Aula 03 Retas

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Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Geometria Analítica
Aula 3
Conversa Inicial
Equação reduzida e equação geral da reta
Equação vetorial e equações paramétricas
Equações simétricas
Ângulo entre retas
Intersecção entre retas
Organização da disciplina
Equação Reduzida e Equação
Geral da Reta
Equação reduzida Equação reduzida:
2
Em um determinado local, o litro de água 
mineral custa R$ 0,50. A tabela a seguir 
relaciona o custo total com a quantidade 
adquirida
Exemplo
Quantidade (l) 0 1 2 3 4 5
Total (R$) 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
Sabendo que a equação reduzida da reta r é 
y=ax+b, encontre a equação da reta que 
passa pelos pontos A(2, 7) e B(6, 19)
Para A(2, 7), temos Para A(2, 7), temos
x=2
3
Para A(2, 7), temos
x=2
y=7
Para A(2, 7), temos
x=2
y=7
y=ax+b
Para A(2, 7), temos
x=2
y=7
y=ax+b
7=a.(2)+b
Para A(2, 7), temos
x=2
y=7
y=ax+b
7=a.(2)+b
7=2a+b
Para A(2, 7), temos
x=2
y=7
y=ax+b
7=a.(2)+b
7=2a+b
2a+b=7
Para B(6, 19), temos
4
Para B(6, 19), temos
x=6
Para B(6, 19), temos
x=6
y=19
Para B(6, 19), temos
x=6
y=19
y=ax+b
Para B(6, 19), temos
x=6
y=19
y=ax+b
19=a.(6)+b
Para B(6, 19), temos
x=6
y=19
y=ax+b
19=a.(6)+b
19=6a+b
Para B(6, 19), temos
x=6
y=19
y=ax+b
19=a.(6)+b
19=6a+b
6a+b=19
5
6
7
Obtenha a equação reduzida da reta r que 
passa pelos pontos A(4, 1) e B(6, 5)
Para A(4, 1), temos Para A(4, 1), temos
x=4
Para A(4, 1), temos
x=4
y=1
Para A(4, 1), temos
x=4
y=1
y=ax+b
8
Para A(4, 1), temos
x=4
y=1
y=ax+b
1=a.(4)+b
Para A(4, 1), temos
x=4
y=1
y=ax+b
1=a.(4)+b
1=4a+b
Para A(4, 1), temos
x=4
y=1
y=ax+b
1=a.(4)+b
1=4a+b
4a+b=1
Para B(6, 5), temos
Para B(6, 5), temos
x=6
Para B(6, 5), temos
x=6
y=5
9
Para B(6, 5), temos
x=6
y=5
y=ax+b
Para B(6, 5), temos
x=6
y=5
y=ax+b
5=a.(6)+b
Para B(6, 5), temos
x=6
y=5
y=ax+b
5=a.(6)+b
5=6a+b
Para B(6, 5), temos
x=6
y=5
y=ax+b
5=a.(6)+b
5=6a+b
6a+b=5
10
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Ponto e Inclinação
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Um desenvolvedor de games precisa da 
equação reduzida da reta para poder fazer a 
trajetória, representada em vermelho, da 
aeronave que tem uma inclinação de 78° em 
relação à horizontal e está, inicialmente, no 
ponto A de coordenadas (300, 100), 
conforme a figura a seguir
Exemplo
Com base nestas 
informações, qual é a 
respectiva equação 
reduzida?
13
14
Determine a inclinação da reta r de equação 
y=1,2x+3
15
Qual é o ponto de intersecção da reta r de 
equação y=1,2x+3 com o eixo y?
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Verifique se o ponto P(5, 9) pertence à reta r 
de equação y=1,2x+3.
17
Considere a reta t representada na figura a 
seguir
Considere a reta t representada na figura a 
seguir
Com base nas informações apresentadas, 
escreva a equação reduzida da reta t
18
Uma viga reta tem inclinação de 30º e está 
apoiada em uma torre de 8 metros de altura
A distância entre o outro ponto onde a viga 
será apoiada e a torre é igual a 10 metros
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Qual é a equação reduzida da reta associada 
a essa viga e quais são as coordenadas do 
ponto Q?
20
Coordenadas de Q
21
Coordenadas de Q Coordenadas de Q
Coordenadas de Q Coordenadas de Q
Coordenadas de Q Coordenadas de Q
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Forma geral
Seja a reta r definida pela equação reduzida 
y=12x+1. Escreva a equação de r na forma 
geral
Exemplo
Equação Vetorial
e Equações Paramétricas
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Equação Vetorial
Obtenha a equação vetorial da reta r que 
contém o ponto A(1, 2) e tem direção dada 
pelo vetor .
Exemplo
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Um desenvolvedor de games precisa da 
equação reduzida da reta para poder fazer a 
trajetória, representada em vermelho, da 
aeronave que tem uma inclinação de 78° em 
relação à horizontal e está, inicialmente, no 
ponto A de coordenadas (300, 100), 
conforme a figura a seguir
25
Sabendo que o vetor 
possui uma 
inclinação de 78° em 
relação à horizontal, 
qual é a respectiva 
equação vetorial?
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Equações paramétricas
Escreva as equações paramétricas da reta 
que passam por A(300, 100) e têm vetor 
diretor 
Exemplo
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Obtenha as equações paramétricas da reta r 
que contêm o ponto A(1, 2) e têm direção 
dada pelo vetor 
28
Determine uma equação vetorial da reta r 
que passa pelos pontos A(1, 3, 6) e B(-2, 3, 
3)
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30
Encontre uma equação vetorial para a reta r 
que contém os pontos A(1, 2, 1) e B(2, 3, 3)
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Equações Simétricas
No R2
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No R2 No R2
No R3
No R2
No R3
Obtenha as equações simétricas da reta r que 
contém o ponto A(1, 2) e têm direção dada 
pelo vetor 
Exemplo
33
Quais são as equações simétricas da 
reta r que passam por A(2, 3, 4) e têm 
direção de ?
34
A partir das equações simétricas
da reta r, obtenha as respectivas equações 
reduzidas
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36
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Ângulo entre Retas
onde e são os vetores diretores das retas
Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de 
equações
Exemplo
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Mostre que as retas r e s dadas por
são ortogonais
Exemplo
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Considere as retas g e h definidas pelas 
equações vetoriais g:(1, 9, 6)+t(3, -2, 4) 
e h:(0, 3, -5)+t(-6, 4, -8). Mostre que g e h 
são paralelas
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Intersecção entre Retas
Considere as retas
Determine, caso exista, o ponto P de 
intersecção destas retas
Exemplo
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46
47
48