Sistemas Lineares (com resolução)

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Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Lineares 
 
Exercícios Resolvidos ..................................................................................................... 2 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 5 
Teste de Auto-Avaliação 1 ............................................................................................. 6 
Teste de Auto-Avaliação 2 ............................................................................................. 6 
Teste de Auto-Avaliação 3 ............................................................................................. 6 
Introdução Teórica (Sistemas de Equações Lineares) ................................................ 7 
Síntese/Formulário (Sistemas de Equações Lineares) ............................................... 10 
 
 
 
 
 
Tópicos teóricos: 
 Sistemas de equações lineares: notação matricial 
 Métodos de eliminação de variáveis e de adição de equações 
 Eliminação de Gauss-Jordan 
 Classificação: sistemas determinados, impossíveis e indeterminados 
 Sistemas de equações lineares, métodos de eliminação de variáveis e de adição 
de equações 
 Método da matriz inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 2 
Exercícios Resolvidos 
ER.1 Considere o sistema de duas equações lineares de coeficientes reais nas incógnitas x 
e y: 
2
 -2 3
x y
y
 


. 
em que se sabe que em 2IR cada umas destas equações corresponde à equação cartesiana 
de uma recta: 
a) Esboce as duas rectas no mesmo plano e decida se: 
- o sistema é possível e determinado. 
- o sistema é possível e indeterminado. 
- o sistema é impossível . 
b) Determine, caso exista, a solução do sistema dado. 
 
Resolução: 
a) O sistema é possível e determinado pois as rectas interceptam-se. 
b) A intercepção acontece no ponto  3, 3/ 2 . 
 
ER.2 Considere o sistema de duas equações lineares a duas incógnitas: 
 
 
1
2
2
 1
a x y b
a y b
   

  
 
a) Escreva o sistema dado na forma matricial i.e. recorrendo à “matriz aumentada”. 
b) a partir da matriz anterior classifique em função de 
1 2, , IRa b b  o sistema em: 
- possível e determinado. 
- possível e indeterminado. 
- impossível . 
Resolução: 
a) 
1
2
2 1 |
0 1 |
ba
ba
 
 
  
 
b) 
i) o sistema é possível e determinado para 1 2a a    . 
 
ii) Para 1a   
- 
2 0b  : o sistema é impossível 
- 
2 0b  : o sistema é possível e indeterminado 
 
iii) Para 2a  
- 
2 13 0b b  : o sistema é impossível 
- 
2 13 0b b  : o sistema é possível e indeterminado 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 3 
ER.3 Considere a matriz: A = 












a021
0110
1021
. 
a) Estude, em função dos parâmetros a e b, o sistema: A












4
3
2
1
x
x
x
x
= 










b
0
1
 . 
b) Resolva-o quando a = -1 e b = 1. 
 
Resolução: 
 
a) Como 
3 1
1 2 0 1 1 1 2 0 1 3
0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
1 2 0 0 0 0 1 1
L L
a b a b

    
   
  
   
       
 , então: 
Se a ≠ -1, então a + 1 ≠ 0, logo r(A) = r(A|B) = 3 ≠ 4, e portanto o sistema é possível e 
indeterminado com grau de indeterminação igual a 1. 
Se a = -1, 
1 2 0 1 3 1 2 0 1 3
0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1a b b
    
   
  
   
        
, logo 
 se b ≠ 1, temos 
1 2 0 1 3 1 2 0 1 3
0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1a b b
    
   
  
   
        
 e nestas 
condições, como b-1  0, então 
 r(A) ≠ r(A|B), e portanto o sistema é impossível. 
 Se a = -1 e b = 1, temos 
1 2 0 1 3 1 2 0 1 3
0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0a b
    
   
  
   
       
 e 
nestas condições vem r(A) = r(A|B) = 2 ≠ 4, e portanto o sistema é possível e 
indeterminado com grau de indeterminação igual a 2. 
 
Vamos agora resolver o sistema para a = -1 e b = 1: 
1 2 0 1 1
0 1 1 0 0
1 2 0 1 1
A e B
   
   
  
   
      
 
 
b) 
Para a = -1 e b = 1 temos 
1 2 0 1 1 1 2 0 1 3
0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
1 2 0 0 0 0 0 0a b
    
   
  
   
      
, logo 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 4 
A












4
3
2
1
x
x
x
x
= 
1 3 41 2 4
2 3 2 3
1
2 32 3
0
0
x x xx x x
x x x x
b
 
       
         
 
E portanto,  1 2 3 4, , ,x x x x é solução do sistema se, e só se, 
   1 2 3 4 3 4 3 3 4 3 4, , , 2 3, , , (3,0,0,0) ( 2,1,1,0) (1,0,0,1)x x x x x x x x x x x        . 
Assim, o conjunto das soluções do sistema A












4
3
2
1
x
x
x
x
= 










b
0
1
 quando a = -1 e b =1 é 
 
(3,0,0,0) ( 2,1,1,0),(1,0,0,1)  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 5 
Exercícios Propostos 
I.1. Verifique quais dos seguintes sistemas de equações lineares são solúveis e resolva-
os no caso de o serem: 
i) 
1 2 3
1 2 3
2 3
x x 2x 1
2x x x 1
3x 3x 0
  

  
  
 
ii) 
1 2 3
1 2
1 3
x x x 0
2x x 1
x x 1
  

 
  
 
iii) 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
x x x 4x 4
2x 3x 4x 9x 16
2x 3x 7x 11
   

   
   
 
 
I.2 Considere o sistema com coeficientes reais 
 
1 1 1
1 a 1
1 1 0
 
 

 
  
1
2
3
x
x
x
 
 
 
  
= 
1
0
b
 
 
 
  
 , onde a e b são parâmetros. 
a) Estude o sistema S. 
b) Encontre o conjunto solução do sistema S quando a 1 e 
1
b
2
 . 
 
I.3 Para cada IR e cada IR  , considere o sistema de equações lineares de 
coeficientes reais nas incógnitas x, y, z e w. 








13)4(2
1
022


wzyx
wzy
wzx
 
(a) Discuta o sistema anterior em função de  e . 
(b) Para os casos em que o sistema é possível, indique o conjunto das soluções do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 6 
Teste de Auto-Avaliação 1 
Sejam a,b IR e considere o sistema de equações lineares: 
x y 1
x y az 0
y z b
 

  
  
. 
a) Discuta-o em função dos parâmetros a e b. 
b) Encontre o conjunto solução do sistema quando a 2  e 
1
b
2
  . 
 
Teste de Auto-Avaliação 2 
A matriz que se segue é a matriz ampliada de um sistema linear 
 
a 0 b | 2
a a 4 | 4 .
0 a 2 | b
 
 
 
   
a) Discuta a solução do sistema em função dos parâmetros reais a e b. 
b) Resolva o sistema quando a = 2 = b. 
 
Teste de Auto-Avaliação 3 
Para cada IR e cada IR  , considere o sistema de equações lineares de 
coeficientes reais nas incógnitas x, y, z e w. 
 
 
 
2 3 1
4 3 2 1
1 0
x w z y
y z w x
y z w

 

     

     

   
 
 
(a) Discuta o sistema anterior em função de  e . 
(b) Para os casos em que o sistema é possível, indique o conjunto das soluções do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 7 
 
Introdução Teórica (Sistemas de Equações Lineares) 
 
Definições iniciais 
 
Um sistema de m equações lineares com n incógnitas x1,x2,...,xn é um sistema de 
equações do tipo: 
 














mnmnjmjmm
ininjijii
nnjj
nnjj
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
......
...
......
...
......
......
2211
2211
222222121
111212111
 
 
Na expressão anterior os ija e os ijb são números reais conhecidos. 
 
Definição De referir que ija é o coeficiente da incógnita jx na equação de ordem i e ib 
é o termoindependente da equação de ordem i. 
 
Definição As matrizes seguintes, associadas ao sistema de equações anterior, 
 































































m
i
n
j
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
Be
x
x
x
x
X
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A










2
1
2
1
21
2
222221
111211
, 
 
dizem-se respectivamente a matriz dos coeficientes A, a matriz das incógnitas X e a 
matriz B dos termos independentes. 
 
Matricialmente o sistema pode representar-se na seguinte forma: 





























































m
i
n
j
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa










2
1
2
1
21
2
222221
111211
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 8 
Nota Recorrendo às matrizes anteriores A, X e B e à noção de produto de matrizes é 
possível representar o sistema de m equações e n incógnitas, atrás referido, da seguinte 
forma: 
BAX  
 
ou ainda, por: 
 
BAxAxAxAx nnjj  ......2211 
 
em que nj AAAA ,...,,..., 21 , designam as colunas da matriz A, isto é, 
  .,...,1,21 njaaaaA
T
mjijjjj   
 
Definição A matriz que se obtém ampliando a matriz A com a coluna dos termos 
independentes chama-se matriz ampliada do sistema e representa-se por  BA | : 
 





















m
i
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
BA








2
1
21
2
222221
111211
|
|
|
|
|
|
| 
 
Definição Chama-se solução do sistema a todo o vector 
n
n IRxxx ),...,,(
00
2
0
1 , cujas 
componentes substituídas nas equações do sistema o transformam num conjunto de m 
igualdades. Analogamente se define solução da equação matricial, como a matriz coluna 
X
0
 tal que BAX 0 . 
 





















n
j
x
x
x
x
X


2
1
0 
 
Definição O sistema diz-se possível se admitir uma ou mais soluções. Nestas 
condições as equações do sistema dizem-se compatíveis. Se o sistema 1 não admitir 
nenhuma solução diz-se impossível. As equações neste caso dizem-se incompatíveis. 
 
Definição Um sistema possível diz-se determinado se admitir uma só solução e 
indeterminado se admitir mais do que uma solução (neste caso o número de soluções é 
infinito). 
 
Definição O sistema 1 diz-se homogéneo se os termos independentes forem todos nulos. 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 9 
 
Resolução de Sistemas de Equações Lineares pelo Método de 
Eliminação de Gauss 
 
O método de eliminação de Gauss consiste na realização de operações elementares 
sobre as linhas da matriz ampliada  BA | de forma a transformar a matriz anterior 
numa matriz em escada após o que se resolve o sistema por retro-substituição. Assim, 
o método apresentado no parágrafo anterior para o cálculo da característica de uma 
matriz pode ser aplicado à resolução de sistemas recebendo, neste contexto, a 
designação de Método de Eliminação de Gauss. 
 
Com efeito, para resolver o sistema BAX  bastará transformar a matriz ampliada 
 BA | numa matriz em escada executando repetidamente operações sobre linhas. 
 
Nota Repare-se que a realização de operações elementares sobre as linhas da matriz 
ampliada  BA | é equivalente à troca de duas equações do sistema, multiplicação de 
uma constante não nula e adição a uma equação de outra multiplicada por uma 
constante. Portanto, qualquer daquelas operações sobre  BA | substitui o sistema inicial 
por outro equivalente, isto é, com as mesmas soluções. Assim, realizando aquelas 
operações de forma sistemática é possível, a partir do sistema inicial, obter um sistema 
equivalente cujas soluções são fáceis de calcular. 
 
 
Definição Uma matriz diz-se reduzida se é uma matriz em escada e se: 
 
1. Os elementos redutores são todos iguais a 1; 
 
2. Os elementos situados acima dos redutores são todos iguais a zero. 
 
Com esta terminologia podemos então dizer que resolver o sistema BAX  pelo 
método de eliminação de Gauss, consiste em transformar a matriz ampliada  BA | , 
numa matriz reduzida por meio de operações elementares sobre linhas. 
 
 
Classificação de sistemas – usando a característica: 
 
Sistema 





















)|()(,Im
º)(
mindet
º)(
min
)|()(,
:
BAcAcsepossível
incógnitasdenAcse
adoerIn
incógnitasdenAcse
adoDeter
BAcAcsePossível
BAX 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 10 
Síntese/Formulário (Sistemas de Equações Lineares) 
 
 
 Sistema de equações como equação com matrizes (i.e. equação matricial) 
 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   

   


    
 
 
Definição Escreve-se na forma matricial: 
 
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n m
a a a x b
a a a x b
AX B
a a a x b
     
     
       
     
     
     
 
 
Definição A matriz que se obtém ampliando a matriz A com a coluna dos termos 
independentes chama-se matriz ampliada do sistema e representa-se por  BA | : 
 
 





















m
i
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
BA








2
1
21
2
222221
111211
|
|
|
|
|
|
| 
 
 
Definição O sistema 1 diz-se homogéneo se os termos independentes forem todos 
nulos. 
 
Definição Um sistema possível diz-se determinado se admitir uma só solução e 
indeterminado se admitir mais do que uma solução (neste caso o número de soluções é 
infinito). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Sistemas 
 
 11 
Os resultados anteriores podem sistematizar-se da seguinte forma: 
 
Sistema 
Determinado (SPD)
se c(A)=nº de incógnitas
Possível, se c(A)=c(A|B)
B: Indeterminado (SPI)
se c(A)<nº de incógnitas
Impossível, se c(A)<c(A|B) (SI)
AX
 
 

 
  
 

 
 
(Classificação de sistemas – usando a característica) 
 
 
 Resolução de sistemas de n equações a n incógnitas (SPD) 
 
1AX B X A B   
 
 
Teorema (Rouché) Seja BAX  um sistema possível. Então Z é solução de BAX  
sse Z é da forma, YXZ  0 em que, X0 é uma solução particular de BAX  e Y é 
uma solução do sistema homogéneo 0AX