1ª Atividade de EDO

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Questionário
1ª Questão. Verificação de solução para uma equação diferencial:
a) Verifique que a função 𝑦(𝑥) = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−2𝑥 é uma solução geral para a equação linear de 2ª Ordem
𝑑2𝑦 + 𝑑𝑦 − 2𝑦 = 0, isto deve valer para qualquer escolha das constantes 𝐶
	
e 𝐶 .
𝑑𝑥2
𝑑𝑥	1	2
b) Encontre a solução particular (para isto tem que determine estas constantes 𝐶1 e 𝐶2) para esta equação diferencial de modo a satisfazer as condições iniciais 𝑦(0) = 2 e 𝑦′(0) = 1.
2ª Questão. EDO de variáveis separáveis com PVI – Problema de valor inicial:
a) Determine a solução geral da equação diferencial abaixo e, então, use um recurso computacional (software Winplot, GeoGebra etc.) para gerar cinco curvas integrais para a equação. Os valores para a constante arbitrária ficam a sua esco- lha.
(𝑥2 + 4) 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 = 0.
𝑑𝑥
b) Obtenha a solução particular para satisfazer a condição 𝑦(1) = 2.
3ª Questão. Problema de crescimento e decaimento:
O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa taxa proporcional à quantidade presente (𝑄) que podemos mo-
delar matematicamente pela equação diferencial de variáveis separáveis
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑘 ∙ 𝑄.
Se 80 𝑚𝑔 deste material são reduzidos a 70 𝑚𝑔 em dois anos, determine o tempo necessário para que a massa venha a decair 60% do seu valor original.
Dica: deve-se, inicialmente, separar as variáveis da equação descrita acima para obter a forma direta para integração	= 𝑘 ∙ 𝑑𝑡. Na sequência integrar
𝑑𝑄
𝑄
esta equação e depois substituir as condições de contorno 𝑄(0) = 80 e 𝑄(2) = 70. Após estas substituições, obtém-se os valores das constantes proveniente
da integração que são a constante arbitrária 𝐶 e a constante de proporcionalidade 𝑘.