Lista 12_ Funções

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Lista 12 de Funções 
(Lista 1 de Função Exponencial) 
 
Prof. João Marcos 
 
1 
Parte 1 – Exercícios de Fundamentação 
 
01) Chamam-se cosseno hiperbólico de x e seno hiperbólico de x, e 
presentam-se respectivamente por cosh 𝑥 e 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥, os 
números: 
cosh 𝑥 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 𝑒 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
 
Calcule (cosh 𝑥)² − (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)². 
 
02) Determine o menor valor da expressão (
1
2
)4𝑥−𝑥². 
 
03) Solucione as seguintes equação exponenciais: 
 
 a) 32𝑥−1. 93𝑥+4 = 27𝑥+1 
 
 b) √5𝑥−2. √252𝑥−5
𝑥
− √53𝑥−2
2𝑥
= 0 
 
 c) 
23𝑥+2
82𝑥−7
= 4𝑥−1 
 
 d) 2𝑥−1 + 2𝑥 + 2𝑥+1 − 2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 120 
 
e) 3. 2𝑥 − 5. 2𝑥+1 + 5. 2𝑥+3 − 2𝑥+5 = 2 
 
f) 2. 4𝑥+2 − 5. 4𝑥+1 − 3. 22𝑥+1 − 4𝑥 = 20 
 
g) 4𝑥+1 − 9. 2𝑥 + 2 = 0 
 
04) Calcule o produto das soluções da equação 4𝑥
2+2 − 3. 2𝑥
2+3 =
160. 
 
05) Solucione a equação 
3
(
1
𝑥2
+𝑥2)
=
81
3(
1
𝑥
+𝑥)
 
06) Determine o número de soluções distintas da equação 2𝑥 −
2−𝑥 = 𝑘, para cada k real. 
 
07) Resolva a equação exponencial: 
3𝑥 + 3−𝑥
3𝑥 − 3−𝑥
= 2 
 
08) Solucione as equações abaixo nos reais: 
a) 𝑥𝑥
2−5𝑥+6 = 1 
b) 𝑥2𝑥
2−7𝑥+4 = 𝑥 
c) 𝑥𝑥
2−3𝑥−4 = 1 
d) 𝑥𝑥
2−2𝑥−7 = 𝑥 
e) (𝑥2 − 𝑥 + 1)2𝑥
2−3𝑥−2 = 1; 
 
09) Resolva as equações 
a) 4𝑥 + 2. 14𝑥 = 3. 49𝑥 
b) 22𝑥+2 − 6𝑥 − 2. 32𝑥+2 = 0 
 
 
 
 
 
10) Resolva os seguintes sistemas de equações: 
 
a) {
4𝑥 = 16𝑦
2𝑥+1 = 4𝑦
 b) {2
2(𝑥2−𝑦) = 100. 52(𝑦−𝑥
2)
𝑥 + 𝑦 = 5
 
 
c) {
2𝑥 − 2𝑦 = 24
𝑥 + 𝑦 = 8
 d) {
3𝑥 − 2(𝑦
2) = 77
3
𝑥
2 − 2
𝑦2
2 = 7
 
 
11) Resolva o sistema de equações 
 {𝑥
𝑦2−15𝑦+56 = 1
𝑦 − 𝑥 = 5
 
 
12) Para que valores de m a equação 4𝑥 − (𝑚 − 2). 2𝑥 + 2𝑚 +
1 = 0 admite pelo menos uma raiz real? 
 
13) Para que valores reais de m a equação 2𝑥 + 2−𝑥 = 𝑚 admite 
pelo menos uma raiz real? 
14) Para que valores reais de m a equação 
𝑎𝑥+𝑎−𝑥
𝑎𝑥−𝑎−𝑥
= 𝑚, com 0 <
𝑎 ≠ 1, admite raiz real? 
 
Parte 2 – Questões Básicas de Vestibulares 
 
01) a) Sabendo que x é um inteiro e x x2 2 k 2   
podemos afirmar que x x4 4 k?  Justifique a sua 
resposta. 
 b) Se x e y são dois números reais positivos, x y e 
xy 121, podemos afirmar que x 11 y?  Justifique a 
sua resposta. 
02) O conjunto solução do sistema 
x y
3 2
3 27 9
2
y xy 0
3
  


 

 é formado por 
dois pontos, cuja localização no plano cartesiano é 
a) Ambos no primeiro quadrante. 
b) Um no quarto quadrante e o outro no eixo X. 
c) Um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante. 
d) Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y. 
e) Um no segundo quadrante e o outro no eixo X. 
 
03) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do 
tempo, de acordo com a relação ktm(t) ca , em que a é um 
número real positivo, t é dado em anos, m(t) a massa da 
substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se 
que 
0m gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 
10 anos. A que porcentagem de 
0m ficará reduzida a massa 
da substância, em 20 anos? 
a) 10% 
b) 5% 
c) 4% 
d) 3% 
e) 2% 
 
 
 
 
 2 
04) Seja f(x) = 22x+1. Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar 
que: 
a) a + b = 2 
b) a + b = 1 
c) a - b = 3 
d) a - b = 2 
e) a - b = 1 
 
05) Se 2x . 3y-1 = 18y/2, então x . y é: 
a) 0 b) -1 c) 2 d) -3 e) 1 
 
06) 
 
Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, respectivamente, às 
funções y=ax, y=bx e y=cx. Então, está correto afirmar que: 
a) 0 < a < b < c 
b) 0 < b < c < a 
c) a < 0 < b < c 
d) 0 < a < c < b 
e) a < 0 < c < b 
 
07) Se 
 
x y 1
y x 9
2 8
9 3


 


, então x e y são os possíveis valores reais de t tais 
que: 
a) t2 - 27 t + 126 = 0 
b) t2 + 27 t + 126 = 0 
c) t2 - 21 t - 126 = 0 
d) t2 + 21 t - 126 = 0 
e) t2 - 26 t - 27 = 0 
 
08) Se 4x=3 e 4y=9, então (0,125)-4x+2y vale: 
a) 1 b) 2 c) 4 d) log4 3 e) log4 9 
 
09) A solução real y da equação (3 . 9x - 15x)/25x=2 é: 
b) um elemento de IR- 
c) um elemento de {-5; -3; 2; 3; 5}. 
d) tal que y ≥ 2. 
e) tal que 0 < y < 2. 
 
10) A soma das raízes da equação 33x - 13.32x + 39.3x - 27 = 0 é: 
a) - 1. b) 0 . c) 1. d) 2. e) 3. 
 
11) Seja a função f, de IR em IR, definida por f(x) = 53x. Se f(a) = 8, 
então f(-a/3) é 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1/8 
d) 4 
e) 2 
 
 
 
 
Parte 3 – Exercícios Nível 3 
 
01) Resolva o sistema de equações para 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑚𝑛 > 0. 
 {
𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
𝑥𝑚 = 𝑦𝑛
 
 
02) Resolver a equação 
4𝑥 − 3𝑥−
1
2 = 3𝑥+
1
2 − 22𝑥−1 
 
03) Resolver o sistema de equações: 
 {
𝑥𝑥+𝑦 = 𝑦𝑥−𝑦
𝑥2𝑦 = 1
 
 
04) Calcular as soluções do sistema de equações abaixo, em que 𝑥 >
0, 𝑦 > 0, 𝑛 > 0. 
{
𝑥𝑥+𝑦 = 𝑦𝑛
𝑦𝑥+𝑦 = 𝑥2𝑛𝑦𝑛
 
 
05) Resolver o sistema de equações 
{
(3𝑥 + 𝑦)𝑥−𝑦 = 9
√324
𝑥−𝑦
= 18𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 2𝑦²
 
 
Gabarito Parte 1 
01) 1 
02) 
1
16
 
03) a) −
4
5
 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1 f) 1 g) {1, -2} 
04) -2 
05) {1; 
−3+√5
2
; 
−3−√5
2
} 
06) 1 solução para cada k real. 
07) {
1
2
} 
08) a) {1,2,3} b) {1, 
1
2
, 3, 0} c) {1, 4} d) {1, 4} e) {0, 1, 2, −
1
2
} 
09) a) 0 b) -2 
10) a) {(3,4)} b) {(2,3(; (-3,8)} c) {(5,3)} d) {(4,√2); (4, −√2)} 
11) {(1,6), (2,7), (3,8)} 
12) 𝑚 < −
1
2
 ou 𝑚 ≥ 12. 
13) 𝑚 ≥ 2 
14) 𝑚 < −1 ou 𝑚 > 1. 
 
Gabarito Parte 2 
01) a) sim. b) sim. 
02) a 
03) c 
04) e 
05) d 
06) d 
07) a 
08) a 
09) b 
10) e 
11) a 
 
Gabarito Parte 3 
01) {(1,1); ((
𝑛
𝑚
)
𝑛
𝑛−𝑚
 
; (
𝑛
𝑚
)
𝑛
𝑛−𝑚
 
) 
02) 
3
2
 
03) {(1,1); (
1
√3
3 , √9
3
)} 
04) {(
√8𝑛+1−1
2
; 
(√8𝑛+1−1)
2
4
) ; (1,1)} 
05){(
5
4
,
−3
4
) ; (
−1
4
; 
−9
4
)}