Taller 1 Grupo 5 - Grupo de trabajo 8

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1
Primer taller parcial Cálculo Integral
Profesor: Diego Alejandro Londoño Patiño
Correo electrónico: dialondonopa@unal.edu.co
Grupo:
Nombre del estudiante 1: :
Nombre del estudiante 2:
Nombre del estudiante 3:
Nombre del estudiante 4:
Fecha:
Taller:
Asignatura:
Criterios de calificación taller
Presentación
(1) El encabezado debe ir con el número de grupo, nombres completos de los estudiantes, código y asignatura.
(2) Cada ejercicio debe ir acompañado del enunciado en lapicero negro, la solución en lápiz o portaminas oscuro
(no se admiten tachones) y la respuesta debe ir enmarcada con un color que resalte.
(3) El trabajo debe llevar la letra de cada estudiante del grupo y debe ser legible.
Contenido
(1) Cada ejercicio debe estar desarrollado con procedimiento claro y ordenado.
(2) Si la solución del ejercicio requiere de una figura para su explicación, debe de incluirla.
(3) Se tendrá en cuenta el procedimiento y respuestas buenas.
Forma de entrega:
(1) Las páginas se deben escanear verticalmente.
(2) Se debe entregar en un sólo archivo pdf titulado Taller(Número)Grupo(Número).pdf y éste debe ser
depositado en la carpeta respectiva del drive.
Hoja de Calificación
Presentación Distribución del puntaje Puntaje obtenido
(1) 0,1 cero coma uno.
(2) 0,3 cero coma tres.
(3) 0,3 cero coma tres.
Contenido Distribución del puntaje Puntaje obtenido
(1) 1,0 uno coma cero.
(2) 0,5 cero coma cinco.
(3) 2,5 dos coma cinco.
Forma de entrega Distribución del puntaje Puntaje obtenido
(1) 0,2 cero coma dos.
(2) 0,1 cero coma uno.
Calificación total 5, 0 cinco coma cero.
Pablo Hernández Orozco Cc: 153869995
Juan Andres Campo Giraldo Codigo: 218506 Cc:1053859766
Joseph Felipe Grijalva Cc: 1010059833
12 de mayo 2020
Primer Taller Parcial 
Calculo Integral
Grupo 5 - Grupo de trabajo 8
Tatiana Alejandra Moreno Avila Codigo: 1218035 Cc: 1002633059
2
Criterios de calificación sustentación
A cada estudiante se le preguntarán dos (2) ejercicios, en los cuales se tendrá en cuenta lo siguiente.
Conceptos
(1) Dominio de los conceptos enseñados en clase.
(2) Dominio de los conceptos preliminares para el desarrollo del ejercicio.
Justificación
(1) El estudiante puede con precisión contestar las preguntas planteadas por el profesor.
(2) El estudiante demuestra un completo entendimiento del tema que expone.
Hoja de Calificación
Conceptos Distribución del puntaje Puntaje obtenido
(1) 1,0 uno coma cero.
(2) 1,0 uno coma cero.
Justificación Distribución del puntaje Puntaje obtenido
(1) 1,5 uno coma cinco.
(2) 1,5 uno coma cinco.
Calificación total 5, 0 cinco coma cero.
Profesor Diego Alejandro Londoño Patiño
dialondonopa@unal.edu.co
Ejercicios propuestos
1) Calcule las siguientes integrales efectuando un cambio de variable apropiado y verifique el resultado calcu-
lando la derivada de la respuesta.
1.
∫
3x4dx
2.
∫
y3(2y2 − 3)dy
3.
∫
3√
ydy
4.
∫
(2 + 3x2 − 8x3)dx
5.
∫
(3 sin t− 2 cos t)dy
6.
∫ cosx
sin2 x
dx
7.
∫
(4 cscx cotx+ 2sec2x)dx
8.
∫ 3 tan θ − 4 cos2 θ
cos θ
dθ
2) Una ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (1, 3) es y = x + 2. Si en cualquier punto (x, y)
de la curva,
d2y
dx2
= 6x, obtenga una ecuación de la curva.
3) El volumen de agua de un tanque es V cent́ımetros cúbicos cuando la profundidad del agua es h metros. Si
la tasa de variación de V con respecto a h es π(4h2 + 12h+ 9), determine el volumen de agua en el tanque
cuando la profundidad es de 3m.
4) En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida. Verifique su resultado mediante diferenciación.
1.
∫ √
1− 4ydy
2.
∫
x(2x2 + 1)6dx
3.
∫
3x
√
4− x2dx
4.
∫
sinx sin(cosx)dx
3
5.
∫
r2 sec2(r3)dr
6.
∫ 4 sinx
(1 + cosx)2
dx
7.
∫
2 sinx 3
√
1 + cosx dx
8.
∫ t√
t+ 3
dt
9.
∫ √
1 +
1
3x
dx
x2
10.
∫ x2 + 2x√
x3 + 3x2 + 1
dx
5) El volumen de agua de un tanque es V metros cúbicos cuando la profundidad del agua es de h metros. Si
la tasa de variación de V con respecto a h está dada por
dV
h
= π(2h+ 3)2, calcule el volumen del agua del
tanque cuando su profundidad es de 3m.
6) Evalue
∫
(2x+ 1)3dx mediante dos métodos: (a) desarrolle (2x+ 1)3 utilizando el teorema del binomio; (b)
considere u = 2x+1. (c) Explique la diferencia aparente de las respuestas obtenidas en los incisos (a) y (b).
7) Encuentre la función tal que al derivar de como resultado la función que aparece en el miembro derecho de
la ecuación. En otras palabras, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden:
1.
dy
dx
= 4x− 5
2.
dy
dx
= 3xy2
3.
dy
dx
=
√
2x− 3
4.
d2s
dt2
= sin 3t+ cos 3t
5.
dy
dx
=
x2
√
x3 − 3
y2
8) Resuelva las siguientes sumatorias:
1.
500∑
i=1
3i(i2 + 2)
2.
n∑
i=1
(10i+1 − 10i)
9) En los siguientes ejercicios determine el parea de la región usando sumas de Riemann. Use rectángulos
inscritos o circunscritos según se indique. Para cada ejercicio dibuje una figura que muestre la región y el
i−ésimo rectángulo.
1. La región limitada por y = x3 + x, el eje x y las rectas x = −2 y x = 1; rectángulos circunscritos.
2. La gráfica de y = 4− |x| y el eje x desde x = −1 a x = 4 forman un triángulo.
3. La región del eje x y a la derecha de la recta x = 1 limitada por el eje x, la recta x = 1 y la curva
y = 4− x2, rectángulos inscritos.
10) Aproxime el valor de la integral usando sumas de Riemann:
1. f(x) =
1
x
, a = 1, b = 3, n = 10, inscritos.
2. f(x) =
1
x2
, a = 1, b = 2, n = 12, circunscritos.
11) Obtenga el valor promedio de la función f definida por f(x) = x2 en el intervalo [−1, 2]. También determine
el valor de x en el cual ocurre el valor promedio. Describa la interpretación geométrica de los resultados.
4
12) Determine el valor promedio de la función f definida por f(x) =
√
49− x2 en el intervalo [0, 7]. Dibuje una
figura. Sugerencia: calcule el valor de la integral definida interpretándola como el valor del área de una
región limitada por un cuarto de circunferencia y los ejes coordenados (aśı como lo hicimos en clase).
13) Calcule el valor de las siguientes integrales definidas usando el segundo teorema fundamental del cálculo.
1.
∫ 2
1
x2 + 1
x2
dx
2.
∫ 1
0
z
(z2 + 1)3
dz
3.
∫ 4
1
√
x(2 + x)dx
4.
∫ 1
−1
√
|x| − xdx
5.
∫ 5
−2 |x− 3|dx
6.
∫ π/4
π/8
3 csc2(2x)dx
7.
∫ 1
0
y2 + 2y√
y3 + 3y2 + 4
dy
14) Calcule la derivada de las siguientes funciones usando el primer teorema fundamental del cálculo.
1.
d
dx
∫ x3
1
3
√
t2 + 1dt
2.
d
dx
∫ x2
x
1√
t2 + 1
dt
3.
d
dx
∫ x
0
√
4 + t6dt
15) Determine el valor de la siguiente integral definida:
16∫
4
 d
dx
 x∫
3
(2
√
t− 1)dt
 dx
16) En los siguientes ejercicios, calcule el área de la región acotada por las curvas interpretando el área como
una integral definida.
1. y = 4− x2, eje x-
2. y = x2 − 2x+ 3; eje x; x = 1; x = 3.
3. y = sinx; eje x; x = π/3; x = 2π/3.
4. y = cos(x); eje x; eje y; x = π/6.
5. x2 = −y, y = −4
6. x2 + y + 4 = 0; y = −8. Considere los elementos de área perpendiculares al eje y.
7. y = |x− 1|+ 3, y = 0; x = −2; x = 4.
8. y = |x+ 1|+ |x|; y = 0; X = −2; x = 3
17) Determine mediante integración el área de la región acotada por el triángulo cuyos vértices son (4, 1), (1, 3)
y (−1,−2).
18) En los siguientes ejercicios, deduzca la fórmula para el volumen del sólido mediante el método de rebanado.
1. Una esfera de radio r unidades.
2. Un cono circular recto de altura h unidades y radio de la base a unidades.
19) En los siguientes ejercicios, calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la recta
indicada la región acotada por la curva y =
√
x, el eje x y la recta x = 4.
1. La recta x = 4.
2. El eje y.
5
3. El eje x.
4. La recta y = 2.
20) Obtenga la fórmula del volumen de una esfera al girar alrededor del eje x la región limitada por la circunfe-
rencia x2 + y2 = r2 y el eje x.
21) Deduzca la fórmula para el volumen de un cono circular recto de altura h unidades y cuyo radio de la basemide a unidades al girar la región limitada por un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
22) Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la parábola y2 = 4x
y la recta y = x.
23) Obtenga el volumen del sólido generado al girar la región del ejercicio 23 alrededor de la recta x = 4.
24) La región del primer cuadrante limitada por la curva x = cos(y2), el eje y y el eje x, con 0 ≤ x ≤ 1, se
gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido generado. Sugerencia: use el método de las capas
ciĺındricas.
25) Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje y la región limitada por la
gráfica de y = 3x− x2, el eje y y la recta y = 2.
26) Un sólido de revolución se genera al girar alrededor del eje y la región acotada por la curva y = 3
√
x, el eje x
y la recta x = c con c ≥ 0. Considere los elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución a fin
de calcular el valor de c para el cual el sólido tenga un volumen de 12π unidades cúbicas.
27) Calcule el valor de la siguiente sumatora:
41∑
i=1
(
3
√
3i− 1− 3
√
3i+ 2
)
28) Demuestre que la siguiente desigualdad es verdadera:
−1∫
−2
dx
x− 3
≥
−1∫
−2
dx
x
29) Evalue la siguiente integral
π∫
0
∣∣∣∣cos(x) + 12
∣∣∣∣ dx
30) En los siguientes ejercicios calcule con tres cifras decimales el valor aproximado de la integral definida
mediante la regla del trapecio para los valores de n indicados.
1.
∫ 2
0
x3dx; n = 4.
2.
∫ 2
0
x
√
4− x2dx; n = 8.
3.
∫ π
0
sin(x)dx, n = 6.
31) La enerǵıa ganada por el deslizamiento en una patineta hacia abajo sobre una colina ”gausiana“ sin fricción,
a x metros de la cima de la colina, después de t segundos, es E(x) joules donde
E(x) =
gM√
2π
π∫
0
e−t
2/2dt
con g = 9,8 y M = 60. La velocidad del patinador a los t segundos es
√
2E(x)/M . utilice la regla de Simpson
para determinar la velocidad del patinador a 2m a partir de la cima de la colina.
32) El estudio de la difracción de la luz (dispersión o desviación de la luz sobre los contornos) en una abertura
rectangular involucra las integrales de Fresnel definidas por:
C(t) =
t∫
0
cos
(
1
2
πx2
)
dx, y S(t) =
t∫
0
sin
(
1
2
πx2
)
dx
Aproxime el valor de C(t) y S(t) para t = 1 usando la regla de Simpson.
6
33) ¿Para qué grados de polinomios se obtiene un valor exacto de una integral definida mediante (a) la regla del
trapecio, y (b) la regla de Simpson? Explique cómo llegó a la respuesta.
34) Resuelva las siguientes integrales utilizando la técnica de integración por partes.
a)
∫
x(33x)dx
b)
∫
ln(5x)dx
c)
∫
x secx tanxdx
d)
∫ xex
(x+ 1)2
dx
e)
∫
x tan−1(x)dx
f )
∫ (ln t)2
t
dt
g)
∫
ln(x2 + 1)dx
h)
∫
ex cos(x)dx
i)
∫
sin(lnx)dx
j )
∫
x5ex
2
dx
35) Resuelva las siguientes integrales definidas
1.
∫ 4
1
√
x ln(x)dx
2.
∫ 1
0
x sin−1(x)dx
3.
∫ 2
0
x23xdx
4.
∫ 2
1
ln(x+ 2)dx
36) Determine el área de la región limitada por la curva y = lnx, el eje x y la recta x = e2.
37) Calcule el volumen del sólido generado al girar la región del ejercicio 36 alrededor del eje y.
38) Determine el área de la región limitada por la curva y = 2xe−x/2, el eje x y la recta x = 4.
39) Si i(t) = coulombs por segundo es la corriente desde un capacitor cargado bajo decaimiento pasajero a través
de un resistor a los t segundos entonces,
i(t) =
t∫
0
xe−xdx
Si E(T ) watts es la enerǵıa disipada para t ∈ [0, T ], entonces
E(T ) = R
∫ T
0
[i(t)]2dt
Donde R ohms es la resistencia. Si R = 50. ¿cuánta enerǵıa se ha disipado cuando T = 1?
40) Describa la técnica de integración por partes. Incluya en su descripción las directrices que deben seguirse al
elegir las sustituciones para u y dv.
41) Deduzca la siguiente fórmula de reducción, donde n es cualquier número real:
∫
xn ln(x)dx =

xn+1
(n+ 1)2
[(n+ 1) ln(x)− 1] + C si n 6= −1
1
2 (lnx)
2 + C si n = −1
42) Utilice la fórmula del ejercicio 41 para determinar el valor exacto de la integral
3∫
1
x3 lnxdx
43) Calcule las siguientes integrales indefinidas y definidas.
7
a)
∫ x2
x3 + 1
dx
b)
∫ 2
0
x2 + 2
x+ 1
dx
c)
∫ lnx
x
dx
d)
∫
tanxdx
e)
∫
tan(3x)dx
f )
∫
cotxdx
44) Evalue las siguientes integrales indefinidas
a)
∫ 1
3− 2x
dx
b)
∫ x
2− x2
dx
c)
∫ 2x− 1
x(x− 1)
d)
∫ 1
x lnx
dx
e)
∫ 2 lnx+ 1
x[(lnx)2 + lnx]
f )
∫ 5− 4y2
3 + 2y
dy
g)
∫ tan(lnx)
x
dx
h)
∫ (ln(3x))2
x
dx
i)
∫ (2 + ln2 x)
x(1− lnx)
dx
j )
∫ x
2− x2
dx
45) Calcule el área de la región acotada por la curva y = x/(2x2 + 4), el eje x, el eje y y la recta x = 4.
46) Determine el área de la región limitada por la curva y = 2/(x− 3), el eje x y las rectas x = 4 y x = 5.
47) Obtenga el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la curva y = 1− 3/x, el
eje x y la recta x = 1 se gira alrededor del eje x.
48) Una ĺınea de transmisión eléctrica, que consiste de dos canales conductores paralelos de radio a unidades,
conducen corrientes eléctricas en sentidos opuestos. Si L es la medida del flujo de encadenamiento por unidad
de longitud de la ĺınea de transmisión y d unidades es la distancia entre los dos cables, donde d > 2a, entonces
L =
d−a∫
a
µ0I
2π
(
1
x
+
1
d− x
)
dx
donde µ0 es la constante de permeabilidad de los alambres de I es la corriente eléctrica constante. Demuestre
que
L =
µ0I
π
ln
(
d− a
a
)
49) En los siguientes ejercicios, evalúe la integral indefinida.
1.
∫
e2−5xdx
2.
∫
e2x+1dx
3.
∫
e3xe2xdx
8
4.
∫ 1 + e2x
ex
dx
5.
∫ e3x
(1− 2e2x)2
dx
6.
∫ dx
1 + ex
50) Calcule las siguientes integrales definidas:
1.
∫ 1
0
exdx
2.
∫ e2
1
dx
x
3.
∫ e
1
lnx
x
dx
4.
∫ e2
e
dx
x(lnx)2
dx
5.
∫ 3
0
ex + e−x
2
dx
6.
∫ 1
0
(e2x + 1)2dx
51) La función error, denotada por erf, está daefinida por:
erf(x) =
2√
π
∫ x
0
e−t
2
dt
Calcule un valor aproximado de erf(1) con cinco d́ıgitos significativos.
52) El gudermanniano, llamado aśı en honor al matemático alemán Christoph Gudermann (1798-1852), es
la función definida por
gd = tan−1(sinhx)
donde sinh es el seno hiperbólico. Demuestre que
d
dx
gdx = sechx
siendo sech la secante hiperbólica.