APS_2_Mauricio Bazzo_Mauricio Guimarães_FAPA-N1

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Cálculo Numérico - FAPA N1 
Professor NILMAR LUIS ARENHARDT 
 
 
 
APS 2 
 
 
 
 
 
MAURÍCIO BAZZO 
MAURÍCIO GUIMARÃES 
 
 
Porto Alegre 
26 de novembro de 2019 
Objetivos 
 
Utilizar os principais métodos numéricos existentes na solução de problemas da 
engenharia. 
Verificar a eficiência dos métodos numéricos quando aplicados na resolução de 
problemas que exigem tomadas de decisão. 
 
Exercício 1 
1 - Com o auxílio de um programa computacional, plote o gráfico da função 
determinada pela equação 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. O que você observa? Visualmente, quais as 
raízes dessa equação? Essa(s) é (são) a(s) única(s) raiz(es) reais dessa função? 
 
Gráfico do site Geogebra: 
A função cosseno possui inúmeras raízes, mas pegando somente dentro do 
intervalos que nos interessa podemos utilizar os métodos para achar uma 
aproximação do ponto. 
 
 
2 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da 
bisseção com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
f(t) = 80 + 90cos((π/3)t) considerando 0 ≤ t ≤ 4 
Achamos duas raízes no gráfico dentro do intervalo proposto. Como o ponto 
inicial sugerido será 4s vamos usar o segundo ponto como 3s, que nos levara ao 
resultado do ponto B mais próximo de 4s. 
Ponto A (2.54557,0) 
Ponto B (3.45443,0) 
 
 
 
 
 
 
3 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método de 
Newton-Raphson com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
 
 
4 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da 
secante com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
 
 
 
5 - Quais dos métodos acima obteve uma aproximação desejada com o menor 
número de iterações? 
O melhor método para o problema proposto é considerado o Newton-Raphson, 
pois obteve uma resposta aproximada em 3 interações, caso se faça mais uma 
interação o valor é muito mais aproximado que os outros métodos. 
 
 
6 - A que você atribui o melhor desempenho do método acima? 
A utilização da derivada da função na formula de Newton-Rahson torna o 
processo mais rápido para que encontre o valor aproximado. 
 
 
7 - Considerando os métodos da Bisseção, Newton e Secante, e a atividade 
acima, indique um pós e um contra para a utilização de cada método. 
 
Bisseção: 
 Se faz um número maior de iterações para aproximar o resultado, é fácil 
de trabalhar 
 
Newton: 
 Trabalhar com a derivada torna mais difícil a montagem de sua equação 
de base, mas torna o processo de encontrar o valor aproximado mais rápido. 
 
Secante: 
 Se faz um número maior de iterações para aproximar o resultado, é fácil 
de trabalhar comparando com a Bisseção temos um resultado de erro 
aproximado menor inclusive sobre a Newton. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
1 - Com o auxílio de um programa computacional, plote o gráfico da função 
determinada pela equação 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. O que você observa? Visualmente, quais as 
raízes dessa equação? Essa(s) é (são) a(s) única(s) raiz(es) reais dessa função? 
f(x) = ((πx²(3r-x))/3)-0.5 = 0 
Gráfico do site Geogebra: 
 
 
 
2 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da 
bisseção com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
f(t) = ((πx²((31)-x)/3)-0.5 considerando o intervalo de entre 0.25 e 0.5 
Achamos três raízes no gráfico 
Ponto A (-0.37607,0) 
Ponto B (0.43112,0) 
Ponto C (2.94495,0) 
 
 
 
3 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método de 
Newton-Raphson com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da 
secante com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
 
5 - Quais dos métodos acima obteve uma aproximação desejada com o menor 
número de iterações? 
O melhor método para o problema proposto é considerado o Newton-Raphson, 
pois obteve uma resposta aproximada em 1 interação, caso se faça mais uma 
interação o valor é muito mais aproximado que os outros métodos. 
 
 
6 - A que você atribui o melhor desempenho do método acima? 
A utilização da derivada da função na formula de Newton-Rahson torna o 
processo mais rápido para que encontre o valor aproximado. 
 
 
7 - Considerando os métodos da Bisseção, Newton e Secante, e a atividade 
acima, indique um pós e um contra para a utilização de cada método. 
 
Bisseção: 
 Se faz um número maior de iterações para aproximar o resultado, é fácil 
de trabalhar 
 
Newton: 
 Trabalhar com a derivada torna mais difícil a montagem de sua equação 
de base, mas torna o processo de encontrar o valor aproximado mais rápido. 
 
Secante: 
 Se faz um número maior de iterações para aproximar o resultado, é fácil 
de trabalhar comparando com a Bisseção temos um resultado de erro 
aproximado menor inclusive sobre a Newton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
1 - Com o auxílio de um programa computacional, plote o gráfico da função 
determinada pela equação 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. O que você observa? Visualmente, quais as 
raízes dessa equação? Essa(s) é (são) a(s) única(s) raiz(es) reais dessa função? 
 
 
f(x) = ((980.75000/x)(1-e^-((x.6)/75000))-3600 = 0 
Gráfico do site Geogebra: 
 
 
2 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da 
bisseção com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
f(x) = ((980.75000/x)(1-e^-((x.6)/75000))-3600 considerando o intervalo de entre 
10000 e 15000 
Achamos uma raíz no gráfico 
Ponto A (13462.33447,0) 
 
 
3 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método de 
Newton-Raphson com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
 
 
4 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da 
secante com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
 
 
5 - Quais dos métodos acima obteve uma aproximação desejada com o menor 
número de iterações? 
O melhor método para o problema proposto é considerado o Newton-Raphson, 
pois obteve uma resposta aproximada em 2 interação, caso se faça mais uma 
interação o valor é muito mais aproximado que os outros métodos. 
 
 
6 - A que você atribui o melhor desempenho do método acima? 
A utilização da derivada da função na formula de Newton-Rahson torna o 
processo mais rápido para que encontre o valor aproximado. 
 
 
7 - Considerando os métodos da Bisseção, Newton e Secante, e a atividade 
acima, indique um pós e um contra para a utilização de cada método. 
 
Bisseção: 
 Se faz um número maior de iterações para aproximar o resultado, é fácil 
de montar o sistema, para intervalos grandes aumenta o número de interseções 
comparado com os outros métodos 
 
Newton: 
 Trabalhar com a derivada torna mais difícil a montagem de sua equação 
de base, mas torna o processo de encontrar o valor aproximado mais rápido. 
 
Secante: 
 Se faz um número maior de iterações para aproximar o resultado, é fácil 
de trabalhar comparando com a Bisseção temos um resultado de erro 
aproximado menor inclusive sobre a Newton. 
 
 
Exercício 4 
1 - Com o auxílio de um programa computacional, plote o gráfico da função 
determinada pela equação 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. O que você observa? Visualmente, quais as 
raízes dessa equação? Essa(s) é (são) a(s) única(s) raiz(es) reais dessa função? 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) = 2200ln ( 160000 / (160000 – 2680x) ) − 9.8x – 1000 =0 
Gráfico do site Geogebra: 
 
 
 
2 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da 
bisseção com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
f(x) = 2200ln ( 160000 / (160000 – 2680x) ) − 9.8x – 1000 considerando o 
intervalo de entre 20s e 30s. 
Achamos duas raízes no gráfico 
Ponto A (-661.3126261153,0) 
Ponto B (25.9423929835,0) 
 
 
3 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método de 
Newton-Raphson com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
 
 
4 - Utilizando um valor próximo ao da raiz ou os intervalos determinados, 
encontre uma aproximação para a raiz da equação utilizando o método da 
secante com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑. 
 
 
 
5 - Quais dos métodos acima obteve uma aproximação desejada com o menor 
número de iterações? 
O melhor método para o problema proposto é considerado o Newton-Raphson, 
pois obteve uma resposta aproximada em 3 interação, caso se faça mais uma 
interação o valor é muito mais aproximado que os outros métodos. 
 
 
6 - A que você atribui o melhor desempenho do método acima? 
A utilização da derivada da função na formula de Newton-Rahson torna o 
processo mais rápido para que encontre o valor aproximado. 
 
 
7 - Considerando os métodos da Bisseção, Newton e Secante, e a atividade 
acima, indique um pós e um contra para a utilização de cada método. 
 
Bisseção: 
 Se faz um número maior de iterações para aproximar o resultado, é fácil 
de montar o sistema, para intervalos grandes aumenta o número de interseções 
comparado com os outros métodos. Como as interações são sempre a metade 
do valor anterior o erro tem valores mais aproximado do solicitado do que os 
outros métodos. 
 
Newton: 
 Trabalhar com a derivada torna mais difícil a montagem de sua equação 
de base, mas torna o processo de encontrar o valor aproximado mais rápido. 
 
Secante: 
 Se faz um número maior de iterações para aproximar o resultado, menos 
que a Bisseção, é fácil de trabalhar comparando com a Bisseção temos um 
resultado de erro aproximado menor inclusive sobre a Newton.