5 Operações com taxa de juros

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Profa. Ma Janice Natera 
 
 
Taxa de juros é a remuneração obtida a partir de um determinado capital aplicado por um 
prazo determinado. Quando se fala em taxas de juros, várias denominações podem 
aparecer, iremos aprender as diferenças taxas de juros nominal e efetiva. 
Formulário 
Onde: 
 PV = Valor Presente (capital) 
 n = número de períodos 
 j = Juros 
 FV = Valor Futuro (montante) 
 i = taxa de juros por período 
ieq = taxa equivalente 
ic = taxa conhecida 
QQ = Quanto eu Quero 
QT = Quanto eu Tenho 
jp = juros pago 
ij = taxa de juros nominal 
m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal 
 
Lembrando que: QQ Relacionado ao prazo (tempo) procurado 
 QT Relacionado ao prazo (tempo) da taxa conhecida (ic) 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
 
Duas taxas são equivalentes, quando se aplica um Capital durante o mesmo período de 
tempo ao período da taxa. 
 ieq = ( 1 + ic )n – 1 . 100 
 
Exemplo 
 
Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? 
 
ieq = [ ( 1 + ic )n – 1] . 100 
ieq = [ ( 1 + 0,08 )2 – 1] . 100 
ieq = [( 1,08)2 – 1] . 100 
ieq = [( 1 + ic )n – 1] . 100 
ieq = [1.1664 – 1] .100 
ieq = 16,64 a.a. 
 
 
TAXAS NOMINAIS 
 
A taxa nominal é quando a unidade de referência não coincide com a unidade do tempo 
de capitalização. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Profa. Ma Janice Natera 
 
 
 
 
 
 
 
Jp = FV - PV 
in = Jp/ PV 
 
José fez um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 seja pago ao final de seis meses com o 
valor monetário de R$ 7.000,00. Qual foi a taxa nominal? 
• Dados 
 
PV = 5000,00 
FV = 7000,00 
 
 
Juros 
7 000 – 5 000 = 2 000 
 
 
Taxa nominal de juros 
 
2 000 / 5 000 = 0,4 → 40% 
 
Jp = FV - PV 
Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00 
 
in = Jp/ PV 
in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50% 
TAXA REAL 
 
As taxas reais de juros podem ser negativas. 
 (1 + in) = (1+r). (1 + I) 
onde: 
 
in = taxa de juros nominal 
j = taxa de inflação no período 
r = taxa real de juros 
 
Exemplo 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Profa. Ma Janice Natera 
 
 
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para 
ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do 
empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo. 
Teremos que a taxa nominal será igual a: 
j = 10% = 0,10 
 
Jp = FV - PV 
Jp = 150000 – 120000 = 30000,00 
 
in = Jp/ PV 
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25% 
in = 25% 
 
 (1 + in) = (1+r). (1 + I) 
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10) 
1,25 = (1 + r).1,10 
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364 
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64% 
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros: 
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30) 
1,25 = (1 + r).1,30 
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615 
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros 
negativa! 
 
TAXAS EFETIVAS 
A taxa efetiva é usada quando o período de formação e incorporação dos juros coincide 
com o período que a taxa está se referindo. 
 
 
iEF = [ ( 1 + i )n - 1 ] . 100 
 
Exemplo: 
 
Calcular a taxa mensal de juros compostos equivalente efetiva a taxa de 24% ao ano, 
capitalizada mensalmente. 
 
i = 24% a.a 
12 meses = 2% a.m. (raciocínio: Capitalização Simples) 
 
iEF = [ ( 1 + i )n - 1 ] . 100 
iEF = [ ( 1 + 0,24 / 12 )12 . 1 - 1 ] . 100 
iEF = [ ( 1 + 0,02 )12 - 1 ] . 100 
iEF = [ ( 1,02 )12 - 1 ] . 100 
iEF = [ ( 1,268241795 ) - 1 ] . 100 
iEF = [ 0,268241795 ] . 100 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Profa. Ma Janice Natera 
 
 
iEF = 26,82% 
 
Observação: Uma situação inversa também é possível, na qual se saiba a taxa efetiva e 
se deseja encontrar a taxa over. 
 
iOVER = ( i / 100 + 1 )1/n 
iOVER = ( 8,31% / 100 + 1) 
iOVER = ( 0,0831 + 1 )1/n 
iOVER = ( 1,0831 )1/20 
iOVER = (1,003999341 – 1) 
iOVER = 0,003999341 . 30 dias . 100 
iOVER = 12% ao mês 
 
*Taxa Over → É uma metodologia de cálculo para a taxa de juros, utilizada apenas no 
Brasil, remanescente do período de taxas inflacionárias altas. Atualmente é utilizada como 
padrão para empréstimos entre bancos. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Descubra a taxa de juros anual que equivale a 1% ao mês. 
a) 1,68% 
b) 12,68% 
c) 1,26% 
d) 15,68% 
 
 
2) Regina fez um empréstimo a uma taxa de 125% nominal ao ano com capitalização 
mensal. Qual será a taxa efetiva ao ano por um período de capitalização mensal? 
a) 228,89% a.a 
b) 22,89% 
c) 25,53% 
d) 255,30% 
 
 
3) Uma taxa aparente de 22% ao ano com inflação do período de 11,9%, qual é a 
taxa real correspondente? 
a) 7% a.a. 
b) 8% a.a. 
c) 9% a.a. 
d) 10% a.a. 
 
4) Claudia Maria emprestou um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no 
período, qual a taxa real da operação? 
 
a) 33% a.a. 
b) 3,33% a.a. 
c) 13,33% a.a. 
d) 23,33% a.a. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Profa. Ma Janice Natera 
 
 
5) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
 
a) 2,6% a.a. 
b) 268,2% .a.a. 
c) 68,2% a.a. 
d) 26,82% a.a. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Descubra a taxa de juros anual que equivale a 1% ao mês. 
a) 1,68% 
b) 12,68% 
c) 1,26% 
d) 15,68% 
 
ieq = [( 1 + ic )n – 1 ] . 100 
ieq = [( 1 + 0,01)12 – 1] . 100 
 
12,68% 
 
2) Regina fez um empréstimo a uma taxa de 125% nominal ao ano com capitalização 
mensal. Qual será a taxa efetiva ao ano por um período de capitalização mensal? 
a) 228,89% a.a 
b) 22,89% 
c) 25,53% 
d) 255,30% 
 
 
Portanto: 125%a.a.  12=10,43%a.m.(taxa efetiva mensal) 
 
ief = [ ( 1 + i / n )n – 1 ] * 100 
228,89%a.a 
 
3) Uma taxa aparente de 22% ao ano com inflação do período de 11,9%, qual é a 
taxa real correspondente? 
a) 7% a.a. 
b) 8% a.a. 
c) 9% a.a. 
d) 10% a.a. 
 
Resolução: 
i = 22% ao ano R = ? I = 11,9% 
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119) 
 (1,22) = (1+ R) . (1,119) 
 1,22 = (1 + R) 
 1,119 
 1,09 = (1 + R) 
 1,09 – 1 = R 
 0,09 = R 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Profa. Ma Janice Natera 
 
 
 R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano 
 
 
4) Claudia Maria emprestou um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no 
período, qual a taxa real da operação? 
 
a) 33% a.a. 
b) 3,33% a.a. 
c) 13,33% a.a. 
d) 23,33% a.a. 
 
R = 3,33% a.a. 
 
(1 + in) = (1+r). (1 +I) 
(1 + 0,0426) = (1 + r).(1 + 0,01) 
 
5)Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
 
a) 2,6% a.a. 
b) 268,2% .a.a. 
c) 68,2% a.a. 
d) 26,82% a.a. 
 
ieq = 26,82% a.a. 
 
ieq = [( 1 + ic )n – 1 ] . 100