UNIDADE 3 - DETERMINANTES

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Álgebra Linear I
Determinantes
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Douglas Tinti
Revisão Textual:
Profa. Ms. Luciene Oliveira da Costa Santos
5
Nesta unidade, abordaremos o conceito de Determinantes por meio da sua origem histórica, 
conceitualização, aplicabilidade e procedimentos de resolução. É importante que você 
exercite e aprofunde seus estudos: resolva os exercícios propostos e busque outros nas 
referências bibliográficas sugeridas. Além disso, participe do fórum de discussões, assista à 
aula em vídeo e não se esqueça de conferir as datas de avaliação.
 · Conceituar Determinantes, bem como exemplificar sua aplicabilidade.
 · Estudar Propriedades e Teoremas, que contribuem para o cálculo de 
determinantes de matrizes de diferentes ordens.
 · Conhecer os procedimentos para a determinação da inversa de uma matriz.
 · Exercitar os conhecimentos adquiridos ao longo do estudo desta unidade.
Determinantes
 · Origem histórica do conceito de determinantes
 · Calculando Determinantes – diferentes procedimentos de resolução
 · Aplicabilidade do conceito de determinantes
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Unidade: Determinantes
Contextualização
Nesta unidade, abordaremos o conceito e o cálculo de determinantes, que serão para 
nós instrumentos indispensáveis para o estudo dos conceitos que integram a Álgebra Linear, 
sobretudo no que tange ao estudo de Sistemas Lineares.
Acredita-se que as discussões teóricas que permeiam o conceito de determinantes tenham 
sido desenvolvidas simultaneamente na Alemanha e no Japão. 
As noções que conhecemos hoje sobre Determinantes foram desenvolvidas por dois 
matemáticos, Leibniz (1646-1716) e Seki Shinsuke Kowa (1642-1708), ao solucionarem 
problemas de eliminações (escalonamento) necessárias à resolução de um sistema de m 
equações lineares e n incógnitas.
O conceito de determinantes se constitui como ferramenta para solucionar diferentes 
problemas envolvendo diversas áreas do conhecimento, incluindo a própria matemática. 
Enquanto aplicação dentro da própria matemática, podemos destacar, por exemplo, o cálculo 
de uma inversa de uma matriz, o cálculo de cofatores e a discussão de sistemas lineares.
Vamos juntos conhecer um pouco mais sobre determinantes?
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Origem histórica do conceito de determinantes
Historicamente, acredita-se que o estudo dos Sistemas Lineares levou alguns matemáticos 
do século XVII ao desenvolvimento do que denominamos e conhecemos hoje por Teoria dos 
Determinantes.
A teoria surgiu, quase simultaneamente, no Japão e na Europa, embora se reconheça que 
foi o matemático japonês Seki quem publicou pela primeira vez uma obra tratando do assunto. 
A referida obra é Kakefukadai no ho, onde Seki apresenta um método para o cálculo de 
determinantes. Foi publicada em 1683.
Nesse mesmo ano, na Europa, o matemático alemão Leibiniz escreveu ao matemático francês 
L’Hopital uma carta apresentando a classificação de um sistema linear em que aplicava um novo 
tipo de cálculo – que hoje denominamos determinantes.
No que tange à evolução das pesquisas em matemática, destaca-se, também, o século XIX, por 
ser marcado por grandes avanços que proporcionaram o aparecimento de ferramentas e técnicas 
de resolução de problemas que contribuíram para o avanço do campo tecnológico e científico.
Definição
Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. É um número 
obtido por meio de multiplicações e adições dos coeficientes de um Sistema Linear. É importante 
destacar que não existe determinante de matriz que não seja quadrada.Representaremos o 
determinante de uma matriz A, por exemplo, por: det(A).
Vejamos, a seguir, como calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 1, 2 ou 3.
Determinante de matriz quadrada de ordem 1:
Seja a matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], por definição, o determinante de 
A é igual ao número a11.
Exemplo:
A = [7]
det(A) = 7
8
Unidade: Determinantes
Determinante de matriz quadrada de ordem 2:
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante por meio do produto 
dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo:
6 3
2 4
A  =  − 
det(A) = [6 . (-4) ] – [ 3. 2]
det (A) = -24 – 6
det (A) = -30
Assim: 
6 3
30
2 4
= −
−
Determinante de matriz quadrada de ordem 3:
Consideremos a matriz genérica 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 =  
  
Podemos obter o determinante utilizando a regra de Sarrus:
( )
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
det A a a a a a
a a a a a
=
det(A)= 
 
 Importante
 · Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal.
 · Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal.
 · O determinante é a soma dos valores obtidos.
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Algumas propriedades dos determinantes
Com relação ao estudo de determinantes, convém destacar que há algumas propriedades 
importantes que contribuem para a minimização de cálculo.
Propriedade 1: fila de zeros
Considere a matriz quadrada M. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) desta matriz 
forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é,det(M) = 0.
Exemplos:
 a) 
1 0
0
3 0
= b) 
9 7 5
0 0 0 0
3 2 1
=
Propriedade 2: filas iguais
Considere a matriz quadrada M. Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou colunas) 
forem iguais, seu determinante será nulo.
Exemplo:
2 3 4
1 2 6 0
2 3 4
=
Propriedade 3: filas proporcionais
Considere a matriz quadrada M. Se esta matriz possui duas linhas (ou duas colunas) 
proporcionais, seu determinante será nulo.
Exemplo: 
2 3 4
4 6 8 0
1 3 7
=
Observe que a 2ª linha é o dobro da 1ª.
10
Unidade: Determinantes
Propriedade 4: multiplicação de uma fila por uma constante
Considere a matriz quadrada M. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) são 
multiplicados por um número real k, então seu determinante será multiplicado por k.
Exemplo:
21 35 3 5
7.
4 6 4 6
=
Propriedade 5: multiplicação da matriz por uma constante
Considerando que a matriz quadrada M, de ordem n, foi multiplicada por um número real k, 
então o seu determinante também será multiplicado por kn, isto é:
( ) ( )det .detnn nkM k M=
Exemplo:
( )
3 4
det 7
2 5
A A = => = 
 
( ) 2
15 20
5 det 5 5 .7
10 25
A A = => = 
 
Propriedade 6: determinantes da transposta
Sendo M uma matriz quadrada, temos que: det(M)=det(MT).
Exemplo:
( )
1 3
 det 7
4 5
A A = => = − 
 
( )
1 4
 det 7
3 5
TA A = => = − 
 
11
Propriedade 7: troca de filas paralelas
Sendo M uma matriz quadrada, se trocarmos de posição (entre si) duas linhas (ou duas 
colunas), o determinante da nova matriz obtida será o oposto do determinante da matriz anterior.
Exemplo:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
− 
 =  
  
Se trocarmos a 1ª coluna pela segunda, obtemos uma nova matriz:
2 1 3
5 4 6
8 7 9
B
− 
 =  
  
Assim, teremos que: det(A)=-24 e que det(B)=24.
Propriedade 8: determinante de matriz triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo:
( )
3 5
det 3.2 6
0 2
A A = => = = 
 
Propriedade 9: teorema de Binet
O teorema de Binet diz que: sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a 
matriz produto, então, det(AB)=det(A).det(B).
Exemplo:
( )
1 5
det 3 10 7
2 3
A A = => = − = − 
 
( )
1 5
det 1 10 11
2 1
B B = => = − − = − − 
Observe que det(AB)=det(A).det(B).
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Unidade: Determinantes
Para Pensar
O que vem a ser um Teorema? E um Postulado? E uma Propriedade? Qual a importância deles no 
desenvolvimento do conhecimento matemático? Que tal realizar uma pesquisa e compartilhar com 
seus colegas no Fórum proposto no Ambiente Virtual?
Propriedade 10: teorema de Jacobi
O Teorema de Jacobi diz que: o determinante de uma matriz quadrada não se altera quando se 
adicionam aos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer os elementoscorrespondentes 
de outra fila (linha ou coluna) paralela previamente multiplicada por uma constante.
Exemplo:
( )
1 2
det 4 6 2
3 4
A A = => = − = − 
 
Se multiplicarmos a 1ª linha por (2) e somarmos o resultado à 2ª linha, obtemos:
( )
1 2
det 8 10 2
5 8
B A = => = − = − 
 
Propriedade 11: determinante da inversa
Seja A uma matriz quadrada invertível e A-1 sua inversa. Então, det(A-1)= ( )
1
det A . Importante: 
uma matriz A é invertível se e somente se det(A)≠0.
Calculando Determinantes – diferentes procedimentos de resolução
Além da Regra de Sarrus, há outros métodos como, por exemplo, o Teorema de Laplace e a 
Regra de Chió.
a) Teorema de Laplace
Quando nos deparamos com matrizes quadradas de ordem n (n ≥ 2), o Teorema de 
Laplace (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827) oferece uma solução prática para o cálculo dos 
determinantes. Antes de seguirmos, é importante estudar algumas definições para que possamos 
utilizar esta ferramenta de maneira adequada.
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Menor Complementar: 
Dada a matriz quadrada ( )ij mxnA a= de ordem n (n≥2), denominamos menor complementar 
de um elemento genérico ija da matriz o determinante ijD que obtemos suprimindo a linha i 
e a coluna j de A.
Exemplo:
2 5 0
1 3 1
4 2 1
− 
 = − 
 − − 
A
De acordo com a definição de menor complementar, temos:
Cofator:
Dada a matriz quadrada ( )ij mxnA a= de ordem n (n ≥ 2), denominamos cofator de um 
elemento ija da matriz ao produto pelo determinante da submatriz obtida eliminando de A 
a linha i e a coluna j. Assim, o cofator de um elemento aij a é o menor complementar desse 
elemento, multiplicado por(-1)i+j.Assim, o cofator do elemento ija é denotado por Aij. 
Exemplo: 
Dada a matriz:
2 1 2
1 1 0
3 3 1
− 
 = − 
 
 
A
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Unidade: Determinantes
Podemos calcular, por exemplo, os cofatores dos elementos 23a e 31a :
Teorema de Laplace: 
O determinante de uma matriz quadrada ( )ij mxnA a= de ordem n (n ≥ 2) é igual à soma dos 
produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores.
Assim, dada a matriz:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
mxn
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
… 
 … =
 … … … …
 
… 
Assim, tomando como referência, por exemplo, a primeira linha, temos:
( ) 11 11 12 12 1 1= + +…+ n ndet A a A a A a A
 
 Atenção Atenção
Podemos aplicar o Teorema de Laplace utilizando qualquer linha ou coluna da matriz A como 
referência. É usual escolhermos aquela que apresenta a maior quantidade de zeros, com o objetivo 
de diminuir os cálculos.
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz A, expressa a seguir, utilizando o Teorema de Laplace.
1 2 0
1 3 2
3 4 2
 
 = − 
 − 
A
15
Observe que na 3ª coluna temos um dos elementos igual a zero. Escolhendo a 3ª coluna 
como referência, temos:
( ) 13 13 23 23 33 33= + +det A a A a A a A
Assim,
( ) ( ) ( )det 2. 10 2. 5 20 10 30A = − − + = + =
Deste modo:
1 2 0
1 3 2 30
3 4 2
− =
−
b) Regra de Chió
Por meio da Regra de Chió, é possível diminuir de n para (n − 1) a ordem de uma matriz 
quadrada A sem alterar o valor do seu determinante. Esta regra consiste em:
a) Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça 
o elemento 1). 
b) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo o menor complementar do 
referido elemento. 
c) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que 
ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas. 
d) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por(-1)i+j onde i e j designam as ordens 
da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item.
Exemplos:
Usando a Regra de Chió calcule 
2 2 2 2
2 2 2 3
2 2 3 3
2 3 3 3
D =
16
Unidade: Determinantes
Para aplicarmos a Regra de Chió, precisamos que aij = 1. Para tanto, precisamos multiplicar 
os elementos da 1ª coluna por 1
2
 (conforme Propriedade 4 - multiplicação de uma fila por 
uma constante) Assim, teremos:
 
2 2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 3 1 2 2 31 .
2 2 3 3 1 2 3 32
2 3 3 3 1 3 3 3
= =
 
Agora, precisamos subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos 
elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas 
suprimidas. Assim, temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2.1 2.1 2.1
2.1 2.1 2.1
2.1 2.
2 2 3 0 0 1
2 3 3 0 1 1 1
3 3 31 2. 1 11 1
− − −
− − − = = −
− − −
Agora, precisamos multiplicar o determinante obtido no item anterior por(-1)i+j. Assim:
(-1)1+1.(-1)=(-1)2.(-1)= 1.(-1)=-1
Como utilizamos a Propriedade 4, sabemos que pelo fato de multiplicarmos a matriz D por 
1
2
 temos que:
1 1
2
D = −
12
1
2 2
1
1D
−
=
. 2
1
1D = −
2D = −
17
Calcule o Determinante da Matriz 
1 5 7
2 4 3
3 2 4
M
 
 =  
  
Observe que o elemento m11 = 1; portanto, podemos aplicar a Regra de Chió. Assim, temos:
 
 Atenção Atenção
Só podemos aplicar a Regra de Chió se o elemento a11 = 1.
Aplicabilidade do conceito de determinantes
O estudo de determinantes possibilitou a resolução de problemas em diferentes áreas, como 
Física, Economia e, mais recentemente, a Robótica.
Dentre as aplicações destacamos a discussão dos sistemas lineares. Por meio do determinante, 
podemos concluir se um Sistema Linear é:
 · possível e determinado (SPD); 
 · possível e indeterminado (SPI);
 · indeterminado (SI). 
Esse será o mote para avançarmos no estudo de Álgebra Linear.
 
 Explore
Falamos nesta Unidade sobre Matrizes inversas. Aprofunde seus conhecimentos 
pesquisando sobre métodos para o cálculo da inversa de uma matriz.
 
18
Unidade: Determinantes
Exercícios Propostos
1) Dada a matriz:
3 1 0 0
1 2 5 1
3 7 1 0
4 1 2 1
A
 
 − =
 −
 − 
Calcular seu determinante utilizando o Teorema de Laplace.
2) Calcule o determinante das seguintes matrizes:
a) 
5 0 0
1 2 0
3 1 4
M
 
 = − 
  
b) 
1 0 2 4
4 2 8 7
3 8 6 9
5 6 10 6
B
 
 
 =
 − −
 
 
c) 
2 3 5
1 1 2
3 4 3
A
 
 = − 
  
d) 
3 1 2
5 4 1
18 6 12
D
− 
 =  
 − 
3) Sejam as matrizes 
6 2
1 4
A  =  − 
 e , calcule det(AB).
4) Utilizando a Regra de Chió, calcule o determinante da matriz A= 
3 7 4
1 2 1
0 3 2
 
 − 
  
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Expectativa de Respostas
1) Optamos por escolher a primeira linha para aplicar o Teorema de Laplace, porque ela 
apresenta dois elementos nulos, o que facilita a aplicação do método. Observe que poderíamos 
ter escolhido a quarta coluna, que também apresenta dois zeros. Lembre-se: podemos escolher 
qualquer linha ou coluna. Assim, temos:
3 1 0 0
1 2 5 1
3 7 1 0
4 1 2 1
A
 
 − =
 −
 − 
( ) 11 11 12 12 13 13 14 14= + + +det A a A a A a A a A
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 3 1 4
2 5 1 1 5 1 1 2 1 1 2 5
det 3. 1 . 7 1 0 1. 1 . 3 1 0 0. 1 . 3 7 0 0. 1 . 3 7 1
1 2 1 4 2 1 4 1 1 4 1 2
A + + + +
− − −
= − − + − − + − + − −
− − −
( )det 3.52 1.24 132A = − =
2) a) Como M é uma matriz triangular, o determinante será determinado pela multiplicação 
da diagonal principal, assim, det(M)=40.
b) Como a 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna, temos que: det(B)=0.
c) Utilizando a Regra de Sarrus, temos:
2 3 5 2 3
1 1 2 1 1 15 16 9 6 18 20 22
3 4 3 3 4
− − = − − − + + =
d) Como a 1ª linha e a 3ª linha são proporcionais temos que o determinante será igual a 
zero, ou seja, det(D)=0.
3) Pelo Teorema de Binet, temos que: ( ) ( ) ( )det .detdet AB A B=
Assim: det(AB)=(26).(2)=52.
4) Para aplicarmos a Regra de Chió, precisamos ter a11 = 1. Neste caso, precisaremos trocar 
as posições da 1ª e da 2ª linha.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 1
1 2 1
7 4 1 7
3 7 4 1 . 1. 1. 19 19
3 2 3 2
0 3 2
2.3 1.3
2.0 1.0
+
−
− −
= − = − = − −
−
=
− −
−
20
Unidade: Determinantes
Material Complementar
Vídeos
Determinantes. 
 · Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=3luolxKvLrg
Propriedades dos Determinantes 
 · Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=w-xDy_ou8coEquações em forma de Determinantes 
 · Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=JExNRplPLe0
Links da Internet:
Portal Khan Academy– Estudo de Determinantes. Neste portal, você poderá praticar um pouco. 
 · Disponível em: https://goo.gl/Csdu4z
Livros:
 · ANTON, Howard. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
 · GUELLI, Oscar. Contando a história da matemática, equação o idioma da 
álgebra, história da matemática. São Paulo: Ática, 1993.
 · LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1999.
21
Referências
ANTON, H. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
COELHO, F. U. Um curso de álgebra linear. São Paulo: Edusp, 2001.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1999.
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear: teoria e problemas. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 2004. 
STRANG, G. Álgebra Linear e suas aplicações. São Paulo: Cengage, 2010.
VALLADARES, R. J. da C. Álgebra linear. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
22
Unidade: Determinantes
Anotações