Matrizes 1

Prévia do material em texto

Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 1 
 
 
Matrizes 1: Operações e Matrizes Elementares 
 
Observações: 
 
 Material de apoio às aulas. 
 
 Esta ficha de trabalho tem exercícios tipo, escolhidos, ordenados e comentados, 
de forma a que o estudante possa “ir crescendo” e ganhando segurança no seu estudo. 
 
 Procedimento de estudo proposto: 
1) Leia as sínteses-formulários no final da ficha de trabalho (incluído revisões); 
2) Estude os exercícios resolvidos – foram especialmente escolhidos e ordenados. 
Note em especial os comentários; 
3) Complemente o seu estudo com as folhas teóricas e os livros de texto 
recomendados; 
4) Tente resolver sem consultar as resoluções os exercícios propostos; 
5) Finalmente, faça controlando o tempo, os exercícios de auto-avaliação. 
 
 
Exercícios Resolvidos ..................................................................................................... 2 
Exercícios Propostos I .................................................................................................... 7 
Teste de Auto-Avaliação (40 minutos) .......................................................................... 8 
Anexo A: Revisões de Aritmética .................................................................................. 9 
A.1 - Síntese e Formulário: Operações com números reais ........................................ 9 
Nas operações com números reais, fazemos cálculos que envolvem adição, 
subtracção, divisão e multiplicação. ......................................................................... 9 
A.2 - Síntese e Formulário: Fracções ........................................................................ 11 
Síntese: Matrizes 1 ........................................................................................................ 12 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 2 
Exercícios Resolvidos 
 
ER 1. Calcule, se existirem, seguintes somas matriciais: 
 
a) 












3/12
30
2/11
+ 











02/1
21
22
; 
 
b)












102
320
011
+ 













2/320
2/101
12/12
; 
 
c) 














2/11
20
3/12
01
 + 















11
01
13
14/1
. 
 
 
Comentário inicial: Sejam  ijaA  e  ijbB  duas matrizes do tipo nm . Chama-se 
soma de duas matrizes à matriz  ijcC  , do mesmo tipo nm , cujo elemento genérico 
é .ijijij bac  Diz-se então que .BAC  
 
Resolução: Adicionam-se matrizes do mesmo tipo, adicionando as entradas homólogas. 
 
a) 












3/12
30
2/11
+ 











02/1
21
22
= 












3/12/3
11
2/53
. 
 
b)












102
320
011
+ 













2/320
2/101
12/12
= 













2/522
2/521
12/11
. 
 
c) 














2/11
20
3/12
01
 + 















11
01
13
14/1
= 















2/10
21
3/21
14/3
. 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 3 
 
ER 2. Considere as matrizes A e B 
 
13 7
2 5
1 11
A
  
 
  
 
  
 
1 6
13 3
1 11
B
 
 
 
 
  
 
 
Calcule: 
a) 2A 
b) 5B 
 
Comentário inicial: Seja  ijaA  uma matriz do tipo nm e  um escalar. Chama-
se produto do escalar  pela matriz A, à matriz que se representa por A e cujo 
elemento genérico é ija , isto é, a matriz que se obtém de A multiplicando todos os 
seus elementos por  . 
 
Resolução: 
 
a) 
   
   
13 7 2 13 2 7 26 14
2 2 2 5 2 2 2 5 4 10
1 11 2 1 2 11 2 22
A
           
    
              
         
 
 
b)    
1 6 5 30
5 5 5 13 3 65 15
1 11 5 55
B B
    
   
         
   
       
 
 
ER 3. Considere as matrizes A, B, C e D: 
 
2 1 3 3 1
0 4 2 2 5
A B
    
    
   
 
1 0 2 3 2
4 3 1 0 1
2 3 5 1 2
C D
    
   
   
   
      
 
Determine, se possível, as matrizes seguintes. Caso não seja possível explique porquê. 
a) AC b) CA c) AB d) BA e) 2B 
f) DB g) 2DB h) CD i) 5CD 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 4 
Comentário inicial: Sejam  ijaA  e  ijbB  duas matrizes do tipo nm e pn , 
respectivamente. Chama-se produto de matriz A pela matriz B à matriz  ijcC  do tipo 
pm , cujo elemento genérico ijc se obtém somando os produtos dos elementos da 
linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B, isto é, 
1 1 ... ... , 1,2,..., , 1,2,... .ij i j ik kj in nj ik kjc a b a b a b a b com i m j p        
Nestas circunstâncias, escreve-se, C = AB. 
 
 
Resolução: 
a)
1 0 2
2 1 3 2 4 6 3 9 4 1 15 12 12 18
4 3 1
0 4 2 16 4 12 6 4 10 20 18 6
2 3 5
AC
 
             
                      
 
b) CA não existe pois o número de colunas de C, é diferente do número de linhas de A. 
 
c) AB não existe pois o número de colunas de A é diferente do número de linhas de B. 
 
d) 






























4184
1176
1062024
29436
240
312
52
13
BA 
 
e) 


























274
211
252106
5329
52
13
52
13
2 BBB 
 
f) 
3 2 9 4 3 10 13 7
3 1
0 1 2 5 2 5
2 5
1 2 3 4 1 10 1 11
DB
          
      
             
             
 
 
g) 
13 7 26 14
2 2 2 5 4 10
1 11 2 22
DB
      
   
     
   
      
 
 
h) 
1 0 2 3 2 3 2 2 4 1 6
4 3 1 0 1 12 1 8 3 2 13 3
2 3 5 1 2 6 5 4 3 10 1 11
CD
            
       
         
       
                   
 
 
i) 
1 6 5 30
5 5 13 3 65 15
1 11 5 55
CD
    
   
   
   
       
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 5 
ER 4. Calcule, se existirem, os seguintes produtos: 
 
a) 
0 0
2 1
 
 
 
1 2
2 4
 
 
  
 ; 
b) 
1 0 2
0 2 1
2 2 0
 
 
 
  
1 0 2
1 2 0
1 1 1
 
 
 
 
  
 ; 
c) 











111
021
201










 022
120
201
. 
Resolução: 
a) Temos: 





12
00






 42
21
= 





00
00
. 
 
Comentário intermédio: Este produto garante que na multiplicação de matrizes não é 
valida a lei do anulamento do produto, ou seja o produto de duas matrizes pode ser uma 
matriz nula sem que nenhum dos factores seja uma matriz nula; 
 
b) 










 022
120
201











111
021
201
=
3 2 4
1 3 1
4 4 4
 
 
 
 
  
 
 
c) 











111
021
201










 022
120
201
=












303
441
245
. 
 
Comentário intermédio: Mesmo que possamos efectuar os produtos de matrizes AB e 
BA, estes dois produtos mostram que em geral temos AB  BA, i.e. o produto de 
matrizes não é comutativo. 
 
ER 5. Calcule, se existirem, os seguintes produtos: 
 
a) 





 112
201












0121
2210
1102
 ; 
b) 










11
02
11






 231
012
. 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 6 
Resolução: 
a) 
1 0 2
2 1 1
 
 
 
2 0 1 1
0 1 2 2
1 2 1 0
 
 

 
  
=
4 4 1 1
5 1 3 4

 
 
; 
 
b) 
1 1
2 0
1 1
 
 
 
  
2 1 0
1 3 2
 
 
  
= 
1 4 2
4 2 0
3 2 2
 
 
 
  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 7 
 
Exercícios Propostos I 
 
I.1. Determine, se possível, a soma matricial A B , para cada um dos pares seguintes: 
a)  1 2 3A  , 
4
1
2
B
 
 
 
 
  
 
b) 
1 2
3 4
5 6
A
 
 

 
  
, 
3 2
1 5
4 3
B
  
 
 
 
  
 
c) 
3 1
0 2
1 4
2 3
A
 
 
 
 
 
 
, 
2 3 1 4
3 2 1 0
4 1 2 3
B
 
 
 
 
  
 
 
I.2. Determine, se possível, o produto matricial AB , para cada um dos pares seguintes: 
a) 
2 3 1 4
3 2 1 0
4 1 2 3
A
 
 
 
 
  
, 
3 1
0 2
1 4
2 3
B
 
 
 
 
 
 
 
b) 
3 1
0 2
1 4
2 3
A
 
 
 
 
 
 
, 
2 3 1 4
3 2 1 0
4 1 2 3
B
 
 
 
 
  
 
c)  1 2 3A  , 
4
1
2
B
 
 
 
 
  
 
d) 
2
3
4
A
 
 

 
  
,  2 0 5B  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 8 
Teste de Auto-Avaliação (40 minutos) 
 
AA 1. Considere as matrizes A, B, C, D e E: 
 
2 1 3
0 4 2
A
 
  
 
 
 
3 1
2 5
B
 
  
 
 
 
1 0 2
4 3 1
2 3 5
C
 
 
 
 
  
 
 
3 2
0 1
1 2
D
 
 
 
 
  
 
 
2 1 1
1 1 0
1 1 0
E
 
 

 
  
 
 
Determine as matrizes seguintes. 
 
a) 2B 
 
b) 2DB+5CD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 9 
Anexo A: Revisões de Aritmética 
 
A.1 - Síntese e Formulário: Operações com números reais 
 
Nas operações com números reais, fazemos cálculos que 
envolvem adição, subtracção, divisão e multiplicação. 
 
1. Regra da Adição 
 
“Sinais iguais na soma ou na subtracção: some os números e conserve o sinal.” 
 
Regra do sinal: (+) + (+) = + e (–) + (–) = – 
 
Exemplos: 
   3 5 3 5 8 8           7 2 7 2 9 9        
   10 22 10 22 32 32           56 12 56 12 68        
   3 5 3 5 8           7 2 7 2 9        
 
“Sinais diferentes: conserve o sinal do maior número e subtraia.” 
 
Exemplos: 
   3 5 3 5 2 2            3 5 3 5 2       
   7 2 7 2 5           7 2 7 2 5 5        
 
[Regra da Subtração (caso particular da adição)] 
 
Exemplos: 
   3 4 1     → O maior número é o quatro; logo, o sinal no resultado é negativo. 
   15 20 5    → O maior número é o vinte; logo, o sinal no resultado é positivo. 
 
Exemplos: 
   3 5 3 5 2           7 2 7 2 5        
   3 5 3 5 8           3 5 3 5 8       
       7 2 7 2 9            7 2 7 2 9       . 
   3 5 2        7 2 5     
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 10 
 
2. Regra da Multiplicação: 
 
“Sinais iguais na multiplicação ou na divisão: resultado com sinal positivo” 
 
Regra do sinal: 
(+) . (+) = (+) → Operação de Multiplicação (–) . (–) = (+) → Operação de Multiplicação 
(+) : (+) = (+) → Operação de Divisão (–) : (–) = (+) → Operação de Divisão 
 
Exemplos: 
   3 5 15        3 5 15     
   3 5 15        3 5 15     
 
“Sinais diferentes na multiplicação ou na divisão: resultado com sinal negativo” 
 
Regra do sinal: 
(+) . (–) = (–) → Operação de Multiplicação 
(–) . (+) = (–) → Operação de Multiplicação 
(+) : (–) = (–) → Operação de Divisão 
(–) : (+) = (–) → Operação de Divisão 
 
Exemplos: 
   100 2 50       100 2 50    
   100 2 50        100 2 50    
 
Exemplos: 
   3 5 3 5 15          7 2 7 2 14       
     3 5 3 5 15             3 5 3 5 15       
     7 2 7 2 14             7 2 7 2 14        
   6 7 42        12 2 24    
 
[Regra Divisão (caso particular da multiplicação)] 
 
Exemplos: 
     
1
10 2 10 5
2
 
        
 
      
1
10 2 10 5
2
 
         
 
 
     
1
10 2 10 5
2
 
         
 
      
1
10 2 10 5
2
 
        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 11 
A.2 - Síntese e Formulário: Fracções 
 
 
Fracção = partes do todo dividido em porções iguais = pedaço 
 
Definição: Fracções equivalentes são aquelas que representam valores iguais 
Exemplo: 
6 3
10 5
 (em que se dividiu ambos os termos da fracção por 2) 
 
Adição de fracções – têm que ter o mesmo denominador: 
a c a c
b b b

  
A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo 
denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, 
basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador 
comum. 
 
Exemplo: 
3 1 4
5 5 5
  
 
Encontrar o denominador comum: Este denominador comum poderá ser o próprio 
produto ou qualquer múltiplo entre os denominadores das parcelas, e dentre eles, poderá 
ser também o m.m.c. entre os denominadores das parcelas. 
 
m.m.c.(a,b) = menor múltiplo comum entre a e b. 
 
Exemplos: O menor múltiplo comum de 2 e 5 não nulo é m.m.c.(2,5) = 10 
 
Multiplicação de fracções: 
a c a c
b d b d

 

 
 
A multiplicação deverá ser feita numerador com numerador e denominador com 
denominador. Se necessário. O sinal segue as regras da matemática para a multiplicação. 
 
Divisão de fracções: 
a c a d
b d b c

 

 ou 
a
a d a db
c b c b c
d

  

 
A divisão reduz-se ao caso da multiplicação: dividir é multiplicar pelo inverso do 
denonimador. Na divisão de frações, devemos conservar a primeira, inverter a segunda 
e então aplicar a regra da multiplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 12 
Síntese: Matrizes 1 
 
Definição: Chama-se matriz identidade de ordem n à matriz escalar 
nI em que os 
elementos principais são iguais a 1 e os restantes são iguais a 0. 
 
Definição: Matriz transposta obtém-se transformando as linhas de A em colunas de 
TA , 
pela mesma ordem. 
 
Definição: Uma matriz diz-se simétrica se é igual à sua transposta, isto é, se TAA . 
 
Definição: Uma matriz A diz-se anti-simétrica se TAA  . 
 
Definição: Uma matriz A diz-se triangular superior se só tem zeros abaixo da 
diagonal principal e triangular inferior se só tem zeros acima da diagonal principal. 
 
Definição: Sejam  ijaA  e  ijbB  duas matrizes do tipo nm . Chama-se soma de 
duas matrizes à matriz  ijcC  , do mesmo tipo nm , cujo elemento genérico é 
.ijijij bac  Diz-se então que .BAC  
 
Definição: Seja  ijaA  uma matriz do tipo nm e  um escalar. Chama-se produto 
escalar  pela matriz A, à matriz que se representa por A e cujo elemento genérico é 
ija , isto é, a matriz que se obtém de A multiplicando todos os seus elementos por  . 
 
Definição: Sejam  ijaA  e  ijbB  duas matrizes do tipo nm e pn , 
respectivamente. Chama-se produto de matriz A pela matriz B à matriz  ijcC  do tipo 
pm , cujo elemento genérico ijc se obtém somando os produtos dos elementos da 
linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B, isto é, 
1 1 ... ... , 1,2,..., , 1,2,... .ij i j ik kj in nj ik kjc a b a b a b a b com i m j p       
Nestas circunstâncias, escreve-se, C = AB. 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 13 
Definição: As matrizes A e B dizem-se encadeadas se o número de colunas de A é 
igual ao número de linhas de B. 
 
Proposição A multiplicação de matrizes verifica as seguintes propriedades: 
- A multiplicação de matrizes é associativa: )()( BCACAB  
- A multiplicação de matrizes é distributiva relativamente à adição, isto é, 
ACABCBA  )( 
EFDFFED  )( 
- A transposta do produto é igual ao produto das transpostas, por ordem inversa, isto é:
TTT ABAB )( 
- Qualquer que seja a matriz A a matriz AA
T
 é simétrica. 
- Seja A uma matriz quadrada de ordem n e seja In a matriz identidade de ordem n, 
então, AAIAI nn  . 
- A multiplicação de matrizes não é comutativa. 
- O produto de duas matrizes AB pode ser nulo sem que nenhuma delas seja nula. 
- A equação AB = AC não implica B = C, mesmo quando a matriz A é não nula. 
 
Definição: Duas matrizes quadradas A e B da mesma ordem dizem-se permutáveis se 
BAAB . 
 
Definição: Potência de uma Matriz. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define-
se:
1232 ,...,,  nn AAAAAAAAA 
 
Definição: Chamam-se operações elementares sobre linhas (ou colunas) de uma 
matriz às seguintes operações: 
1) Troca entre si de 2 linhas (ou colunas) da matriz. 
2) Multiplicação dos elementos de uma linha (ou coluna) por um escalar 
3) Adição a uma linha (ou coluna) uma outra linha (ou coluna) multiplicada por uma 
constante. 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 1 – Matrizes 1 : Operações e Matrizes Elementare 
 
 14 
Definição: Uma matriz diz-se em forma de escada (superior) se satisfaz as seguintes 
condições: 
i) Se o primeiro elemento não nulo numa linha está na coluna j, então a linha seguinte 
começa com pelo menos j elementos nulos; 
ii) Se existirem linhas só com zeros, elas aparecem depois das linhas não nulas. 
 
Definição: Condensação (ou eliminação): O processo de usar operações elementares em 
linhas para transformar uma matriz A numa matriz B em forma de escadas (superior) 
diz-se condensação (superior) da matriz A. 
 
Definição: O primeiro elemento não nulo (a contar da esquerda para a direita) de cada 
linha de uma matriz em escada chama-se pivot/elemento redutor. 
 
Definição: A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas de qualquer 
matriz em escada obtida condensando A. Representa-se por c(A) ou r(A). 
 
Teoremas: 
- A característica de uma matriz A é, de forma equivalente, o número de pivots de 
qualquer matriz em escada obtida condensando A. 
- A característica de uma matriz não se altera se sobre as suas linhas e/ou colunas 
efectuarmos uma sequência de transformações elementares.