Curso de GA e Álgebra Linear - Retas

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Retas
Professor Marcelo Monteiro
Equação Vetorial 
 
Equação Vetorial
 
Exemplo 1
 
Resolução do Exemplo 1
Basta fazer 
Para verifica se o ponto P, pertence à reta, basta substituir o ponto em e verificar o valor de t
Portanto o ponto P faz parte da reta, pois o parâmetro t foi o mesmo em todas as equações
Resolução do Exemplo 1
Equações Paramétricas
  
Equações Paramétricas
 
Exemplo 2
Resolução do Exemplo 2, letras a) e b)
b) Para 
Portanto o ponto é (3,1,-1)
Para 
Resolução do Exemplo 2, letras a) e b)
Portanto o ponto para t = 4 é: (6,-5,8) 
Exemplo 2, letras c), d) e e)
c) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
d) verificar se os pontos D(4,-1,2) e 
E(5,-4,3) pertencem a r.
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m,5,n) pertence a r.
Resolução do Exemplo 2, letras c) d) e e)
c) Para que a abcissa seja 4, é necessário encontrar o valor de t
Assim:
Desse modo, obtemos: 
e: , portanto o ponto é (4,-1,2)
d) O ponto D já verificamos na letra C, resta verificar o ponto E
Resolução do Exemplo 2, letras c) d) e e)
Como os valores de t foram todos diferentes, portanto o ponto E não faz parte da reta.
e) Para que o ponto F(m,5,n) pertence a r, é necessário encontrar o valor de t, pelo valor numérico dado que é a ordenada y.
Exemplo 2
f) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(5,2,-4) e é paralela a r.
g) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y.
Resolução do Exemplo 2, letras f) e g)
f) Se é paralela à reta r então tem o mesmo vetor diretor, portanto
g) Se é paralela ao eixo y, então o vetor diretor é (0,1,0), base canônica j, além disso passa pelo ponto A (2,3,-4), assim temos:
Resolução do Exemplo 2, letra g)
Reta Definida por 2 Pontos
 
Exemplo 3
Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A(3,-1,2) e B(1,2,4).
Solução: considerando o ponto inicial A e o vetor diretor AB. Encontremos primeiramente esse vetor
Resolução do Exemplo 3
Assim a equação da reta é: 
Equações Simétricas
 
Equações Simétricas
 
Equações Simétricas
 
Notas
 
Exercício 2
 
Resolução do Exercício 2
Associando o vetor v = (2,2,-1), aos pontos a, b e c respectivamente, a = 2, b= 2 e c =-1. Também associamos os pontos, assim podemos montar a equação simétrica
Equações Reduzidas
 
Equações Reduzidas
A partir das equações visualizadas no slide anterior, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Nesse caso, podemos isolar as variáveis y e z e expressá-las em função de x.
Retas paralelas aos planos coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos xOy ou yOz se seus vetores diretores forem paralelos ao plano correspondente. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula.
Retas paralelas aos planos coordenados
 
Gráfico referente aos dados do slide anterior
Retas paralelas aos planos coordenados
 
Retas paralelas aos eixos coordenados
 
Exercício 3
 
Resolução do Exercício 3
Ângulo entre duas retas
 
Ângulos entre Retas
Ângulo entre duas retas
 
Exemplo 4
 
Resolução do Exemplo 4
Resolução do Exemplo 4
Exercício 4
 
Resolução do Exercício 4
Para que as retas sejam ortogonais é necessário que o menor ângulo entre elas seja de 90°
Fixando x =1 em , temos para o vetor diretor de , o vetor . O vetor diretor da reta é o vetor 
. = 1.(-2) + (-2).1+ 4.1= -2 – 2 + 4 = 0. Logo o ângulo entre as retas é de 90º e são ortogonais
Resolução do Exercício 4
Reta ortogonal a duas retas
 
Reta ortogonal a duas retas
 
Reta ortogonal a duas retas
 
Exemplo 5
Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3,4,-1) e é ortogonal às retas
Resolução do Exemplo 5
Precisamos do vetor diretor v da reta r, para isso, como são ortogonais às retas 
 , onde
 
 Portanto as equações paramétricas que passam pelo ponto A(3,4,-1)
Resolução do Exemplo 5
com vetor diretor , são:
Resolução do Exemplo 5: Gráfico
Interseção de duas retas
Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Neste caso, são ditas concorrentes. São coplanares também as retas paralelas, porém sem ponto de interseção.
Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. 
Exemplo 6
 
Resolução do Exemplo 6
Para isso, precisamos igualar as coordenadas de cada reta , substituindo x = -t
Resolução do Exemplo 6
Como tivemos o mesmo valor pra t, então podemos concluir eu as retas são concorrentes em um ponto, se interceptam. Resta-nos encontrar esse ponto, substituindo em o valor de t encontrado, fica mais fácil obter esse ponto
Sendo assim, o ponto comum é (1,-1,2)
Exemplo 6 (continuação)
 
ï
î
ï
í
ì
+
=
+
=
+
=
ct
z
z
bt
y
y
at
x
x
1
1
1