apol - 01 - equações diferenciais - nota 100

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Questão 1/10 - Equações Diferenciais
Obtenha a solução geral da equação diferencial y′+x=0y′+x=0
Nota: 10.0
	
	A
	y=−x2/2+cy=−x2/2+c
Você acertou!
integrando a equação y′+x=0y′+x=0y′+x=0y′+x=0, temos
y+x2/2=cy+x2/2=cy+x2/2=cy+x2/2=c
isolando y temos
y=−x2/2+cy=−x2/2+c
	
	B
	y=xy+cy=xy+c
	
	C
	y=2/x2+cy=2/x2+c
	
	D
	y=√x/2+cy=x/2+c
Questão 2/10 - Equações Diferenciais
Encontre uma solução geral para a equação diferencial y′+5y=t3e−5ty′+5y=t3e−5t utlizando o método dos fatores integrantes.
Nota: 10.0
	
	A
	y=x+lnxy=x+lnx
	
	B
	y=ex+cy=ex+c
	
	C
	y=ln(x+3)+cy=ln(x+3)+c
	
	D
	y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t
Você acertou!
Após identificar p(t)=5p(t)=5, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja, μ(t)=e∫5dt=e5tμ(t)=e∫5dt=e5t.
Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos
ddt[e5t.y]=e5tt3e−5tddt[e5t.y]=e5tt3e−5t. Integrando essa expressão e isolando y, temos
y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t que é a solução geral para o problema.
Questão 3/10 - Equações Diferenciais
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por 3ydydx=2x2−33ydydx=2x2−3
Nota: 10.0
	
	A
	y=√4x39−2x+2c3y=4x39−2x+2c3
Você acertou!
Como a expressão do problema já está no formato padrão, basta integrar ambos os lados da equação e obter
3y22=2x33−3x+c3y22=2x33−3x+c. Isolando y nessa expressão, temos
y=√4x93−2x+2c3y=4x93−2x+2c3 que é a solução geral do problema.
	
	B
	y=4x3−2xy=4x3−2x
	
	C
	y=x5−6y=x5−6
	
	D
	y=3x+exy=3x+ex
Questão 4/10 - Equações Diferenciais
Analise as alternativas dessa questão e determine qual delas tem como solução y1=x3y1=x3.
Nota: 10.0
	
	A
	y′′+1=0y″+1=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′+1=0y″+1=0, temos:
6x+1=06x+1=0
Essa igualdade não é verdadeira.
	
	B
	xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0
Você acertou!
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0, temos:
x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0 de forma que essa igualdade é verdadeira, pois os cálculos do lado esquerdo da igualdade resultam em zero.
	
	C
	y′′′=0y‴=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′′=0y‴=0, temos:
6=06=0
Essa igualdade não é verdadeira.
	
	D
	y′′′+y′=0y‴+y′=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′′+y′=0y‴+y′=0, temos:
6+3x2=06+3x2=0
Essa igualdade não é verdadeira.
Questão 5/10 - Equações Diferenciais
Utilize a integração direta para encontrar a solução geral de y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x)
Nota: 10.0
	
	A
	y=x22−sen(x)+Cy=x22−sen(x)+C
	
	B
	y=2x−cos(x)y=2x−cos(x)
	
	C
	y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C
y=x33+sen(x)+C
Você acertou!
Integrando y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) temos
y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C
	
	D
	y=3x3−sen(x)y=3x3−sen(x)
Questão 6/10 - Equações Diferenciais
A equação y1=e−3xy1=e−3x é solução de qual das equações diferenciais abaixo
Nota: 10.0
	
	A
	y′+3y=0y′+3y=0
Você acertou!
derivando y1=e−3xy1=e−3x, temos
y′1=−3e−3xy1′=−3e−3x
substituindo esses valores na equação original, temos
y′1+3y=0y1′+3y=0 y′1+3y=0y1′+3y=0
	
	B
	y′−3y=0y′−3y=0
	
	C
	3y′−3y=03y′−3y=0
	
	D
	3y′−y=03y′−y=0
Questão 7/10 - Equações Diferenciais
O fator integrante para uma equação exata, pode ser dado por μ(x)=ce∫R(x)dxμ(x)=ce∫R(x)dx, onde R(x) é dada por
Nota: 10.0
	
	A
	1N(∂M∂y−∂N∂x)1N(∂M∂y−∂N∂x)
Você acertou!
	
	B
	1M(∂M∂y−∂N∂x)1M(∂M∂y−∂N∂x)
	
	C
	1N(∂M∂y+∂N∂x)1N(∂M∂y+∂N∂x)
	
	D
	1M(∂M∂y+∂N∂x)1M(∂M∂y+∂N∂x)
Questão 8/10 - Equações Diferenciais
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por (1+y)dy−xdx=0(1+y)dy−xdx=0.
Nota: 10.0
	
	A
	2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0
Você acertou!
No método de solução para equações separáveis, basta integrar a expressão no formato padrão.
Assim, após a integração obtemos y+y22−x22+c=0y+y22−x22+c=0.
Multiplicando por 2 essa equação, temos 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0.
	
	B
	x+5y+xy=2x+5y+xy=2
	
	C
	2y+x2=32y+x2=3
	
	D
	x2+y2=0x2+y2=0
y+y2−x2−3=0y+y2−x2−3=0
Questão 9/10 - Equações Diferenciais
Para verificar se uma equação é exata, realizamos qual dos testes listados nas alternativas abaixo?
Nota: 10.0
	
	A
	∂M∂y=∂N∂x∂M∂y=∂N∂x
Você acertou!
	
	B
	∂M∂y=−∂N∂x∂M∂y=−∂N∂x
	
	C
	∂M∂x=∂N∂y∂M∂x=∂N∂y
	
	D
	−∂M∂y=∂N∂x−∂M∂y=∂N∂x
Questão 10/10 - Equações Diferenciais
Para modelar uma equação diferencial de crescimento de uma população P que cresce a uma taxa proporcional à população inicial, podemos utilizar a equação dPdt=kPdPdt=kP, onde k é uma constante de proporcionalidade. Como estamos falando do crescimento da população, analise as setenças a seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as alternativas falsas:
1. ( )  k>0k>0
2. ( ) dPdt<0dPdt<0
3. ( ) dPdt>0dPdt>0
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F,F,F
	
	B
	F,F,V
	
	C
	V,F,V
Você acertou!
Afirmativas I e III são verdadeiras, pois o modelo trata de uma taxa de crescimento da população P.
	
	D
	F,V,V