Determinantes e Aplicações

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Ficha de Trabalho 4 – Determinantes e Aplicações 
 
Agradeço a indicação de gralhas e sugestões: Professor Joaquim Guerreiro Marques: https://www.linkedin.com/in/jmgmarques/ 
 1 
 
 
 
Determinantes e Aplicações 
 
Exercícios Resolvidos ..................................................................................................... 2 
Exercícios Propostos I [TPC não entregar] .................................................................. 7 
Teste de Auto-Avaliação (30 minutos) .......................................................................... 8 
Síntese (Determinantes e aplicação a sistemas) ........................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópicos teóricos: 
 Determinantes: definição. 
 Regras de Sarrus e Laplace: definições e considerações práticas. 
 Regra de Cramer. 
 Propriedades dos determinantes. 
 Aplicação à resolução de sistemas de equações lineares: exemplos. 
 Síntese determinantes. 
 
 
 
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Exercícios Resolvidos 
 
ER1. Calcule, recorrendo à regra de Sarrus, o determinante de cada matriz: 
 
1 1 2
0 1 3
1 4 1
A
 
 

 
  
 
 
Resoluçã: 
det 1 1 1 ( 1) 3 ( 1) 2 0 4 2 1 ( 1) ( 1) 0 1 1 3 4 6A                         . 
 
Nota: Em termos práticos pode adicionar as colunas 1 e 2 do lado direito… 
 
ER2. Calcule, recorrendo à regra de Laplace, o determinante de cada matriz: 
 
a) 
1 2 1
A 1 0 2
1 0 1
 
 
 
 
  
 
 
b)
1 2 3 2
0 1 0 2
1 1 2 1
0 1 2 1
B
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: a) Reparemos que procedendo ao desenvolvimento do determinante ao 
longo da segunda coluna teremos apenas que calcular um determinante de segunda 
ordem. Assim, 
     
  
1 2 2 2 3 21 2 1 1 1 1
det A 1 2 det 1 0 det 1 0 det
1 1 1 1 1 2
1 2
2det 0 0 2 1 1 1 2 6
1 1
       
                
     
 
           
 
 
 
Comentário intermédio: A partir deste ponto iremos associar imediatamente o sinal de 
cada termo: 
 
b) Reparemos que procedendo ao desenvolvimento do determinante ao longo da 
segunda linha teremos apenas que calcular dois determinantes de terceira ordem. Assim: 
1 3 2 1 2 3
det det 1 2 1 2det 1 1 2
0 2 1 0 1 2
B
   
   
   
   
      
 
1 2 1 3 1 3 1 2
2 2 2 3 2 1
1 1 1 2 1 2 1 1
  
            
    
 
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Comentário final: A partir deste ponto iremos associar imediatamente o sinal de cada 
termo – os termos da diagonal têm sempre associado um expoente par – em vez de: 
2 2 2 4
1 3 2 1 2 3
det 1( 1) det 1 2 1 2( 1) det 1 1 2
0 2 1 0 1 2
B  
   
   
     
   
      
 
3 2 3 3 3 2 3 3
1 2 1 3 1 3 1 2
2( 1) ( 1)( 1) 2 1( 1) 2( 1) 3 2
1 1 1 2 1 2 1 1
   
  
             
    
 
 
ER3. Mostre que 
1 0 2
det 1 2 5 3
2 3 2
 
 
 
 
  
aplicando o Método de Eliminação de Gauss. 
 
Resolução Aplicando o Método de Eliminação de Gauss à Matriz temos 
sucessivamente: 
 









 













630
320
201
det
232
521
201
det









 










 

320
210
201
det3
320
630
201
det 
 
1 0 2
3det 0 1 2 3 1 1 ( 1) 3
0 0 1
 
 
        
 
  
. 
 
Comentário final: Verifique o resultado usando outra(s) regra(s). 
 
ER4. Calcule o determinante de cada matriz: 
 
1 2 1
3 4 5
1 1 1
A
 
 
 
 
  
 
0 2 1
10 4 5
1 1 1
B
 
 
 
 
  
 
 
1 0 1
3 10 5
1 1 1
C
 
 

 
  
 
 
1 2 0
3 4 10
1 1 1
D
 
 
 
 
  
 
 
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Resolução Recorrendo à regra de Sarrus: 
1 2 1
det det 3 4 5 4 10 3 4 6 5 12
1 1 1
A
 
 
          
 
  
 
 
Recorrendo à regra de Laplace: 
   
0 2 1
2 1 2 1
det det 10 4 5 10 1 10 2 1 1 10 4 24
1 1 4 5
1 1 1
B
 
  
               
  
  
 
 
Recorrendo à regra de Laplace: 
1 0 1
1 1 1 1
det det 3 10 5 10 1 12
1 1 3 5
1 1 1
C
 
  
     
 
  
 
 
Recorrendo à regra de Laplace: 
1 2 0
1 2 1 2
det det 3 4 10 10 1 0
1 1 3 4
1 1 1
D
 
 
       
  
  
 
 
 
ER5. Considere a matriz 
0
0 0
x r
A w s y
z
 
 

 
  
. 
a) Calcule o determinante da matriz A, por desenvolvimento segundo uma linha ou uma 
coluna à sua escolha. 
b) Justifique que se 0xyz , então A é invertível 
c) Calcule o determinante da matriz da matriz A. 
 
Resolução (a) Cálculo do determinante da matriz A, por desenvolvimento segundo a 3ª 
coluna: 
xyzxzy
z
rx
yA   )0(
0
)1(det 32 
 
(b) A matriz quadrada A é invertível se, e só se, 0det A . Logo, pela alínea anterior, a 
matriz A é invertível se, e só se, 00det  xyzxyzA 
 
c) Sabemos que: “Se A é invertível então 0)det( A e 
A
A
det
1
)det( 1  ” 
Neste caso temos  1det 1/ det 1/A A xyz    
 
 
 
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ER 6. Considere o sistema de equações lineares: 
2
3 4 5 10 0
1 0
x y z
x y z
x y z
 

   
    
. 
 
a) Escreva o sistema dado na forma matricial: .AX B 
 
b) Considere a regra de Cramer na forma: 
det
, 1,2,3
det
i
i
A
x i
A
  
onde Ai é a matriz que se obtém quando a coluna i é substituída pela coluna dos termos 
independentes .B . 
 
Calcule dos determinantes: det A, 
1
det A , 
2
det A e 
3
det A . 
 
c) Resolva o sistema pela regra de Cramer. 
 
Resolução: a) Podemos escrever o sistema dado na forma: 
2 0 1 2 1 0
3 4 5 10 3 4 5 10
1 1 1 1 1
x y z x
x y z y AX B
x y z z
         
      
             
              
 
 
b) Recorrendo à regra de Sarrus: 
1 2 1
det det 3 4 5 4 10 3 4 6 5 12
1 1 1
A
 
 
          
 
  
 
Recorrendo à regra de Laplace: 
   1
0 2 1
2 1 2 1
det det 10 4 5 10 1 10 2 1 1 10 4 24
1 1 4 5
1 1 1
A
 
  
               
  
  
2
1 0 1
1 1 1 1
det det 3 10 5 10 1 12
1 1 3 5
1 1 1
A
 
  
     
 
  
 
3
1 2 0
1 2 1 2
det det 3 4 10 10 1 0
1 1 3 4
1 1 1
A
 
 
       
  
  
 
 
c) Pelo que, pela regra de Cramer, a solução do sistema é: 
 
1det 24 2
det 12
A
x
A

  

; 2
det 12
1
det 12
A
y
A
   

; 3
det 0
0
det 12
A
z
A
  

 
 
 
 
 
 
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ER7. a) Indique, sem efectuar cálculos, o determinante de cada uma das matrizes: 
 
2 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2
A , B 1 1 1 , C 1 1 1 ,D 0 1 2
0 0
1 0 2 2 2 2 0 1 2
      
       
          
            
 e 
4 2 1
M 4 0 2
2 0 1
 
 

 
  
. 
 
b) Quais destas matrizessão invertíveis? 
Resolução: 
 
a) Na matriz A podemos observar que a linha 
2L tem todos os elementos nulos, logo 
1 2
det A det 0.
0 0
 
  
 
 
 
## Na matriz B podemos observar que  1 2 3L L 1 L   , logo 
2 1 1
det B det 1 1 1 0.
1 0 2
 
 
 
 
  
 
 
## Na matriz C podemos observar que a linha 
3L é múltipla da linha 2L , isto é, 
3 2L 2L , logo 
2 1 1
det C det 1 1 1 0
2 2 2
 
 
 
 
  
. 
 
## Na matriz D podemos observar que as linhas 
2L e 3L são iguais, 
logo  
1 2 1
det D det 0 1 2 0
0 1 2
 
 
 
 
  
. 
 
## Na matriz M observa-se que a linha 
2L é múltipla da linha 3L , isto é, 2 3L 2L , 
 
logo 
4 2 1
det M det 4 0 2 0
2 0 1
 
 
 
 
  
. 
 
b) Nenhuma destas matrizes tem inversa porque o seu determinante é nulo. 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos I [TPC não entregar] 
 
 
EPI.1
2 1 3
Resolva a equação 4 1 1 12
0
n
n n
   em IN. 
 
EPI.2 Mostre que o sistema 
1
2 1
2 2 1
x y
x z
x y z
 

 
    
 
é um sistema de Cramer. Determine a sua solução. 
 
 
EPI.3
5 2 2 2
Considere as matrizes: , tais que 2 .
1 1 0 1
A B A X B
   
      
   
 
Calcule o determinante de .X 
 
 
EPI.4 Considere a matriz 0
0 0
x s y
B w r
z
 
 

 
  
 
Justifique que se 0 yzw  , então B é invertível. 
 
 
EPI.5 Considere as matrizes 
1 0 1 1 1 0
2 1
A , B 2 3 4 e C 0 2 1 .
3 4
0 1 1 2 1 2
   
     
                 
 
 
a) Calcule o determinante de cada uma das matrizes. 
 
b) Diga, quais destas matrizes são invertíveis e indique o determinante da respectiva 
inversa. 
 
c) Calcule o valor do det BC. 
 
 
 
 
 
 
 
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Teste de Auto-Avaliação (30 minutos) 
 
AA1. Considere o sistema de equações lineares: 
 
/ 2
2 1 0
5 3
x z y
x y z
x z y
 

   
  
. 
 
a) Escreva o sistema dado na forma matricial: .AX B Calcule o determinante da 
matriz A. 
 
b) Justifique que a matriz A é invertível e indique o determinante da respectiva inversa. 
 
c) Classifique o sistema dado. 
 
d) Resolva o sistema pela regra de Cramer. 
 
e) Mostre que a solução encontrada em d) é de facto solução do sistema dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 9 
Síntese (Determinantes e aplicação a sistemas) 
 
O determinante de uma matriz de segunda ordem pode calcular-se da seguinte forma: 
bcad
dc
ba
dc
ba






det 
 
O determinante de uma matriz A, triangular superior/inferior, é igual ao produto dos 
elementos da diagonal: 
11 12 1 11
22 2 21 22
11 22
1 2
0 0
0 0
det det
0 0
n
n
nn
nn n n nn
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
   
   
    
   
   
   
 
 
Teorema Sejam A e B duas matrizes de ordem n, então: 
1. )det()det()det( BAAB  
2. nAc )( se e só se 0)det( A ; 
3. Se A é invertível então 0)det( A e 
 
1 1det( )
det
A
A
  ; 
4. Se 0)det( A então A é invertível; 
5.  det( ) det TA A . 
 
Definição Um sistema de n equações e n incógnitas, BAX  , é um sistema de 
Cramer se 0det A . 
 
Teorema Um sistema de Cramer é sempre possível e determinado e a sua solução é 
dada por: 
ni
A
A
x ii ,...,1,
det
det
 
onde Ai é a matriz que se obtém quando a coluna i é substituída pela coluna dos termos 
independentes .B 
 
 
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