ATIVIDADE 2 - MAT - PRÉ-CÁLCULO - 2020D respostas

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QUESTÃO 2
Um importante conceito que está elencado ao estudo de funções é a classificação que elas podem obter, estamos falando de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Neste sendo, analise as afirmativas seguintes.
I. Dada uma função, ao analisarmos seu gráfico e traçarmos retas horizontais paralelas ao eixo x, se toda reta corta o gráfico, então a função é injetora;
II. Dada uma função, ao analisarmos seu gráfico e traçarmos retas horizontais paralelas ao eixo x, se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então a função é sobrejetora;
III. Uma função é dita bijetora se for injetora e sobrejetora, simultaneamente.
É correto o que se afirmar em:
Alternativa 2 = apenas a 3
Explicação passo-a-passo:
Dada uma função, ao analisarmos seu gráfico e traçarmos retas horizontais paralelas ao eixo x, se toda reta corta o gráfico, então a função é injetora;
*Somente se cada reta horizontal tocar o gráfico apenas uma vez ela é injetora.
Dada uma função, ao analisarmos seu gráfico e traçarmos retas horizontais paralelas ao eixo x, se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então a função é sobrejetora;
*Se nenhuma reta tocar o gráfico mais de uma vez, ela é injetora como expliquei acima
Uma função é dita bijetora se for injetora e sobrejetora, simultaneamente.
*Correto. Para uma função ser bijetora, ela tem que ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo
QUESTÃO 3
Com o estudo das equações exponenciais, foi possível o estudo dos logaritmos, e o desenvolvimento desse assunto surgiu por volta do século XVII e estudado principalmente por John Napier. Com relação ao seu conhecimento sobre os logaritmos e funções logaritmos, avalie as seguintes afirmações:
	I - 
	Se , então x=5.                   
	II - 
	   
	III- 
	O gráfico da função  é decrescente.                                                                                                                                                                                                       
	IV - 
	A solução da equação  é S={6}
É correto o que se afirmar em:
As afirmações são:
I. Se log₂128 = x, então x = 5.
II. log₂(5.3) = log₂5 + log₂3.
III. O gráfico da função f(x) = log₅x é decrescente.
IV. A solução da equação logₓ36 = 2 é S = {6}.
É correto o que se afirmar em:
Alternativas
Alternativa 1: I, apenas
Alternativa 2: I e III, apenas.
Alternativa 3: II e III, apenas.
Alternativa 4: II e IV, apenas.
Alternativa 5: I, II, III e IV.
Solução
Vamos analisar cada uma das afirmações:
I. A definição de logaritmo nos diz que:
logₐb = x ⇔ aˣ = b.
Sendo log₂128 = x, temos que:
2ˣ = 128
2ˣ = 2⁷
x = 7
Portanto, a afirmativa está errada.
II. Existe uma propriedade de logaritmo que diz:
logₐ(b.c) = logₐb + logₐc.
Sendo assim, é verdade que log₂(5.3) = log₂5 + log₂3.
A afirmativa está correta.
III. Sendo f(x) = logₐx, temos que:
f será crescente se a > 1
f será decrescente se 0 < a < 1.
Logo, a função f(x) = log₅x é crescente.
A afirmativa está errada.
IV. De acordo com a definição de logaritmo, temos que:
x² = 36
x = 6
Lembre-se que: a base do logaritmo não pode ser negativa.
Portanto, a afirmativa está correta.
Logo, a alternativa correta é a alternativa 4.
QUESTÃO 4
A empresa FDB produz armários de tamanho padrão para escritórios. Seu diretor financeiro apresentou os custos de produção em uma reunião, os custos fixos como salários, aluguel, impostos, encargos sociais, materiais de limpeza, entre outros, ficaram na faixa de R$8000,00 e os custos variáveis que variam proporcionalmente de acordo com a quantidade de produção, ou seja, matérias-primas, comissões de vendas e insumos produtivos (água, energia), ficaram na faixa de R$75,00. Neste sentido, assinale a alternativa que representa a função que corresponde ao custo de produção da empresa.
A função que corresponde ao custo de produção da empresa é: C = 75x + 8.000.
Esta questão está relacionada com equação do primeiro grau. A equação do primeiro grau, conhecida também como função afim, é a lei de formação de retas. A lei de formação segue a seguinte fórmula geral:
Onde "a" é o coeficiente angular e "b" é o coeficiente linear.
Note que podemos relacionar a função custo de produção com a equação do primeiro grau, pois temos um custo fixo (coeficiente linear) e um custo variável (coeficiente angular) em função da produção (x). Portanto:
QUESTÃO 5
A operação potenciação é uma operação que representa a multiplicação de fatores iguais, sendo que, para representar uma potência, escrevemos bª em que b é a base e a o expoente. De acordo com o conteúdo de potenciação avalie as afirmativas a seguir:
 
	I    -
	(3+5)²=3²+5².                                                                                                                                                                                                        
	II   -
	
	III  -
	Dada a equação  temos que x=5.
	IV -
	Dada a equação  temos que x=3.
É correto o que se afirmar em:
lll e IV ESTÃO CORRETAS
QUESTÃO 6
Sejam as funções f : A → B e g : B → C . Chama-se função composta de g e f a função h : A → C, em que h (x) = g ( f (x)) para todo x ∈ A. Neste sentido analise as afirmativas seguintes:
I. A função g(x)=x²+4x+7 é a função composta de f(x)=x²+3 e h(x)=x+2.
II. Dada as funções f(x)=1/(1-x) e g(x)=2x+1, assim (f ∘ g)(x)=-1/2x
III. Por definição, (f ∘ g)= (g ∘ f), ou seja, sempre teremos essa igualdade.
É correto o que se afirmar em:
É correto o que se afirmar em I e II, apenas.
Vamos analisar cada afirmativa.
I. Sendo f(x) = x² + 3 e h(x) = x + 2, temos que a função composta f(h(x)) é igual a:
f(h(x)) = (x + 2)² + 3
f(h(x)) = x² + 4x + 4 + 3
f(h(x)) = x² + 4x + 7.
Portanto, a afirmativa está correta.
II. Sendo f(x) = 1/(1 - x) e g(x) = 2x + 1, temos que a função composta f(g(x)) é igual a:
f(g(x)) = 1/(1 - 2x + 1)
f(g(x)) = 1/(-2x)
f(g(x)) = -1/2x.
Portanto, a afirmativa está correta.
III. Não é verdade que sempre f(g(x)) = g(f(x)).
Vamos utilizar as funções do item I.
Calculamos que f(h(x)) = x² + 4x + 7. Agora, vamos verificar se a função composta h(f(x)) é igual a x² + 4x + 7:
h(f(x)) = x² + 3 + 2
h(f(x)) = x² + 5.
Portanto, a afirmativa está errada.
QUESTÃO 7
Uma função custo total  de uma determinada produção (em reais) é definida por CT(x) = 150 + 30x, onde x é a quantidade de unidades produzidas. Analise as alternativas abaixo e assinale a correta.
A alternativa correta é a seguinte: Alternativa 3:  O custo total para a produção de 10 unidades é CT = 450.
A questão apresenta a função custo total de uma produção, essa função, portanto, apresenta em forma de equação os custos fixos da entidade e os custos variáveis da mesma, nesse caso em função da variável X, que representa a quantidade de unidades produzidas.
CT(x) = 150 + 30x
Observando a função custo total é possível notar que o custo fixo é e R$ 150,00 e o variável é de R$ 30,00 por unidade.
CT(x) = 150 + 30x
CT(x) = 150 + 30 . 10
CT(x) = 150 + 300
CT(x) = 450
Dessa maneira chega-se ao resultado de que para uma produção de 10 unidades tem-se um custo total de R$ 450,00.
QUESTÃO 8
Se os pontos (0, -5), (1, -5) e (-1, -3) pertencem ao gráfico de , assinale a alternativa correta.
QUESTÃO 10
Um importante conceito tema abordado em funções é o de função inversa, sendo possível encontrar uma nova função a partir de uma conhecida. Neste sentido assinale a alternativa que representa a função inversa da função:
para x diferente de 2.
Resposta:
A função é: f( x ) = x + 1/ x - 2
Apresentando as variáveis: y = x + 1 / x - 2
Invertendo as variáveis independentes: x = y + 1 / y - 2
Isolando y:
x = y + 1 / y - 2
x ( y - 2 ) = y + 1
xy - 2x = y + 1
xy - y = 2x + 1
y ( x - 1 ) = 2x + 1
A função  inversa é:
y = 2x + 1 / x - 1  
Alternativa 1