Lista de Cálculo Multivariável

Prévia do material em texto

Lista para segunda avaliação – 2018 
 
1. Usando a parametrização dada, calcule a integral de linha ∫(1 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑠 
(ao longo da curva C) 
a) C: 𝐫(𝑡) = 𝑡𝐢 + 2𝑡𝐣 (0 ≤ 𝑡 ≤ 1) (FIG. 1a) 
b) C: 𝐫(𝑡) = (1 − 𝑡)𝐢 + (2 − 2𝑡)𝐣 (0 ≤ 𝑡 ≤ 1) (FIG. 1b) 
 
 
 
2. Calcule a integral de linha ∫(𝑥𝑦 + 𝑧3)𝑑𝑠 (ao longo da curva C), de (1, 
0,0) a (−1,0, 𝜋) ao longo da hélice C que é representada pelas equações 
paramétricas: 
𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 (0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋) 
 
3. Calcule ∫ 3𝑥𝑦𝑑𝑦 (ao longo da curva C), onde C é o segmento de reta 
ligando (0, 0) e 
(1, 2) com a orientação dada 
a) Orientada de (0, 0) para (1, 2) como na figura 4a 
b) Orientada de (1, 2) para (0, 0) como na figura 4b 
 
 
 
 
4. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 no plano xy até p cilindro parabólico 𝑧 = 1 − 𝑥2 
 
5. Calcule ∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦 , (ao longo da curva C) 
 
6. Mostre que o campo vetorial 𝐅(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝐢 + 𝑥𝐣 é conservativo e calcule 
∫ 𝐅. 𝑑𝐫 utilizando a orientação dada: o segmento de reta 𝑦 = 𝑥 de (0,0) 
até (1,1) 
7. Calcule ∫ 𝐅. 𝑑𝐫 , (ao longo da curva C), onde 𝐅(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 𝐢 + sin 𝑥 𝐣 , 
onde C é a curva orientada dada. 
a) 𝐶: 𝑟(𝑡) = − (𝜋/2) 𝐢 + 𝑡𝐣 
b) 𝐶: 𝑟(𝑡) = 𝑡𝐢 + 𝑡2𝐣 
 
8. Seja 𝐅(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦3𝐢 + (1 + 3𝑥2𝑦2)𝐣 
a) Mostre que F é um campo conservativo em todo plano xy. 
b) Determine f integrando primeiro 𝜕𝑓/ 𝜕𝑥 
c) Determine f integrando primeiro 𝜕𝑓 /𝜕𝑦 
 
9. A temperatura u em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da 
distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor 
através da esfera S de raio 1 e centro no centro da bola. 
 
10. Calcule ∬ 𝑦𝑑𝑆 , onde S é a superfície 𝑧 = 𝑥 + 𝑦2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 
 
11. Determine o fluxo do campo vetorial 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑥𝐤 através da 
esfera unitária 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 
12. Calcule ∫ 𝐅. 𝑑𝐫 , ao longo da curva C, onde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦2𝐢 + 𝑥𝐣 + 𝑧2𝐤 
e C é a curva da intersecção do plano 𝑦 + 𝑧 = 2 com o cilindro 
𝑥2 + 𝑦2 = 1. (Oriente C no sentido anti-horário quando observado de 
cima). 
 
13. Calcule ∬ 𝐅. 𝑑𝐒 , onde 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑥𝑦𝐢 + (𝑦2 + 𝑒𝑥𝑧2 )𝐣 + (sin 𝑥𝑦)𝐤, e S 
é a superfície da região E delimitada pelo cilindro parabólico 𝑧 = 1 − 𝑥2 e 
os planos 𝑧 = 0, 𝑦 = 0 e 𝑦 + 𝑧 = 2. 
 
14. Obtenha as transformadas de Laplace para cada caso 
a) 
f(t)= -1 t<1 
 
1 t>1 
 
 
b) f(t)= t 0<= t<1 
 
1 t>=1 
 
c) 𝑓(𝑡) 𝑒 
 
d) 𝑓(𝑡) 𝑡𝑒 
 
e) 𝑓(𝑡) 𝑒 𝑠𝑒 (𝑡) 
 
f) 𝑓(𝑡) 𝑡 + 𝑡 − 
 
g) 𝑓(𝑡) 1 + 𝑒