Sistemas e Aplicações (com resolução)

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Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas e Aplicações 
 
Exercícios Resolvidos ..................................................................................................... 2 
Definições (Sistemas de Equações Lineares: completa) .............................................. 7 
Síntese (Sistemas de Equações Lineares: completa) .................................................. 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópicos teóricos: 
 Sistemas de equações lineares: notação matricial 
 Método da matriz inversa. 
 Métodos de eliminação de variáveis e de adição de equações. 
 Eliminação de Gauss-Jordan, 
 Classificação: sistemas determinados, impossíveis e indeterminados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 2 
Exercícios Resolvidos 
 
ER1. Considere o sistema de equações lineares: 
/ 2
2 1 0
3 5
z x y
y z x
z y x
 

   
  
. 
 
a) Escreva o sistema dado na forma matricial: .AX B Calcule o determinante da 
matriz A. 
b) Justifique que a matriz A é invertível e indique o determinante da respectiva inversa. 
c) Classifique o sistema dado. 
d) Determine o valor da incógnita y do sistema pela regra de Cramer. 
 
Resolução: a) Podemos escrever o sistema dado na forma (evitando os coeficientes 
fraccionários na matriz A): 
 
2 2 0 2 1 2 0
2 1 1 2 1 1
5 3 0 5 3 1 0
x y z x
x y z y AX B
x y z z
         
      
            
               
 
 
 
Pelo que
2 1 2 2 1 2
det det 1 2 1 1 2 1 20 0
5 3 1 5 3 1
A
  
 
    
 
   
 
 
 
b) Como det 20 0A   a matriz do sistema A é invertível e 
1 1 1det( ) 0
det 20
A
A
   

det 20 0A   . 
 
 
c) Como det 20 0A   , temos um sistema possível e determinado (SPI). 
 
 
d) Temos um sistema de 3 equações, a 3 incógnitas e o determinante da matriz dos 
coeficientes (A) é diferente de zero, o sistema dado é de Cramer. 
 
Utilizando a regra de Cramer para o resolver obtemos: 
 
 
2 0 2
det 1 1 1
5 0 1 8 2
20 20 5
y
 
 
 
     
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 3 
ER2. Um gestor financeiro tem dois produtos de risco diferente: uma aplicação de risco 
menor que retorna 10% ao ano, e outra de risco superior que retorna 20% ao ano. Cada 
um dos seus clientes tem um montante a que quer aplicar, e um retorno anual r que 
pretende atingir. 
Considere as variáveis: Quantia aplicada a 10%x  e Quantia aplicada a 20%y  
Admita que o cliente pretende aplicar €10.000 (i.e. o ) e obter um rendimento de €1.300 (i.e. o )a a
O problema que se pretende analisar pode ser modelado pelo sistema: 
 
0,1 0,2
x y a
x y r
 

 
 
 
Escreva um sistema de 2 equações na forma: AX B . 
a) Calcule o determinante da matriz A. 
b) Calcule a matriz inversa de A usando eliminação a partir da matriz  A I . 
c) Como aplicará o gestor esse dinheiro? 
 
Resolução: Ao sistema 
10000
0,1 0,2 1300
x y
x y
 

 
 
 
Podemos associar a matriz A e o vector B seguintes: 
 
1 1
0,1 0,2
A
 
   
 
 e 
10000
1300
B
 
  
 
 
 
a)  
1 1
det det 1 0,2 1 0,1 0,2 0,1 0,1
0,1 0,2
A
 
        
 
 
 
b) 
 
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 10
0,1 0,2 0 1 0 0,1 0,1 1 0 1 1 10 0 1 1 10
A I
       
          
         
 
 
Pelo que: 
1
2 10
1 10
A
 
  
 
 
 
c) Sabemos que 1AX B X A B   pelo que neste caso podemos escrever: 
 
2 10 10000 7000
1 10 1300 3000
Portanto, o gestor aplicará €7.000,00 no produto de baixo risco e €3.000,00 no de alto risco
x
y
       
        
       
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 4 
ER3. Resolva os sistemas de equações seguintes, recorrendo ao método de eliminação 
de Gauss-Jordan. 
a) 








1125
02193
21042
zyx
zyx
zyx
 
Resolução: 
 
3 1 1 2 2
1 3 3
2 1 1
2 2
2 3 3
3
2
1 5
66
2 4 10 2 1 5 12 1 1 5 12 1
3 9 21 0 3 9 21 0 0 6 15 3
1 5 12 1 2 4 10 2 0 6 14 4
1 5 12 1 1 0 1 2 3 2
0 1 15 6 1 2
0 6 14 4
L L L L L
L L L
L L L
L L
L L L
   
  
  
 
 
        
     
      
     
              
  
 
  
 
   
3 3 3 2 2
3 1 1
15 6
1 2
0 1 15 6 1 2
0 0 1 1
1 0 1 2 3 2 1 0 0 2 2
0 1 15 6 1 2 0 1 0 3 3
0 0 1 1 0 0 1 1 1
L L L L L
L L L
x
y
z
   
  
 
 
 
 
   
       
   
       
        
 
 
b)








7112
1
753
zx
zyx
zyx
 
R: 


















 
 










 













 













 














 












 




















1
0
2
1100
0010
2001
1100
2210
1301
5500
2210
1301
9920
2210
1111
9920
4420
1111
71102
7153
1111
71102
1111
7153
1133
2232
33
5
1
3322
112
22
2
1
3312
221312
z
y
x
LLL
LLL
LL
LLL
LLL
LL
LLL
LLLLL
 
 
 
Comentário final: Os sistemas com uma única solução, i.e., apenas um conjunto de 
valores x, y e z verifica o sistema dado, classificam-se como: Sistemas Possíveis e 
Determinados (SPD). 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 5 
ER4. Resolva os sistemas de equações seguintes, recorrendo ao método de eliminação 
de Gauss-Jordan. Classifique-o. 
a) 








232
132
143
zyx
zyx
zyx
 
 
Resolução: 
 
 





















 














 













 

















!IMPOSSÍVEL10
35
47
1000
3510
4701
51020
3510
2321
1143
1132
2321
2321
1132
1143
3322
1122
3313
221213
zy
zx
LLL
LLL
LLL
LLLLL
 
 
Sistema é impossível. 
 
 
b)








10242
32
1173
zyx
zyx
zyx
 
 
 



















 
 













 















!IMPOSSÍVEL40
22
32
4000
2210
3121
10242
11173
3121
10242
3121
11173
3312
221312
zy
zyx
LLL
LLLLL
 
 
Sistema é impossível. 
 
 
Comentário final: Os sistemas sem solução, i.e., sem nenhum conjunto de valores x, y 
e z verifica o sistema dado, classificam-se como: Sistemas Impossíveis (SI). 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 6 
ER5. Resolva os sistemas de equações seguintes, recorrendo ao método de eliminação 
de Gauss-Jordan. Classifique-o. 
a)





72
8312
yx
zyx
 
 























 







 








 







 










tz
ty
tx
zy
zx
LLL
LL
LLLLL
2
23
2
32
2110
3201
2110
7021
6330
7021
8312
7021
7021
8312
1132
33
3
1
221212
Sistema é possível e indeterminado. 
 
b)





6333
10642
zyx
zyx
 
 























 







 








 







 











tz
ty
tx
zy
zx
LLL
LL
LLL
LL
23
1
32
1
3210
1101
3210
5321
9630
5321
6333
5321
6333
10642
1132
33
3
1
3313
11
2
1
 
Sistema é possível e indeterminado. 
 
c)





3363
2242
zyx
zyx
 
 














 
 







 









uz
ty
utx
zyxLLL
LL
21
12
0000
1121
3363
1121
3363
2242
3313
11
2
1
 
 
Sistema é possível e indeterminado. 
 
Comentário final: Os sistemas com infinitas soluções, i.e., com vários conjuntos de 
valores x, y e z verifica o sistema dado, classificam-se como: Sistemas Possíveis e 
Indeterminados (SPI). 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 7 
 
Definições (Sistemas de Equações Lineares: completa) 
 
Definições iniciais 
 
Um sistema de m equações lineares com n incógnitas x1,x2,...,xn é um sistema de 
equações do tipo: 
 














mnmnjmjmm
ininjijii
nnjj
nnjj
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
......
...
......
...
......
......
2211
2211
222222121
111212111
 
 
Na expressão anterior os ija e os ijb são números reais conhecidos. 
 
Definição De referir que ija é o coeficiente da incógnita jx na equação de ordem i e ib 
é o termo independente da equação de ordem i. 
 
Definição As matrizes seguintes, associadas ao sistema de equações anterior, 
 































































m
i
n
j
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
Be
x
x
x
x
X
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A










2
1
2
1
21
2
222221
111211
, 
 
dizem-se respectivamente a matriz dos coeficientes A, a matriz das incógnitas X e a 
matriz B dos termos independentes. 
 
Matricialmente o sistema pode representar-se na seguinte forma: 





























































m
i
n
j
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa










2
1
2
1
21
2
222221
111211
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 8 
Nota Recorrendo às matrizes anteriores A, X e B e à noção de produto de matrizes é 
possível representar o sistema de m equações e n incógnitas, atrás referido, da seguinte 
forma: 
BAX  
 
ou ainda, por: 
 
BAxAxAxAx nnjj  ......2211 
 
em que nj AAAA ,...,,..., 21 , designam as colunas da matriz A, isto é, 
  .,...,1,21 njaaaaA
T
mjijjjj   
 
Definição A matriz que se obtém ampliando a matriz A com a coluna dos termos 
independentes chama-se matriz ampliada do sistema e representa-se por  BA | : 
 





















m
i
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
BA








2
1
21
2
222221
111211
|
|
|
|
|
|
| 
 
Definição Chama-se solução do sistema a todo o vector 
n
n IRxxx ),...,,(
00
2
0
1 , cujas 
componentes substituídas nas equações do sistema o transformam num conjunto de m 
igualdades. Analogamente se define solução da equação matricial, como a matriz coluna 
X
0
 tal que BAX 0 . 
 





















n
j
x
x
x
x
X


2
1
0 
 
Definição O sistema diz-se possível se admitir uma ou mais soluções. Nestas 
condições as equações do sistema dizem-se compatíveis. Se o sistema 1 não admitir 
nenhuma solução diz-se impossível. As equações neste caso dizem-se incompatíveis. 
 
Definição Um sistema possível diz-se determinado se admitir uma só solução e 
indeterminado se admitir mais do que uma solução (neste caso o número de soluções é 
infinito). 
 
Definição O sistema 1 diz-se homogéneo se os termos independentes forem todos nulos. 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 9 
 
 
 
Resolução de Sistemas de Equações Lineares pelo Método de 
Eliminação de Gauss 
 
O método de eliminação de Gauss consiste na realização de operações elementares 
sobre as linhas da matriz ampliada  BA | de forma a transformar a matriz anterior 
numa matriz em escada após o que se resolve o sistema por retrosubstituição. Assim, o 
método apresentado no parágrafo anterior para o cálculo da característica de uma matriz 
pode ser aplicado à resolução de sistemas recebendo, neste contexto, a designação de 
Método de Eliminação de Gauss. 
 
Com efeito, para resolver o sistema BAX  bastará transformar a matriz ampliada 
 BA | numa matriz em escada executando repetidamente operações sobre linhas. 
 
Nota Repare-se que a realização de operações elementares sobre as linhas da matriz 
ampliada  BA | é equivalente à troca de duas equações do sistema, multiplicação de 
uma constante não nula e adição a uma equação de outra multiplicada por uma 
constante. Portanto, qualquer daquelas operações sobre  BA | substitui o sistema inicial 
por outro equivalente, isto é, com as mesmas soluções. Assim, realizando aquelas 
operações de forma sistemática é possível, a partir do sistema inicial, obter um sistema 
equivalente cujas soluções são fáceis de calcular. 
 
 
Definição Uma matriz diz-se reduzida se é uma matriz em escada e se: 
 
1. Os elementos redutores são todos iguais a 1; 
 
2. Os elementos situados acima dos redutores são todos iguais a zero. 
 
Com esta terminologia podemos então dizer que resolver o sistema BAX  pelo 
método de eliminação de Gauss, consiste em transformar a matriz ampliada  BA | , 
numa matriz reduzida por meio de operações elementares sobre linhas. 
 
 
 
Classificação de sistemas – usando a característica: 
 
Sistema 





















)|()(,Im
º)(
mindet
º)(
min
)|()(,
:
BAcAcsepossível
incógnitasdenAcse
adoerIn
incógnitasdenAcse
adoDeter
BAcAcsePossível
BAX 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 10 
 
Síntese (Sistemas de Equações Lineares: completa) 
 
Definição Matricialmente um sistema pode representar-se na seguinte forma: 
 





























































m
i
n
j
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa










2
1
2
1
21
2
222221
111211
 
 
Definição A matriz que se obtém ampliando a matriz A com a coluna dos termos 
independentes chama-se matriz ampliada do sistema e representa-se por  BA | : 
 
 





















m
i
mnmjmm
inijiij
nj
nj
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
BA








2
1
21
2
222221
111211
|
|
|
|
|
|
| 
 
 
Definição Um sistema possível diz-se determinado se admitir uma só solução e 
indeterminado se admitir mais do que uma solução (neste caso o número de soluções é 
infinito). 
 
Definição O sistema 1 diz-se homogéneo se os termos independentes forem todos 
nulos. 
 
 
Os resultados anteriores podem sistematizar-se da seguinte forma: 
 
Sistema 
Determinado (SPD)
se c(A)=nº de incógnitas
Possível, se c(A)=c(A|B)
B: Indeterminado (SPI)
se c(A)<nº de incógnitas
Impossível, se c(A)<c(A|B) (SI)
AX
 
 

 
  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Sistemas e Aplicações 
 
 11 
 
 
 Sistema de equações como equação com matrizes (i.e. equação matricial) 
 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   

   


    
 
 
Escreve-se na forma matricial: 
 
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x b
a a a x b
AX B
a a a x b
     
     
       
     
     
     
 
 
 
 Resolução de sistemas de n equações a n incógnitas (SPD) 
 
1AX B X A B   
 
 
Definição Um sistema de n equações e n incógnitas, BAX  , é um sistema de 
Cramer se 0det A 
 
Teorema Um sistema de Cramer é sempre possível e determinado e a sua solução é 
dada por: 
ni
A
A
x ii ,...,1,
det
det
 
onde Ai é a matriz que se obtém quandoa coluna i é substituída pela coluna dos termos 
independentes .B