝟏
𝟐
𝒆𝟏
Assim, a área deve diminuir 
quando o corpo é alongado. 
Mesmo assim, 𝜎1 cresce até B, 
mostrando claramente o 
aumento da resistência do 
material associado a deformação 
plástica.
𝜎1 =
𝑃
𝐴0
𝑒1 =
∆ℓ
ℓ𝑜
 Fonte: Cetlin E Helman, p.54.
 Falha para material dúctil ocorre pelo escoamento, ao passo que
se for frágil, isso ocorrerá pela ruptura.
 Serão expostas teorias frequentemente usadas na prática da
engenharia para prever a falha de um material submetido a um
estado de tensão multiaxial.
 Essas teorias são usadas para determinar as tensões admissíveis
descritas em muitas normas de projetos.
Materiais Dúcteis
 O escoamento do material dúctil, acontece ao longo dos
planos de contato dos cristais orientados aleatoriamente e
que formam o material. Esse deslizamento deve-se à tensão
de cisalhamento.
 Figuras: (HIBBELER, p. 413-414)
As falhas na 
superfície ocorrem 
nos planos de 
deslizamentos a 
45° do eixo.
 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA, ou CRITÉRIO DE
ESCOAMENTO DE TRESCA é usada para prever a tensão de falha de um
material dúctil sujeito a qualquer tipo de carga.
 Figuras: (HIBBELER, p. 414)
𝜏𝑚á𝑥 =
𝜎𝑒
2
Coincidindo com 
as linhas de Lüder
Considerando o 
ensaio de tração
Fazendo o circulo de 
Mohr.
 Para aplicações, usa-se a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta em termos das 
TENSÕES PRINCIPAIS:
 Se as duas tensõesprincipais no plano tiverem o 
mesmo sinal, então a falha ocorrerá fora do plano 
e pela equação:
 Se as tensões principais no plano tiverem sinais 
opostos, então a falha ocorrerá no plano e, pela 
equação: 
𝜏𝑚á𝑥𝑎𝑏𝑠 =
𝜎𝑚á𝑥
2
𝜏𝑚á𝑥𝑎𝑏𝑠 =
𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚í𝑛
2
 Fonte: (HIBBELER, p. 414)
Se qualquer ponto do 
material estiver sujeito 
a um estado plano de 
tensões e suas tensões 
principais no plano 
forem representadas 
pelas coordenadas 
marcadas no limite ou 
fora da área hexagonal 
sombreada, o material 
escoará no ponto e 
ocorrerá falha.
 Definidas as equações e sabendo que
𝜏𝑚á𝑥 =
𝜎𝑒
2
 Tem-se: 
 (Hibbeler. P.420) Exemplo 10.14: O eixo maciço mostrado a seguir tem raio de 0,5 pol e é 
feito de aço com limite de escoamento de 36Ksi. Determinar se o carregamento provocará 
falhas, de acordo com a teoria da TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA.
𝝈𝟏,𝟐 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
𝝈𝟏 = 𝟗, 𝟓𝟔𝑲𝒔𝒊 𝒆 𝝈𝟐 = −𝟐𝟖, 𝟔𝟔𝒌𝒔𝒊
Teoria de cisalhamento Máxima 
𝝈𝟏 − 𝝈𝟐 ≤ 𝝈𝑬
𝟗, 𝟓𝟔 − (−𝟐𝟖, 𝟔𝟔) ≤ 𝟑𝟔
38,2>36 
Falha do material por cisalhamento
𝟑𝟔 ksi
𝟑𝟔 ksi
𝟑𝟔 ksi
𝟑𝟔 ksi
 Fonte: (Adaptada de 
HIBBELER, p. 414)
 Quando um material é deformado por ação de uma carga externa, tende a armazenar 
energia internamente → Densidade de energia de deformação.
𝑼𝒐
𝑫 =
𝟏 + 𝝂
𝟔𝑬
𝝈𝟏 − 𝝈𝟐
𝟐 + 𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 ² + 𝝈𝟐 − 𝝈𝟑 ²
 Fonte: (HIBBELER)
Fonte: Cetlin e Helman.
𝑼𝒐
𝑫 =
𝟏 + 𝝂
𝟑𝑬
𝝈𝟏
𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝝈𝟐
𝟐 → Para estado planod e tensões 𝜎3 = 0
𝑼𝒐
𝑫 =
𝟏 + 𝝂
𝟔𝑬
𝝈𝟏 − 𝝈𝟐
𝟐 + 𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 ² + 𝝈𝟐 − 𝝈𝟑 ² → 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠õ𝑒𝑠
𝑼𝑬
𝑫 =
𝟏 + 𝝂
𝟑𝑬
𝝈𝑬
𝟐 → 𝑇𝑟𝑎çã𝑜 𝑃𝑢𝑟𝑎
Como a teoria da energia da distorção máxima requer que 𝑼𝒐
𝑫= 𝑼𝑬
𝑫, tem-se:
𝟏
𝟐
𝝈𝟏 − 𝝈𝟐
𝟐 + 𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 ² + 𝝈𝟐 − 𝝈𝟑 ²
𝟏
𝟐 ≤ 𝝈𝑬 → 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒊𝒂𝒙𝒊𝒂𝒍
𝝈𝟏
𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝝈𝟐
𝟐 ≤ 𝝈𝑬
𝟐 → 𝐄𝐬𝐭𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝐭𝐞𝐧𝐬õ𝐞𝐬
 (Hibbeler. P.420) Exemplo 10.14: O eixo maciço mostrado a seguir tem raio de 0,5 pol e é 
feito de aço com limite de escoamento de 36Ksi. Determinar se o carregamento provocará 
falhas, de acordo com a TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA.
𝝈𝟏,𝟐 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
+
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
𝝈𝟏 = 𝟗, 𝟓𝟔𝑲𝒔𝒊 𝒆 𝝈𝟐 = −𝟐𝟖, 𝟔𝟔𝒌𝒔𝒊
Teoria da distorção Máxima 
𝝈𝟏
𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝝈𝟐
𝟐 ≤ 𝝈𝑬
𝟐
𝟗, 𝟓𝟔² − 𝟗, 𝟓𝟔 × −𝟐𝟖, 𝟔𝟔 + (−𝟐𝟖, 𝟔𝟔)² ≤ 𝟑𝟔2
1187 ≤ 1296
Segundo esse critério não ocorrerá falha no material.
 No REGIME ELÁSTICO a
deformação final depende
somente do estado final de
tensões;
 No REGIME PLÁSTICO
deformação plástica final
depende de:
 Estado final de tensões;
 Sequência de estados de
tensões seguida para
chegar ao estado final de
tensões,
 História do material até o
inicio da sequência acima.
Devido ao problema da dependência das deformações finais com a sequência dos estados de tensões 
impostos, a descrição matemática das relações tensão-deformação no campo plástico é muito mais 
complexa do que no campo elástico.
Fonte: Cetlin e 
Helman, p.59-60.
Não ocorre 
deformação, 
pois a 
resistência do 
material já foi 
aumentada.
 Assumindo que quando “DOIS ESTADOS DE TENSÃO SÃO MECANICAMENTE
EQUIVALENTES QUANDO PRODUZEM O MESMO EFEITO EM UM MATERIAL, COM
RELAÇÃO AO ESCOAMENTO PLÁSTICO”
 “Há um interesse em encontrar uma grandeza com dimensões de tensão, cuja magnitude
seja a mesma para esses estados equivalentes, mesmo que as tensões individuas aplicadas
(𝜎1, 𝜎2 𝑒 𝜎3) sejam diferentes”.
 Esta tensão equivalente será definida como sendo a TENSÃO EFETIVA (𝜎𝑒), definida por:
 A tensão efetiva é em função da energia elástica de distorção, por Von Mises, a energia é
constante para um dado material, no momento que ele escoa, independente do estado de
tensão vigente.
𝜎𝑒 =
1
2
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎1 − 𝜎3 ² + 𝜎2 − 𝜎3 ²
1
2 → 𝐶𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑜𝑛 𝑀𝑖𝑠𝑒𝑠
Fonte: Cetlin e 
Helman, p.60-61.
 Supondo que o aumento da tensão de escoamento com a deformação 
(devido o encruamento) depende do trabalho plástico realizado:
 A deformação efetiva é dada pela expressão:
 Para obter a deformação total (𝑒𝑒), deve-se integrar a equação acima ao 
longo do programa de deformação seguido.
𝑈01 = 𝜎𝑒𝑑 𝑒𝑒
𝑑𝑒𝑒 =
2
3
𝑑𝑒1 − 𝑑𝑒2
2 + 𝑑𝑒1 − 𝑑𝑒3
2 + 𝑑𝑒2 − 𝑑𝑒3
2 1/2
Fonte: Cetlin e 
Helman, p.61.
 Considerando a aplicação da TENSÃO DE TRAÇÃO (𝜎1 ≠ 0 𝑒 𝜎2 = 𝜎3= 0; 𝑒2 = 𝑒3 = −1/2𝑒1),
desprezando a deformação elástica. Tem-se:
 Logo, curva 𝜎1
𝑡𝑟 × 𝑒1
𝑡𝑟 coincide com a curva 𝜎𝑒 × 𝑒𝑒.
 Normalmente supõem-se que as curvas 𝜎𝑒 × 𝑒𝑒 obtidas através de ensaio de tração também são
válidas para quaisquer outros tipos de solicitação.
 EXPERIMENTALMENTE ESTA SUPOSIÇÃO NEM SEMPRE É VERDADEIRA.
𝜎𝑒 = 𝜎1
𝑡𝑟 ; 𝑑𝑒2 = 𝑑𝑒3 = −
1
2
𝑑𝑒1 ; 𝑑𝑒𝑒 = 𝑑𝑒1
𝑡𝑟
Lembrete: 
𝜎𝑒 =
1
2
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎1 − 𝜎3 ² + 𝜎2 − 𝜎3 ²
1
2
𝒆𝟐 = 𝒆𝟑 = −
𝟏
𝟐
𝒆𝟏
𝑑𝑒𝑒 =
2
3
𝑑𝑒1 − 𝑑𝑒2
2 + 𝑑𝑒1 − 𝑑𝑒3
2 + 𝑑𝑒2 − 𝑑𝑒3
2 1/2
Fonte: Cetlin e 
Helman, p.61.
 Lembrar: Tensão hidrostática → alteração de volume ; 
Tensão desviadora→ deformação plástica.
 Levi e Mises, considerando que se possa desprezar a deformação elástica frente a
deformação plástica sofrida pelos metais, desenvolveram uma lei para a relação
entre tensões e deformações plásticas:
𝑑𝑒1 =
3
2
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎1 − 𝜎0 ; 𝑑𝑒2 =
3
2
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎2 − 𝜎0 ; 𝑑𝑒3 =
3
2
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎3 − 𝜎0
Lembrando que : 𝜎0 =
𝜎1+𝜎2+𝜎3
3
𝑑𝑒1 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎1 −
1
2
𝜎2 + 𝜎3 ; 𝑑𝑒2 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎2 −
1
2
𝜎1 + 𝜎3 ; 𝑑𝑒3 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎3 −
1
2
𝜎1 + 𝜎2
No livro essas equações estão erradas – mostrar!
Ler CETLIN E HELMAN, p.63
Não provoca deformação plástica!
Fonte: Cetlin e 
Helman, p.62.
Comparação dos coeficientes 1/𝐸 (Regime elástico) e 𝑑𝑒𝑒/𝜎𝑒(Regime Plástico) 
Curva 𝜎𝑒 × 𝑒𝑒 coincide 
com a curva 𝜎1
𝑡𝑟 × 𝑒1
𝑡𝑟
Cotangente da inclinação 
da reta AB, que depende 
fundamentalmente da 
forma da curva 𝜎𝑒 × 𝑒𝑒
Considera que o material 
sofreu apenas 
deformações plásticas 
(𝐸 = ∞, rígido)
 Figura e texto: (CETLIN E 
HELMAN, p.64)
Curva utilizados para formas 
especiais!!!
 Exemplos de formas especiais: 
 𝜎𝑒 obedece a equação:
Onde 𝐴 é o coeficiente de resistência e 𝑛 o
coeficiente e encruamento.
 “Por vez, toma-se um aumento de resistência linear,
ou mesmo uma resistência constante (encruamento
nulo), o que é aceitável para materiais muito
encruados a deformações a quente”.
Material 𝑨 (𝒌𝒈/𝒎𝒎) n
Aço (0,05%C) 54 0,26
Aço 1010 recozido 70 0,2
Aço 1045 recozido 103 0,17
A1 6061 recozido 21 0,2
A1 6061
envelhecido 
42 0,05
Cobre recozido 32 0,54
Latão 70/30 
recozido
91 0,49
 Tabela: ADAPTADA(CETLIN E HELMAN, p.65)
 Figura: Curvas 𝜎𝑒 × 𝑒𝑒 para materiais rígidos (deformação elástica nula) com 
encruamento linear (a) e rígido sem encruamento (b)(CETLIN E HELMAN, p.65)
𝜎𝑒 = 𝐴𝑒𝑒
𝑛
 ENSAIO DE TRAÇÃO:
𝜎1 ≠ 0 𝑒 𝜎2 = 𝜎3= 0
𝑑𝑒1 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎1 −
1
2
𝜎2 + 𝜎3 → 𝒅𝒆𝟏 =
𝒅𝒆𝒆
𝝈𝒆
𝝈𝟏
𝑑𝑒2 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎2 −
1
2
𝜎1 + 𝜎3 → 𝑑𝑒2 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
−
1
2
𝜎1 = −
1
2
𝒅𝒆𝒆
𝝈𝒆
𝜎1 = −
𝟏
𝟐
𝒅𝒆𝟏
𝑑𝑒3 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎3 −
1
2
𝜎1 + 𝜎2
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
−
1
2
𝜎1 = −
1
2
𝒅𝒆𝒆
𝝈𝒆
𝜎1 = −
𝟏
𝟐
𝒅𝒆𝟏
𝒅𝒆𝟐 = 𝒅𝒆𝟑 = −
𝟏
𝟐
𝒅𝒆𝟏 → 𝑒2 = 𝑒3 = −
1
2
𝑒1
Fonte: Cetlin e 
Helman, p.65.
 ENSAIO DE TORÇÃO:
𝜎1 = − 𝜎3 𝑒 𝜎2 = 0;
𝑑𝑒1 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎1 −
1
2
𝜎2 + 𝜎3 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎1 −
1
2
−𝜎1 =
3
2
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎1
𝑑𝑒2 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎2 −
1
2
𝜎1 + 𝜎3 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
0 −
1
2
𝜎1 − 𝜎1 = 𝟎
𝑑𝑒3 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎3 −
1
2
𝜎1 + 𝜎2 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
−𝜎1 −
1
2
−𝜎1 = −
3
2
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎1 = −𝑑𝑒1
𝒅𝒆𝟑 = −𝒅𝒆𝟏
Fonte: Cetlin e 
Helman, p.66.
• Ocorre deformação nas direções 1 e3. Na direção 2 
não ocorre deformação (𝒆𝟐 = 𝟎;𝒅𝒆𝟐 = 𝟎);
• Considerando que não há variação de volume: 
𝒆𝟏 = −𝒆𝟑
• Da equação:
 PROCESSAMENTO EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
Deformação ocorre paralelamente a um plano dado.
Esse tipo de deformação é observado na laminação 
de chapas largas (largura 6x maior que a espessura), 
e também no forjamento de chapas largas.
𝑑𝑒2 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎2 −
1
2
𝜎1 + 𝜎3 → 0 =
𝑑𝑒𝑒
𝜎𝑒
𝜎2 −
1
2
𝜎1 + 𝜎3 → 𝝈𝟐 =
𝟏
𝟐
𝝈𝟏 + 𝝈𝟑
 Figura: (CETLIN 
E HELMAN, p.67)
 PROCESSAMENTO EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
• Como 𝝈𝟑 é de compressão e 𝝈𝟏 não pode ser de tração, 
conclui-se que aparece uma tensão de compressão ao 
longo de 2, o que evita a ocorrência de 𝒆𝟐.
• Se o atrito entre a ferramenta e peça for nulo. 𝝈𝟏= 𝟎 𝒆 𝝈𝟐 =
𝟏/𝟐𝝈𝟑
• A tensão 𝝈𝟐 origina-se pelo fato que, ao se comprimir o 
metal, este tende a aumentar sua largura W. No 
entanto, o material que não esta sendo comprimido 
fora da ação das matrizes, não apresenta esta 
tendência e se opõe ao alargamento discutido, 
aplicando tensões 𝝈𝟐, como mostrado na figura na 
interface ABCD de um lado e A’B’C’D’ de outro.
 Figura: (CETLIN 
E HELMAN, p.67)
 PROCESSAMENTO EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
1
2
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎1 − 𝜎3 ² + 𝜎2 − 𝜎3 ²
1
2 = 𝑌
1
2
0 − 𝟏/𝟐𝝈𝟑
2 + 0 − 𝜎3 ² + 𝟏/𝟐𝝈𝟑 − 𝜎3 ²
1
2 = 𝑌
1
2
6
4
𝜎3
1/2
= 𝑌 → 𝜎3 = 1,15𝑌
Realizando um levantamento da resistência básica de um 
metal para ser laminado -> ENSAIO FORD
(considerando figura anterior)
 Figura: Curvas 𝜎 × 𝜀 para o estado 
plano de deformação (CETLIN E 
HELMAN, p.68)
Mostra os resultados obtidos ->Tambiente
Conclui-se que a tensão necessária para deformar um material no estado plano de deformações é 
de 15% maior que na compressão pura.
 CETLIN, P. R. e HELMAN, H. Fundamentos da Conformação Mecânica dos Metais. 2ª 
ed. São Paulo: Artliber. 2005.
 HIBBELER, R. C.. Resistência dos Materiais. 5ª ed. Person Prentice Hall,2004.
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