Nonlinear analysis of plane frames using a corotational formulation and beam elements 2D

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NONLINEAR ANALYSIS OF PLANE FRAMES USING A CO-
ROTATIONAL FORMULATION AND BEAM ELEMENTS 2D 
Sebastião S. da Silva, William T. M. Silva 
PECC, Postgraduate Program in Structure and Civil Construction Engineering, Department 
of Civil and Environmental Engineering, University of Brasília - UnB, Campus Darcy 
Ribeiro, 70910900, Brasília-DF, Brazil, http://www.estruturas.unb.br/ 
Keywords: Geometrically nonlinear analysis; Co-rotational formulation; Finite element 
method. 
Abstract. The purpose of this work is to perform a geometrically nonlinear analysis of plane 
frame structures using a co-rotational formulation. The plane frame is discretized with 2D 
beam elements. The main objective is to compare three different local elements. The vector of 
internal forces and tangent stiffness matrix are obtained analytically using the principle of 
virtual work. A some examples are used in order to assess the performances of the elements 
and the path following procedures. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 INTRODUÇÃO 
A análise linear é muito importante e ainda a mais utilizada devido à grande gama de 
situações que esta compreende, maior simplicidade de aplicação e ao fato de que o seu 
conhecimento já se encontra consolidado. Entretanto, uma das dificuldades da análise linear é 
sua inaptidão em refletir o real comportamento de estruturas menos comuns, sob condições de 
carregamento não ordinárias ou ainda próximas ao colapso. 
Para Menin (2006), na análise não-linear geométrica utilizando o método dos elementos 
finitos, três diferentes tipos de descrições cinemáticas têm sido amplamente utilizadas: 
descrição lagrangiana total, descrição lagrangiana atualizada e descrição co-rotacional. Na 
primeira, as equações do MEF são formuladas em relação a uma configuração de referência 
fixa que, em geral, é a própria configuração inicial assumida pela estrutura. A segunda 
descrição caracteriza-se pelo fato de que a configuração de referência é mantida fixa durante o 
processo iterativo porém, atingido o equilíbrio, os esforços internos e deformações passam a 
ser definidos a partir daquela nova configuração de equilíbrio. De acordo com Reddy (2004), 
a formulação co-rotacional tem origem no teorema da decomposição polar que estabelece que 
a deformação total de uma superfície contínua pode ser decomposta em movimento de corpo 
rígido e deformação relativa (Fig. 1). 
 
 
 
 
Figura 1: Descrição cinemática da formulação co-rotacional 
 O conceito da descrição cinemática co-rotacional foi introduzido em um contexto do MEF 
com os trabalhos de Argyris (1965). Segundo Menin (2006), a descrição cinemática co-
rotacional é a mais recente das formulações utilizadas na análise não-linear geométrica de 
estruturas e, em função disto, uma grande variedade de assuntos ainda pode ser pesquisada. 
2 METODOLOGIA EMPREGADA NO TRABALHO 
Neste trabalho realizou-se uma análise não linear geométrica de pórticos planos utilizando 
a formulação co-rotacional. Discretiza-se o pórtico plano com diferentes elementos de viga 
2D. Utiliza-se o modelo matemático de viga Euler-Bernoulli (C1) sem o acoplamento dos 
esforços axiais e de flexão, a partir de agora denominado elemento de viga Bernoulli; utiliza-
se, também, o modelo anterior com acoplamento entre os esforços axiais e de flexão, aqui 
denominado de elemento de viga Bernoulli 2; por último, faz-se o uso do modelo matemático 
de viga Timoshenko, denominado de elemento de viga Timoshenko (C0). Neste trabalho 
adotam-se seções transversais retangulares. 
0
Movimento de
corpo rígido
Movimento 
deformacional
Configuração
indeformada
Configuração
co-rotacionadaConfiguração
deformada
C
C
CR
X
Y
Para realizar as simulações numéricas com a formulação proposta neste trabalho foram 
implementados no programa de elementos finitos denominado 2D_Beam_f90 os elementos de 
viga descritos anteriormente. Este programa foi desenvolvido no âmbito do Programa de Pós 
Graduação em Estruturas e Construção Civil (PECC) da Universidade de Brasília – UnB, 
pelos seguintes autores: Menin (2006), Cortivo (2004), Belo (2009) e Silva (2011). 
Os vetores de forças internas e as matrizes de rigidez tangente dos três elementos acima 
descritos foram obtidos analiticamente através do princípio dos trabalhos virtuais. Para obter a 
trajetória de equilíbrio não-linear adota-se uma análise incremental-iterativa baseada no 
método de Newton-Raphson e na técnica do comprimento de arco (arc-length). Para validar a 
formulação proposta foram comparadas as soluções numéricas obtidas neste trabalho com as 
encontradas na literatura por outros autores. 
3 FORMULAÇÃO CO-ROTACIONAL DE PÓRTICOS PLANOS 
A seguir demonstra-se por meio do princípio dos trabalhos virtuais a formulação 
matemática da descrição co-rotacional para um elemento de viga qualquer que se movimenta 
no plano. Além disso, é apresentada a obtenção analítica dos vetores de força internas lf e 
das matrizes de rigidez tangente lK local dos elementos finitos de viga Bernoulli, Bernoulli 2 
e Timoshenko. A dedução pormenorizada desses entes matemáticos pode ser encontrada em 
Silva (2011). A formulação descrita a seguir é, a apresentada em Battini (2002) que se 
diferencia ligeiramente da exibida em Crisfield (1991). 
3.1 Descrição cinemática de um elemento de viga qualquer 
Na Fig. 2 apresenta-se as coordenadas dos nós 1 e 2 no sistema de coordenadas 
global( ),x z , ( )1 1,x z , ( )2 2,x z . O vetor de deslocamento global é definido por: 
 gu { }1 1 1 2 2 2θ θ=
T
u w u w . (1) 
1
2
x
z
θ
θ
θ
θ1
1
2
2
u1
w1
u
w2
2
zl
xl
0
u
 
Figura 2: Formulação co-rotacional – cinemática da viga. 
Por outro lado, o vetor de deslocamentos locais é dado por: 
 lu { }1 2θ θ= Tu . (2) 
As componentes de lu podem ser calculadas através das seguintes equações, 
 0= −nu l l , 1 1θ θ α= − e 2 2θ θ α= − . (3) 
Nas equações acima 0l e nl denotam os comprimentos inicial e atual, respectivamente. 
Após se fazer simples relações trigonométricas podem-se reescrevê-las como, 
 ( ) ( )
1
2 2 2
0 2 1 2 1
 = − − −
 
l x x z z e ( ) ( )
1
2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 1
 = + − − − + − −
 n
l x u x u z w z w (4) 
onde α denota a rotação de corpo rígido. Esta pode estar relacionada trigonometricamente por 
 0 0α = −sen c s s c e 0 0cosα = +c c s s, (5) 
as quais, após desenvolvidas, chega-se a: 
 ( )0 0 2 1
0
1
cosβ= = −c x x
l
, ( )0 0 2 1
0
1β= = −s sen z z
l
, 
 ( )2 2 1 1
1
cosβ= = + − −
n
c x u x u
l
 e ( )2 2 1 1
1β= = + − −
n
s sen z w z w
l
. (6) 
Assim, para um α π< , α é dado por: 
 ( )1α α−= sen sen se 0α ≥sen e cos 0α ≥ ; ( )1cos cosα α−= se 0α ≥sen e cos 0α < ; 
 ( )1α α−= sen sen se 0α <sen e cos 0α ≥ e ( )1cos cosα α−= − se 0α <sen e cos 0α < (7) 
3.1.1 Deslocamentos virtuais 
Diferenciando-se as Eq. (3) obtêm-se os deslocamentos virtuais locais, 
 ( ) ( ) { }2 1 2 1 0 0δ δ δ δ δ= − + − = − −u c u u s w w c s c s guδ , (8) 
 1 1 1δθ δθ δα δθ δβ= − = − ( )0α β β= − e (9) 
 2 2 2δθ δθ δα δθ δβ= − = − . (10) 
Por outro lado, δβ pode ser calculada pela diferenciação da Eq. (6d)( ) ( )2 1 2 2 1 12
1δβ δ δ δ=  − − + − −  n n
n
w w l z w z w l
cl
, (11) 
onde nlδ = uδ é dado pela Eq. (8). Usando a Eq. (6d), a expressão de δβ torna-se 
 ( ) ( ) ( )22 1 2 1 2 1
1δβ δ δ δ δ δ δ = − − − − − n
n
w w l sc u u s w w
cl
, (12) 
a qual, após simplificações, produz 
 { }1 0 0δβ = − −
n
c s c s
l g
uδ . (13) 
Desta forma, a matriz de transformação B é definida como, 
 luδ = B uδ g , (14) 
e dada por, 
 B =
0 0
1 0
0 1
− − 
 − − 
 − − 
n n n n
n n n n
c s c s
s l c l s l c l
s l c l s l c l
. (15) 
3.1.2 Vetor de forças internas 
A relação entre o vetor de forças internas local lf e global fg é obtida pela equação dos 
trabalhos virtuais nos sistemas local e global 
 u f u f u B fδ δ δ= = =T T T Tg g l l g lV (16) 
A Eq. (16) deve ser aplicada a um uδ g arbitrário, e assim, o vetor de forças internas global 
gf é dado por 
 f B f= Tg l (17) 
no qual o vetor de forças internas local { }f = Tl 1 2N M M depende da definição do elemento 
finito de viga específico empregado. 
3.1.3 Matriz de rigidez tangente 
A matriz de rigidez tangente global gK definida por 
 g g gf K uδ δ= (18) 
é obtida pela variação da Eq. (17). Assim, 
 Tg l 1 1 2 2 3N b M b M bf B fδ δ δ δ δ= + + + . (19) 
Na equação anterior, 2b é, por exemplo, a segunda coluna de 
TB . As seguintes notações 
são introduzidas, 
 { }0 0 Tc s c sr = − − e { }0 0 Ts c s cz = − − (21) 
as quais por diferenciação tornam-se, 
 r zδ δβ= e z rδ δβ= − . (22) 
As Eq. (8) e (13) podem ser reescritas como, 
 Tn gu l r uδ δ δ= = e 
1 T
g
nl
z uδβ δ= . (23) 
Introduz-se expressões auxiliares, 
 1b r= , { }2
1
0 0 1 0 0 0
T
nl
b z= − e { }3
1
0 0 0 0 0 1
nl
T
b z= − (24) 
as quais diferenciadas produzem, 
 1
T
g
nl
zz
b r pδ δ δ= = e ( )2 3 1 T Tn g2 2
n n n
l
l l l
zz
b b rz zr p
δδδ δ δ= = − + = + . (25) 
 
O primeiro termo na Eq. (19) é calculado pela introdução da matriz de rigidez tangente 
local lK , a qual depende da definição do elemento. 
 l l l l gf K u K B uδ δ δ= = (26) 
Finalmente, das Eq. (18), (19), (25a), (25b) e (26), a expressão da matriz de rigidez 
tangente global torna-se, 
 ( )( )21
n
T T T T
g l 1 2
n
N
M M
l l
K B K B zz rz zr= + + + + (27) 
As Eq. (14) e (27) fornecem a relação entre forças internas e matrizes de rigidez tangente 
locais e globais. Estas relações independem da definição local do elemento. O último é obtido 
adotando-se como hipóteses: deformação de Bernoulli; relação constitutiva linear elástica e; o 
princípio dos trabalhos virtuais (PTV) - 1 1 2 2vV dv N u M Mσδε δ δθ δθ= = + +∫ . 
3.2 Elemento de viga Bernoulli 
O campo de deslocamento deste elemento é dado por: 
 
x
u u
L
= e 
2 22
1 21 1
x x x
w x
L L L
θ θ   = − + −   
   
. (28) 
Assim, a curvatura 2 2k w x= ∂ ∂ e a deformação u x kzε = ∂ ∂ − são dadas por, 
 1 22 2
4 2
6 6θ θ   = − + + − +   
   
x x
k
L L L L
 e 1 22 2
4 2
6 6ε θ θ    = + − + −    
    
u x x
z
L L L L L
. (29) 
3.2.1 Obtenção numérica do vetor de forças internas 
Utilizando o PTV, chega-se as forças internas locais, as quais são dadas por: 
 
v
N dv
L
σ= ∫ , 1 2
4
6
v
x
M z dv
L L
σ  = − 
 
∫ e 2 2
2
6
v
x
M z dv
L L
σ  = − 
 
∫ (30) 
Uma integração das expressões anteriores sobre o volume do elemento considerando 
rigidez a axial (EA) e a flexão (EI) constantes ao longo do eixo-x produz coeficientes mais 
simples para o vetor de forças internas, o qual é dado por: 
 =lf ( )
( )
0
1 1 2
0
2
2 1
0
4 2
4 2
EA
u
l
N
EI
M
l
M
EI
l
θ θ
θ θ
 
 
  
    = +   
   
   
+ 
  
. (31) 
3.2.2 Obtenção analítica da matriz de rigidez tangente local 
As mesmas hipóteses adotadas na aquisição do vetor de forças internas são tomadas. A 
diferenciação da tensão σ produz 
 1 22 2
4 2
6 6
u x x
E E z z
L L L L L
δδσ δε δθ δθ    = = + − + −    
    
. (32) 
A matriz de rigidez tangente local lK é calculada pela diferenciação das Eq. (30) obtendo-
se 
 11 2
1
v
N
K Edv
u L
∂= =
∂ ∫
 
 
2
21
22 2
1
4
6
v
M x
K Ez dv
L Lθ
∂  = = − ∂  ∫
, 
 
2
22
33 2
2
2
6
v
M x
K Ez dv
L Lθ
∂  = = − ∂  ∫
, (33) 
 112 2
1
1 4
6
v
MN x
K Ez dv
u L L Lθ
∂∂  = = = − ∂ ∂  ∫
, 
 213 2
2
1 2
6
v
MN x
K Ez dv
u L L Lθ
∂∂  = = = − ∂ ∂  ∫
, 
 21 223 2 2
2 1
4 2
6 6
v
M M x x
K Ez dv
L L L Lθ θ
∂ ∂   = = = − −  ∂ ∂   ∫
, 
21 12K K= , 31 13K K= e 32 23l lK K= . 
A integração das Eq. (33) sobre o volume do elemento considerando rigidez a axial e a 
flexão constantes ao longo do eixo-x produz coeficientes mais simples para a matriz de 
rigidez tangente, a qual tem sua forma final dada por: 
 lK =
0
0 0
0 0
0 0
4 2
0
4 4
0
EA
l
EI EI
l l
EI EI
l l
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 (34) 
3.3 Elemento de viga Bernoulli 2 
O elemento de viga Bernoulli 2 usa ( )21 [ 1 2 ]f Lkz L u x w x dx kzε ε= − = ∂ ∂ + ∂ ∂ −∫ como 
definição para deformação local. Entretanto, toma-se uma deformação axial média para evitar 
o travamento de membrana (membrane locking). Assim: 
 2 21 1 2 2 1 22 2
1 1 1 4 2
6 6
15 30 15
u x x
z
L L L L L
ε θ θ θ θ θ θ    = + − + + − + −    
    
. (35) 
A fim de simplificar as expressões subsequentes serão usadas as seguintes variáveis 
auxiliares: 2 21 1 2 2
1 1 1
15 30 15
u
g
L
θ θ θ θ= + − + , 1 1 2
2 1
15 30
g θ θ= − , 2 2 1
2 1
15 30
g θ θ= − . 
3.3.1 Obtenção numérica do vetor de forças internas 
Fazendo uso do PTV se chega as equações componentes do vetor de forças internas:v
N dv
L
σ= ∫ , 1 1 2
4
6
v v
x
M g dv z dv
L L
σ σ  = + − 
 
∫ ∫ e 2 2 2
2
6
v v
x
M g dv z dv
L L
σ σ  = + − 
 
∫ ∫ . (36) 
Coeficientes mais simples são obtidos efetuando-se uma integração das expressões 
anteriores sobre o volume do elemento e considerando rigidez axial e à flexão constante ao 
longo do eixo-x. O vetor de forças internas é então dado por: 
 lf = ( )
( )
1 0 1 1 2
0
2
0 2 2 1
0
4 2
4 2
EAg
N
EI
M EAl gg
l
M
EI
EAl gg
l
θ θ
θ θ
 
 
  
    = + +   
   
   
+ + 
  
 . (37) 
3.3.3 Obtenção analítica da matriz de rigidez tangente 
A matriz de rigidez tangente local é calculada pela diferenciação da Eq. (36) fornecendo: 
 
11 2
1
2 v
N
K Edv
u L
∂= =
∂ ∫
, 
12 1 2
1
1 1 4
6
v v
N x
K Eg dv Ez dv
L L L Lθ
∂  = = + − ∂  ∫ ∫
, 
13 2 2
2
1 1 2
6
v v
N x
K Eg dv Ez dv
L L L Lθ
∂  = = + − ∂  ∫ ∫
, 
1
22 1 22 2
1
2 4 2
6 6
15 vv
M x x
K Eg dv E z dv
L L L L
θ θ
θ
 ∂      = = + − + −     ∂       
∫ ∫ 
 21 1 2
4
6
v v
x
g Edv g Ez dv
L L
 + + − 
 
∫ ∫ 
 
2
2
12 2
4 4
6 6
v v
x x
Ez g dv Ez dv
L L L L
   + − + −   
   
∫ ∫ , 
2
33 1 22 2
2
2 4 2
6 6
15 vv
M x x
K Egdv Ez dv
L L L L
θ θ
θ
 ∂      = = + − + −     ∂       
∫ ∫ (38) 
 22 2 2
2
6
v v
x
g Edv g Ez dv
L L
 + + − 
 
∫ ∫ 
 
2
2
2 2 2
2 2
6 6
v v
x x
Ezg dv Ez dv
L L L L
   + − + −   
   
∫ ∫ e 
1
23 1 22 2
2
1 4 2
6 6
30 vv
M x x
K Egdv Ez dv
L L L L
θ θ
θ
 ∂      = = − + − + −     ∂       
∫ ∫ 
 1 2 1 2
2
6
v v
x
g g Edv g Ez dv
L L
 + + − 
 
∫ ∫ 
 
2
2
22 2
4 4
6 6
v v
x x
Ez g dv Ez dv
L L L L
   + − + −   
   
∫ ∫ . 
21 12K K= , 31 13K K= e 32 23K K= . 
Integrando-se as Eq. (38) sobre o volume do elemento com a consideração da constância 
nas rigidezes axial e de flexão ao longo do eixo-x. A matriz de rigidez tangente tem sua forma 
geral dada por: 
 lK =
1 2
0
2
1 0 1 0 1 2
0 0
2
2 0 1 2 0 2
0 0
2 4 1 2
15 30
1 2 2 4
30 15
EA
EAg EAg
l
EI EI
EAg EAl g g EAl g g g
l l
EI EI
EAg EAl g g g EAl g g
l l
 
 
 
    + + − + +    
    
     − + + + +   
     
. (39) 
3.4 Elemento de viga timoshenko 
O elemento de viga Timoshenko clássico é definido pelo seguinte campo de deslocamento: 
 
x
u u
L
= , 0w = e 1 21
x x
L L
θ θ θ = − + 
 
. (40) 
A curvatura k , a deformação por cisalhamento e a deformaçãoε são definidas por 
 2 1k
x L
θ θθ −∂= =
∂
, 1 21
w x x
x L L
γ θ θ θ∂  = − = − − − ∂  
 e 2 1
u u
kz z
x L L
θ θε −∂= − = −
∂
. (41) 
3.4.1 Obtenção analítica do vetor de forças internas 
Através do princípio dos trabalhos virtuais, obtêm-se as forças internas locais as quais são 
dadas por: 
 
v
N dv
L
σ= ∫ , 1 2v
M z dv
L
σ τ = − 
 
∫ e 2 2v
M z dv
L
σ τ = − − 
 
∫ . (42) 
O vetor de forças internas é dado de uma maneira mais simples integrando os coeficientes 
anteriores sobre o volume do elemento e considerando rigidez a axial e a flexão constantes ao 
longo do eixo-x. 
 lf = ( ) ( )
( ) ( )
0
1 1 2 0 1 2
0
2
2 1 0 2 1
0
1
4
1
4
EA
u
l
N
EI
M GAl
l
M
EI
GAl
l
θ θ θ θ
θ θ θ θ
 
 
  
    = − + +   
   
   
− + + 
  
. (43) 
3.4.2 Obtenção analítica da matriz de rigidez tangente 
As mesmas hipóteses adotadas na aquisição do vetor de forças internas são tomadas. Com 
a diferenciação das Eq. (42) se obtêm os coeficientes da matriz de rigidez tangente local, os 
quais são dados por, 
11 2
1
v
N
K Edv
u L
∂= =
∂ ∫
, 
21
22 2
1
1 1
1
2v v
M x
K Ez dv G dv
L Lθ
∂  = = + − ∂  ∫ ∫
, 
22
33 2
2
1 1
2v v
M
K Ez dv Gxdv
L Lθ
∂= = +
∂ ∫ ∫
, (44) 
12 2
1
1
v
N
K E zdv
Lθ
∂= =
∂ ∫
, 
13 2
2
1
v
N
K Ezdv
Lθ
∂= = −
∂ ∫
 e 
2
23 2
1 1
1
2v v
x
K Ez dv G dv
L L
 = − + − 
 
∫ ∫ . 
21 12K K= , 31 13K K= e 32 23K K= . 
Integrando as Eq. (44) sobre o volume do elemento com a consideração da constância nas 
rigidezes axial e de flexão ao longo do eixo-x, são fornecidos coeficientes mais simples para a 
matriz de rigidez tangente, a qual tem sua forma geral dada por: 
 lK =
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 1
0
4 4
1 1
0
4 4
EA
l
EI EI
GAl GAl
l l
EI EI
GAl GAl
l l
 
 
 
 
+ − + 
 
 
− + + 
  
. (45) 
 
4 EXEMPLOS NUMÉRICOS 
Os objetivos que motivaram a seleção dos três exemplos numéricos a seguir foram: 
verificar eficiência da formulação dos elemento utilizados em capturar grandes deslocamentos 
e rotações; realizar uma análise comparativa entre as três formulações de elementos de viga 
propostas; investigar o efeito do número de elementos adotados na discretização das 
estruturas. Estas - pórtico de Lee, pórtico assimétrico e pórtico Toggle - são clássicas da 
literatura e, dessa forma, tem servido como benchmark para diversos trabalhos. 
 
4.1 Pórtico de Lee 
A geometria, as condições de contorno e os parâmetros materiais do Pórtico de Lee estão 
mostrados na Fig. 3. Este foi apresentado inicialmente por Lee (1968) para análise de grandes 
deslocamentos e estabilidade de pórticos elásticos. Battini (2002), por sua vez, utilizou essa 
estrutura para estudar elementos de viga co-rotacional em problemas de instabilidade. 
Conforme se pode observar nos resultados expostos a seguir, as configurações das trajetórias 
de equilíbrio para a análise elástica das estruturas são conhecidas na literatura como snap-
through no grau de liberdade v e snap-back no grau de liberdade u. Efetuaram-se dois tipos de 
discretizações: malhas com 10 e 20 elementos. 
P
3,0
2,0
120
24
12
0
v
u
 
Figura 3: Geometria, condições de contorno e parâmetros físicos utilizados no pórtico de Lee. 
 
Na Fig. 4 exprimem-se as trajetórias elásticas de equilíbrio da estrutura dividida em 10 
elementos onde se pode verificar que as curvas são não coincidentes. Com o uso de uma 
malha mais refinada (20 elementos) se verifica uma melhora substancial na aproximação das 
mesmas – Fig. 5. 
 
 
Figura 4: Resposta elástica do pórtico de Lee para os três elementos finitos utilizados e uma malha com 10 
elementos. 
 
 
E = 720 
υ = 0,3 
Et = E/10 
σy = 10,44 
 
Figura 5: Resposta elástica do pórtico de Lee para os três elementos finitos utilizados e uma malha com 20 
elementos. 
 
Com o objetivo de validar os elementos ora implementados,as trajetórias elásticas obtidas 
com 20 elementos de viga Timoshenko foram confrontadas com as obtidas por Battini (2002) 
e, Park e Lee (1996). Esta comparação está exibida na Fig. 6 onde se pode concluir que os 
valores obtidos são praticamente os mesmos, o que demonstra a eficiência da formulação e da 
estratégia de solução não linear empregada neste trabalho. 
 
 
Figura 6: Resposta elástica do pórtico de Lee para o elemento de viga Timoshenko e uma malha com 20 
elementos. 
 
 
As deformadas da estrutura para diferentes são exibidas na Fig. 7, onde se pode verificar 
que a estrutura alcança acentuadas rotações e translações que são capturadas pela formulação 
implementada. 
 
 
Figura 7: Perfil de deformadas para a resposta elástica. 
 
 
4.2 Pórtico Toggle 
As características de geometria, de condições de contorno, de apoios e materiais para esta 
estrutura são mostradas na Fig. 8 A necessidade de se verificar a eficiência de formulações 
numéricas no tratamento de trajetórias de equilíbrio com caráter "snap-through" justifica o 
fato de essa estrutura constar como exemplo em grande número de referências bibliográficas. 
Ela foi resolvida inicialmente de maneira analítica e experimental por Williams (1964). 
Battini (2002), também utiliza essa estrutura com a finalidade de estudar elementos de viga 
co-rotacional em problemas de instabilidade. 
 
 
P
25,886
0,5
0,753
0,243
d
 
Figura 8: Dimensões, condições de contorno e propriedades do material usadas no pórtico toggle. 
 
 
A resposta elástica do pórtico é mostrada na Fig. 9, onde plota-se pontos extraídos de 
Battini (2002) e conclui-se que os resultados obtidos entre os dois trabalhos são praticamente 
coincidentes. 
E = 107 
 υ = 0,3 
Et = E/2 
σy = 3x103 
 
Figura 9: Resposta elástica e elástica para o pórtico toggle usando elemento de viga Bernoulli 2; malha com 8 
elementos e 15 pontos de Gauss. 
4.3 Pórtico assimétrico 
A geometria do pórtico, condições de contorno e os parâmetros materiais são mostrados na 
Fig. 10. Battini (2002) utiliza essa estrutura com a finalidade de estudar elementos de viga co-
rotacional em problemas de instabilidade. 
Para obtenção das trajetórias secundárias de equilíbrio, induziu-se a resposta aplicando 
uma carga horizontal pontual de pequena magnitude na direção do grau de liberdade (d). Na 
Fig. 11 mostra-se a resposta elástica da estrutura, na qual pode-se verificar a existência de um 
ponto de bifurcação, de onde partem duas trajetórias assimétricas que contabilizam os 
deslocamentos à esquerda e à direita no ponto médio da barra vertical. As mesmas têm 
comportamento linear e deslocamentos nulos até o ponto de bifurcação. A partir deste ponto, 
as curvas seguem em ramos não lineares. 
P
0,1
0,1
1,0
1,
0
d
 
Figura 11: Dimensões, condições de contorno e propriedades do material usadas na viga em balanço. 
 
E = 2x1011 
 υ = 0,3 
Et = E/2 
σy = 10
6 
 
Figura 6.14: Resposta elástica do pórtico assimétrico usando elemento de viga Bernoulli 2; malha com 16 
elementos. 
5 CONCLUSÕES 
Nos exemplos estudados – pórtico de Lee, pórtico assimétrico e pórtico toggle - verificou-se 
uma convergência das trajetórias de equilíbrio dos três elementos de viga estudados, 
utilizando-se malhas com 20, 16 e 8 elementos, respectivamente. 
Em todos os exemplos verifica-se a capacidade da formulação co-rotacional em capturar 
grandes deslocamentos e rotações para todos os elementos implantados. 
Na simulação do pórtico assimétrico deve-se mensurar com cuidado o valor da carga indutora 
da resposta no sentido desejado. Minorá-la pode fazer com que o programa não consiga obter 
a trajetória secundária; majorá-la pode simular a resposta da estrutura com imperfeição. 
Como esperado, a contribuição dos esforços cisalhantes nas respostas das estruturas 
analisadas é pequena. Isto se deve aos comprimentos dos membros das mesmas serem muito 
superior à sua altura. 
Agradecimentos 
Ao CNPq pelo apoio financeiro. Ao Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção 
Civil - UnB. 
REFERÊNCIAS 
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Methods in Structural Mechanics, AFFDL-TR-66-80, Air Force Institute of Tecnology, 
Dayton, Ohio-USA. 
Battini, J.M., (2002), “Co-rotational beam elements in instability problems”, Ph.D Thesis, 
Royal Institute of Tecnology - Departament of Mechanics, Stockholm / Sweeden. 
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rotacional, um modelo plástico por camadas e o elemento finito ANDES”, Tese de 
Doutorado em Estruturas e Construção Civil, Universidade de Brasília/DF, Brasil. 
Crisfield, M.A., (1991), “Non-linear finite element analysis of solids and structures”, Volume 
1: Essential, John Wiley & Sons, Chichester, UK. 
Belo, I. M., (2009), Desenvolvimento da formulação co-rotacional em elementos finitos de 
casca para análise hipereslástica., Tese de doutorado, Universidade Federal de Santa 
Catarina, Santa Catarina-SC, Brasil. 
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University Press : Oxford, U.K. 
Owen, D.R.J., Hinton, E., (1980), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, 
Pineridge. Swansea, U.K. 
Lee, S. L., Manuel F. S., & Rossow, E. C., (1968), Large deflection analysis and stability of 
elastic frames. J. Eng. Mech. Div. ASCE 94 EM2, pp. 521-547. 
Lemaitre, J., Chaboche, J-L., (1994), Mechanics of Solids Materials, Cambrige University 
Press, Cambrige, , U.K. 
M.S. Park., B.C. Lee., (1996), Geometrically non-linear and elastoplastic threedimensional 
shear flexible beam element of von-Mises-type hardening material. Int. J. Num. Meth. 
Engng., 39:383–408. 
Menin, R. C. G., (2006), “Aplicação da descrição co-rotacional na análise não-linear 
geométrica de estruturas discretizadas por elementos finitos de treliças, vigas e cascas”, 
Tese de doutorado, E.TD-004A/06, Brasília : ENC/FT/UnB. 
Silva, S. S., (2011), “Análise não linear de pórticos planos utilizando uma formulação co-
rotacional e plasticidade por camadas”, Dissertação de mestrado, E.DM-002A/11, Brasília: 
ENC/FT/UnB. 
Simo, J. C., (1998), Computational Inelastic, Interdisciplinary Apllied Mathematics, vol. 7, 
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jointed plane framework with finite deflection’, Quart. J. Mech. Appl. Maths. 17(4), 451–
469.